四川省德阳市高三上学期期末数学试卷(理科)

说明：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷1—2页，第Ⅱ卷2—4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．2．本试卷满分150分，1202024-2025学年四川省德阳市高三上学期第一次诊断考试数学检测试题分钟完卷．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1.设集合{A x y ==，集合{}3Z 22B x x=Î-<<，则集合A B =I （ ）A. []0,1B. {}0 C. [)0,1 D. {}0,1【答案】D 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再根据交集的定义求解即可.【详解】因为{{}0A x y x x ===³，{}{}3Z 221,0,1B x x =Î-<<=-，所以{}0,1A B =I .故选：D.2. 已知复数z 满足()1i i z +=-，则z =（ ）A.11i 22- B.11i 22+ C. 1i - D. 1i+【答案】B 【解析】【分析】利用复数除法法则和共轭复数的概念得到答案.【详解】()()i 1i 11i 1i1i 1i 22z --===-++-，则11i 22z =+.故选：B3. 生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为：5442ˆy x =-+，但由于保存不妥，丢失了一个数据（表中用字母m 代替），则（ ）温度x （C °）6810病毒数量y （万个）3022mA. 19m =B. 20m =C. 21m = D. m 的值暂时无法确定【答案】B 【解析】【分析】根据回归直线过样本中心点可得解.详解】由已知681083x ++==，30225233m my +++==，即样本中心为528,3m +æöç÷èø，又回归方程为5442ˆyx =-+，即52584432m +=-´+，解得20m =，故选：B.4. 已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n kn =+，且36a =，则数列1n S ìüíýîþ的前10项和为（ ）A.910B.109C.1011D.1110【答案】C 【解析】【分析】先求出k =1，然后利用211111n S n n n n ==-++裂项相消求出结果.【详解】由已知有()()22332633225a S S k k k ==-=+-+=+，故k =1.【所以()()21111111n n n S n n n n n n +-===-+++，从而121011*********...1...122310111111S S S æöæöæö+++=-+-++-=-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.故选：C.5. 底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ）A. 2 B.32C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据已知及圆柱、圆柱侧面积求法列方程求圆锥的高与半径的关系，再应用圆锥、圆柱的体积公式求体积比.【详解】由题意，令圆锥的高为d ，底面圆的半径为r ，则圆柱的高2h r =，所以，根据侧面积相等有2ππrh =d =，综上，圆柱体积231π2πV r h r ==，圆锥体积2321π3V d r r ==，所以12V V ==故选：D6. 设()52501251ax a a x a x a x +=++++L 满足1252a a a +++=-L ，则24a a +=（ ）A. 120 B. 120- C. 40D. 40-【答案】A 【解析】【分析】利用赋值法令0,1x x ==可计算得出2a =-，再令1x =-求出()5501235123a a a a a +=-+-+-=L ，构造方程组计算可得.【详解】因为()52501251ax a a x a x a x +=++++L ，令1x =，即可得()50125012a a a a a a +=++++=-+L ①，令0x =，即可得501(10)a a +´==，可得()511a +=-，所以2a =-；令1x =-，即可得()5501235123a a a a a +=-+-+-=L ②，+①②得()5024213a a a ++=-+，得024121a a a ++=，所以24120a a +=.故选：A.7. 函数()2,113,1x x x f x m x ì-<<=í-³î单调递增，且()()211f m f m +>-，则实数m 的取值范围为（ ）A. (]2,1-B. ()2,1- C. (]0,1 D. (0,1)【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的性质及函数的单调性，列出不等式组求解即可.【详解】解：因为当11x -<<时，()2x f x =单调递增；当1x ³时，()3x f x m =-单调递增；又因为()y f x =单调递增，且()()211f m f m +>-，所以2321111m m m m £-ìï+>-íï->-î，解得01m <£.故选：C.8. 设12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的左右焦点，O 为坐标原点，P 为C 的一条渐近线上一点，且11=PF PO PF PO +-uuu r uuu r uuu r uuu r ，若12PF PO =uuur uuu r，则C 的离心率为（ ）A.B.C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】利用向量的数量积运算推得1PF PO ^，再利用正切函数的诱导公式，结合双曲线的渐近线方程得到,b a 的比值，从而利用双曲线的离心率公式即可得解.【详解】依题意，不妨设点P 在第二象限，如图，因为11=PF PO PF PO +-uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以2211=PF PO PF PO +-uuu r uuu r uuu r uuu r ，则211122122=2PF PO PF PO PF PO PF PO +×+×+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，故10PF PO =×uuu r uuu r ，所以1PF PO ^，又12PF PO =uuu r uuu r ，双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±，所以在1Rt POF △中，()122tan tan πtan POF POF POF Ð=-Ð=-Ð，即1PF b PO a æö=--ç÷èø，故2ba =，所以双曲线C的离心率为e ==故选：B.【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，进而转化为,a c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 下列结论正确的是（ ）A. 随机变量X 服从二项分布13,,212B Y X æö=+ç÷èø，则()3D Y =B. 数据123,,,,n x x x x L 平均数为2，则12331,31,31,,31n x x x x ++++L 的平均数为6C. 数据2，4，6，8，10，12，14的第60百分位数是10的D. 随机变量X 服从正态分布()25,N s ，且(25)P X a <<=，则(8)1P X a>=-【答案】AC 【解析】【分析】对选项A ，根据二项分布得到()11331224D X æö=´´-=ç÷èø，再根据方差的性质即可判断A 正确，对选项B ，根据平均数的性质即可判断B 正确，对选项C ，根据百分数位概念即可判断C 正确，对选项D ，根据正态分布性质即可判断D 错误.【详解】对选项A ，()11331224D X æö=´´-=ç÷èø，()()()3214344D D X Y X D ===+´=.故A 正确.对选项B ，因为2x =，12331,31,31,,31n x x x x ++++L 的平均数为3217´+=，故B 错误.对选项C ，70.6 4.2´=，所以第60百分位数是第五个数10，故C 正确.对选项D ，X 服从正态分布()25,N s ，(25)(58)P X P X a <<=<<=，所以1(8)2P X a >=-，故D 错误.故选：AC10. 定义在R 上的函数()f x 满足()()(),1122x y x y f x f y f f f +-æöæö+==ç÷ç÷èøèø，则下列结论正确的有（ ）A. ()02f = B. ()f x 为奇函数C. 6是()f x 的一个周期D.20242040522k k f =æö=ç÷èøå【答案】ACD 【解析】【分析】利用赋值法求解逐项判断即可.【详解】该函数满足()()22x y x y f x f y f f +-æöæö+=ç÷ç÷èøèø且()11f =，对于A ，令1x y ==，可得()()()()1110f f f f +=，解得()02f =，故A 正确；对于B ，令y x =-，()()()()0f x f x f f x +-=，所以f (−x )=f (x )，所以()f x 为偶函数，故B 错误；对于C ，令1x x =+，1y x =-，可得()()()11f x f x f x ++-=，令1x x =+，可得()()()21f x f x f x ++=+，将两式相加得：()()210f x f x ++-=，所以()()21f x f x +=--，所以()()3f x f x +=-，所以()()63()f x f x f x +=-+=，因此，6是()f x 的一个周期，故C 正确；对于D ，令x k =，0y =，()()202k f k f f æö+=ç÷èø，所以()222k f f k æö=+ç÷èø，所以()()()()20242024202012024220252k k k f f k f f f ==æöéù=+=++×××++´ç÷ëûèøåå，因为()02f =，()11f =，因为()()210f x f x ++-=，令0x =，()()210f f +-=，所以()2(1)1f f =-=-，令1x =，()()300f f +=，所以()32f =-，令2x =，()()410f f +=，所以()41f =-，令3x =，()()520f f +=，所以()51f =，由于6是()f x 的一个周期，所以()()()()()()()()()()()()0120243370123450132f f f f f f f f f f f f éù++×××+=++++++++=ëû，所以()()()()20242024202012024220252405040522k k k f f k f f f ==æö=+=++×××++´=+=ç÷èøåå，故D 正确；故选：ACD 11. 已知函数()3233f x x x mx =++-，则（）A. 当3m £时，函数()f x 有两个极值B. 过点()0,1且与曲线()y f x =相切的直线有且仅有一条C. 当1m =时，若b 是a 与c 的等差中项，直线0ax by c --=与曲线()y f x =有三个交点()()()112233,,,,,P x y Q x y R x y ，则1236x x x ++=-D. 当0m =时，若112x -<<-，则()313124f x f x æö-<<-<ç÷èø【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，由题意可得当3m =时，()f x 单调递增，即可判断；对于B ，设过点(0,1)的直线与y =f (x )切于点320000(,33)x x x mx ++-，利用导数可得切线的方程，再代入点(0,1)，通过判断0x 的解的个数，即可判断切线的条数，从而可判断B ；对于C ，由等差中项的定义可得直线过定点(1,2)--，且此点在曲线()y f x =上，再判断出点(1,2)--是函数的对称中心，即可得123x x x ++的值，从而判断C ；对于D ，利用导数可得()f x 在1(1,)2x Î--单调递减，求出函数的值域，再利用换元法求出3124f x æö-ç÷èø的值域，即可判断D ．【详解】解：因为()3233f x x x mx =++-，所以()236f x x x m ¢=++，对于A ，当3m £时，令()2360f x x x m =++=¢，则36120m D =-³，所以当3m =时，()223633(1)0f x x x x =+=+¢+³，所以()f x 单调递增，此时函数没有两个极值，故A 错误；对于B ，设过点(0,1)的直线与y =f (x )切于点320000(,33)x x x mx ++-，则切线方程为322000000(33)(36)()y x x mx x x m x x -++-=++-，代入(0,1)，得3220000001(33)(36)x x mx x x x m -++-=-++，整理得：32002340x x ++=，令32()234g x x x =++，则2()666(1)g x x x x x ¢=+=+，所以当(,1)x Î-¥-时，()0g x ¢>，()g x 单调递增；当(1,0)x Î-时，()0g x ¢<，()g x 单调递减；当(0,)x Î+¥时，()0g x ¢>，()g x 单调递增；又()()150,040g g -=>=>，所以()y g x =只有一个零点，即方程32002340x x ++=只有一个解，所以过点(0,1)且与曲线y =f (x )相切的直线有且仅有一条，故B 正确；对于C ，当1m =时，()3233f x x x x =++-，又因为b 是a 与c 的等差中项，所以直线0ax by c --=即为直线20ax by a b -+-=，所以直线过定点(1,2)--，且此点在曲线()y f x =上，设函数()y f x =的对称中心为(,)a b ,则有(2)()2f a x f x b -+=，即3232(2)3(2)(2)3332a x a x a x x x x b -+-+--+++-=，整理得：232126(1)2(12)8126a x x b a a a a a ++++-+-=，所以326(1)012(1)0812262a a a a a a b+=ìï-+=íï++-=î，解得12a b =-ìí=-î，所以函数的关于点(1,2)--对称，设123x x x <<，则有()132122,1x x x +=-´=-=-，所以1233x x x ++=-，故C 错误；对于D ，当0m =时，()3233f x x x =+-，()236f x x x ¢=+，所以当(,2)x Î-¥-时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当(2,0)x Î-时，()0f x ¢<，()f x 单调递减；当(0,)x Î+¥时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；所以y =f (x )在1(1,)2--上单调递减，所以()19(,1)8f x Î--，令3124t x =-，当1(1,2x Î--时，7(,1)4t Î--，则()y f t =在7(,1)4t Î--上单调递减，所以()53(1,)64f t Î-，所以()()31f x f t -<<<，即()313124f x f x æö-<<-<ç÷èø，故D 正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：解答本题的关键在C 选项中，判断出直线过定点(1,2)--，且函数关于此点对称.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12. 某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为_______【答案】8【解析】【分析】先计算得到抽取比例为27，再计算得到答案.【详解】解：田径队运动员的总人数是282149+=，要得到14人的样本，占总体的比例为142497=，于是应该在男运动员中随机抽取22887´=(名)，故答案为：813. 已知()2sin 3a b +=，tan 3tan a b =则()22cos a b -=_______【答案】79【解析】【分析】通过已知条件和和差角公式求出()sin a b -，然后利用二倍角公式求出答案.【详解】由()2sin 3a b +=，得2sin cos cos sin 3a b a b +=，由tan 3tan ab =，得sin cos 3cos sin a b a b =，解得1sin cos 2a b =，1cos sin 6a b =，所以()1sin sin cos cos sin 3a b a b a b -=-=，所以()()272212sin 9cos a b a b -=--=.故答案为：79.14. 若关于x 的方程ln 11mx x++=有且仅有两个实根，则实数m 的取值范围为_______【答案】()1e,00,e æö-Èç÷èø【解析】【分析】分类讨论，当0m >时，方程ln 11mx x++=即ln m x x =-有且仅有两个实根，利用导函数画出()ln f x x x =-的大致图象，转化为交点问题，当0m <时，令()ln ,ln 11ln 2,0m x x m m xg x x m x x x mx ì+>-ïï=++-=íï--<£-ïî，利用导函数求()g x 的单调性，转化为最值问题.【详解】ln 11mx x++=定义域为(0,+∞)，当0m >时，方程ln 11mx x++=即ln m x x =-有且仅有两个实根，令()ln f x x x =-，则f (1)=0，()ln 1f x x ¢=--，令()0f x ¢=解得1ex =，所以当10ex <<时，f ′(x )>0，()f x 单调递增，当1e x >时，f ′(x )<0，()f x 单调递减，又11e ef æö=ç÷èø，可得函数()ln f x x x =-大致图象如图所示，所以ln m x x =-有且仅有两个实根时，10em <<；当0m <时，令()ln ,ln 11ln 2,0m x x m m x g x x m x x x mx ì+>-ïï=++-=íï--<£-ïî，则g (x )=0有且仅有两个实根，因为当x m >-时，()2210m x mg x x x x ¢-=-=>，()g x 单调递增， 当0x m <£-时，()2210m x mg x x x x¢+=+=£，()g x 单调递减，所以要使g (x )=0有且仅有两个实根，则()()ln 10g m m -=--<，解得e 0m -<<，综上实数m 的取值范围为()1e,00,e æö-Èç÷èø.故答案：()1e,00,e æö-Èç÷èø的为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 平面向量1e u r ，2e u u r 满足12121212π1,,,,2e a e t b e e e t e e e ====+=+u r u u r u r u u r u r u ur u r u u r r r （1）若b r 在a r 上的投影向量恰为a r的相反向量，求实数t 的值；（2）若,a b rr 为钝角，求实数t 的取值范围．【答案】（1）1t =- （2）()(),11,0-¥--U 【解析】【分析】（1）根据投影向量的定义及数量积的运算律求解即可；（2）结合利用向量夹角的余弦与数量积的定义，及向量共线的表示求解即可.【小问1详解】由题意得a ba a aa××=-rr r r r r ，则21||a b a ×=-r r r ，即2||a b a ×=-r r r，因为1212π1,,2e e e e ===u r u u r u r u u r ，则120e e ×=u r u u r ，所以()()()2221212112212e e e e e t t t e e te a b t t ++×=+×+==×+u r u u r u r u u r u r u r u u r u u r r r ，()2221211222222||1e e e te e e a t t t ==+++×+=u r u ur u r u r u u r u u r r ，所以()221t t =-+，解得1t =-.【小问2详解】由（1）知，2a b t ×=rr ，因为,a b r r 为钝角，所以20a b t ×=<r r ，即0t <，若,a b r r 共线，设a b l =r r ，即()1212t t e e e e l =++u r u u r u r u u r 则1tt l l =ìí=î，解得1t l ==或1t l ==-，要使,a b rr 为钝角，则0t <且1t ¹-，即实数t 的取值范围为()(),11,0-¥--U ．16. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知6,a ABC =△的面积2sin S c A =（1）若1cos 4A =，求b 的值；（2）求内角C 取得最大值时ABC V 的面积.【答案】（1）6b =（2）【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式与条件得到2b c =，再利用余弦定理求得c ，从而得解；（2）利用余弦定理与基本不等式求得内角C 取得最大值时,sin b C 的值，再利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】依题意，得21sin sin 2S cA bc A ==，则2b c =，又16,cos 4a A ==，所以2222222362cos 44a b c bc A c c c c ==+-=+-=，从而3c =，所以6b =.【小问2详解】在ABC V 中有22223633cos 22428a b c c c C ab c c +-+===+³=，当且仅当328cc =，即c =时取等号，则cos 0C ³>，又0πC <<，所以π02C <<，故当内角C 取得最大值时，cos C 取得最小值，此时，cos C =，b =，则1sin 2C ==，所以111sin 6222S ab C ==´´´=.17. 已知函数()()254log 21f x x x l =-++的定义域为D ，()21x g x x l -=+（1）若34l =，求函数()f x 的值域；（2）若(),D m n =，且()()210g m g n -£éùëû，求实数l 的取值范围．【答案】（1）(],2-¥ （2）[]3,3-【解析】【分析】（1）当34l =时，先求内层函数2312t x x =-++的值域，进而再求函数()f x 的值域即可；（2）由对数函数定义域可知方程2210x x l -++=的两根分别为,m n ，利用韦达定理可得2m n l +=，1mn =-，代入()()210g m g n éù-£ëû化简即可求解.【小问1详解】当34l =时，由()23112022x x x x æö-++=-++>ç÷èø解得122x -<<，令2312t x x =-++，当()332214x =-=´-时t 取最大值233325142416æö-+´+=ç÷èø，所以250,16t æùÎçúèû，从而()f x 的值域为(],2-¥.【小问2详解】由于(),D m n =，且2Δ440l =+>，所以方程2210x x l -++=的两根分别为,m n ，且2m n l +=，1mn =-，又()()210g m g n éù-£ëû，即2221011m n m n l l --æö-£ç÷++èø，将2m n l +=，1mn =-代入整理得()()()()()2232232322222211111041144411m n m n n m mn m n n m n m n m m n m n m n m n éùéù---+---+-+æöêú-=´=´=-£êúç÷++++èøêú-êúëûëû，从而2()440m n mn +-£，所以29033l l -£Û-££即实数l 的取值范围为[]3,3-.18. 甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色外，其他均相同．现从甲乙两袋中各自任取一个球，且交换放入另一袋中，重复进行n 次这样的操作后()*N n Î，记甲袋中的白球数为n X ，甲袋中恰有一个白球的概率为n p （1）求12,p p ；（2）求n p 的解析式；（3）求()n E X ．【答案】（1）112p =，234p =（2）()*112,N 323nn p n æö=-+Îç÷èø（3）1【解析】【分析】（1）先利用组合相关知识与古典概型概率公可求1p ，再利用全概率公式即可得解；（2）由（1）知()*111,22n n p p n N n -=-γ，利用构造法可得数列23n p ìü-íýîþ是等比数列，可求n p ；（3）n X 的所有可能取值为0，1，2，求得分布列可求得数学期望.【小问1详解】记第n 次交换后甲袋中恰有两个白球的概率为n q ，则第n 次交换后甲袋中恰有零个白球的概率为1n n p q --，由题意得1111111111122C C C C 1C C 2p +==．()2111111131111224p p q p q p =´+´+--´=-=；【小问2详解】由（1）知()()*11111111111N ,222n n n n n n p p q p q p n n -----=´+´+--´=-γ，所以1212323n n p p -æö-=--ç÷èø，且121036p -=-¹，从而数列23n p ìü-íýîþ是以16-为首项，12-为公比的等比数列，所以12111136232n nn p -æöæö-=--=-ç÷ç÷èøèø，即()*112,N 323nn p n æö=-+Îç÷èø；【小问3详解】显然n X 的所有可能取值为0，1，2，且()1121323nn P X æö==-+ç÷èø，()111111110104626nn n n n n q p q p q ----æö=´+´+--´=--+ç÷èø，即()1112662nn P X æö==--ç÷èø，从而()1110662nn P X æö==--ç÷èø，所以n X 的分布列为nX 012P111662næö--ç÷èø112323næö-+ç÷èø111662næö--ç÷èø所以()1121110121323662n n n E X éùéùæöæö=+´-++´--=êúêúç÷ç÷èøèøêúêúëûëû.【点睛】方法点睛：对于离散型随机变量的期望与方差的综合问题的求解策略：1、理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得得全部数值；2、根据题意，求得随机变量X 的每一个值对应的概率；3、列出随机变量X 的分布列，利用期望和方差的公式求得数学期望和方差；4、注意期望与方差的性质()()()()2,E aX b aE X b D ax b a D X +=++=的应用；19. 若函数()y f x =与()y g x =在各自定义域内均能取得最大值，且最大值相等，则称()y f x =与()y g x =为“等峰函数”．（1）证明函数2sin cos ,R y x x x x =-Î与[]sinπ,0,2πxy x x =-Γ等峰函数”；是（2）已知()ln a x f x x =与()(0)eax x g x x =>为“等峰函数”．①求实数a 的值；②判断命题：“()()()012102,,R,x x x f x f x g x $Î==，且2120x x x =”的真假，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）①1a =；②真命题，理由见解析【解析】【分析】（1）求出函数2sin cos ,R y x x x x =-Î的最大值，利用导数知识求出[]sinπ,0,2πxy x x =-Î的最大值，比较后可完成证明；（2）①讨论a 的取值情况可得max1()e f x a =，max ()eaa a g x =，由max max ()()f x g x =可得1ln 01a a a --=+，最后通过研究()1ln 1a h a a a -=-+单调性可得答案；②解法1：先由①结合零点存在性定理可得方程()()f x g x =在()1,e 上有唯一实根0x ；然后由①及零点存在性定理研究()()0f x f x =的实根情况可得01e xx =；然后由①及零点存在性定理研究()()0gx g x =的实根情况可得20ln xx =，整理后可完成判断；解法2：同解法1可得()()f x g x =在()1,e 上有唯一实根0x ，整理得0200e ln x x x =，后令令0201ln ,e xx x x ==，说明()()()()1002f x f x g x g x ===即可完成判断；【小问1详解】πsin22sin 23y x x x æö==-ç÷èø，由于R x Î，所以当ππ22π32x k -=+即()5ππ12x k k Z =+Î时，max 2y =；对于函数sinπ1cosπ0π，xy x y x ¢=-=-³，所以函数sinππx y x =-在[]0,2上单调递增，从而当2x =时，max 2y =；则函数2sin cos ,R y x x x x =-Î与[]sinπ,0,2πxy x x =-Î在各自定义域内有相同最大值，即是“等峰函数”；【小问2详解】①由题()11ln a a xf x x+-¢=，其中0x >.当0a <时，若()10,e 0a x f x æöÎÞ÷¢<çèø；若()1e ,0a x f x æöÎ+¥Þ>ç¢÷èø，即函数()f x 在10,e aæöç÷èø上单调递减，在1e ,a ¥æö+ç÷èø上单调递增，则此时()f x 无最大值；当0a =时，()ln f x x =在()0,¥+上单调递增，无最大值；当0a >时，若()10,e 0a x f x æöÎÞ÷¢>çèø；若()1e ,0a xf x æöÎ+¥Þ<ç¢÷èø，即函数()f x 在10,e a æöç÷èø上单调递增，在1e ,a ¥æö+ç÷èø上单调递减，所以当1e a x =时，max 1()ef x a =由题()()11e ea a a x xx a x ax x g x ----¢==，其中0x >.因为0a >，所以()0,x a Î时，()()0,；g x x a >Î+¥¢时，()0g x ¢<，即函数()g x 在()0,a 上单调递增，在(),a +¥上单调递减，从而当x a =时，max()eaa a g x =.由于()ln a x f x x =与()(0)ax x g x x e=>为“等峰函数”，所以max max()()f x g x =即1e e aaa a =，其中0a >.将上式两端取自然对数得ln 1ln a a a a --=-，即1ln 01a a a --=+.令()1ln 1a h a a a -=-+，其中0a >.则()2221210(1)(1)a h a a a a a +=-=+¢>+，所以()h a 在()0,¥+上单调递增，又()10h =，从而1a =；②命题为真命题，理由如下：解法1：由①，()()ln e，x x x f x g x x ==.先考察方程()()f x g x =的实根情况，令()()()ln ex x xm x f x g x x =-=-由①知()f x 在()1,e 上单调递增，()g x 在()1,e 上单调递减，所以()()()m x f x g x =-在()1,e 上单调递增，又()()e 1e11e e e10e 0e e e e，e m m --<-=-=>=，所以存在唯一()01,e x Î，使得()00m x =.即方程()()f x g x =在()1,e 上有唯一实根0x ，且()()()001e ef xg x f =<=.其次考察方程()()0f x f x =的实根情况，令()()()0n x f x f x =-由①知()n x 在()e,+¥上单调递减，且()()01e 0e n f x =->()()0000001001111e 112e e 0e e e e，x x x x x x x xn ++++--+-=-=<<所以存在唯一()1e,x Î+¥，使得()10n x =，即()()10f x f x =.由于()()()0000000lne e e e x x x x x f x g x f ====，所以()()01e xf x f =，又01e e e x >=，由()f x 在()e,+¥上的单调性知01e xx =；最后考察方程()()0gx g x =的实根情况，令()()()0p x g x g x =-由①知()p x 在()0,1上单调递增，且()()00000001e 10010e e e ee ，x x x x x x p p x +=-<=-=>-.（注意到函数()1e e ，x t x x x =->，()0e e x t x ¢=->，得()e e x t x x =-在()1,+¥递增，则()()00010e e x t x x t =->=）所以存在唯一()20,1x Î，使得()20p x =，即()()20g x g x =由于()()()000000ln 0ln ln ln ex x x g x f x g x x ====，所以()()20ln g x g x =，且00ln 1x <<，由()g x 在()0,1上的单调性知20ln x x =.所以0120e ln xx x x =，又()()000000ln ex x x f x g x x ===，所以0200e ln x x x =，即2120x x x =，从而得知命题为真命题；解法2：先同解法1可得方程()()f x g x =在()1,e 上有唯一实根0x ，且()()001e f x g x =<即()01,e x $Î使()()00f x g x ==00200000ln e ln e x x x x x x x =Þ=令0201ln e ，x x x x ==，则102x x x ，，成等比数列．故要说明命题为真，只需()()()()1002f x f x g x g x ===即可.注意到()()()()ln ln ln lne ln e e e e，xx x x x x x x f x g x g x f x ======又()()()220x g x f ef x ==，()()()110ln f xg x g x ==，所以()()()()1002f x f x g x g x ===成立，故原命题为真【点睛】关键点睛：本题关键在于理解“等峰函数”概念，及利用适当方法研究所涉方程的根.对于与函数有关的方程或零点问题，常利用数形结合思想转化为函数图象与直线交点个数问题来解决，也可如本题利用零点存在性定理来解决.。

四川省德阳市数学高三上学期理数开学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） (共12题；共24分)1. （2分）若集合，则A∩B =（）A . [0,1]B . [0,+∞）C . [-1,1]D .2. （2分）(2017·临沂模拟) 己知i是虚数单位，是z的共轭复数，，则z的虚部为（）A . 1B . ﹣1C . iD . ﹣i3. （2分） (2016高二下·赣州期末) 设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则a=（）A . 3B .C . 5D .4. （2分）已知等比数列满足，且，则当时，（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二上·定州期末) 一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A . 39πB . 48πC . 57πD . 63π6. （2分）(2018·上海) 已知，则“ ”是“ ＜1”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分又非必要条件7. （2分）(2018·泉州模拟) 《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的的值为33，则输出的的值为（）A . 4B . 5C . 6D . 78. （2分） (2019高一上·石河子月考) 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）A .B .C .D .9. （2分）不等式组表示的平面区域是（）A . 矩形B . 三角形C . 直角梯形D . 等腰梯形10. （2分） (2017高二下·新余期末) 关于x，y的方程y=mx+n和 + =1在同一坐标系中的图象大致是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·焦作模拟) 已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（）A . 45°B . 30°C . 15°D . 60°12. （2分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤ ），x=﹣为f（x）的零点，x= 为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为（）A . 12B . 11C . 10D . 9二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）已知 =（，），⊥ ，且| |=2，则向量的坐标为________．14. （1分）(2017·河南模拟) （ + ）8的展开式中的常数项等于________．（用数字填写答案）15. （1分）(2018·河北模拟) 已知双曲线：，曲线：，是平面内一点，若存在过点的直线与，都有公共点，则称点为“差型点”.下面有4个结论：①曲线的焦点为“差型点”；②曲线与有公共点；③直线与曲线有公共点，则；④原点不是“差型点”.其中正确结论的个数是________．16. （2分）(2020·辽宁模拟) 已知函数，当________时（从①②③④中选出一个作为条件），函数有________.（从⑤⑥⑦⑧中选出相应的作为结论，只填出一组即可）① ② ③ ，④ ，或⑤4个极小值点⑥1个极小值点⑦6个零点⑧4个零点三、解答题 (共6题；共45分)17. （15分） (2017高一下·泰州期末) 已知数列{an}前n项和为Sn ．（1）若Sn=2n﹣1，求数列{an}的通项公式；（2）若a1= ，Sn=anan+1，an≠0，求数列{an}的通项公式；（3）设无穷数列{an}是各项都为正数的等差数列，是否存在无穷等比数列{bn}，使得an+1=anbn恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{bn}的通项公式；若不存在，说明理由．18. （5分）(2017·铜仁模拟) 如图，棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB=1，AC= ，BC=BB1=2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角A﹣C1D﹣C的平面角的余弦值．19. （5分）(2017·榆林模拟) 据统计，截至2016年底全国微信注册用户数量已经突破9.27亿，为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：微信群数量（个）频数频率0～40.155～8400.49～122513～16a c16以上5b合计1001（Ⅰ）求a，b，c的值及样本中微信群个数超过12的概率；（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过12的概率；（Ⅲ）以（1）中的频率作为概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过12的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．20. （10分） (2020高三上·天津期末) 设椭圆的左、右焦点分别为，、，，点在椭圆上，为原点.（1）若，，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的右顶点为，短轴长为2，且满足为椭圆的离心率）.①求椭圆的方程；②设直线：与椭圆相交于、两点，若的面积为1，求实数的值.21. （5分）(2018·齐齐哈尔模拟) 已知函数 ,且曲线在点处的切线与轴垂直.(I)求函数的单调区间;(Ⅱ)若对任意 (其中为自然对数的底数),都有恒成立,求的取值范围.22. （5分）(2017·漳州模拟) 已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若不等式f（x）≤5的解集为A，且2∉A，求a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） (共12题；共24分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、20-1、20-2、22-1、。

四川省德阳市数学高三上学期文数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 12 分)1. （1 分） 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程 S 与时间 t 的函数关系如图所示，则下列说法 正确的是（ ）A . 甲比乙先出发 B . 乙比甲跑的路程多 C . 甲、乙两人的速度相同 D . 甲比乙先到达终点2. （1 分） 已知双曲线 为（ ）的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率 eA.2 B.3C.D.3. （1 分） (2020·随县模拟) 已知复数 （），则复数 在复平面内对应的点，到点A.2B.4第 1 页 共 13 页的距离为C. D. 4. （1 分） (2019·黑龙江模拟) 已知 （） A. B.且则向量 在 方向上的投影为C.D.5. （1 分） (2019·黑龙江模拟) 已知等差数列 列 的前 项和为（ ）满足：，且 ， ， 成等比数列，则数A.B. C. 或 D. 或6. （1 分） (2019·黑龙江模拟) 函数的图像大致为（ ）A.第 2 页 共 13 页B.C.D. 7. （1 分） (2019·黑龙江模拟) 设 是 A.所在平面内的一点，，则（ ）B.C.D.8. （1 分） 下列命题正确的是（ ）A . 若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B . 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C . 若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D . 若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行9. （1 分） (2019·黑龙江模拟) 阿波罗尼斯(约公元前 262-190 年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数且)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为 2,动点 满足当不共线时，面积的最大值是（ ）第 3 页 共 13 页A. B.C.D.10. （1 分） (2019·黑龙江模拟) 已知函数 递减区间分别为（ ），则的最小正周期和一个单调A.，B.，C. ，D. ， 11. （1 分） (2019·黑龙江模拟) 设函数 A. B.则不等式的解集为（ ）C.D.第 4 页 共 13 页12. （1 分） (2019·黑龙江模拟) 在底面是边长为 2 的正方形的四棱锥为正方形的中心，异面直线 与 所成角的正切值为 2，若四棱锥中，点 在底面的射影 的内切球半径为，外接球的半径为 ，则（）A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 若 loga2=m，loga3=n，a2m+n=________．14. （1 分） (2019·黑龙江模拟) 函数的单调递增区间是________．15. （1 分） (2019·黑龙江模拟) 四棱锥的三视图如图所示（单位： ．），则该四棱锥的体积是________16. （1 分） 设 上的点，且为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线，则直线斜率的最大值为________．三、 解答题 (共 7 题；共 15 分)上任意一点， 是线段17. （2 分） (2016 高一下·衡阳期末) 已知函数 f（x）=cos2ωx﹣sin2ωx+2第 5 页 共 13 页cosωx•sinωx，其中 ω＞0，若 f（x）相邻两条对称轴间的距离不小于 （1） 求 ω 的取值范围及函数 f（x）的单调递增区间；（2） 在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，a= 的值．，b+c=3，当 ω 最大时，f（A）=1，求 sinB•sinC18. （2 分） (2016 高三上·大连期中) 已知向量 f（x）= • ．=（cosx+sinx，2sinx），=（cosx﹣sinx，cosx）．令（1） 求 f（x）的最小正周期；（2） 求 f（x）在[ ， ]上的单调递增区间．19. （3 分） (2019 高一下·东莞期末) 已知向量 为.（1） 若向量 与向量 共线，求；（2） 若与 垂直，求.，向量 为单位向量，向量 与 的夹角20. （2 分） 已知椭圆 （1） 求椭圆 的方程；经过点，长轴长是短轴长的 2 倍.（2） 设直线 经过点且与椭圆 相交于 ， 两点（异于点直线的斜率为 ，证明：为定值.），记直线的斜率为 ，21. （2 分） (2019·黑龙江模拟) 已知函数 .，记在点处的切线为（1） 当时，求在上的最小值；（2） 当时，求证：函数的图像（除切点外）均在切线 的下方.22. （2 分） 在直角坐标系中，曲线（ 为参数），在以 为极点， 轴的非负半第 6 页 共 13 页轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1） 写出曲线 和 的普通方程；（2） 若曲线 上有一动点 ，曲线 上有一动点 ，求的最小值.23. （2 分） 已知函数（1） 当时,求不等式的解集；（2） 当的最小值为 3 时,求的最小值.第 7 页 共 13 页一、 单选题 (共 12 题；共 12 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 8 页 共 13 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 15 分)17-1、17-2、第 9 页 共 13 页18-1、 18-2、19-1、第 10 页 共 13 页19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2021年秋高2019级第四阶段考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{1,2,3}A =，{}(1)(2)0B x Z x x =∈+-<，则A B =（ ） A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{2,3}D ．{1}2．已知命题:,cos 1p x x ∀∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||11x e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨3．双曲线2212x y -=-的离心率是（ ）A 3B 2C 2D 34．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且{}n a 满足122n n n a a a ++=+，532a a -=，若424S S =，则9a =（ ） A ．9 B ．172C ．10D ．1925．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．16B ．2524C ．34D ．11126．已知实数,x y 满足条件：0301x y x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则1yx +的最大值为（ ）A ．12B ．2C ．35D ．17．经数学家证明：“在平面上画有一组间距为a 的平行线，将一根长度为()l l a ≤的针任意掷在这个平面上，此针与平行线中任一条相交的概率为2lp aπ=（其中π为圆周率）”某试验者用一根长度为2cm 的针，在画有一组间距为3cm 平行线所在的平面上投掷了n 次，其中有120次出现该针与平行线相交，并据此估算出π的近似值为103，则n =（ ）A ．300B ．400C ．500D ．6008．已知()63212x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（ ）A ．80B ．160C ．240D ．3209．已知函数32()2727f x x x x =--+，在下列说法中正确的是（ ） A ．(1,0)是函数()f x 的一个零点 B ．函数()f x 只有两个零点 C ．函数()f x 在(3,4)上至少有一个零点 D ．函数()f x 在(3,4)上没有零点10．设向量()()()0,1,21b OC ，a OB ，，OA -=-=-=其中O 为坐标原点，0a >，0b >，若A ，B ，C 三点共线，则12a b +的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．911．已知一圆锥底面圆的直径为333a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为（ ）A ．3B 2C ．9322D 3212．已知实数a 、b ，满足526log 6log 25a =+，345a a b +=，则关于a 、b 下列判断正确的是（ ） A ．a ＜b ＜2B ．b ＜a ＜2C ．2＜a ＜bD ．2＜b ＜a二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．复数12i=-z （i 为虚数单位），则z z ⋅=__． 14．某市举行高三数学竞赛，有6个参赛名额分给甲乙丙三所学校，每所学校至少分得一个名额，共有______种不同的分配方法.（用数字作答） 15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()12p a b c =++，则三角形的面积()()()S p p a p b p c =---中，故称该公式为海伦公式．将海伦公式推广到凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧）中，即“设凸四边形的四条边长分别为a ，b ，c ，d ，()12p a b c d =+++，凸四边形的一对对角和的一半为θ，则凸四边形的面积()()()()2cos S p p a p b p c p d abcd θ=-----．如图，在凸四边形ABCD 中，若2AB =，4BC =，5CD =，3DA =，则凸四边形ABCD 面积的最大值为________．16．已知点A 在抛物线23y x =上，过点A 作抛物线的切线与x 轴交于点B ，抛物线的焦点为F ，若30BAF ∠=︒，则A 的坐标为___________.三、解答題：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17.(本题满分12分)已知函数 f (x) = sin 2 x - sin x cos x .(1)求函数f (x)的最小正周期；(2)把 f (x)的图象沿x 轴向右平移8π个单位得到函数g(x)的图象，求不等式g(x)≤0的解集.18.（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列｛n a ｝满足1a =1,且1a ,2a ,5a 成等比数列.（1）求数列｛n a ｝的通项公式； （2）若12-=n n b 求数列｛n n b a ⋅｝的前n 项和n T ；19.（本小题满分12分）某高中生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如表所示：月份 1 2 3 4 5 6 销售单价（元） 9 9.5 10 10.5 11 8 销售量（件） 111086514.2（1）根据1至5月份的数据，y 与x 近似满足线性回归方程，求出y 关于x 的线性回归方程；（2）若由回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归方程是理想的，试问是否可以认为所得到的回归方程是理想的？（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）20.(本题满分12分)如图，四边形ABEF 为正方形，若平面ABEF 丄平面ABCD , AD//BC , AD ⊥DC, AD=2DC=2BC .（1）求二面角A-CF-D 的余弦值；（2）判断点D 与平面CEF 的位置关系，并说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()x f = 1ln +-ax x (R a ∈). （1）函数()0≤x f 在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围; （2）求证：当*N n ∈,2≥n 时，311311211222<⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n ； （3）若()x f 有两个不同的零点1x ，2x ,求证：2211a x x <.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程如图，在极坐标系Ox 中，正方形OBCD 的边长为2.（1）求正方形OBCD 的边BC , CD 的极坐标方程；（2）若以O 为原点，OB ,OD 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，曲线E ：522=+y x 与边BC , CD 分别交于点P,Q ，求直线PQ 的参数方程.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()x f =|x + 2| + |x -l|. （1）求不等式()x f <5的解集；（2）设函数()x f 的最小值为m ,若c b a ,,均为正数，且m c b a =++222 .求证：3≤++c b a .参考答案1．D【分析】先求得集合{}0,1B =，再根据交集定义得解.【详解】∵{}{}{}(1)(2)0120,1B x Z x x x Z x =∈+-<=∈-<<=，{1,2,3}A =， ∴A B ={1}，故选：D. 2．B【分析】根据题意得命题p 是假命题，命题q 是真命题，再依次判断即可. 【详解】解：当0x =，cos 1x =，命题:,cos 1p x x ∀∈<R 是假命题；命题:q x ∀∈R ﹐||111x e e ⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是真命题，所以p q ∧，p q ∧⌝，()p q ⌝∨是假命题，p q ⌝∧是真命题故选：B 3．D【分析】根据双曲线方程求出,,a b c ，即可求出离心率. 【详解】 解：根据题意得2212x y -=-，即2212x y -=故21a =，22b =，2223c a b =+=，即1,a b c ===ce a∴=D 4．B【分析】根据122n n n a a a ++=+判断出{}n a 是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案.【详解】由122n n n a a a ++=+可知，{}n a 是等差数列，设公差为d ，所以53221a a d d -==⇒=，由()1421114642241S S a a a ⇒+=⨯+⇒==，所以9117822a =+=. 故选：B.5．D 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量1110246S =+++的值，计算求解即可． 【详解】模拟的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量1110246S =+++的值， 由于11111024612S =+++= 故选：D ．6．C 【分析】画出可行域，利用斜率的几何意义求解. 【详解】根据约束条件画出可行域如图所示，1yx +表示可行域内的点与定点()1,0-的连线的斜率.解方程组030x y x y -=⎧⎨+-=⎩的33,22A ⎛⎫⎪⎝⎭,1yx +的最大值为3323512=+ 故选C. 7．A【分析】根据题意此针与平行线中任一条相交的概率为2lp aπ=列出关系式2120lnπα=，从而求n . 【详解】根据题意，得2120lnπα=，即221201033n ⨯=⨯，所以300n =. 故选：A. 8．D【分析】令1x =解得2a =，再求得6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式求解.【详解】令1x =得6(1)(21)3a +-=，解得2a =，则6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为666316621C (2)(1)2C rr r r r r rr T x x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 则()632122x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为26223633662(1)2C (1)2C 320--⨯-+-=．故选：D 9．C【分析】求出函数的零点，根据函数零点的概念依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，函数的零点不是坐标，故错误；对于B 选项，()()()()()322()27272712711f x x x x x x x x x =--+=--=--+，故()0f x =得7,12x x ==±，即函数有三个零点，故错误；对于C 、D 选项，7(3,4)2x =∈，故函数()f x 在(3,4)上至少有一个零点，故C 正确，D 错误； 故选：C 10．C【分析】根据向量共线定理可得21a b +=，再应用基本不等式“1”的代换求12a b+的最小值，注意等号成立条件.【详解】由题设，(1,1)AB OB OA a =-=-，(1,2)AC OC OA b =-=--，A ，B ，C 三点共线，∴AB AC λ=且R λ∈，则1(1)21a b λλ-=-+⎧⎨=⎩，可得21a b +=，∴11()(2)42244428a b a b a b a b b ba b a a+=++=++≥+⋅=，当且仅当122b a ==时等号成立.∴112+a b的最小值为8 故选：C. 11．B【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a 的最大值． 【详解】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球 设球心为P ，球的半径为r ，下底面半径为R ，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q ，圆锥的轴截面如图：则32OA OB ==，因为332SO =，故可得：223SA SB SO OB ==+=；所以SAB △为等边三角形，故P 是SAB △的中心， 连接BP ，则BP 平分SBA ∠， 所以30PBO ∠=︒； 所以tan 30r R︒=，即33333322r R ==⨯=，即四面体的外接球的半径为32r =．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a 2， 而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以12r==，所以a=即a．故选：B．【点睛】本题考查了正四面体的外接球，将正四面体的外接球转化为正方体的外接球，是一种比较好的方法，本题属于难题．12．D【分析】先根据526log6log25a=+判断a接近2，进一步对a进行放缩，536log6log25a>+，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；根据b的结构，构造函数()341,R55x xf x x⎛⎫⎛⎫=+-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.【详解】225265365565651 log6log25log6log25log6log5log6log5log6log6a=+>+=+=+=+2>=.构造函数：()341,R55x xf x x⎛⎫⎛⎫=+-∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知函数()f x是R上的减函数，且()20f=，由2a>，可知：()341034555a aa a af a⎛⎫⎛⎫=+-<⇒+<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又345a a b+=，∴55b a<，则a>b.又∵2253434252b a a b=+>+=⇒>，∴a>b>2.故选：D.【点睛】对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.13．15【分析】根据复数的除法运算化简z ，再求出z ，利用复数的乘法运算计算即可求解.【详解】()()12i 21i 2i 2i 2i 55z +===+--+，则21i 55z =-2121411i i 555525255z z ⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪⎪⎝⎭⋅=⎝⎭， 故答案为：15. 14．10【分析】名额之间无差别，用隔板法即可得出结果.【详解】6个名额分给其他3个学校，由隔板法知有25=10C 种方法，故答案为：10 15．2102【分析】由已知，将边长代入后可将面积转化为2cos θ的最值问题 【详解】因为()12p a b c d =+++，且2AB =，4BC =，5CD =，3DA =， 所以()172p AB BC CD DA =+++=,∴S =θ2cos 840abcd - 当2cos θ=0即当90θ=︒的时候，S 取到最大值2102 故答案为:210216．9,4⎛ ⎝⎭【分析】设出A 点坐标，求得切线方程，由此求得B 点坐标，根据cos 30BAF ∠=︒列方程，解方程求得A 点的坐标.【详解】3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,3y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，00y ≠，依题意可知过A 点的切线斜率存在且不为0，设为k ，则切线方程为203y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即2003kyy kx y =+-，由200233ky y kx y y x⎧=+-⎪⎨⎪=⎩，化简得2200330k y y y ky ⋅-+-=，()2009430k y ky ∆=--=，220041290k y ky -+=，()20230ky -=，032k y =，故切线方程为2000323y y y x y ⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，令0y =得203y x =-，故20,03y B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2002,3y AB y ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，20094,12y AF y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 依题意，3cos 2AB AF BAF AB AF⋅∠==⋅222000294y y y --⋅+=， 204y =42004270y y -=，由于00y ≠，故20027,4y y ==，此时20027193434yx ==⨯=，所以A 点坐标为9,4⎛⎝⎭.故答案为：9,4⎛ ⎝⎭【点睛】本题的难点有两个，一个是求过A 的切线方程，另一个是利用30BAF ∠=︒来列方程，解方程的过程中要注意运算的准确性.18.19.21.。