f分布t分布和卡方分布.docx
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即可得到丫+Z〜2(n+m)
2. t分布若X与Y相互独立，且
X〜N(0,1), Y〜2(n),贝U Z = X Y
等于n的t分布，记作Z〜t (n)，它的分布密度
§ 1.4常用的分布及其分位数
1.卡平方分布
卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分 布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
2
当X1、X2、...、Xn相互独立且都服从 N(0,1)时，Z=V Xi的
i
2(n),它的分 分布称为自由度等于 n的
・ n 1 2 ------------- -- X
12丿
• 0,
■：： n ^1 -U , U e du , 布密度 P(Z)=
式中的：n = 0
一 l,
、2 .丿
相互独立，且Y
证明：先令X1、X2、… 2分布，记作Z
Z
^2
其他I
称为Gamma函数，且】1 =1 ,
2分布是非对称分布，具有可加性，即当 Y与Z
2(m),则 Y+Z 2(n+m)o 2(n), Z
•、Xn、Xn +1、Xn+2、…、Xn+m 相互独
2分布的定义以及上述随机变量 立且都服从N(0,1),再根据 的相互独立性，令
Y=X2+X2 + ... +Xn, Z=X 21+xn 2 + ∙∙∙ +Xn m,
Y+Z= X + 22 X + +χ2+χn 1+χ2 2+- +χn m,
n 1
2 的分布称为自由度
2
Y=X的分布密度pγ(y)=
(2 八2 丿(n+y) 2 请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当 n>30时，t 分布与标准正态分布 N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。 这时， t分布的分布函数值查 N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3. F分布 若X与Y相互独立，且 X〜2(n), Y〜2(m), 则Z= X Y的分布称为第一自由度等于 n、第二自由度等于
n / m
m的F分布，记作Z〜F (n, m),它的分布密度
-1 z2 _____
n + m ,
4. t分布与F分布的关系
2
若 X 〜t(n)，则 Y=X 〜F(1,n)o
Y=X 2的分布函数 Fγ(y) =P{Y< y}=P{x 20 时，Fγ(y) =P{- y
=_； p(x)dx=2 OyP(X)d x,
与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密 请注F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度 (m n z) 2 2 2
0, 其他。
1
的次序有关，当 Z〜F (n,m)时，Z〜F (m ,n)。 P(Z)= Z 0
证：X〜t(n), X的分布密度 P(X)= 1 x2
n
y2^1 n
n2 - 1 n
2
度相同，因此Y=X 2〜F(1,n)o
为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各 自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位 数表。有关分位数的概念如下：
4.常用分布的分位数
1) 分位数的定义
分位数或临界值与随机变量的分布函数有关， 根据应用的
需要，有三种不同的称呼，即α 分位数、上侧α分位数与双 侧α分位数，它们的定义如下：
当随机变量X的分布函数为 F(X)，实数α满足O V α <1
时，□分位数是使P{X< X α }=F( X α )= α的数X α，
上侧α分位数是使P{X > λ }=1 - F(λ )= α的数λ，
双侧α分位数是使 P{X< λ 1}=F( λ 1)=0.5 α的数λ 1、使
P{X> λ 2}=1 - F( λ 2)=0.5 α 的数 λ 2o
因为1- F( λ )= α，F( λ )=1- α，所以上侧α分位数λ就是 1- α分位数X 1- α ；
F( λ 1)=0.5 α，1- F( λ 2)=0.5 α，所以双侧 α 分位数 λ 1 就 是0.5α分位数X 0.5α，双侧α分位数λ 2就是1-0.5α分位 数 X 1-
0.5α。
2) 标准正态分布的α 分位数记作Uα，0.5α分位数记作U
0.5 α， 1- 0.5α分位数记作U 1- 0.5α。P(X) P(X)
X o JT
当 X 〜N(0,1)时，P{XV Ua }= F 0,1(Ua )= α , P{X
o,1 (U 0.5a )=0.5 a ,
P{X
根据标准正态分布密度曲线的对称性，
当 a =0.5 时，Ua =0 ；
当 a <0.5 时，Ua <0 o
Ua = -u1- a o
如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，
则先查出U 1- a ,然后得到Ua = -U1- a。
论述如下：当 X 〜N(0,1)时，P{X< U a }= F 0,1 (U a )= a,
P{X< U 1- a }= F 0,1 (U 1- a )=1 - a ,
P{X> U 1- a }=1 - F 0,1 (U 1- a )= a ,
故根据标准正态分布密度曲线的对称性， Ua =- U 1- a o
例如，U 0.10= - U o.9o=- 1.282,
U 0.05= - U 0.95= - 1.645,
标准正态分布常用的上侧α 分位数有:
α =0.10， U 0.90=1.282;
α =0.05， U 0.95=1.645 ；
α =0.01 ， U 0.99=2.326 ；
α =0.025， U O.975=1.960 ；
α =0.005， U 0.995=2.576。
3) 卡平方分布的α分位数记作 2 α (n)。
2 α (n)>0 ,当 X 〜2(n)时，P{X< 2 α (n)}= α
例如，2O.OO5(4)=O∙21 , 2 0.025 ⑷=0.48 ,
20.05 (4)=0.71 , 2 0.95 (4)=9.49,
4) t分布的α分位数记作tα (n)o U
0.01= - U 0.99=- 2.326,
U 0.025= - U 0.975= ：-1.960,
U 0.005= - U
0.995 2.576。 又因为P{∣X∣V U 1- 0.5α }=1 - α，所以标准正态分布的双
侧α分位数分别是 。 20.975(4)=11∙1 , 20.995(4)=14∙9
当X〜t (n)时，P{X
tα (n)=- t 1- Ot (n)，论述同 Ua =-Ui-αo 例如，t 0.95 (4)=2∙132, t
0.975(4)=2.776, t 0.995 (4)=4.604, t 0.005 (4)= - 4.604, t 0.025
(4)=- 2.776, t 0.05 (4)=- 2.132。
另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到 ta (n),可用
Ua作为ta (n)的近似值。
O X O X
XoX
5) F分布的a分位数记作Fa (n , m)
Fa (n , m)>0 ,当 X〜F (n , m)时，P{X
另外，当α较小时，在表中查不出 Fa (n, m),须先查
1
Fi- a (m, n),再求 Fa (n, m)= 。论述如下：
Fι-a(m , n )
当 X 〜F(m, n)时，P{Xv F 1- a (m, n)}=1 - a ,
1 1 1 1 P{ > }=1 - a, P{ V }= a ,
X F1- (m,n) X F 仁(m,n)' '
1 1
又根据F分布的定义，一〜F( n, m), P{ —
因此 F a (n, m)=-
FIq(m , n )
例如，FO.95(3,4)=6∙59, F 0.975(3,4)=9.98,
F 0.99(3,4)=16.7, F 0.95(4,3)=9.12,
F O.975(4,3)=15∙1 , F O.99(4,3)=28.7,
1 1 1
F 0.01 (3,4)= 287 , F 0.025(3,4)=肓,F O.O5 (3,4)=丽。 20.975(4)=11∙1 , 20.995(4)=14∙9
【课内练习】
1. 求分位数① 2 0.05(8),② 2 0.95(12)。
2. 求分位数① t 0.05(8),② t 0.95(12)。
3. 求分位数① F0.05(7,5),② F0.95(10,12)O
4. 由U 0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
5. 由t 0.95(4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
6. 若X〜2 (4), P{X<0.711}=0.05 , P{X<9.49}=0.95 ,试写 出有关的分位数。
7. 若X〜F(5,3)，P{X<9.01}=0.95，丫〜F(3,5)，{Y<5.41}=
0.95,试写出有关的分位数。
8. 设X1、X2、…、X10相互独立且都服从 N(0,0.09)分布， 试求
Pr Xi2 >1.44}。
i
习题答案：1.①2.73,② 21.0。2.①- 1.860,② 1.782。
3.① 击,②3.37O 4. 1.960为上侧 0.025分位数，-1.960与 1.960 为双侧0.05分位数。5. 2.132为上侧0.05分位数，-2.132与2.132 为双侧0.1分位数。6. 0.711为上侧0.95分位数，9.49为上侧0.05 分位数，0.711与19.49为双侧0.1分位数。7. 9.01为上侧0.05 分位数，5.41为上侧0.05分位数，E与5.41为双侧0.1分位数，
9.01
与9.01为双侧 0.1分位数。8. 0.1。您好—――
