2019学年人教版高中数学必修三公式化知识整理

3.1.4概率的加法公式学习目标：1.理解互斥事件、对立事件的概念，会判断具体问题中的互斥与对立事件．(重点、难点、易混点)2.会用互斥事件的概率公式求概率．(重点)3.会用对立事件的概率公式求概率．(重点)[自主预习·探新知]1．事件的关系思考：如果A、B是对立事件，那么它们是互斥事件吗？[提示]是．2．互斥事件的概率加法公式(1)若A，B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)若A是A的对立事件，则P(A)＝1－P(A)．(3)若A1，A2，…，A n两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．[基础自测]1．思考辨析(1)互斥事件不一定是对立事件．(√)(2)事件A、B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．(×)(3)两个事件的和事件的概率等于它们各自的概率之和．(×)2．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A∪B)等于()A．0.3B．0.2C．0.1 D．不确定D[由于不能确定A与B互斥，则P(A∪B)的值不能确定．]3．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________．0．65[中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.]4．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.2，两人下成和棋的概率为0.4，则甲不输的概率是________．0．6[若设甲获胜为事件A，两人下成和棋为事件B，则甲不输为A∪B，因为A、B为互斥事件，故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.4＝0.6.][合作探究·攻重难]互斥事件与对立事件的判定[探究问题]1．事件A∪B中的基本事件与事件A、B中的基本事件有什么关系？[提示]事件A∪B是由事件A或事件B所包含的基本事件所组成的集合．2．事件A、B不可能同时发生时称其为互斥事件，如何从A、B所含的基本事件上理解“不可能同时发生”的含义？[提示]事件A、B的基本事件中没有重复的．(没有交集)3．在一次试验中，对立的两个事件会都不发生吗？它们的和事件是什么事件？[提示]在一次试验中，事件A与它的对立事件只能发生其一，且必然发生其一，不能两个都不发生．其和事件是必然事件．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；(4)“至少有一名男生”与“至少有一名女生”．[思路探究]紧扣互斥事件与对立事件的定义判断．[解]从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．互斥事件的概率盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B 表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P (A )＝310，P (B )＝12，求“3个球中既有红球又有白球”的概率.【导学号：31892025】[思路探究] 本题应先判断事件“3个球中既有红球又有白球”所包含的结果是什么，分别计算出每个基本事件发生的概率，再利用概率的加法公式进行计算．[解]记事件C为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A“3个球中有1个红球，2个白球”，和事件B“3个球中有2个红球，1个白球”，而且事件A和事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝310＋12＝45.1．某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：(2)求年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率．[解]记这个地区的年降水量在[100,150)(mm)、[150,200)(mm)、[200,250)(mm)、[250,300)(mm)范围内分别为事件A、B、C、D.这四个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，有(1)年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率是P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.25＝0.37.(2)年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率是P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.25＋0.16＋0.14＝0.55.互斥事件和对立事件的概率某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．[思路探究]先设出事件，判断是否互斥或对立，然后再使用概率公式求解．[解](1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A∪B.故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49，∴射中10环或7环的概率为0.49.(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面大于等于7环，即7环，8环，9环，10环，由于此两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理．设“不够7环”为事件E，则事件E为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”、“射中8环”等彼此是互斥事件，∴P(E)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P(E)＝1－0.97＝0.03，∴不够7环的概率是0.03.[跟踪训练]2．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．[解](1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－12－13＝16.(2)法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝16＋12＝23.法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－1 3＝23.[当堂达标·固双基]1．如果事件A，B互斥，记A－，B－分别为事件A，B的对立事件，那么() A．A∪B是必然事件B.A－∪B－是必然事件C.A－与B－一定互斥D.A－与B－一定不互斥B[用集合的Venn图解决此类问题较为直观，如图所示，A－∪B －是必然事件．]2．(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7B [设“只用现金支付”为事件A ，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B ，“不用现金支付”为事件C ，则P (C )＝1－P (A )－P (B )＝1－0.45－0.15＝0.4.故选B.]3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“都是红球”C ．“至少 有一个黑球”与“至少有一个红球”D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D [A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系．]4．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为45，那么所选3人中都是男生的概率为________．15[设A ＝{3人中至少有1名女生}，B ＝{3人都为男生}，则A ，B 为对立事件，所以P (B )＝1－P (A )＝15.]5．玻璃盒子里装有各色球12个，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1球．记事件A 为“取出1个红球”，事件B 为“取出1个黑球”，事件C 为“取出1个白球”，事件D 为“取出1个绿球”．已知P (A )＝512，P (B )＝13，P (C )＝16，P (D )＝112.求：(1)“取出1球为红球或黑球”的概率；(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率.【导学号：31892026】[解](1)“取出1球为红球或黑球”的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝512＋13＝34.(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝5 12＋13＋16＝11 12.。

1.定义：条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P()三者之间“知二求一”的关系一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P()=为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率.2. 条件概率的定义设A 、B 是两个事件，且P(B)>0,则称()(|)()P AB P A B P B为在事件B 发生的条件下,事件A 的条件概率.若事件B 已发生, 则为使 A 也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A 中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B 已发生, 故B 变成了新的样本空间 , 于是有了以上公式3. 条件概率的计算 1) 用定义计算:2)从加入条件后可用缩减样本空间法1.定义:由条件概率的定义，对任意两个事件A 与B ,若P(A)>0，则()()()P AB P A P B A =,我们称上式为概率的乘法公式.2.性质：设P(A)>0，则,)()()|(B P AB P B A P =P (B )>0一般地条件概率与无条件概率 之间的大小无确定关系若，条件概率 无条件概率（1）()1P A Ω=（2）如果B 与C是两个互斥事件，则()()()()P B C A P B A P C A ⋃=+ （3）设B 和B 互为对立事件，则()()1P B A P B A =-1.全概率公式 一般地，设12,,n A A A 是一组两两互斥的事件，12n A A A ⋃⋃⋃=Ω，且()0i P A ＞，1,2,,i n =，则对任意的事件B ⊆Ω,有()()()1niii P B P A P B A ==∑我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一由条件概率的定义：若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB)定理若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3)全概率公式全概率就是表示达到某个目的有多种方式(或者造成某种结果有多种原因),求达到目的的概率是多少(或者造成这种结果的概率是多少).2. 贝叶斯公式 设12,,n A A A 是一组两两互斥的事件，12n A A A ⋃⋃⋃=Ω，且()0i P A ＞，1,2,,i n =，则对任意的事件B ⊆Ω，()0P B ＞，有()i P A B =()()()i i P A P B A P B =()()()()1i i nkkk P A P B A P A P B A =∑，1,2,,i n =全概率公式、贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用，同学们可通过进一步的练习去掌握它们.值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.全概率公式. 全概率公式的基本思想是把一个未知的复杂事件分解为若干个已知的简单事件再求解，而这些简单事件组成一个 互不相容事件组 ,使得某个未知事件A 与这组互不相容事件中至少个同时发生 ,故在应眉此全慨率公式时,关键是要找到一个合适的S 的一个划分.例题1.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦），每一卦由三根线组成( 表示一根阳线， 表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，记事件 A = “两卦的六根线中恰有两根阳线”， B = “有一卦恰有一根阳线”，则 P(A|B)= （ ）,A. 15B. 16C. 17D. 314【答案】 B【解析】由八卦图可知，八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个， 两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个，而事件A 所包含的情况可分为两种， 即第一种是取到的两卦中一个为两阳一阴，另一个为全阴； 第二种是两卦中均为一阳两阴；而事件 A ∩B 中只包含后者， 即： P(A ∩B)=C 32C 82=328,事件 B 的概率 P(B)=1−C 52C 82=914 ，所以 P(A|B)=328914=16故答案为：B例题2.已知某种产品的合格率是 90% ，合格品中的一级品率是 20% .则这种产品的一级品率为（ ） A. 18% B. 19% C. 20% D. 21% 【答案】 A【解析】设事件A 为合格品，事件B 为一级品，则 P(A)=90%,P(B|A)=20% 所以 P(B)=P(A)P(B|A)=90%×20%=18% 故答案为：A例题3.某种电子元件用满3000小时不坏的概率为 34 ，用满8 000小时不坏的概率为 12 ，现有一只此种电子元件，已经用满3000小时不坏，还能用满8000小时的概率是（）A.34B.23C.12D.13【答案】 B【解析】记事件A“用满3000小时不坏”，P(A)=34记事件B“用满8000小时不坏，P(B)=12∵B⊂A，∴P(AB)=P(B)=1 2则P(B|A)=P(AB)P(A)=1234=12×43=23故答案为：B例题4.某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮.甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处和N处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如图表：若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.（1）求甲同学通过测试的概率；（2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.【答案】（1）解：甲同学两分球投篮命中的概率为510+410+310+610+7105=0.5，甲同学三分球投篮命中的概率为110+0+110+210+1105=0.1，设甲同学累计得分为X，则P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=0.9×0.5×0.5+0.1×0.5+0.1×0.5×0.5=0.3，所以，甲同学通过测试的概率为0.3（2）解：乙同学两分球投篮命中率为210+410+310+510+6105=0.4，乙同学三分球投篮命中率为110+210+310+110+3105=0.2 .设乙同学累计得分为Y，则P(Y=4)=0.8×0.4×0.4=0.128，P(Y=5)=0.2×0.4+0.2×0.6×0.4=0.128，设“甲得分比乙得分高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B，则P(AB)=P(X=5)⋅P(Y=4)=0.075×0.128=0.0096，P(B)=[P(X=4)+P(X=5)]⋅[P(Y=4)+P(Y=5)]=0.0768，由条件概率公式可得P(A|B)=P(AB)P(B)=0.00960.0768=18【解析】（1）分别求出甲同学两分球投篮命中的概率和甲同学三分球投篮命中的概率，设甲同学累计得分为X，则P（X≥4）=P（X=4）+P（X=5），由此能求出甲同学通过测试的概率；（2）乙同学两分球投篮命中的概率为0.4，三分球投篮命中的概率为0.2，设乙同学累计得分为Y，求出P（Y=4）=0.128，P（Y=5）=0.128，设“甲得分比乙得到高”为事件A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件B，则P（AB）=P（X=5）•P（X=4），P（B）=[P（X=4）+P（X=5）]•[P（Y=4）+P（Y=5）]，由条件概率得：P(A|B)=P(AB)P(B)=0.00960.0768=18。

⾼中数学必修三公式汇总 ⽬前⾼三同学已经进⼊第⼀轮备考阶段，为了帮助学⽣们更好地复习⾼考数学。

下⾯就让店铺给⼤家分享⼀些⾼中数学必修三公式汇总吧，希望能对你有帮助! ⾼中数学必修三公式汇总篇⼀ 乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三⾓不等式|a+b||a|+|b||a-b||a|+|b||a|b=-bab |a-b||a|-|b|-|a|a|a| ⼀元⼆次⽅程的解-b+(b2-4ac)/2a-b-(b2-4ac)/2a 根与系数的关系x1+x2=-b/ax1*x2=c/a注：韦达定理 判别式 b2-4ac=0注：⽅程有两个相等的实根 b2-4ac0注：⽅程有两个不等的实根 b2-4ac0注：⽅程没有实根，有共轭复数根 三⾓函数公式 两⾓和公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga) 倍⾓公式 tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半⾓公式 sin(a/2)=((1-cosa)/2)sin(a/2)=-((1-cosa)/2) cos(a/2)=((1+cosa)/2)cos(a/2)=-((1+cosa)/2) tan(a/2)=((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-((1-cosa)/((1+cosa)) ctg(a/2)=((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-((1+cosa)/((1-cosa)) 和差化积 2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) 2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15++(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14++(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82++n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=2r注：其中r表⽰三⾓形的外接圆半径 余弦定理b2=a2+c2-2accosb注：⾓b是边a和边c的夹⾓ 圆的标准⽅程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a，b)是圆⼼坐标 圆的⼀般⽅程x2+y2+dx+ey+f=0注：d2+e2-4f0 抛物线标准⽅程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py 直棱柱侧⾯积s=c*h斜棱柱侧⾯积s=c*h 正棱锥侧⾯积s=1/2c*h正棱台侧⾯积s=1/2(c+c)h 圆台侧⾯积s=1/2(c+c)l=pi(r+r)l球的表⾯积s=4pi*r2 圆柱侧⾯积s=c*h=2pi*h圆锥侧⾯积s=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式l=a*ra是圆⼼⾓的弧度数r0扇形⾯积公式s=1/2*l*r 锥体体积公式v=1/3*s*h圆锥体体积公式v=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积v=sl注：其中，s是直截⾯⾯积，l是侧棱长 柱体体积公式v=s*h圆柱体v=pi*r2h ⾼中数学必修三公式汇总篇⼆ 内容⼦交并补集，还有幂指对函数。

高中数学必修三公式总结在高中数学必修三中，有许多重要的数学公式需要我们掌握和熟练运用。

这些公式不仅是我们学习数学的基础，也是我们在解决实际问题时的利器。

下面就让我们来总结一下高中数学必修三中的一些重要公式吧。

一、函数。

1. 一次函数的解析式，y=kx+b。

其中，k为斜率，b为截距。

2. 二次函数的解析式，y=ax^2+bx+c。

其中，a不等于0，称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

3. 一次函数和二次函数的判别式，Δ=b^2-4ac。

当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程无实根。

二、数列。

1. 等差数列的通项公式，an=a1+(n-1)d。

其中，an为等差数列的第n项，a1为首项，d为公差。

2. 等比数列的通项公式，an=a1q^(n-1)。

其中，an为等比数列的第n项，a1为首项，q为公比。

三、概率。

1. 事件的概率，P(A)=n(A)/n(S)。

其中，P(A)为事件A发生的概率，n(A)为事件A的样本点数，n(S)为样本空间的样本点数。

2. 互斥事件的概率，P(A∪B)=P(A)+P(B)。

当事件A和事件B互斥时，它们的概率之和等于它们的并集的概率。

四、三角函数。

1. 正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R。

其中，a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应的角，R为三角形的外接圆半径。

2. 余弦定理，a^2=b^2+c^2-2bccosA。

其中，a为三角形的边长，A为对应的角，b、c为另外两个边长。

以上就是高中数学必修三中的一些重要公式总结，希望同学们能够牢牢掌握这些公式，并在实际问题中灵活运用。

通过不断的练习和实践，相信大家一定能够在数学学习中取得更好的成绩。