高三数学复习卷五(学生版)

2024届湖南省衡阳县江山中英文学校高三下学期自测卷（五）线下考试数学试题 注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，n ⊂α，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊥，则//n αD ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥2．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）．A ．21B ．63C ．13D ．843．若21i iz =-+，则z 的虚部是 A ．3 B ．3- C ．3i D ．3i -4．已知函数2log (1),1()3,1x x x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．函数()2cos2cos221x x f x x =+-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=（）A ．4B ．6C ．3D ．37．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ）A ．22B ．32C ．23D ．338．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．A ．15B ．25C ．310D ．149．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（ ）A ．8B ．4C ．2D ．110．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双曲线C 的离心率为（ ）A 5B 5C 2D ．2 11．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12 B ．3或13 C ．4或14 D ．5或1512．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题7.5数列的综合应用练基础1．（2021·浙江高三专题练习）已知正项等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b }，111a b ==，3b 是2a ，6a 的等差中项，8a 是3b ，5b 的等比中项，则下列关系成立的是（）A ．100100a b >B ．102411a b =C ．105a b >D ．999a b >2．（2021·江西赣州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．83.【多选题】（2020·湖南高三月考）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n 月月底小王手中有现款为n a ，则下列论述正确的有（）(参考数据：11121.27.5,1.29==)A ．112000a =B ．1 1.21000n n a a +=-C ．2020年小王的年利润为40000元D ．两年后，小王手中现款达41万4．（2021·江西高三其他模拟（理））已知公差不为0的等差数列{}n a 的部分项1k a ，2k a ，3k a ，……构成等比数列{}n a ，且11k =，22k =，35k =，则n k =___________.5．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图像上，其中k 为常数，且0k ≠（1）若124,,a a a 成等比数列，求k 的值；（2）当3k =时，求数列{}n a 的前2n 项的和2n S .6.（2021·江苏高考真题）已知数列{}n a 满足12a =，且()*1321n n a a n n N +=+-∈.（1）求证：数列{}n a n +为等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求数列{}n a 的前n 项和n S .7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且375,49a S ＝＝.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2,n an n b a +＝数列{}n b 的前n 项和为,n T 且1000,n T ≥求n 的取值范围.8．（2021·太原市·山西大附中高三其他模拟）在数列{}{},n n a b 中，11111,331,331n n n n n n a b a a b n b b a n ++===---=-++.等差数列{}n c 的前两项依次为2a ，2b .（1）求数列{}n c 的通项公式；（2）求数列(){}+nnna b c 的前n 项和nS.9．（2021·重庆高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21*n n a S n N -=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设()()11211n n n n a b a a +++=--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：213n T ≤<．10．（2021·沂水县第一中学高三其他模拟）在数列{}n a 中，()111,01nn n a a a c ca +==>+，且125,,a a a 成等比数列．（1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()2141n n n b n a a +=+，其前n 项和为n S ，证明：1n S n <+．练提升1．（2021·河南郑州市·高三三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为1，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得13AC DB AB ==，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的线段EC 、ED 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为n S ，对任意的正整数n ，都有n S a ＜，则a 的最小值为__________．2．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，满足535S =，且1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若241n n b a =-，数列{}nb 的前n 项和为n T ，实数λ使得13n nT S λ++≤对任意*n N ∈恒成立，求λ的取值范围.3．（2021·全国高三其他模拟）有下列三个条件：①数列{}2n a -是公比为12的等比数列，②n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，③21n n S a =-，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题完整，并加以解答.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*n ∈N ，都有___________.已知数列{}n b 满足32nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.4.（2021·四川自贡市·高三三模（文））已知数列{a n }的前n 项和为S n ，21n n S a =-，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 6＝a 5．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若11n n n c b b +=，记数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：3T n ＜1．5．（2021·全国高三其他模拟）在①22n n S a =-；②32442a a a =+-；③321,2,S S S +成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：数列{a n }是各项均为正数的等比数列，前n 项和为S n ，a 1＝2，且___.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若n n b =*n N ∈），求数列{b n }的前n 项和T n .6．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知数列{}n a 满足1122,1,1,n n n a n n a a a n n ++⎧==⎨---⎩为奇数为偶数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，2,n n b a n N *=∈（1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项n b ；（2）求{}n nb 的前n 项和n T 及{}n a 的前n 项和为n S ．7．（2021·湖北高三其他模拟）在等比数列{a n }中，公比0q >，其前n 项和为S n ，且S 2=6，___________.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设log 2n n a b =，且数列{c n }满足c 1=1，c n +1﹣c n =b n +1b n ，求数列{c n }的通项公式.从①.S 4=30，②.S 6﹣S 4=96，③.a 3是S 3与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答.8．（2021·全国高三其他模拟）从①n b n =，②(6)n n b n =⋅﹣，③()212nn b n =+⋅中任选一个填入下面的空中，并解答．设等比数列{}n a 的公比3241,4,10q a a a >-=+=-，且____．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列132n n a b ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和．9．（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{n b }满足13b =，27b =且n b =n n a c +，n ∈*N （n a 是等比数列，n c 是等差数列），记数列{n a }的前n 项和为n S ，{n c }的前n 项和为n T ，若公比数q 等于公差数d ，且2234a c =．（1）求数列{nb }的通项公式；（2）记n R 为数列{n b }的前n 项和，求22nR n -（n ≥2，且n ∈*N ）的最小值．10．（2021·浙江金华市·高三三模）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，()14,2(1)n n a n a n S n N *=⋅=+⋅∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 满足68n b n =-，其前n 项和为n T ，若(1)nn n S T λ≥-⋅⋅对任意n *∈N 恒成立，求实数λ的取值范围.练真题1.（2020·北京高考真题）在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）．A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项2.（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（）A．2a 4=a 2+a 6B．2b 4=b 2+b 6C．2428a a a =D．2428b b b =3.（2019年浙江卷）设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，b N *∈,则（）A.当101,102b a => B.当101,104b a =>C.当102,10b a =-> D.当104,10b a =->4．（2020·江苏省高考真题）设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．5.（2019年浙江卷）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N 6.（2021·天津高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22n n c c -是等比数列；（ii）证明)*nk n N =<∈。

《直线的倾斜角与斜率、直线的方程》专题练专题1 直线的倾斜角与斜率1.1 求直线的倾斜角与斜率1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是2.直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为3．直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是4．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是5．若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为6．若经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y 等于7．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为8．已知三点A (2，－3)，B (4,3)，C ⎝⎛⎭⎫5，k 2在同一条直线上，则k 的值为9. 若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝⎛⎭⎫12，m 三点在同一条直线上，则m 的值为10.若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a 等于11．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为12．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．13．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为14．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l的斜率为15．若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为16．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为1．2 求直线的倾斜角与斜率的取值范围1．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是2．已知点(－1,2)和⎝⎛⎭⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是3．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是 4．直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B ．⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2 D ．⎣⎡⎦⎤π4，2π35．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是6．如果直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角α的取值范围是7．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线的倾斜角α的取值范围是8.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 29．设直线l 的倾斜角为α，且π4≤α≤5π6，则直线l 的斜率k 的取值范围是________．10．若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是________．11.已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是12.直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．13．已知直线l 过坐标原点，若直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．14．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围为专题2 直线方程1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是2．过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程是3．过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14的直线方程是4．直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010的直线方程是5．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为6．若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为7.一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是.8．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为9．过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是10．直线过点(5,10)，到原点的距离为5的直线方程是11．直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程是12．过点A (4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是13．经过点M(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是14．经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是15．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．16．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为______________．17．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________．18．直线l过点(－2,2)且与x轴、y轴分别交于点(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，则直线l的方程为__________ 19．若直线经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________．20．已知直线l过点P(1,3)，且与x轴，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是21．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．22．过A(2,1)，B(m,3)两点的直线l的方程为23．过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为24．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16．25．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程；(2)对角线BD 所在直线的方程．26．如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．27．求过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5的直线方程专题3 直线方程定点图像问题1．如果A ·C ＜0且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．直线l 的方程为Ax －By －C ＝0，若A ，B ，C 满足AB >0且BC <0，则直线l 不经过的象限是() A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <04．若3π2<α<2π，则直线x cos α＋ysin α＝1必不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．两直线x m －y n ＝a 与x n －y m ＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )6.在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是()7．直线l：(a－2)x＋(a＋1)y＋6＝0，则直线l恒过定点________．8．不论实数m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点.9.设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是.10．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S 的最小值及此时直线l的方程．专题4 直线方程的综合应用4.1 与基本不等式相结合求最值问题1．已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA→|·|MB →|取得最小值时直线l 的方程．2．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2 由直线方程解决参数问题1．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是2．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠13．若过点P (1－a,1＋a )与Q (4,2a )的直线的倾斜角为钝角，且m ＝3a 2－4a ，则实数m 的取值范围是________．4．已知直线l：x－my＋3m＝0上存在点M满足与两点A(－1，0)，B(1，0)连线的斜率k MA与k MB 之积为3，则实数m的取值范围是____________．5．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．6．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是() A．[－2,2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[－2,0)∪(0,2]D．(－∞，＋∞)4.3 与直线方程有关的最值问题1．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是2．已知直线x＋a2y－a＝0(a是正常数)，当此直线在x轴，y轴上的截距和最小时，正数a的值是3．若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为________．4.已知动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，则12a＋2c的最小值为.5．过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.6.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝2－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为。

第05讲双曲线方程及其性质（6类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.熟练掌握双曲线的定义及其标准方程，会基本量的求解2.熟练掌握双曲线的几何性质，并会相关计算3.能熟练计算双曲线的离心率4.会求双曲线的标准方程，会双曲线方程简单的实际应用5.会求双曲线中的相关最值【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及离心率的求解，需重点强化训练1.双曲线的定义()()()()叫做双曲线的焦距两焦点的距离叫做双曲线的焦点这两个定点的点的轨迹叫做双曲线且小于为定值的距离的差的绝对值到两定点平面上一动点21212121,,220,,0,,F F F F c F F a c F c F y x M =-2.数学表达式：cF F a MF MF 222121=<=-3.双曲线的标准方程焦点在x 轴上的标准方程焦点在y 轴上的标准方程标准方程为：)0,0(12222>>=-b a by a x 标准方程为：)0,0(12222>>=-b a bx a y 4.双曲线中a ，b ，c 的基本关系)(222b a c +=5.双曲线的几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程)0,0(12222>>=-b a b y a x )0,0(12222>>=-b a b x a y 范围ax a x ≥-≤或R y ∈ay a y ≥-≤或R x ∈顶点坐标)0,(1a A -，)0,(2a A ),0(1b B -，),0(2b B ),0(1a A -，),0(2a A )0,(1b B -，)0,(2b B 实轴a A A 221=实轴长，a O A O A ==21实半轴长虚轴b B B 221=虚轴长，b O B O B ==21虚半轴长焦点)0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距c F F 221=焦距，c O F O F ==21半焦距对称性对称轴为坐标轴，对称中心为)0,0(渐近线方程x ab y ±=x ba y ±=离心率)1(>=e ac e 2222222222111⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+==a b e a b a b a b a a c e 离心率对双曲线的影响e 越大，双曲线开口越阔e 越小，双曲线开口越窄6.离心率与渐近线夹角的关系αcos 1=e 7.通径：（同椭圆）通径长：ab EF MN 22==，半通径长：ab FF EF NF MF 22211====8.双曲线的焦点到渐近线的距离为b1．（2024·河北邢台·二模）若点P 是双曲线C ：221169x y -=上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，则“18PF =”是“216PF =”的（）A ．既不充分也不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．充分不必要条件2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为12F F ､，过1F 的直线交双曲线左支于A B ､两点，且5AB =，若双曲线的实轴长为8，那么2ABF △的周长是（）A ．5B ．16C ．21D ．263．（2024高三·全国·专题练习）若动点s 满足方程()()2222223x y x y ++--+=，则动点P 的轨迹方程为（）A ．2219744x y -=B ．2219744x y +=C ．22184x y +=D ．2211612x y -=1．（2024·陕西榆林·模拟预测）设1F ，2F 是双曲线:C 22148x y-=的左，右焦点，过1F 的直线与y 轴和C 的右支分别交于点P ，Q ，若2PQF 是正三角形，则1||PF =（）A ．2B ．4C ．8D ．162．（23-24高三下·山东青岛·阶段练习）双曲线2221(0)12x y a a -=>的两个焦点分别是1F 与2F ，焦距为8;M 是双曲线上的一点，且15MF =，则2MF =．3．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知点()2,0M，()2,0N -，动点P 满足条件2PM PN -=，则动点P 的轨迹方程为（）A ．(22133x y x -=≥B ．(22133x y x -=≤C ．()22113y x x -=≥D ．()22113y x x -=≤-考点二、双曲线的标准方程1．（2024高三下·全国·专题练习）双曲线方程为22125x y k k+=--，则k 的取值范围是（）A ．5k >B ．25k <<C ．2<<2k -D ．2<<2k -或5k >2．（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点()2,2且与椭圆229327x y +=有相同焦点的双曲线方程为（）A ．22168x y -=B ．22168y x -=C ．22124x y -=D ．22124y x -=3．（22-23高二下·甘肃武威·开学考试）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)4a =，经过点4101,3A ⎛ ⎪⎝⎭；(2)焦点y 轴上，且过点(3,-，9,54⎫⎛ ⎪⎝⎭.1．（23-24高三上·河北张家口·开学考试）“2k >”是“22112x y k k -=+-表示双曲线”的（）．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．（2024·辽宁·二模）已知双曲线C ：22(0)x y λλ-=≠的焦点为(0,2)±，则C 的方程为（）A ．221x y -=B ．221y x -=C ．222x y -=D ．222y x -=3．（2022高三·全国·专题练习）已知某双曲线的对称轴为坐标轴,且经过点(()3,,7P Q -,求该双曲线的标准方程．1．（2024·福建福州·模拟预测）以3y x =±为渐近线的双曲线可以是（）A ．2213x y -=B ．2219y x -=C ．2213y x -=D ．2219x y -=2．（2024·广西柳州·模拟预测）双曲线221416x y -=的一个顶点到渐近线的距离为（）．AB ．4CD ．3．（2024·河南新乡·三模）双曲线222:1223x y E a a a -=+++的实轴长为4，则a =.4．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>与椭圆22143x y +=有相同的焦点，则41m n +的最小值为（）A ．6B ．7C ．8D ．95．（2022·福建三明·模拟预测）已知双曲线()221:10y C x m m+=≠与222:2C x y -=共焦点，则1C 的渐近线方程为（）.A．0x y ±=B 0y ±=C ．0x =D 0y ±=6．（2024·贵州·模拟预测）我们把离心率为12的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”2221(0)y C b b-=>，则C 的虚轴长为．1．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）过点()2,3P 的等轴双曲线的方程为.2．（2024·安徽合肥·一模）双曲线222:1y C x b-=的焦距为4，则C 的渐近线方程为（）A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y =3．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知双曲线22:1(0)C mx y m -=>的一条渐近线方程为0mx +=，则C 的焦距为.4．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点()5,0F ，一条渐近线方程为34y x =，则a b +=．5．（2024·河南新乡·模拟预测）（多选）已知0,0a b >>，则双曲线22122:1x y C a b -=与22222:4x y C a b-=有相同的（）A ．焦点B ．焦距C ．离心率D ．渐近线1．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)，则C 的方程为．2．（2024·上海·高考真题）三角形三边长为567，，，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为.3．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-，点()6,4-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D4．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a 的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是．5．（2022·全国·高考真题）双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ∠=，则C 的离心率为（）A B ．32C ．2D 6．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为．1．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距与其虚轴长之比为3：2，则C 的离心率为（）A BC D 2．（2024·四川成都·模拟预测）双曲线22:1(0)x C y mm-=>0my +=，则其离心率为（）．A B ．3C D 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为5π6，则此双曲线的离心率为（）A BC ．2D4．（2024·山东·模拟预测）已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与E 的右支交于A ，B 两点，且222BF AF =，若10AF AB ⋅=，则双曲线E 的离心率为（）AB ．3C D ．35．（2024·福建泉州·一模）O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左焦点为1F ，点P 在E 上，直线1PF 与直线0bx ay +=相交于点M ，若12PM MF MO ==，则E 的离心率为．1．（22-23高三上·湖北黄冈·阶段练习）P 为双曲线221x y -=左支上任意一点，EF 为圆22:(2)4C x y -+=的任意一条直径，则PE PF →→⋅的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．92．（22-23高三下·江苏淮安·期中）已知12,F F 分别为双曲线22194x y-=的左､右焦点，P 为双曲线右支上任一点，则2122PF PF PF -最小值为（）A ．19B ．23C ．25D ．853．（22-23高二上·浙江湖州·期末）双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>的离心率是2，左右焦点分别为12,,F F P 为双曲线左支上一点，则21PF PF 的最大值是（）A ．32B ．2C ．3D ．41．（22-23高三下·福建泉州·阶段练习）双曲线C ：221x y -=的左、右顶点分别为A ，B ，P 为C 上一点，直线PA ，PB 与12x =分别交于M ，N 两点，则MN 的最小值为.2．（2022高三·全国·专题练习）长为11的线段AB 的两端点都在双曲线221916x y -=的右支上，则AB 中点M的横坐标的最小值为（）A ．75B ．5110C ．3310D ．323．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知,A B 分别是双曲线22:195x yC -=的左、右顶点，P 是双曲线C 上的一动点，直线PA ，直线PB 与2x =分别交于,M N 两点，记PMN ，PAB 的外接圆面积分别为12,S S ，则12S S 的最小值为（）A ．316B ．181CD ．25811．（23-24高三上·江西·期末）阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，其离心率e =，从2F 发出的光线经过双曲线C 的右支上一点E 的反射，反射光线为EP ，若反射光线与入射光线垂直，则21sin F F E ∠=（）A ．56B C ．45D 2．（22-23高二上·山东德州·期末）3D 打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D 打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm ，下底直径为8cm ，高为8cm （数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（）A B C D 3．（2023·浙江杭州·二模）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质．例如，点P 为双曲线（1F ，2F 为焦点）上一点，点P 处的切线平分12F PF ∠．已知双曲线C ：22142x y -=，O 为坐标原点，l 是点3,2P ⎛ ⎝⎭处的切线，过左焦点1F 作l 的垂线，垂足为M ，则OM =．1．（2024·全国·模拟预测）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则当入射光线2F P 和反射光线PE 互相垂直时（其中P 为入射点），12cos F F P ∠的值为（）A B ．14C D ．142．（2024·吉林延边·一模）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为2214y x -=（21y -≤≤），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为．3．（2023·广东茂名·三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：1F ，2F 是双曲线的左､右焦点，从2F 发出的光线m 射在双曲线右支上一点P ，经点P 反射后，反射光线的反向延长线过1F ；当P 异于双曲线顶点时，双曲线在点P 处的切线平分12F PF ∠.若双曲线C 的方程为221916x y -=，则下列结论正确的是（）A ．射线n 所在直线的斜率为k ，则44,33k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭B ．当m n ⊥时，1232PF PF ⋅=C ．当n 过点()7,5Q 时，光线由2F 到P 再到Q 所经过的路程为13D ．若点T 坐标为()1,0，直线PT 与C 相切，则212PF =一、单选题1．（23-24高三下·重庆·期中）已知双曲线()2221012y x b b-=>的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．13y x=±B ．3y x =±C ．y =D ．3y x =±2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）若点()3,4-在双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的一条渐近线上，则C 的离心率为（）A ．259B ．2516C ．53D ．543．（2024·全国·模拟预测）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个顶点坐标为(，焦距为曲线的渐近线方程为（）A ．y =B ．2y x =±C ．12y x=±D ．y =4．（2024高三上·全国·专题练习）已知双曲线C 的左、右焦点分别是12,,F F P 是双曲线C 上的一点，且12125,3,120PF PF F PF ︒==∠=，则双曲线C 的离心率是（）A ．7B ．72C ．73D ．745．（2024·全国·模拟预测）若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(),0F c ，则该双曲线的离心率为（）A ．12B C D ．26．（2024·四川·模拟预测）已知1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，过1F 的直线与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，若112AF F B =，2AB BF =，则12cos F BF ∠=（）A ．118B ．19C ．29D ．237．（2024·全国·模拟预测）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线22221x y a b-=的离心率分别为12,e e ，若1e ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则2e 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．5⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D ．,5⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题8．（2024·湖南岳阳·三模）已知双曲线C 过点，且渐近线方程为2y x =±，则C 的离心率为．9．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C ，则C 的方程为.三、解答题10．（2024高三·全国·专题练习）求适合下列条件的曲线的标准方程：(1)过点2)A 和点B 的椭圆；(2)焦点在x(-的双曲线．一、单选题1．（2024·江西·模拟预测）已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1x yC a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线交双曲线左支于A ，B 两点，2AB AF ⊥，24tan 3AF B =∠，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．32y x=±B ．y =C ．y x =D ．2y x =±2．（2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为()0,6-，若动点P 位于y 轴右侧，且到两定点()13,0F -，()23,0F 的距离之差为定值4，则1APF △周长的最小值为（）A ．3+B ．3+C ．4+D ．4+3．（2024·广东广州·模拟预测）已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，一条渐近线的方程为2y x =，直线y kx =与C 在第一象限内的交点为P .若PF PO =，则k 的值为（）A B C D 4．（2024·湖南长沙·二模）已知A B 、分别为双曲线22:13y C x -=的左、右顶点，过双曲线C 的左焦点F 作直线PQ 交双曲线于P Q 、两点(点P Q 、异于A B 、)，则直线AP BQ 、的斜率之比:AP BQ k k =（）A ．13-B ．−23C ．3-D ．32-5．（2024·河北·三模）已知O 是坐标原点，M 是双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上任意一点，过点M 作双曲线的切线，与其渐近线交于A ，B 两点，若AOB V 的面积为212b ，则双曲线的离心率为（）ABCD ．26．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点.若183AB AF =，且121cos 4F BF ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．53C ．43D ．37．（2024·宁夏银川·二模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，点B 的坐标为0,b （），若C 上存在点P 使得PB b <成立，则C 的离心率取值范围是（）A．∞⎫+⎪⎪⎣⎭B．∞⎫+⎪⎪⎣⎭C．)∞+D．1,2∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题8．（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为双曲线渐近线上的点，且120F M F M ⋅=，若122MF MF =，则该双曲线的离心率e =.9．（2024·辽宁·模拟预测）设O 为坐标原点，12,F F 为双曲线22:196x yC -=的两个焦点，点P 在C 上，124cos 5PF F =∠，则||OP =10．（2024·广西来宾·模拟预测）已知双曲线G 22−22=1>0,>0的左､右焦点分别为12F F ､，若双曲线的左支上一点P 满足1221sin 3sin PF F PF F ∠∠=，以2F 为圆心的圆与1F P 的延长线相切于点M ，且113F M F P =，则双曲线的离心率为.1．（2024·天津·高考真题）双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的左、右焦点分别为12.F F P 、是双曲线右支上一点，且直线2PF 的斜率为2．12PF F 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（）A ．22182y x -=B ．22184x y -=C ．22128x y -=D ．22148x y -=2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A B ．5C ．5D ．53．（2023·全国·高考真题）设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A ．()1,1B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,4--4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 向一条渐近线作垂线，垂足为P ．若22PF =，直线1PF 的斜率为4，则双曲线的方程为（）A ．22184x y -=B ．22148x y -=C ．22142x y -=D ．22124x y -=5．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0)，则C 的方程为．6．（2023·全国·高考真题）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为()-．(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上.7．（2022·天津·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，抛物线2y =的准线l 经过1F ，且l 与双曲线的一条渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的方程为（）A ．221164x y -=B ．221416x y -=C ．2214x y -=D ．2214y x -=8．（2022·北京·高考真题）已知双曲线221x y m +=的渐近线方程为3y x =±，则m =．9．（2022·全国·高考真题）若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =．10．（2022·全国·高考真题）记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为e ，写出满足条件“直线2y x =与C 无公共点”的e 的一个值．11．（2021·全国·高考真题）双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为．12．（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程.13．（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b-=离心率为2，过点，则该双曲线的方程为（）A ．2221x y -=B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=14．（2021·全国·高考真题）已知双曲线22:1(0)x C y mm-=>0my +=，则C 的焦距为．15．（2021·全国·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.。