1 第2课时 作线段的垂直平分线
1．掌握作线段的垂直平分线的方法；(重点)
2．掌握过一点作已知直线的垂线的方法．(重点，难点)
一、情境导入
小明和朋友们在草原上玩耍，在草原上有两个集合点A，B，小明希望选择一条路线，距离这两个集合点一直是一样远，他应当怎样走？你能用尺规作图的方法帮助小明确定这条路线吗？
二、合作探究
探究点一：利用尺规作线段的垂直平分线
如图，有三个村庄A，B，C.现在要在这个三角形区域内建一个活动中心，且使这个活动中心到三个村庄的距离都相等，你能用尺规作图的方法确定这个活动中心的位置吗？
解析：连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线，交点即为所求作的位置．
解：1.连接AB，BC.
2．分别作AB，BC的垂直平分线，它们交于点P.
所以点P就是所求作的点，即活动中心的位置．
方法总结：根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，所以要求作到三个点距离相等的点，可作其中两边的垂直平分线，其交点即为所求．
探究点二：过一点作已知直线的垂线
已知：如图△ABC.求作：AC边上的高BD.(不写作法，保留作图痕迹)
2
解析：作AC边上的高BD，实际上就是过点B向AC所在直线作垂线．
解：如图所示，BD为所求作的高．
方法总结：作三角形的高，相当于过一点作已知直线的垂线．
三、板书设计
作线段的垂直平分线
↓
作垂线→作三角形的高
尺规作图是学生的薄弱环节，学生在操作中存在的主要问题有：作图不规范，没有作图痕迹，或者随意乱画作图痕迹．在教学中，引导学生养成规范答题的习惯，鼓励学生勇于尝试，对于每一个作图痕迹都要能说明来源(作法)．
线段的垂直平分线 完整版课件
一、教学内容
本节课的教学内容来自于人教版九年级数学上册第五章“几何图形变换”的第二节“线段的垂直平分线”。这部分内容主要包括线段的垂直平分线的概念、性质以及如何求解线段的垂直平分线。
二、教学目标
1. 让学生理解线段的垂直平分线的概念，掌握其性质。
2. 培养学生运用线段的垂直平分线解决实际问题的能力。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点
重点：线段的垂直平分线的概念和性质。
难点：如何求解线段的垂直平分线，以及如何运用线段的垂直平分线解决实际问题。
四、教具与学具准备
教具：黑板、粉笔、直尺、圆规。
学具：每人一套直尺、圆规、三角板。
五、教学过程
1. 实践情景引入：
提问：如果在一条线段上，有一个点，使得这个点到线段的两个端点的距离相等，那么这个点有什么特殊的性质？
让学生思考并回答，引出线段的垂直平分线的概念。
2. 知识点讲解：
（1）线段的垂直平分线的定义： 定义：线段的垂直平分线是指在线段上，有一个点，使得这个点到线段的两个端点的距离相等，且这个点在线段所在的直线的垂线上。
（2）线段的垂直平分线的性质：
性质1：线段的垂直平分线上的任意一点，到线段的两个端点的距离相等。
性质2：线段的垂直平分线垂直于线段所在的直线。
性质3：线段的垂直平分线上的任意一点，到线段的两个端点的连线段的中点也在垂直平分线上。
3. 例题讲解：
例题：已知线段AB，求证：点C在线段的垂直平分线上。
讲解：
（1）画出线段AB和点C。
（2）根据垂直平分线的性质，证明点C到线段AB的两个端点的距离相等。
（3）证明点C在线段AB所在直线的垂线上。
4. 随堂练习：
练习1：已知线段AB，求证：点D在线段的垂直平分线上。
练习2：已知线段AB，求证：点E在线段的垂直平分线上。
5. 作业布置
作业1：已知线段AB，求证：点F在线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线
（一）知识要点
1．定义：垂直平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。
2．定理（性质）：线段垂直平分线上的点和线段两个端点的距离相等。
3．逆定理（判定）：和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
4．用集合定义：线段的垂直平分线可以看作是和线段的两个端点距离相等的所有点的集合。
5．结论（1）：三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，这个交点叫三角形的外心。
结论（2）：三角形三个内角角平分线的交点到三边距离相等，这个交点叫三角形的内心。
6．轴对称（位置与形状）和轴对称图形。（见书P22－P28）
（二）练习
1．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，交BC的延长线于F，则∠CAF＝＿＿＿＿度。
2．如图，△ABC的两边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∠BAC＋∠DAE＝150°，则∠BAC＝＿＿＿度。
3．在△ABC中，∠BAC＝144°，EF、MN分别是AB、AC中垂线，则∠EAM＝＿＿＿度。
4．如图，已知O是△ABC的边AB、AC中垂线交点，M是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，
且∠M＋∠BOC＝180°，则∠BAC＝＿＿＿＿度。（练习册P1712）
5．在等腰△ABC中，过腰AB的中点D作它的垂线（点A、C在垂线的异侧），交另一腰AC于点E，连结BE，AD＋AC＝24，BD＋BC＝20，则△EBC周长为＿＿＿＿。
6．M是△ABC三边垂直平分线的交点，则∠BAC＋∠MBC＝＿＿＿＿＿度。
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，∠CAD：∠DAB=1：2，则∠B=_______度。
8．已知△ABC的周长为36cm，AB=AC，AD⊥BC于D，△ABD的周为30cm，则AD=___。
9．一个三角形两边垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是_________。
线段的垂直平分线
线段是数学中基本的几何概念之一，而垂直平分线是与线段有密切关系的重要概念。在本文中，我们将探讨线段的垂直平分线的定义、性质以及如何构造和应用。
一、线段的垂直平分线的定义
线段的垂直平分线是指将给定线段垂直平分成两个等长线段的直线。具体而言，对于线段AB，其垂直平分线将线段AB分成两个等长线段AC和CB。垂直平分线上的任意一点都与线段AB的两个端点A和B的距离相等，并且与线段AB的中点M重合。
二、线段的垂直平分线的性质
垂直平分线具有以下重要性质：
1. 垂直性：垂直平分线与线段AB垂直相交。这意味着垂直平分线上的两条相邻线段是垂直的。
2. 位置唯一性：线段的垂直平分线只有一条。这意味着对于任意给定的线段，只有一条垂直平分线与其相交。
3. 等分性：垂直平分线将线段AB分成两个等长线段。
4. 对称性：线段AB关于垂直平分线具有对称性。即相对于垂直平分线，点A和点B互为镜像。
三、线段的垂直平分线的构造方法 下面介绍两种构造线段垂直平分线的方法：
1. 利用圆的性质：首先，以线段AB的中点M为圆心，以线段AB的一半长度为半径作圆。然后，将圆与线段AB分别交于两个点C和D，连接线段CD。线段CD即为线段AB的垂直平分线。
2. 利用作图方法：首先，以点A为中心，以线段AB的长度为半径作圆。然后，以点B为中心，同样以线段AB的长度为半径作圆。假设两个圆分别与线段AB交于两个点C和D，连接线段CD。线段CD即为线段AB的垂直平分线。
四、线段的垂直平分线的应用
线段的垂直平分线不仅仅在几何学中有着重要的应用，还在实际生活中有许多应用。以下是几个常见的应用示例：
1. 建筑设计：在建筑设计中，垂直平分线常用于确定建筑物的中心线，以便建筑师能够对称地布局。
2. 切割材料：在木工或金属加工等行业中，垂直平分线可用于准确定位和切割材料。
3. 路径规划：在地图导航系统中，垂直平分线可用于确定最短路径或最佳路线，以便节省时间和距离。
