前言：
一、线代的特点：
1、内容抽象
2、概念多
3、符号多
4、计算原理简单但计算量大
5、证明简洁但技巧性强
6、应用广泛
二、学习中要注意的问题
1、不要急于求成，不要急于做难题。要分层次，扎扎实实的学习
2、熟练掌握基本内容。
基本概念（定义、符号）
基本结论（定理、公式）
基本计算（计算行列式、解线性方程组、求逆矩阵等）
基本证明和推理方法
3、自己动手推证书中的每个结果
尽量体会结论、证明的思想方法
用自己喜欢的方式写出简要总结
4、贯穿前后，注意发现线代课内容的重要规律。
提出问题的规律（存在、个数、结构、求法）
变换和标准形式（如行列式和上三角行列式）
问题相互转化
5、要多与同学讨论，虚心向别人请教问题。要经常提出问题，思考问题，乐于同别人交流
该方法引至李永乐老师的讲义，由KJ1234CN整理
一、行列式等于零的证明方法
例题1：A^2=A,A≠E,证明|A|=0(复习全书理工类P364例1.35)
由于书上已经有详尽的解题方法（四种），KJ不再复述，KJ在此只强调证法二
在这里有一种常见的错误解法
由A^2＝A，有A（A－E）＝0，∵A≠E∴（A－E）≠0，∴A=0 ∴|A|=0
其错误在于没有搞清楚矩阵的运算规则，AB＝0，若B≠0不能推出A＝0。
例如
[1 1][ 1 1]
[1 1][-1 -1]=0,但是A、B都不等于0
（KJ废话：该种方法由错误的方法解出了正确的答案，很多人在做题过程中经常只对答案而不管过程，考试的时候也使用他用过的错误的方法，结果出来的分数与他估计的相去甚远，其原因我想也就在与此！他们没有细细体味书上的解题过程，也没有反省自己的解题方法与书上的不同之处。KJ奉劝大家，在看书时，对于例题一定要先做后看，并对和书上的不同的解题方法细细体会，辨别对错）
二、矩阵等于零的证明方法
例题2：A是m*n的矩阵，B是n*p的矩阵，R(B)=n。证明当AB＝0时，A＝0
证法一：<方法>矩阵的秩等于0，则矩阵等于0
∵AB＝0，∴B的每一列都是AX＝0的解
又∵齐次方程组的基础解系的向量个数＝未知数的个数－系数矩阵的秩；R(B)=n
∴AX＝0的解中至少有n个线性无关，n-R(A)≥n
∴0≤R(A)≤0 ∴R(A)=0
证法二：
∵R(B)=n∴设β1，β2......βn是B中线性无关的列向量
设B1＝(β1，β2......βn),则B1可逆
∴AB1=0
∴AB1B1^-1=0B1^-1=0
∴A =0
证法三：<方法>矩阵的每一个元素都为0
将A按矩阵的通用表示方法表示，B按行分列
[a11 ... a1n]
[... ... ...]=A
[an1 ... ann]
[α1]
[α2]
[...]=B
[αn]
则
[a11α1+...+a1nαn]
[.................]=AB=0
[an1α1+...+annαn]
∴有方程组
[a11α1+...+a1nαn=0
[.................=0
[an1α1+...+annαn=0
∵R(B)=n∴α1...αn现性无关
∴
a11 ... a1n＝0
................
an1 ... ann=0
∴A=0
通过方法三，我们要注意到矩阵乘法的一些简便运算，即:初等矩阵P左(右)乘A，所得P A(AP)就是A作了一次与P同样的行(列)变换。
例如：
[ 1 0 0]
[ 0 1 0]
[-1 0 1]相当于第一行乘以－1加到第三行
再如：
[ 1 0 1][ 1 2 3]
[ 0 1 0][ 2 3 4]=
[ 1 2 0][ 3 4 5]
[α1+α3]
[α2]
[α1+2α2]= [4 6 8] [2 3 4] [5 8 11]
