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2016新课标创新人教A版数学必修3 章末小结与测评

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互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件最多只发生一个；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生．所以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A1，A2，…，A n彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，若A与B互为对立事件，则利用公式P(A)＝1－P(B)求解．[典例1]黄种人群中各种血型的人所占的比例如下：血型 A B AB O该血型的人所占比例(%)2829835互相输血，张三是B型血，若张三因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？解：(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O的事件分别记为A′，B′，C′，D′，由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35，因为B，O型血可以输给张三，所以“任找一人，其血可以输给张三”为事件B′∪D′.依据互斥事件概率的加法公式，有P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)法一：由于A，AB型血不能输给B型血的人，所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件A′∪C′，依据互斥事件概率的加法公式，有P(A′∪C′)＝P(C′)＋P(A′)＝0.28＋0.08＝0.36.法二：因为事件“任找一人，其血可以输给张三”与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有P(A′∪C′)＝1－P(B′∪D′)＝1－[P(B′)＋P(D′)]＝1－0.64＝0.36.[对点训练]1．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)抽取1张奖券中奖的概率；(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．解：(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，∴P(A)＝11 000，P(B)＝101 000＝1 100，P(C)＝501 000＝120.(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝11 000＋1100＋120＝611 000.(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－11 000－1100＝9891 000.古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件个数n 与事件A 中包含的结果数m ，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P (A )＝mn 求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．[典例2] 一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5，乘客P 1，P 2，P 3，P 4，P 5 的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车，乘客P 1 因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座，如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位，如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．(1)若乘客P 1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，此时共有4种坐法，下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表格空格处)；(2)若乘客P 1坐在了2号座位，其他的乘客按规则就座，求乘客P 5 坐到5号座位的概率.乘客P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 座位号32 1 4 53 245 1解：(1)乘客 P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 座位号3 24 15 32541(2)若乘客P 1 则所有可能的坐法可用下表表示为：乘客P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 座位号2 1345 2 3 1 4 5 23 4 1 5 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 4 3 5 1 25341设“乘客P 5 坐到5号座位”为事件A ，则事件A 中的基本事件的个数为4.所以P (A )＝48＝12.乘客P 5 坐到5号座位的概率是12.[对点训练]2．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)所取的2道题不是同一类题的概率．解：(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P (A )＝615＝25.(2)基本事件同(1)，用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P (B )＝815.若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于其结果的无限性，概率就不能应用P (A )＝mn 求解，而需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解，体现了数形结合的数学思想．[典例3] 已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0.(1)若a 、b 是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率．解：(1)基本事件(a ，b )共有36个，且a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于a －2>0,16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4}，设“一元二次方程无实数根”为事件B ，则构成事件B 的区域为B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，如图可知构成事件Ω的区域面积为S (Ω)＝16.构成事件B 的区域面积为：S (B )＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.[对点训练]3．设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4 3 cm.现用直径为2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．解：记事件A ＝“硬币落下后与格线无公共点”，则硬币圆心落在如图所示的小三角形内，小三角形的边长为23.∴P (A )＝S △A ′B ′C ′S △ABC ＝34×(23)234×(43)2＝14.统计和古典概型的综合是高考解答题的一个命题趋势和热点，此类题很好地结合了统计与概率的相关知识，并且在实际生活中应用也十分广泛，能很好地考查学生的综合解题能力，在解决综合问题时，要求同学们对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．[典例4] (2015·安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80，90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率． 解：(1)由频率分布直方图可知：(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，解得a ＝0.006.(2)由频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3； 受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B 1，B 2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求的概率为110.[对点训练]4．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.(1)直接根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．解：(1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160 cm ～179 cm 之间，而乙班身高集中于170 cm ～179 cm 之间．因此乙班平均身高高于甲班；(2)甲班的平均身高x ＝158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋18210＝170(cm)．甲班的样本方差s 2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2(cm 2)．(3)设“身高为176 cm 的同学被抽中”为事件A ，从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，∴P (A )＝410＝25.即身高为176 cm 的同学被抽中的概率为25.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( ) A ．随机事件的概率总在[0,1]内 B ．不可能事件的概率不一定为0 C ．必然事件的概率一定为1 D ．以上均不对解析：选C 随机事件的概率总在(0,1)内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.2．下列事件中，随机事件的个数为( )①在某学校校庆的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯； ③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签； ④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C ①在某学校校庆的田径运动会上，学生张涛有可能获得100米短跑冠军，也有可能未获得冠军，是随机事件；②在明天下午体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，李凯不一定被抽到，是随机事件；③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，不一定恰为1号签，是随机事件；④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰是不可能事件．故选C.3．甲、乙、丙三人随意坐一排座位，乙正好坐中间的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D.16解析：选B 甲、乙、丙三人随意坐有6个基本事件，乙正好坐中间，甲、丙坐左右两侧有2个基本事件，故乙正好坐中间的概率为26＝13.4．从一批产品中取出三件产品，设A ＝“三件产品全不是次品”，B ＝“三件产品全是次品”，C ＝“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥C ．任何两个均互斥D ．任何两个均不互斥解析：选B 因为事件B 是表示“三件产品全是次品”，事件C 是表示“三件产品不全是次品”，显然这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥的，所以选B.5．(2016·郑州高一检测)函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0，使得f (x 0)≤0的概率是( )A.310B.15C.25D.45解析：选A 由f (x 0)≤0，即x 20－x 0－2≤0，得－1≤x 0≤2，其区间长度为3，由x ∈[－5,5]，区间长度为10，所以所求概率为P ＝310.6．如图，在矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点．若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A.14B.13C.12D.23解析：选C 不妨设矩形的长、宽分别为a 、b ，于是S 矩形＝ab ，S △ABE ＝12ab ，由几何概型的概率公式可知P ＝S △ABE S 矩形＝12.7．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是( )A.16B.13C.12D.23解析：选B 给三人打电话的不同顺序有6种可能，其中第一个给甲打电话的可能有2种，故所求概率为P ＝26＝13.故选B.8．如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝( )A.4πB.1π C ．2 D.2π解析：选D 豆子落在正方形EFGH 内是随机的，故可以认为豆子落在正方形EFGH 内任一点是等可能的，属于几何概型．因为圆的半径为1，所以正方形EFGH 的边长是2，则正方形EFGH 的面积是2，又圆的面积是π，所以P (A )＝2π.9．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2 有零点的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.4π D.4π－1 解析：选B 要使函数有零点，则Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，a 2＋b 2≥π2，又－π≤a ≤π，－π≤b ≤π，所以基本事件的范围是2π·2π＝4π2，函数有零点所包含的基本事件的范围是4π2－π3.所以所求概率为4π2－π32＝1－π4.故选B. 10．如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( )A.25B.710C.45D.910解析：选C 设被污损的数字是x ，则x ∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．甲的平均成绩为x 甲＝15(88＋89＋90＋91＋92)＝90，x 乙＝15[83＋83＋87＋(90＋x )＋99]＝442＋x 5，设甲的平均成绩超过乙的平均成绩为事件A ，则此时有90＞442＋x5，解得x ＜8，则事件A 包含x ＝0,1,2,3,4,5,6,7，共8个基本事件，则P (A )＝810＝45.11．掷一枚均匀的正六面体骰子，设A 表示事件“出现2点”，B 表示“出现奇数点”，则P (A ∪B )等于( )A.12B.23C.13D.25解析：选B 由古典概型的概率公式得P (A )＝16，P (B )＝36＝12.又事件A 与B 为互斥事件，由互斥事件的概率和公式得P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝16＋12＝23.12．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78解析：选C 由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且4秒内任一时刻等可能发生，所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积，而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件，即如图所示的阴影部分的面积，根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是1216＝34，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2016·青岛高一检测)一个口袋内装有大小相同的10个白球，5个黑球，5个红球，从中任取一球是白球或黑球的概率为________．解析：记“任取一球为白球”为事件A ，“任取一球为黑球”为事件B ，则P (A ＋B )＝P (A)＋P (B)＝1020＋520＝34.答案： 3414．如图所示，在正方形内有一扇形(见阴影部分)，点P 随意等可能落在正方形内，则这点落在扇形外且在正方形内的概率为________．解析：设正方形的边长为1，则正方形的面积S ＝1，扇形的面积S 1＝12×π2×12＝π4，根据几何概型公式得，点P 落在扇形外且在正方形内的概率为1－π41＝1－π4.答案：1－π415．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，集合B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋a ＝0}，若A ∩B ≠∅的概率为1，则a 的取值范围是________．解析：依题意知，直线x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1恒有公共点，故|a |12＋12≤1，解得－2≤a ≤ 2.答案：[－2，2]16．从1,2,3,4这四个数字中，任取两个，这两个数字都是奇数的概率是________，这两个数字之和是偶数的概率是________．解析：从1,2,3,4四个数字中任取两个共有6种取法．取的两个数字都是奇数只有1,3一种情况，故此时的概率为16.若取出两个数字之和是偶数，必须同时取两个偶数或两个奇数，有1,3；2,4两种取法，所以所求的概率为26＝13.答案：16 13三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表．求： (1)甲被选中的概率； (2)丁没被选中的概率．解：(1)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，共有{甲、乙}，{甲、丙}，{甲、丁}，{乙、丙}，{乙、丁}，{丙、丁}6个基本事件，甲被选中的事件有{甲、乙}，{甲、丙}，{甲、丁}共3个，若记甲被选中为事件A ，则P (A )＝36＝12.(2)记丁被选中为事件B ，则P (B －)＝1－P (B )＝1－12＝12.18．(12分)袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n 个．从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是12.(1)求n 的值；(2)记从袋中随机取出的一个小球为白球得2分，为黑球得1分，为红球不得分．现从袋子中取出2个小球，求总得分为2分的概率．解：(1)由题意可得n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)设红球为a ，黑球为b ，白球为c 1，c 2，从袋子中取出2个小球的所有基本等可能事件为：(a ，b )，(a ，c 1)，(a ，c 2)，(b ，c 1)，(b ，c 2)，(c 1，c 2)，共有6个，其中得2分的基本事件有(a ，c 1)，(a ，c 2)，所以总得分为2分的概率为26＝13.19．(12分)一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率．(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率P ＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足m ＋2≤n 的事件的概率为P 1＝316，故满足n <m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316.20．(12分)已知集合Z ＝{(x ，y )|x ∈[0,2]，y ∈[－1,1]}． (1)若x ，y ∈Z ，求x ＋y ≥0的概率； (2)若x ，y ∈R ，求x ＋y ≥0的概率．解：(1)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈Z ”为事件A ，x ，y ∈Z ，x ∈[0,2]，即x ＝0,1,2；y ∈[－1,1]，即y ＝－1,0,1.则基本事件有：(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)共9个．其中满足“x ＋y ≥0”的基本事件有8个，∴P (A )＝89.故x ，y ∈Z ，x ＋y ≥0的概率为89.(2)设“x ＋y ≥0，x ，y ∈R ”为事件B ，∵x ∈[0,2]，y ∈[－1,1]，则基本事件为如图四边形ABCD 区域，事件B 包括的区域为其中的阴影部分．∴P (B )＝S 阴影S 四边形ABCD＝S 四边形ABCD －12×1×1S 四边形ABCD＝2×2－12×1×12×2＝78，故x ，y ∈R ，x ＋y ≥0的概率为78.21．(12分)(2015·福建高考)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.组号 分组 频数 1[4,5)22[5,6)83[6,7)74[7,8] 3(1)现从融合指数在[4,5)2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．解：(1)融合指数在[7,8]内的3家“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的2家“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的5家“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个．所以所求的概率P＝910.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数为4．5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05.22．(12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．解：(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.(2)记F是标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A ，E )，(B ，D )，(A ，F )，(B ，F )，(C ，F )，(D ，F )，(E ，F )，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.模块综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从2 006名世博会志愿者中选取50名组成一个志愿者团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2 006人中剔除6人，余下的2 000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会( )A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等D ．无法确定 答案：C2．在线段[0,3]上任取一点，则此点坐标大于1的概率是( ) A.34 B.23 C.12 D.13解析：选B 根据几何概型可知，在线段[0,3]上任取一点，则此点坐标大于1的坐标就是1<x ≤3，∴所求的概率为23，故选B.3．一个射手进行射击，记事件E 1：“脱靶”，E 2：“中靶”，E 3：“中靶环数大于4”，E 4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对解析：选B E 1 与E 3，E 1 与E 4 均为互斥而不对立的事件． 4．有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程； ②平均日学习时间和平均学习成绩； ③某人每日吸烟量和其身体健康情况； ④正方形的边长和面积； ⑤汽车的重量和百公里耗油量． 其中两个变量成正相关的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．②⑤ D ．④⑤解析：选C ①为负相关；③也为负相关；④中的边长和面积的关系为函数关系；只有②、⑤中的两个变量成正相关．5．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：组别 (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]频数1213241516137A ．0.13B ．0.39C ．0.52D ．0.64解析：选C 由表知(10,40]上的频数为52，故样本数据在(10,40]上的频率为52100＝0.52.6．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92解析：选A 数据从小到大排列后可得其中位数为91＋922＝91.5，平均数为87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5.7．执行如图所示的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )A ．120B ．720C ．1 440D ．5 040解析：选B 执行程序输出1×2×3×4×5×6＝720.8．已知Ω＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为( )A.29B.23C.13D.19 解析：选A 如图所示，由几何概型概率公式，得P ＝S A S Ω＝12×4×212×6×6＝29.9．某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)．该校文学社共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示，则从文学社中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是()A.110B.310C.610D.710解析：选B 从中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是30100＝310.10．三个数390,455,546的最大公约数是( ) A ．65 B ．91 C ．26 D ．13解析：选D 用辗转相除法．∵546＝390×1＋156,390＝156×2＋78,156＝78×2，∴546与390的最大公约数为78.又∵455＝78×5＋65,78＝65＋13,65＝13×5，∴455与78的最大公约数为13，故390,455,546的最大公约数为13.11．在如图所示的程序框图中，如果输入的n ＝5，那么输出的i 等于()A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由框图知当n ＝5时，将3n ＋1＝16赋给n ，此时i ＝1；进入下一步有n ＝8，i ＝2；再进入下一步有n ＝4，i ＝3；以此类推有n ＝1，i ＝5，此时输出i ＝5.12．下图是把二进制的数 11 111(2)化成十进制的数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A．i>5? B．i≤5? C．i>4? D．i≤4?解析：选D根据程序框图，要使得输出的结果是1＋1×2＋1×22＋1×23＋1×24，那么判断框内的条件必须是“i≤4？”.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．解析：丙组中应抽取的城市数为：8×624＝2.答案：214．利用秦九韶算法，求当x＝23时，多项式7x3＋3x2－5x＋11的值的算法．①第一步：x＝23，第二步：y＝7x3＋3x2－5x＋11，第三步：输出y；②第一步：x＝23，第二步：y＝((7x＋3)x－5)x＋11，第三步：输出y；③算6次乘法，3次加法；④算3次乘法，3次加法．以上描述正确的序号为________．解析：利用秦九韶算法，y＝((7x＋3)x－5)x＋11，算3次乘法，3次加法，故②④正确．答案：②④15．执行如图所示的程序框图，输出的T＝________.解析：按照程序框图依次执行为S＝5，n＝2，T＝2；S＝10，n＝4，T＝2＋4＝6；S＝15，n＝6，T＝6＋6＝12；S＝20，n＝8，T＝12＋8＝20；S＝25，n＝10，T＝20＋10＝30>S，输出T＝30.答案：3016．已知直线l过点(－1,0)，l与圆C：(x－1)2＋y2＝3相交于A、B两点，则弦长|AB|≥2的概率为________．解析：显然直线l的斜率存在，设直线方程为y＝k(x＋1)，代入(x－1)2＋y2＝3中得，(k2＋1)x2＋2(k2－1)x＋k2－2＝0，∵l与⊙C相交于A、B两点，∴Δ＝4(k2－1)2－4(k2＋1)(k2－2)>0，∴k2<3，∴－3<k<3，又当弦长|AB|≥2时，∵圆半径r＝3，∴圆心到直线的距离d≤2，即|2k|1＋k2≤2，∴k2≤1，∴－1≤k≤1.由几何概型知，事件M：“直线l与圆C相交弦长|AB|≥2”的概率P(M)＝1－(－1)3－(－3)＝3 3.答案：3 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球，从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解：记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412，P(A3)＝212，P(A4)＝112.由题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．(1)取出1球为红球或黑球的概率为：P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为：法一：P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.法二：P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－112＝11 12.18．(12分)甲、乙两艘货轮都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，试求两船中有一艘在停泊位时，另一艘船必须等待的概率．解：设甲、乙两船到达泊位的时刻分别为x，y.则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤24，0≤y ≤24，|x －y |≤6.作出如图所示的区域．区域D (正方形)的面积S 1＝242，区域d (阴影)的面积S 2＝242－182.∴P ＝S 2S 1＝242－182242＝716. 即两船中有一艘在停泊位时另一船必须等待的概率为716. 19．(12分)在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如图所示．(1)计算样本的平均成绩及方差；(2)在这10个样本中，现从不低于84分的成绩中随机抽取2个，求93分的成绩被抽中的概率．解：(1)这10名同学的成绩是：60,60,73,74,75,84,86,93,97,98，则平均数x ＝80. 方差s 2＝110[(98－80)2＋(97－80)2＋(93－80)2＋(86－80)2＋(84－80)2＋(75－80)2＋(73－80)2＋(74－80)2＋(60－80)2＋(60－80)2]＝174.4.即样本的平均成绩是80分，方差是174.4.(2)设A 表示随机事件“93分的成绩被抽中”，从不低于84分的成绩中随机抽取2个结果有：(98,84)，(98,86)，(98,93)，(98,97)，(97,84)，(97,86)，(97,93)，(93,84)，(93,86)，(86,84)，共10种．而事件A 含有4个基本事件：(98,93)，(97,93)，(93,84)，(93,86)． 所以所求概率为P ＝410＝25.20．(12分)某培训班共有n 名学生，现将一次某学科考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图，如图所示．其中落在[80,90)内的频数为36.(1)请根据图中所给数据，求出a 及n 的值；(2)从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，求在第一组、第五组(从左到右)中分别抽取了几名学生的成绩；(3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中，随机抽取两名学生的成绩，求所取两名学生的平均分不低于70分的概率．解： (1)第四组的频率为：1－0.05－0.075－0.225－0.35＝0.3， ∴a ＝0.310＝0.03，n ＝360.3＝120.(2)第一组应抽：0.05×40＝2(名)， 第五组应抽：0.075×40＝3(名)．(3)设第一组抽取的2个分数记作A 1、A 2，第五组的3个分数记作B 1、B 2、B 3，那么从这两组中抽取2个的结果有：A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2B 1，A 2B 2，A 2B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2B 3 共10种，其中平均分不低于70分的有9种，所求概率为：P ＝910.21．(12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表所示：零件的个数x (个) 2 3 4 5 加工的时间y (h)2.5344.5(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？ 解：(1)散点图如图．。

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2016-2017学年高中数学必修3章末综合测评3 概率 含解析

2016-2017学年高中数学必修3章末综合测评3 概率 含解析

章末综合测评(三）概率(时间120分钟,满分150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件：①如果a,b是实数，那么b＋a＝a＋b；②某地1月1日刮西北风；③当x是实数时,x2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50％，其中是随机事件的有( ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】由题意可知①③是必然事件,②④是随机事件．【答案】B2．（2016·全国卷Ⅱ)从区间［0，1]随机抽取2n个数x1，x2,…，x n，y1，y2，…,y n，构成n个数对(x1,y1),(x2，y2），…，（x n,y n），其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ）A。

错误! B.错误!C.错误!D.错误!【解析】分别确定n个数对（x1,y1),（x2，y2)，…,（x n，y n）和m个两数的平方和小于1的数对所在的平面区域，再用随机模拟的方法和几何概型求出圆周率π的近似值．因为x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n都在区间[0，1]内随机抽取，所以构成的n个数对（x1，y1)，（x2,y2），…,（x n，y n）都在正方形OABC内（包括边界），如图所示．若两数的平方和小于1,则对应的数对在扇形OAC内（不包括扇形圆弧上的点所对应的数对),故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得错误!＝错误!,即错误!＝mn,所以π＝错误!。

【答案】C3．从含有3个元素的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是（）A。

错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!【解析】所有子集共8个，其中含有2个元素的为｛a,b｝，｛a，c｝，{b,c｝，所以概率为错误!。

【答案】D4．(2016·山东青岛一模）如图1所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形,若直角三角形中较小的锐角θ＝错误!.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）图1A。

2016版高中数学人教A版必修四课件：第三章章末优化总结

2016版高中数学人教A版必修四课件：第三章章末优化总结


所以
tan
α＋tan
β＝3tan
β＋
tan3β＋ tan 1－ tan2β
β－
tan3β＝
2tan
2β.
栏目 第二十页，编辑于星期五：二十三导点 五引十分。
第三章 三角恒等变形
三角恒等变形与三角函数的性质
利用三角公式和基本的三角恒等变形的思想方法，可以化简三 角函数的解析式，进而才能顺利地探求三角函数的有关性 质．反过来，利用三角函数性质，可确定解析式，进而可求出 有关三角函数值，因而三角恒等变形与三角函数的性质是高考 命题的热点．
栏目 第二十三页，编辑于星期五：二十导三点引五十分。
第三章 三角恒等变形
[解] f(x)＝2 3sin xcos x＋2cos2x－1
＝ 3sin 2x＋cos 2x
＝2sin2x＋π6 .
(1)T＝2π＝π . 2
(2)2kπ＋π≤ 2x＋π≤ 2kπ＋3π⇔ kπ＋π≤ x≤ kπ＋2π
2
6
2
2
4
65
65
栏目 第七页，编辑于星期五：二十三点导五十引分。
第三章 三角恒等变形
(2)因为 0°<α<90°，
且 tan
α＝sin
cos
α α＝4
3，sin2α＋cos2α＝1，
所以 cos α＝1，sin α＝4 3.
7
7
因为 cos(α＋β)＝－11，0°<α＋β<180°，
14
栏目 第八页，编辑于星期五：二十三点导五十引分。
第三章 三角恒等变形
所以 sin(α＋β)＝ 1－－11142＝5143.
所以 cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α
2016新课标创新人教A版数学必修2 章末小结与测评

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考点1空间几何体的结构特征解答关于空间几何体结构特征的有关问题：一是要紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．二是通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．[典例1]给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3[解析]①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．[答案] B[对点训练]1．给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．其中错误的命题的序号是________．解析：认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不正确；②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确；④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．答案：①②③④考点2三视图与直观图三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样，由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化．[典例2](1)(2016·威海模拟)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为()(2)(2016·郑州模拟)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()[解析](1)图2所示的几何体的侧视图由点A，D，B1，D1确定外形为正方形，判断的关键是两条对角线AD1和B1C是一实一虚，其中要把AD1和B1C区别开来，故选B.(2)A，B 的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D.[答案](1)B(2)D[对点训练]2．(2016·汕尾模拟)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为()解析：选C根据一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得几何体的直观图为：直观图侧视图所以侧视图如图所示.考点3空间几何体的体积与表面积材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用．割补法、构造法是常用的技巧．[典例3](1)(2015·重庆高考)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋2πB.13π6C.7π3D.5π2(2)(2016·合肥模拟)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．12＋4 2B ．18＋8 2C ．28D ．20＋8 2[解析] (1)由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝13π6.(2)由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S ＝2×12×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82，故选D.[答案] (1)B (2)D [对点训练]3．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8,8解析：选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为22＋12＝5，所以S 侧＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×5＝45，V ＝13×22×2＝83. 4．(2014·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析：该几何体是一个组合体，上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱．因为V 圆锥＝13π×22×2＝8π3，V 圆柱＝π×12×4＝4π，所以该几何体体积V ＝8π3＋4π＝20π3. 答案：20π3（时间120分钟 满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．斜四棱柱的侧面是矩形的面最多有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：选C 本题考查四棱柱的结构特征，画出示意图即可．2．一个等腰三角形绕它的底边所在直线旋转360° 形成的曲面所围成的几何体是( ) A ．球体 B ．圆柱 C ．圆台D ．两个共底面的圆锥组成的组合体解析：选D 以等腰三角形的底边为旋转轴，所得几何体是两个圆锥． 3．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )解析：选A 由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，即为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )解析：选D 先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原为空间几何体．由俯视图是圆环可排除A ，B ，C ，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D.5．(2016·长沙模拟)已知某几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.12 cm 3B.13 cm 3 C.16 cm 3 D.112cm 3 解析：选C 根据三视图可知原几何体是三棱锥， V ＝13Sh ＝13×12×1×1×1＝16(cm 3)．6．已知某个几何体的三视图如图(正视图的弧线是半圆)，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的表面积是( )A ．(368π＋65)cm 2B ．(368＋56π)cm 2C ．(386＋56π)cm 2D ．(386＋65π)cm 2解析：选B 从该几何体的三视图可知，这个几何体是由两部分构成的，下部分是长方体，上部分是半个圆柱．且长方体的三边长分别为8 cm,10 cm,8 cm ，半个圆柱的底面半径为4 cm ，高为10 cm.所以其表面积为(368＋56π) cm 2.7．现在国际乒乓球赛的用球已由“小球”改为“大球”．“小球”的直径为38 mm ，“大球”的直径为40 mm ，则“小球”的表面积与“大球”的表面积之比为( )A.19∶20 B ．19∶20 C ．192∶202 D ．193∶203 解析：选C 因为S 小球＝4π·192，S大球＝4π·202，所以S小球∶S大球＝(4π·192)∶(4π·202)＝192∶202.8．若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是( )A.12B.14 C ．1 D.39129解析：选D 设上，下底半径分别为r 1，r 2，过高中点的圆面半径为r 0，由题意得r 2＝4r 1，r 0＝52r 1，所以V 上V 下＝r 21＋r 1r 0＋r 20r 22＋r 2r 0＋r 20＝39129.9．如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与原正方体的体积之比为( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶6解析：选D 设正方体的棱长为a ，则棱锥的体积V 1＝13×12×a ×a ×a ＝a 36，又正方体的体积V 2＝a 3，所以V 1∶V 2＝1∶6.10．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为25，则它的表面积为( )A ．4(33＋4)B ．12(3＋2)C ．12(23＋1)D ．3(3＋8)解析：选B 如图所示， S ＝12×34×22＋6×2×2＝123＋24 ＝12(3＋2)．11．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π解析：选C 正四棱柱的底面积为4，正四棱柱的底面的边长为2，正四棱柱的底面的对角线为22，正四棱柱的体对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的体对角线，即2R ＝26，R ＝6，S 球＝4πR 2＝24π.12．(2016·南昌第一次模拟)已知正三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是( )A.7π4 B ．2π C.9π4D ．3π 解析：选C 由题意知，正三角形ABC 的外接圆半径为22－12＝3，则AB ＝3，过点E 的截面面积最小时，截面是以AB 为直径的圆，截面面积S ＝π×⎝⎛⎭⎫322＝9π4.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．底面直径和高都是4 cm 的圆柱的侧面积为________cm 2.解析：圆柱的底面半径为r ＝12×4＝2(cm)，∴S 侧＝2π×2×4＝16π(cm 2)．答案：16π14．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．解析：如图，设截面小圆的半径为r ，球的半径为R ，因为AH ∶HB ＝1∶2，所以OH ＝13R .由勾股定理，有R 2＝r 2＋OH 2，又由题意得πr 2＝π，则r ＝1，故R 2＝1＋⎝⎛⎭⎫13R 2，即R 2＝98.由球的表面积公式，得S ＝4πR 2＝9π2.答案：9π215．(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析：由题意得所求几何体为两个底面半径为1，高为1的圆锥与底面半径为1，高为2的圆柱的组合体，∴所求几何体体积为V ＝2×13π×12×1＋π×12×2＝8π3.答案：8π316．一块正方形薄铁片的边长为4 cm ，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm 3.解析：扇形的面积和圆锥的侧面积相等，根据公式即可算出底面半径r ，则容积易得．即2πr ＝14×2π×4，则r ＝1.又母线长为4 cm ，h ＝42－12＝15. 则V ＝13πr 2h ＝13×π×12×15＝15π3.答案：15π3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2016·天津和平区高一期中)已知四棱锥P -ABCD ，其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积．解：由三视图知底面ABCD 为矩形，AB ＝2，BC ＝4. 顶点P 在面ABCD 内的射影为BC 中点E ，即棱锥的高为2， 则体积V P -ABCD ＝13S ABCD ×PE ＝13×2×4×2＝163.18．(本小题满分12分)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积．解：由已知得：CE ＝2，DE ＝2，CB ＝5， S 表面＝S 圆台侧＋S 圆台下底＋S 圆锥侧＝π(2＋5)×5＋π×25＋π×2×22＝(60＋42)π，V ＝V 圆台－V 圆锥＝13(π·22＋π·52＋22·52π2)×4－13π×22×2＝148π3.19．(本小题满分12分)如图，在底面半径为2、母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积． 解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ′. 圆锥的高h ＝ 42－22＝23，又∵h ′＝3， ∴r 2＝23－323，∴r ＝1. ∴S 表面积＝2S 底＋S 侧＝2πr 2＋2πrh ′ ＝2π＋2π×3＝2(1＋3)π.20．(本小题满分12分)如图，正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，连接A ′C ′，A ′D ，A ′B ，BD ，BC ′，C ′D ，得到一个三棱锥．求：(1)三棱锥A ′-BC ′D 的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A ′-BC ′D 的体积．解：(1)∵ABCD -A ′B ′C ′D ′是正方体，∴A ′C ′＝A ′B ＝A ′D ＝BC ′＝BD ＝C ′D ＝2a ，∴S 三棱锥＝4×34×(2a )2＝23a 2，S 正方体＝6a 2， ∴S 三棱锥S 正方体＝33. (2)显然，三棱锥A ′-ABD 、C ′-BCD 、D -A ′D ′C ′、B -A ′B ′C ′是完全一样的，∴V 三棱锥A ′-BC ′D ＝V 正方体－4V 三棱锥A ′-ABD＝a 3－4×13×12a 2×a ＝a 33. 21．(本小题满分12分)已知某几何体的俯视图是一个长为8，宽为6的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8、高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h 2的等腰三角形，如图．(1)几何体的体积V ＝13·S 矩形·h ＝13×6×8×4＝64. (2)正侧面及相对侧面底边上的高h 1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高h 2＝42＋42＝4 2.故几何体的侧面积S ＝2×12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2. 22．(本小题满分12分)(2016·淄博高一检测)直三棱柱的高为6 cm ，底面三角形的边长分别为3 cm,4 cm,5 cm ，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值．解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R ，圆柱的高即为直三棱柱的高6 cm.因为在△ABC 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，AC ＝5 cm ，所以△ABC 为直角三角形．根据直角三角形内切圆的性质可得7－2R ＝5，所以R ＝1 cm ，所以V 圆柱＝πR 2·h ＝6π (cm 3)．而三棱柱的体积为V 三棱柱＝12×3×4×6＝36(cm 3)， 所以削去部分的体积为36－6π＝6(6－π)(cm 3)．。

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考点1共点、共线、共面问题1．三点共线问题证明空间三点共线问题，通常证明这些点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证第三点是两个平面的公共点，则此点必在两个平面的交线上．2．共面问题证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，然后证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，然后证明这些平面重合．3．三线共点问题证明三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题．[典例1] 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，求证：CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．证明：连接EF ，D 1C ，A 1B .∵E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B ，EF ＝12A 1B .又∵A 1B ∥D 1C ， ∴EF ∥D 1C ，∴E ，F ，D 1，C 四点共面，且EF ＝12D 1C ，∴D 1F 与CE 相交于点P .又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ，CE ⊂平面ABCD ， ∴P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点， 又平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ， 根据公理3可得P ∈DA ， 即CE ，D 1F ，DA 三线交于一点． [对点训练]1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设线段A 1C 与平面ABC 1D 1交于点Q ，求证：B ，Q ，D 1三点共线．证明：如图所示，连接A 1B ，CD 1.显然B ∈平面A 1BCD 1，D 1∈平面A 1BCD 1. ∴BD 1⊂平面A 1BCD 1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线．考点2平行关系1．空间中平行关系的相互转化2．判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．3．判断面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．[典例2]如图，在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：(1)平面AD1E∥平面BGF；(2)D1E⊥AC.证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F∥BE且D1F＝BE.∴四边形BED 1F 是平行四边形，∴D 1E ∥BF . 又∵D 1E ⊄平面BGF ，BF ⊂平面BGF ， ∴D 1E ∥平面BGF .∵FG 是△DAD 1的中位线， ∴FG ∥AD 1.又AD 1⊄平面BGF ，FG ⊂平面BGF ， ∴AD 1∥平面BGF . 又∵AD 1∩D 1E ＝D 1， ∴平面AD 1E ∥平面BGF .(2)连接BD ，B 1D 1，∵底面是正方形，∴AC ⊥BD . ∵D 1D ⊥AC ，D 1D ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDD 1B 1. ∵D 1E ⊂平面BDD 1B 1，∴D 1E ⊥AC . [对点训练]2．在多面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，三角形CDE 是等边三角形，棱EF ∥BC 且EF ＝12BC .求证：FO ∥平面CDE .证明：如图所示，取CD 中点M ，连接OM, EM ， 在矩形ABCD 中，OM ∥BC 且OM ＝12BC ，又EF ∥BC 且EF ＝12BC ，则EF ∥OM 且EF ＝OM .所以四边形EFOM 为平行四边形，所以FO ∥EM . 又因为FO ⊄平面CDE ，EM ⊂平面CDE ， 所以FO ∥平面CDE .考点3垂直关系1．空间中垂直关系的相互转化2．判定线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理；(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”；(4)利用面面垂直的性质．3．判定线线垂直的方法(1)平面几何中证明线线垂直的方法；(2)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；(3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.4．判断面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.[典例3](2016·九江高一检测)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明：(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.[对点训练]3．(2016·汕尾模拟)如图所示：平面α，β，直线a，且α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB.求证：a⊥β.证明：∵a∥α，过a作平面γ交α于a′，则a∥a′.∵a⊥AB，∴a′⊥AB.∵α⊥β，α∩β＝AB，∴a′⊥β，∴a⊥β.考点4空间角空间角的求法(1)找异面直线所成的角的三种方法①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移．(2)线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足．通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形．[典例4]如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A, B 的一动点． (1)证明：△PBC 是直角三角形；(2)若P A ＝AB ＝2，且当直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为 2 时，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的一动点． ∴BC ⊥AC ，∵P A ⊥平面ABC ，∴BC ⊥P A ，又P A ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ， ∴△BPC 是直角三角形．(2)如图，过A 作AH ⊥PC 于H ， ∵BC ⊥平面P AC ， ∴BC ⊥AH ，PC ∩BC ＝C ， ∴AH ⊥平面PBC ，∴∠ABH 是直线AB 与平面PBC 所成角， ∵P A ⊥平面ABC ，∴∠PCA 即是PC 与平面ABC 所成角， ∵tan ∠PCA ＝P AAC ＝2，又P A ＝2，∴AC ＝2， ∴在Rt △P AC 中，AH ＝P A ·AC P A 2＋AC 2＝233，∴在Rt △ABH 中，sin ∠ABH ＝AH AB ＝2332＝33，即直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为33.[对点训练]4．如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB≠AC，D、E分别是BC、AB的中点，AC＞AD，设PC与DE所成的角为α，PD与平面ABC所成的角为β，二面角P-BC-A的平面角为γ，则α、β、γ的大小关系是________．解析：∵D、E分别是BC、AB的中点，∴DE∥AC，∴PC与DE所成的角为∠PCA，即α；∵P A⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角为∠PDA，即β；过A作AH⊥BC，垂足为H，连接PH，易证BC⊥平面P AH，∴∠PHA是二面角P-BC-A的平面角，即γ.∵AB≠AC，∴AD＞AH，又AC＞AD，∴AC＞AD＞AH，∴P AAC＜P AAD＜P AAH，∴tan α＜tan β＜tan γ，∴α<β<γ.答案：α<β<γ考点5折叠问题解决折叠问题的关键在于认真分析折叠前后元素的位置变化情况，看看哪些元素的位置变了，哪些没有变，基本思路是利用不变求变，一般步骤如下：(1)平面→空间：根据平面图形折出满足条件的空间图形．想象出空间图形，完成平面图形与平面图形在认识上的转化．(2)空间→平面：为解决空间图形问题，要回到平面上来，重点分析元素的变与不变．(3)平面→空间：弄清楚变与不变的元素以后，再立足于不变的元素的位置关系、数量关系去探求变化后元素在空间中的位置关系与数量关系．[典例5]如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起．(1)如果二面角A-DE-C是直二面角，求证：AB＝AC；(2)如果AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE.证明：(1)过点A作AM⊥DE于点M，则AM⊥平面BCDE，∴AM⊥BC.又AD＝AE，∴M是DE的中点．取BC中点N，连接MN，AN，则MN⊥BC.又AM⊥BC，AM∩MN＝M，∴BC⊥平面AMN，∴AN⊥BC.又∵N是BC中点，∴AB＝AC.(2)取BC的中点N，连接AN.∵AB＝AC，∴AN⊥BC.取DE的中点M，连接MN，AM，∴MN⊥BC.又AN∩MN＝N，∴BC⊥平面AMN，∴AM⊥BC.又M是DE的中点，AD＝AE，∴AM⊥DE.又∵DE与BC是平面BCDE内的相交直线，∴AM⊥平面BCDE.∵AM⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCDE.[对点训练]5．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝3a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角．求证：(1)AB⊥平面BCD；(2)平面ACD⊥平面ABD.证明：(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝3a，∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，∴AB⊥BD.又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面BCD.(2)∵折叠前四边形ABCD是平行四边形，且AB⊥BD，∴CD⊥BD.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD.又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.（时间120分钟满分150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α解析：选C若直线l∩α＝A，显然有l⊄α，A∈l，但A∈α.2．下列命题正确的是()A．一直线与一个平面内的无数条直线垂直，则此直线与平面垂直B．两条异面直线不能同时垂直于一个平面C．直线与平面所成的角的取值范围是：0°＜θ≤180°D．两异面直线所成的角的取值范围是：0°＜θ＜90°.解析：选B A错误．一直线与一个平面内的无数条直线垂直，并不意味着和平面内的任意直线垂直，所以此直线与平面不一定垂直；B正确．由线面垂直的性质定理可知，两条异面直线不能同时垂直于一个平面；C错误．直线与平面所成的角的取值范围是：0°≤θ≤90°；D错误．两异面直线所成的角的取值范围是：0°＜θ≤90°.3．下列说法不正确的是()A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选D如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面DCC1D1，因此平面ABCD、平面AA1D1D均与平面DCC1D1垂直而且平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，显然选项D不正确，故选D.4．(2016·广州模拟)在空间中，下列命题正确的是()A．平行直线在同一平面内的射影平行或重合B．垂直于同一平面的两条直线平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．平行于同一直线的两个平面平行解析：选B A中的射影也有可能是两个点，错误；C中两个平面也可能相交，错误；D中的两个平面也有可能相交，错误．所以只有B正确．5．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于() A．AC B．BDC．A1D D．A1D1解析：选B CE⊂平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1，∴BD ⊥CE.6．(2016·湖南师大附中高一检测)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的说法个数是()A．3 B．2 C．1 D．0解析：选B垂直于同一平面的两个平面不一定平行，故①错误；由面面平行的性质知②正确；借助于三棱柱可知③正确．7．(2015·安徽高考)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D ．若m ，n 不平行．．．，则m 与n 不可能．．．垂直于同一平面 解析：选D A 项，α，β可能相交，故错误；B 项，直线m ，n 的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C 项，若m ⊂α，α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥β，故错误；D 项，假设m ，n 垂直于同一平面，则必有m ∥n ，所以原命题正确，故D 项正确．8．(2016·濮阳质检)a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：① ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；② ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α；④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a . 其中正确的命题是( )A ．①②③B ．①④C ．②D ．①③④解析：选C ②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内．9．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为 2 ，其余各棱长都为1，则二面角A -CD -B 的余弦值为( )A.12B.13 C.33 D.23解析：选C 取AC 的中点E ，CD 的中点F ，则EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32，∴△BEF为直角三角形，cos θ＝EF BF ＝33.10．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )A.63B.255C.155 D.105解析：选D 在平面A 1B 1C 1D 1内过点C 1作B 1D 1的垂线，垂足为E ，连接BE .⎭⎪⎬⎪⎫C 1E ⊥B 1D 1，C 1E ⊥BB 1⇒C 1E ⊥平面BDD 1B 1，∴∠C 1BE 的正弦值就是所求角的正弦值．∵BC 1＝22＋12＝5，C 1E ＝2×222＝2，∴sin ∠C 1BE ＝C 1E BC 1＝25＝105.11．矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B -AC -D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( )A.125π12B.125π9 C.125π6 D.125π3解析：选C 球心O 为AC 中点，半径为R ＝12AC ＝52，V ＝43πR 3＝125π6.12．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC解析：选D 易知△BCD 中，∠DBC ＝45°，∴∠BDC ＝90°，又平面ABD ⊥平面BCD ，而CD ⊥BD ，∴CD ⊥平面ABD ，∴AB ⊥CD ，而AB ⊥AD ，CD ∩AD ＝D ，∴AB ⊥平面ACD ，∴平面ABC ⊥平面ACD .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，MN 在平面BCC 1B 1内，MN ⊥BC 于M ，则MN 与AB 的位置关系是________．解析：由平面BCC 1B 1⊥平面ABCD ，知MN ⊥平面ABCD .∴MN ⊥AB . 答案：垂直14．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________．解析：∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1，MN ⊂平面A 1ABB 1， ∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角． ∴B 1M ⊥MN ，而B 1M ∩B 1C 1＝B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1，又MC 1⊂平面MB 1C 1， ∴MN ⊥MC 1， ∴∠C 1MN ＝90°. 答案：90°15．如图，圆锥SO 中，AB 、CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝2，P 为SB 的中点，则异面直线SA 与PD 所成角的正切值为________．解析：连接PO ，则PO ∥SA ，∴∠OPD 即为异面直线SA 与PD 所成的角，且△OPD 为直角三角形，∠POD 为直角，∴tan ∠OPD ＝OD OP ＝22＝ 2.答案： 216．(2016·福州高一检测)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A 、B 的点，P A 垂直于⊙O 所在的平面，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，因此，________⊥平面PB C.(填图中的一条直线)解析：∵AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A 、B 的点，∴BC ⊥AC ，∵P A 垂直于⊙O 所在的平面，∴BC ⊥P A ，又P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，AF ⊂平面P AC ，∴AF ⊥BC ，又AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC.答案：AF三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.证明：(1)∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴EF∥平面ACD.(2)∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD.又EF∩CF＝F，∴BD⊥平面EFC.∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.18．(本小题满分12分)(2016·常德高一检测)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.证明：(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，∵F，F1分别是AC，A1C1的中点，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.19．(本小题满分12分)(2016·滁州质检)矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE.(1)若F为线段D1A的中点，求证：EF∥平面D1BC；(2)求证：BE⊥D1A.证明：(1)取AB的中点G，连接EG、FG，则EG∥BC，FG∥D1B，且EG∩FG＝G，EG、FG⊂平面EFG；D1B∩BC＝B，D1B、BC⊂平面D1BC.∴平面EFG∥平面D1BC，注意到EF⊂平面EFG，∴EF∥平面D1BC.(2)易证BE⊥EA，平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D1AE，且D1A⊂平面D1AE，∴BE⊥D1A.20．(本小题满分12分)在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC 且分别交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC.(1)求证：BD⊥平面SAC；(2)求二面角E-BD-C的大小．解：(1)证明：如图，∵DE⊥SC，且E为SC的中点，又SB ＝BC ，∴BE ⊥S C.又DE ∩BE ＝E ，根据直线与平面垂直的判定定理知SC ⊥平面BDE ，BD ⊂平面BDE ， ∴SC ⊥BD .又SA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ， ∴SA ⊥BD . 又SA ∩SC ＝S ， ∴BD ⊥平面SAC .(2)由(1)知∠EDC 为二面角E -BD -C 的平面角， 又△SAC ∽△DEC ， ∴∠EDC ＝∠ASC .在Rt △SAB 中，∠SAB ＝90°， 设SA ＝AB ＝1，则SB ＝ 2.由SA ⊥BC ，AB ⊥BC ，AB ∩SA ＝A ， ∴BC ⊥平面SAB ，SB ⊂平面SAB ， ∴BC ⊥SB .在Rt △SBC 中，SB ＝BC ＝2，∠SBC ＝90°，则SC ＝2. 在Rt △SAC 中，∠SAC ＝90°，SA ＝1，SC ＝2. ∴cos ∠ASC ＝SA SC ＝12.∴∠ASC ＝60°，即二面角E -BD -C 的大小为60°. 21．(12分)(2015·北京高考)如图，在三棱锥V -ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥V -ABC 的体积．解：(1)证明：因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点， 所以OM ∥VB .又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ， 所以VB ∥平面MOC .(2)证明：因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点， 所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ，且OC ⊂平面ABC ， 所以OC ⊥平面VAB . 又OC ⊂平面MOC ， 所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2， 所以AB ＝2，OC ＝1.所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥C -VAB 的体积等于13OC ·S △VAB ＝33.又因为三棱锥V -ABC 的体积与三棱锥C -VAB 的体积相等，所以三棱锥V -ABC 的体积为33. 22．(12分)(2015·天津高考)如图，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，AB ＝AC ＝3，BC ＝25，AA 1＝7，BB 1＝27，点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点．(1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ； (2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1；(3)求直线A 1B 1与平面BCB 1所成角的大小．解：(1)证明：如图，连接A 1B .在△A 1BC 中，因为E 和F 分别是BC 和A 1C 的中点， 所以EF ∥BA 1.又因为EF ⊄平面A 1B 1BA ， 所以EF ∥平面A 1B 1BA .(2)证明：因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点， 所以AE ⊥BC .因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1， 所以BB 1⊥平面ABC ， 从而BB 1⊥AE . 又因为BC ∩BB 1＝B ， 所以AE ⊥平面BCB 1. 又因为AE ⊂平面AEA 1， 所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE . 因为N 和E 分别为B 1C 和BC 的中点， 所以NE ∥B 1B ，NE ＝12B 1B ，故NE ∥A 1A 且NE ＝A 1A ， 所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝AE . 又因为AE ⊥平面BCB 1， 所以A 1N ⊥平面BCB 1，从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角． 在△ABC 中，可得AE ＝2， 所以A 1N ＝AE ＝2.因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1， 所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB . 又由AB ⊥BB 1，有A 1M ⊥BB 1.在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝B 1M 2＋A 1M 2＝4. 在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝A 1N A 1B 1＝12，因此∠A 1B 1N ＝30°.所以，直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角为30°.。