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第１９卷第４期 工 程 数 学 学 报 。。 年¨月 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ ＶＯｌ １９ ＮＯ ４
Ｎｏｖ ２００２
文章编号：１００５—３０８５（２００２）０４—００４５～０６
Ｂａｎａｃｈ空问一类奇异脉冲微分 方程的边值问题
刘衍胜 （山东师范大学数学系，济南２５００１４）
摘 要：讨论了Ｂａｎａｃｈ空间中一类具有奇异性的脉冲微分方程的边值问题，利用Ｍｏｎｃｈ不动点定理，获得 了该边值问题解的存在性，并给出在无穷维奇异脉冲微分方程组中的应用。 关键词：奇异边值问题；脉冲；不动点 分类号：ＡＭｓ（２０００）４５ＪＯ５；３４Ｇ９９ 中图分类号：Ｏ１７５．１ ５ 文献标识码：Ａ
１引言及预备知识 抽象空间常微分方程理论是微分方程理论中的一个新的重要分支ｎ－３］。近来常微分 方程奇异边值问题的研究非常活跃［ ￣７］，但对于抽象空间奇异边值问题尤其是带脉冲的奇 异边值问题迄今还很少有人研究。本文利用不动点理论，讨论了Ｂａｎａｃｈ空间中一类带脉冲 的奇异边值问题解的存在性，并给出了在无穷维奇异脉冲微分方程组中的应用。 设（Ｅ，ｌｌ・ｌ１）是实Ｂａｎａｃｈ空间，令Ｊ＝［０，１］，０＜￡ｌ＜…＜￡ ＜１，ＰＣ［Ｊ，Ｅ］： ｛ ｆ ：－，一Ｅ， （￡）在￡≠￡＾时连续，在￡＝￡＾时左连续且右极限存在，ｋ＝１，２，…． ｍ｝，
ＰＣ ［（０，１），Ｅ］：｛ ∈ＰＣ［（０，１），Ｅ］： ∈ＰＣ［（０，１），Ｅ］｝。易知ＰＣ［Ｊ，Ｅ］在范数 ｌｌ ｝ｌ ＝ｓｕｐ ｌｌ （￡）ｌｌ下成为Ｂａｎａｃｈ空间。 考虑来源于应用数学和物理的许多领蚨。： 阶脉冲奇异边值问题 ｒ １ ｌ（Ｐ（￡） ，（￡））＋ｑ（￡）ｆ（￡， （￡））＝ｏ， ￡∈（ｏ，１），￡≠ｔｋ Ｉ ＼。／
Ａｘ＝ （￡＾＋０）一 （￡＾一０）＝Ｊ＾（ （ ））， ￡＝ｔｋ ｆ１ １ Ｉ Ａｘ ＝ （￡＾＋０）一 （￡＾一０）＝Ｈ＾（ （￡＾））， ￡＝￡＾，ｋ＝１，２，…，ｍ ｌｌｉｍＰ（￡） （￡）＝０＝ （１） 在ＰＣ［Ｊ，Ｅ］中解的存在性，其中ｇ（￡）可能在￡：０和￡＝１处有奇异性，Ｐ：［０，１］一［Ｏ，
收稿日期：２０００—１０．０９． 作者简介：刘衍胜（１９６６年５月生），男，硕士，副教授．研究方向：抽象空间 微分方程． 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０１７１０５７），山东省自然科学基金重点资助项目（Ｚ２０００Ａ０２）．
维普资讯 http://www.cqvip.com ４６ 工 程 数 学 学 报 第１９卷 十ｏｏ）是连续函数，且在（０，１）上Ｐ（ｔ）＞０，ｑ∈Ｃ［（０，１），Ｒ］且在（０，１）上ｑ（ｔ）≠０，，∈ ｃ［Ｊ×Ｅ，Ｅ］， ，． ∈Ｃ［Ｅ，Ｅ］，ｋ＝１，２，…，ｍ。 问题（１）的解是指 ∈ＰＣ［－，，Ｅ］，Ｐ（ｔ） （ｔ）∈ＰＣ ［（０，１），Ｅ］，且 满足边值问题 （１）。 令Ｚｒ＝｛ ∈Ｅ：ｌｌ ｌｌ ｒ｝，Ｂ，＝｛ ∈ＰＣ［－，，Ｅ］：ｌｌ ｌｌ Ｐｃ≤ｒ｝（ｒ＞０）。对于Ｄ ｃ ＰＣ［－，，Ｅ］，记Ｄ（ｔ）＝｛ （ｔ）： ∈Ｄ｝ Ｅ（ｔ∈Ｊ），ａ表示Ｋｕｒａｔｏｗｓｋｉ非紧性测度，有关 非紧性测度的性质参见文［１～３］。 引理１… 设Ｄ＝｛ ｝ｃ Ｌ［Ｊ，Ｅ］，且存在ｇ∈Ｌ［Ｊ，Ｒ ］使得对一切 ∈Ｄ，
ｌｌ （ｔ）ｌｌ≤ｇ（ｔ），ｎ，ｅ，ｔ∈Ｊ，则 ｒ￡ ｒ￡ ａ（｛ｌ （ｓ）ｄｓ Ｉ ∈Ｎ｝）≤２ ｌ ａ（Ｄ（ｓ））ｄｓ，ｔ∈Ｊ
Ｊ ０ Ｊ ０ 引理２… （Ｍｏｎｃｈ Ｈ．）设Ｅ为Ｂａｎａｃｈ空间，Ｋ ｃ Ｅ为闭凸集，Ｆ：Ｋ—Ｋ连续且对某
一 ∈Ｋ有Ｃ Ｋ，Ｃ可数，且 （｛ ｝Ｕ Ｆ（Ｃ））蕴含着Ｃ是相对紧集，则Ｆ在Ｋ中 有一个不动点。
２ 主要结果 为方便起见，列出下列假设 Ａ１）对Ｖ ｒ＞０，ｆ在Ｊ×Ｔｒ上有界且存在Ｎ，Ｎ ，Ｌ ∈Ｒ ＝［０，＋ｏｏ）满足对Ｖ Ｓ∈ Ｊ，Ｄ Ｂ，有ａ（ｆ（Ｓ，Ｄ（Ｓ））≤Ｎａ（Ｄ（Ｓ）），对Ｖ Ｄ Ｔｒ有ａ（Ｈｋ（Ｄ））≤Ｎｋａ（Ｄ）， ａ（１ｋ（Ｄ））≤Ｌ ａ（Ｄ），ｋ＝１，…，ｍ。
Ａ２） 胁ｒ）１ … ＜＋ｏｏ， 南 ＋ｏｏ且
南胁 … …ｃ 高， ＋ ＜ 其中 ｃ＝ ｓｕ．。．ｐ¨ ＝
一瓦 ，忌－１’２，…，ｍ 胁 川 ＋ 南ｃ薯 Ⅲｓ＋ ＜ 这里Ｎ，Ｎｋ，Ｌ ，ｋ＝１，…，仇，如Ａ１所述。 下面定理是本文的主要结果 定理２．１ 设Ａ１）～Ａ３）成立，则奇异边值问题（１）在ＰＣ［Ｊ，Ｅ］中有解。 证明 本定理的证明分如下四步进行。 １） 考虑如下的带脉冲的积分算子 （Ａｘ）（ｔ）＝ １ ｒ Ｊ。 （ｒ）ｑ（ｒ），（ （ｒ））ｄｒｄｓ
丽１。 （ （２）
维普资讯 http://www.cqvip.com 第４期 刘衍胜：Ｂａｎａｃｈ空间一类奇异脉冲微分方程的边值问题４７ 容易验证边值问题（１）有解，等价于算子Ａ在ＰＣ［Ｊ，Ｅ］中有不动点。 ２） 证明Ａ为映Ｂ，入ＰＣ［Ｊ，Ｅ］（Ｖ ｒ＞０）的连续有界算子。 由Ａ１）Ａ２）可以看出对Ｖ ｒ＞０，Ａ为映Ｂ，入ＰＣ［Ｊ，Ｅ］的有界算子，下面说明连续性。 设ｌＩ 一 ｌｌ Ｐｃ一０（７２一ｏｏ），其中 ， ∈ＰＣ［Ｊ，Ｅ］，设ｒｌ＝ｓｕｐ ｌｌ ｌｌ Ｐｃ。由Ａ１）
～Ａ３）容易看出｛（Ａｘ ）（ｔ）｝在每个 ＝（ｔＨ，ｔ ］上是同等连续的。另一方面由勒贝格控制 收敛定理易得
ｌｌ（Ａｘｎ）（￡）一（Ａ ）（￡）ｌｌ ｊ 南ｊ。 （ｒ）ｌ ｇ（ｒ）１．１ｌ，（ （ｒ）） 一厂（ｒ， （ｒ））ｌｌ ｄｒｄｓ ＋Ｊ：南（。 ｔ１）ｌｌ ｔｉ））＿Ｈｉ（ （ｔｉ））ｌ
＋ ｌｌ Ｊ （ （ｔ ））一Ｉｆ（ （ｔ ））ｌｌ一０（７２一ｏ。）。 ￡≤ｔｆ＜ｌ 这样由Ａｓｃｏｌｉ—Ａｒｅｚｅｌａ定理知｛Ａｘ ｝在ＰＣ［Ｊ，Ｅ］中相对紧。下面说明ｌｌ Ａｘ 一Ａｘ Ｉｌ Ｐｃ
一０（ —ｏ。） 事实上若不成立，则３￡０＞０和｛ ｝ ｛ ｝满足ｌｌ Ａｘ 一Ａｘ ｌｌ≥￡０ ｉ＝１，２，３，
…，
由于｛Ａｘ ｝相对紧，故存在｛Ａｘ ｝的子列在ＰＣ［Ｊ，Ｅ］中收敛于某Ｙ∈ＰＣ［Ｊ，Ｅ］。不失
一般性仍设Ａｘ 一Ｙ（７２一∞），即ｌｌ Ａｘ 一Ｙ ｌｌ Ｐｃ一０（７２一∞），这样Ｙ＝Ａｘ，矛盾。 故Ａ为映Ｂ，人ＰＣ［Ｊ，Ｅ］的连续算子。 ３） 证明存在充分大的常数故Ｒ＞０，使得算子Ａ映ＢＲ人ＢＲ，这里ＢＲ＝｛ ∈ＰＣ［Ｊ， Ｅ］：ｌＩ ｌｌ Ｐｃ≤Ｒ｝ 取Ｃ ＞Ｃ，Ｃ ＞Ｃ 和ｄ ＞ｄ ，忌＝１，…，ｍ，使得 ６ ｃ 南胁 川 ＋ｃ 南 ＋ ＜ ㈥
由条件Ａ２）知，存在ｒ＞０，使当ｌｌ ｌｌ≥ｒ时，有 ｌｌ ｆ（Ｓ， ）ｌｌ＜Ｃ ｌｌ ｌｌ，ｌｌ （ ）ｌｌ＜ｄ ｌｌ ｌｌ， ｌｌ （ ）ｌｌ＜Ｃ ｌｌ ｌｌ，忌：１，…，ｍ， Ｖ Ｓ∈Ｊ （４） 因此有对Ｖ Ｓ∈Ｊ， ∈Ｅ有 ｌｌ ｆ（Ｓ， ）ｌｌ＜Ｃ ｌｌ ｌｌ＋Ｍ， （５） ｌｌ （ ）ｌｌ＜ｄ ｌｌ ｌｌ＋Ｍ， ｌＩ （ ）ｌｌ＜Ｃ ｌｌ ｌｌ＋Ｍ （６） 其中Ｍ：ｍａｘ｛ｓ Ｐ Ｉ１．厂（ｓ， ）ｌｌ， Ｐ ｌｌ （ ）ｌｌ， Ｐ ｌｌ （ ）ｌｌ，忌＝１，…，ｍ｝ ｊｔ Ｊ ｔ １ ｔ １ ｘＥ Ｔ
令Ｒ＝（１一ｂ）－１ Ｇ，其中
Ｇ＝Ｍ・ 南胁ｒ）ｌ … ＋ 高・（砉 ＋ ］，下面证 明Ｒ，即合要求。 对Ｖ ∈ＢＲ，即ｌｌ ｌＩ户ｃ≤Ｒ，由（２）式，（５）式及（６）式知
ｌｌ（Ａ ）（￡）ｌｌ≤（ｊ。 Ｊ。 （ｒ）ｌ ｇ（ｒ）ｌ ｄｒｄｓ）（ｃ ｌｌＰｃ＋Ｍ）
维普资讯 http://www.cqvip.com ４８ 工 程 数 学 学 报 第１９卷 ＋ｊ （ ｃ ＋Ｍ））＋ （ ＋Ｍ） ＝ｂ｝ｌ ｌｌ Ｐｃ＋Ｇ≤ｂＲ＋Ｇ＝Ｒ 故Ａ：ＢＲ—ＢＲ，结合前面两步的说明知Ａ为映ＢＲ人ＢＲ的连续有界算子。 ４） 证明若可数集Ｄ（＝＝ＢＲ满足 （＝＝面（｛“｝Ｕ Ａ（Ｄ）），其中“∈ＢＲ，则有Ｄ为相对 紧集。 事实上若 ｃｒｙ（｛“｝Ｕ Ａ（Ｄ）），由３ｃ［８］知 （＝＝面（｛“（ｔ）｝Ｕ Ａ（Ｄ（ｔ））），ｔ∈－，， 再由非紧性测度的性质，Ａ３）及引理１知 ＡＤ ））＝ａ（ 而１ （ （ （ （ 捌ｓ
—Ｊ．：南（。晷 一 … ∈。｝）
≤ａ（ 南 （ （ （ （ …∈。｝） 南（。互 慨 ））ｄ ∈。 互 （ ） Ｊ．：南 ㈩ （ｒ，。㈩） ｓ ＋ｊ 南（。互 （眦 ＋ 墓 ） Ｊ．： （毗））ｄ ＋Ｊ．：南（。互 ））ｄ一 互 （眦 ）
＝Ｊ．： （（ＡＤ）㈩ ｄｓ ＋ｊ：南（。互 （ＡＤ）（ 一嚣 ＡＤ）（ ） （７） 由于Ａ（Ｄ）有界且在每个小区间＾＝（ｔ＾一１，ｔ＾］上等度连续（ｋ＝１，…， ＋１，ｔ０＝０， ｔ ＋１＝１），定义 （ｔ）＝ａ（（ＡＤ）（ｔ）），则由非紧性测度ａ的性质知 ∈ＰＣ［ｊ，Ｒ ］，从而 由（７）式知，对Ｖ ｔ∈－，有 ． ｍ㈩≤ｊ．：而４Ｎ （ｒ）ｌ ｑ（ｒ）Ｉ ｍ（ｒ）ｄ
＋…
ｌ ２ （
。互 ¨
≤ｃ Ｊ．： 川 ∑Ｌ＾ （ｔ＾） （８）
ｌ≤ｔｋ＜１
＋Ｊ． 南ｃ。 一嚣Ｌ￣）ｓ ｕｐｍ（ 由Ａ３）知 （￡）三０，ｔ∈－，，从而 ａ（Ｄ）≤ａ（Ａ（Ｄ））＝ｓｕｐａ（（ＡＤ）（ｔ）＝ｓｕｐｒａ（ｔ）＝０ ｆｔ Ｊ ｆｔ Ｊ
（９）
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