第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
基本要求
1.掌握动量、冲量的概念，明确它们的区别和关系。
2.熟练应用动量定理和动量守恒定律求解力学问题。
3.掌握功和动能的概念，会计算变力的功。
4.理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算重力、弹性力、和万有引力势能。
5.熟练运用动能定理、功能原理和机械能守恒定律求解力学问题。
基本概念及规律
一、动量定理和动量守恒定律
动量定理 合外力的冲量等于质点（或质点系）的增量。
动量定理 21FdtPP， 质点系 21iiiiFdtPP。
动量守恒定律 当一个质点所受合外力为零时，这一质点的总动量保持不变。
0F外时， iiiPmv恒矢量
在直角坐标系中：
0xF时， iixxmvP常量；
0yF时，iiyymvP常量；
0zF时， iizzmvP常量。
二、功的定义
元功 cosdwFdrFdr
有限运动的功 BABAwFdr
三、动能、动能定理
动能：是描述物体运动状态的单值函数，反映物体运动时具有作功的本领。
212kEmv
动能定理：合外力对质点做的功等于质点动能的增量。
ABKBKAwEE
四、保守力、势能、功能原理
保守力 某力所作的功与受力质点所经过的具体路径无关，而只决定于质点的始、末位置，则这个力称为保守力。例如：重力、引力、弹性力等。 势能 以保守力相互作用的物体系统在一定的位置状态所具有的能量，叫势能。物体系统内部物体间相对位置变化时，保守力作功等于势能增量的负值，即：
pWE保内
功能原理 外力和非保守内力对系统作的功等于系统机械能的增量。
2211KPKPWWEEEE外非保内
机械能守恒定律 一个物体系，如果只有保守力作功，而其它非保守力及外力都不作功，则该物体系的动能与各种势能 的总和保持不变。即
第三章动量守恒定律和能量守恒定律
概述：
1、牛顿第二定律描述了力对物体作用的瞬间关系，物体瞬间获得响应的加 速度，物体的运动状态已经开始发生变化，要使物体的运动状态继续变化，需要 力的作用有一个过程。本章从力的空间累积效应和时间累积效应出发，用动量和 能量对机械运动进行分析。
2、 由对一个质点的研究过渡到质点系的研究。
3、 守恒定律是完美、和谐的自然界的体现。动量守恒和能量守恒源于牛顿 力学，但在牛顿定律不适用的领域，例如微观粒子及高能物理领域仍然适用，故 它是自然界的一条基本定律。
3・1质点和质点系的动量定理
一、 冲量 质点的动量定理
牛顿笫二定律的微分形式
d/
Fdr = d p
Fdt = dp = R — p = mv. - J “ ％
1. 冲量：力对时间的积分，常以/表示，并称
1 = fd/
为在"〜『2时间内、力F对质点的冲量，或简单说成F的冲量。
说明：
（1） •冲量•是一个矢量，大小为/ = ff：Fdr ,方向是速度或动量的变化方向。
（2） .由于冲量是作用力的时间积分，必须知道力在这段时间中的全部情况,
才能求出冲量。实际上要知道力的大小和方向随时间变化是很困难的，必须釆取 近似处理。
F为恒力（方向也不变）时，/=FAr；（高中的冲量定义）
F作用时间很短时，可用力的平均值戸来代替。
F = 一 f F dt 9 △/ = A,—人 △/ J" 2•动量（p）是描述物体运动状态的物理量，有大小和方向，是一个矢量。 方向和运动速度的方向相同。单位：kg-m/ s量纲：MUT1 o
3•质点的动量定理：在给定的时间间隔内，质点所受合力的冲量，等于该质
点动量的增量。
f F d t = d ” = p、_ p = nw. - J “ ％
在直角坐标系中，质点的动量定理的分量形式：
fi r h
7 =匕尺加=〃山2厂〃® y
<• 6
I: = J Fxlt = mo2z ・ mo}z
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
3-1 一架以12ms100.3的速率水平飞行的飞机，与一只身长为0.20m、质量为0.50kg的飞鸟相碰。设碰撞后飞鸟的尸体与飞机具有同样的速度，而原来飞鸟对于地面的速率很小，可以忽略不计。估计飞鸟对飞机的冲击力，根据本题的计算结果，你对高速运动的物体与通常情况下不足以引起危害的物体相碰后产生后果的问题有什么体会？
解：以飞鸟为研究对象，其初速为0，末速为飞机的速度，由动量定理。
vltmvt ,0F联立两式可得：
NlmvF521025.2
飞鸟的平均冲力NFF51025.2'
式中的负号表示飞机受到的冲击力与飞机的运动速度方向相反。
从计算结果可知NFF51025.2'大于鸟所受重力的4.5万倍。可见，冲击力是相当大的。因此告诉运动的物体与通常情况下不足以引起危险的物体相碰，可能造成严重的后果。
3-2 质量为m的物体，由水平面上点O以初速为0v抛出，0v与水平面成仰角。若不计空气阻力。求：（1）物体从发射点O到最高点的过程中，重力的冲量；（2）物体从发射点到落回至同一水平面的过程中，重力的冲量。
解：（1）在垂直方向上，物体m到达最高点时的动量的变化量是：
sin01mvP
而重力的冲击力等于物体在垂直方向的动量变化量：
sinsin0011mvmvPI
（2）同理，物体从发射点到落回至同一水平面的过程中，重力的冲力等于物体竖直方向上的动量变化量
sin2sinsin1222mvmvmvmvmvPI
负号表示冲量的方向向下。
3-3 高空作业时系安全带是非常必要的。假如一质量为51.0kg的人，在操作时不慎从高空跌落下来，由于安全带保护，最终使他悬挂起来。已知此时人离原处的距离为2.0m，安全带弹性缓冲作用时间为0.50s。求安全带对人的平均冲力。
解：在人下落的整个过程中，重力的冲量和安全带冲量相等，但方向相反。设人自由落体的那段时间为t
第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
前一章我们运用牛顿运动定律研究了质点的运动规律，讨论了质点运动状态的变化与它所受合外力之间的瞬时关系。对于一些力学问题除分析力的瞬时效应外，还必须研究力的累积效应，也就要研究运动的过程。而过程必在一定的空间和时间内进行，因而力的积累效应分为力的空间积累和时间积累两类效应。在这两类效应中，质点或质点系的动量、动能或能量将发生变化或转移。在一定条件下，质点系内的动量或能量将保持守恒。
（1）力的空间累计效应：功、能；
（2）力的时间累计效应：冲量、动量； （3）相关规律：动能定理、功能原理、机械能守恒定律、能量守恒定律、动量定理、动量守恒定律、角动量守恒定律。
本章的主要内容有：
质点和质点系的动量定理和动能定理
外力与内力、保守力与非保守力等概念
动量守恒定律
机械能守恒定律
能量守恒定律
第一节 质点和质点系的动量定理
实际上，力对物体的作用总要延续一段时间，在这段时间内，力的作用将积累起来产生一个总效果。下面我们从力对时间的累积效应出发，介绍冲量、动量的概念以及有关的规律，即动量守恒定律。
一、冲量 质点的动量定理
1．（力的）冲量
由牛顿第二定律
tmtd)(dddvpF.
可得牛顿第二定律的微分形式
)(dddvpFmt.
注意到低速宏观运动的范围内，m可视为不变，合外力F一般是时间的函数，则将上式在t1到t2的时间内积分得
12121d)(vvppF2tmmttt.
定义力在t1到t2的冲量为
2tFI1d)(ttt，
注意冲量I是矢量，其方向与动量增量的方向相同，并不保证与F同向。
2．（单个）质点的动量定理
（1）表述：即在给定时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。
（2）讨论
（a）动量的概念在上一章已经给出。其实，动量的概念早在牛顿定律建立之前，由笛卡尔（R. Descartes）于1644年引入，它纯粹是描述物体机械运动的一个物理量。由经验知道，要使速度相同的两辆车停下来，质量大的就比质量小的要难些；同样，要使质量相同的两辆车停下来，速度大的就要比速度小的难些。由此可见，在研究物体机械运动状态的改变时，必须同时考虑质量和速度这两个因素，为此而引入了动量的概念。
