正比例函数定义.
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正比例函数定义
一般的，我们把形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数y=kx形式特征：①k≠0；②x的次数是1．
正比例函数图象和性质
图像是过原点的一条直线.
①当k>0时，图像经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也增大．
②当k<0时，图像经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大，y反而减小．
一次函数定义
一般的，形如y=kx＋b（k≠0）的函数叫做一次函数，若b=0，即y=kx，所以说正比例函数是特殊的一次函数．
一次函数的图象
图象是过（0，b）和两点的一条直线，可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）而得到的．
直线经过第一、二、三象限
直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限
直线经过第二、三、四象限
三、一次函数的性质 1、当k＞0时，y随x的增大而增大．
2、当k＜0时，y随x的增大而减小．
1、一次函数的应用的数学思想方法.
一次函数的应用包括转化的思想方法、方程思想方法、数形结合思想方法．
2、应用一次函数解决实际问题主要包括两个方面的内容
（1）是根据题意解读图像，会根据函数图象的信息，运用数形结合的思想来解决问题．
（2）将实际问题转化成数学问题，根据题意建立一次函数关系模型．
3、运用一次函数的图象和性质解一次函数的应用题
(1)根据函数关系式，确定函数图象的位置；
(2)给定x值（或y值），利用图象求y值（或x值）；
(3)与市场经济有关的方案决策问题；
(4)通信费用、电费、水费、行李费等图象题型等；
(5)与函数性质有关的求最值等问题．
4、实际问题中如何确定一次函数的解析式
（1）和列方程有很多相似之处，关键是弄清题意，分清数量关系，确定它们的关系式，从而得函数的解析式．
（2）注意函数的取值和自变量的取值要符合实际情况．在实际生活中许多量不能取负数，如：重量、路程、用水量等；还有的不能取小数，如：人数、车辆数等．
5、确定一次函数的最大（小）值
一次函数没有最大（小）值，但是当自变量的取值范围不是任意数的时候，函数的图象变成了一条线段，出现了最大（小）值．
6、用一次函数解决实际问题的基本步骤 （1）先判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系．
（2）求得函数解析式．
（3）利用函数解析式或其图象解决实际问题．
例题讲解
1.某液化气站有一储存量为40吨的液化气储存罐，开始一段时间内打开进气管，不开出气管，在随后一段时间内既开进气管又开出气管，直到装满储存罐时关闭进气管，储存罐中液化气储存量y(吨)关于时间x(分)的函数关系如图所示，则y与x之间的函数关系式是___________．
答案：
1.某电信公司提供了A、B两种方案的移动通讯费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系，则以下说法错误的是（ ）
A．若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元
B．若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元 C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分
答案：D
一次函数与二元一次方程（组）
1、一次函数的表达式就是一个二元一次方程，反过来，任何一个二元一次方程都可以化为一次函数表达式的形式.如y＝3x＋2是一函数表达式，也是二元一次方程；而2x－y＝5是一个二元一次方程，不是函数表达式.但可以将其化为y＝2x－5，就是一个函数表达式.
一般来说，一个二元一次方程有无数多个解，以这些解为坐标的点组成的图象就是一次函数的图象．以二元一次方程ax＋by＝c的解为坐标的点组成的图象与一次函数的图象相同．
3.一方面，二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数的图象的交点．
以二元一次方程组的解为坐标的点,可以看作是两个相应一次函数图象的交点．如二元一次方程的解也可看作是一次函数y＝2x－3与y＝x＋4图象的交点(2，1).
另一方面，两个一次函数图象的交点的坐标可以看作是相应二元一次方程的解.如一次函数y＝2x－1与y＝3x＋1图象的交点(－2，－5)，相应地是二元一次方程组的解．
例题讲解 4、在同一直角坐标系中，直线l1：y＝（k－2）x＋k和l2：y＝kx的位置可能是（ ）
分析：
利用两直线经过的象限及k的符号，排除A，利用两直线的交点，可知只有B符合题意．
5.求证：不论k为何值，一次函数（2k－1）x－（k＋3）y－（k－11）=0的图象恒过一定点．
证明：
分别令k=1，k=2得：
即原函数一定过（2，3）这点．
方法二：证明：原方程可化为：
（2x－y－1）k=x＋3y－11
即该一次函数图象过定点（2，3）． 、已知一次函数y=2x－a与y=3x－b的图象交于x轴原点外一点，求．
解：
分别令y=2x－a，y=3x－b中y=0，得， 由已知得：，∴3a=2b
.
求一次函数图象l1：y=2x＋2，l2：y=－x＋5与x轴围成的三角形面积．
解：
如图，设l1、l2与x轴交点分别为B、C，l1与l2的交点为A，
∴B（－1，0），C（5，0），∴BC=6.
变式：如图，已知直线y=x＋3的图象与x，y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2︰1的两部分．求直线l的解析式．
解：
分别令y=x＋3中x=0，则y=3，y=0，则x=－3，
∴A（－3，0），B（0，3），
∴OA=3，OB=3，
．
①若S△BOC∶S△AOC=2∶1，
，∴xC=－2．
令y=x＋3中x=－2（视频中书写有误，应为－2），则y=1．
∴C（－2，1）.
∴l的解析式为．②若S△BOC∶S△AOC=1∶2，
，∴xC=－1．
令y=x＋3中x=－1，则y=2．∴C（－1，2）.
∴l的解析式为：y=－2x．综上：l的解析式为或y=－2x． 6.一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100千米的B港口，巡逻艇和货轮的速度分别为100千米/时和20千米/时，巡逻艇不停地往返于A、B两港口进行巡逻，且调头时间忽略不计．
（1）货轮从A港口出发直至B港口，与巡逻艇一共相遇了几次？
（2）出发多长时间巡逻艇与货轮第三次相遇，此时离A港口多远？
解：两船离A港口的距离y km与出发时间x h之间的函数图象如图所示．
（1）由图象知：一共相遇4次．
（2）设巡逻艇和货轮离A港口的距离y km与出发时间x h之间的函数分别为：y=k1x＋b(3≤x≤4)，y=k2x(0≤x≤5)
将（3，100），（4，0）代入y=k1x＋b得：
∴y=－100x＋400(3≤x≤4)，
将（5，100）代入y=k2x得：100=5k2，∴k2=20，∴y=20x. 联立， 即出发第三次相遇，此时离A港口．
已知函数y=x2n＋m＋(m－n)是正比例函数，求m、n．
解： 由已知得
7.已知函数y=(k－4)x|k|－3是正比例函数，求k值．
解：
由已知得
8.已知是正比例函数，且y随x的增大而减小，求m的值．
解：
由已知得
∴m=－2．
已知正比例函数y=(2m－1)x的图象上两点A（x1，y1），B(x2，y2)，当x1y2，那么m的取值范围是___________．
解：
由已知得：2m－1<0，∴．
如图，直线l1、l2、l3的解析式分别为y1=k1x，y2=k2x，y3=k3x，则k1、k2、k3的大小关系是___________．
解：
自变量x取相同的正值x时，y3>y2>y1，∴k3>k2>k1．
函数y=－4x中自变量的取值范围是－3≤x≤3，则y=－4x的图象是一条__________，此函数值的最大值是__________，最小值是_________．
解：
线段 12 －12
已知正比例函数的图象经过点（－2，8），求其解析式．
解：
设正比例函数解析式为y=kx(k≠0)，
将代入得：8=－2k，∴k=－4，
∴正比例函数解析式为y=－4x．
已知y＋2与x成正比例，且当x=－2时，y=0．求y与x之间的函数关系式．
解：
设y＋2=kx(k≠0)，则y=kx－2，
将代入得：0=－2k－2，∴k=－1，
∴y=－x－2．
9.已知y＋5与3x＋4成正比例，当x=1时，y=2，求y与x之间的函数关系式． 解：
设y＋5=k(3x＋4)(k≠0)，则y=3kx＋4k－5，
将代入得：2=3k＋4k－5，∴k=1，
∴y=3x－1．
点燃蜡烛，蜡烛燃烧的长度与燃烧时间成正比，长为21cm的蜡烛，已知点燃6分钟后，蜡烛变短了3.6cm．设蜡烛点燃x分钟后变短了ycm．求：
（1）y与x的函数关系式；
（2）此蜡烛几分钟燃烧完；
（3）画出此函数图象．
解：
（1）.
（2）令y=0.6x中y=21，则21=0.6x，∴x=35.
（3）见视频
在直角坐标系中两条直线y=6与y=kx相交于点A，直线y=6与y轴交于点B．若△AOB的面积为12，求k值．
解：
如图．由已知得OB=6，设A(m，6)，则AB=|m|．
∵S△AOB=12，
