安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考数学(文)试题(原卷版)

2023-2024学年安徽省合肥一中高三（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数3+ai2−i的实部与虚部相等，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．3C ．﹣1D ．﹣32．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |a ＜x ＜a 2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−∞，−√3] B ．(−∞，−√3)C ．(−√3，1)D ．(−∞，−√3)∪(√3，+∞)3．如图为2021～2022年中国十大行业人工智能应用渗透率，则下列说法错误的是（ ）A ．2021年与2022年人工智能应用渗透率最低的行业都是教育B ．与2021年相比，2022年人工智能应用渗透率增长最快的是金融行业C ．2021年十大行业人工智能应用渗透率的极差为56%D ．2022年十大行业人工智能应用渗透率的中位数是42.5% 4．求值：2sin80°cos20°−sin20°2sin10°=（ ）A ．√33B ．√22C ．1D ．√325．已知抛物线C 1：y 2=4x 与抛物线C 2：x 2=4y ，则（ ） A ．过C 1与C 2焦点的直线方程为x +y ＝4 B ．C 1与C 2只有1个公共点C ．与x 轴平行的直线与C 1及C 2最多有3个交点D ．不存在直线与C 1和C 2都相切6．若将lny ＝lnx +ln （y ﹣x ）确定的两个变量y 与x 之间的关系看成y ＝f （x ），则函数y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如图，其中O 1O 3＝20cm ，O 1O 2＝2cm ，AB ＝16cm ，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：π≈3，铜的密度为8.96g /cm 3）（ ）A ．1kgB ．2kgC ．3kgD ．0.5kg8．若数列{a n }满足：当k 2−k+22≤n ≤k 2+k 2时，a n =2k (1+2k )(k ∈N ∗)，则数列{a n }的前28项和为（ ）A ．2048B ．2046C ．4608D ．4606二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12(a →+2b →−3c →)−3(a →−2b →−c →)=（ ） A ．−52a →−4c →B ．−52a →+4b →−2c →C ．−52a →+7b →+32c →D ．−52a →−5b →−92c →2．已知平面α内有一个点A （2，﹣1，2），α的一个法向量为n →=（3，1，2），则下列点P 中，在平面α内的是（ ） A ．（1，﹣1，1） B ．(1，3，32)C ．(1，−3，32)D ．(−1，3，−32)3．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝9﹣2n ，则其前n 项和S n 取得最大值时，n 的值（ ） A ．6B ．5C ．4D ．34．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +9＝0相交所得弦长为2√3，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．−43或−34B ．−34C ．−53D ．−53或−355．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则四棱锥A 1﹣ABC 1D 1的体积为（ ） A ．43B ．8√23C ．83D ．1636．双曲线x 29−y 216=1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是7，则P 到F 2的距离是（ ） A ．13B ．1C ．1或13D ．2或147．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n ＞0，若S 6﹣2S 3＝5，则S 9﹣S 6的最小值为（ ） A ．14B ．12C ．20D ．548．P 是抛物线y 2＝8x 上一点，点A （4，1），B 是圆C ：（x +2）2+（y ﹣4）2＝1关于直线l ：x ﹣y +2＝0的对称曲线C 1上的一点，则|P A |+|PB |的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，空间四边形OABC 中，M ，N 分别是边OA ，CB 上的点，且AM ＝2MO ，CN ＝2NB ，点G 是线段MN 的中点，则以下向量表示正确的是（ ）A ．AG →=56OA →+13OB →+16OC →B ．BG →=16OA →−23OB →+16OC →C ．CG →=16OA →−13OB →+56OC →D ．OG →=16OA →+13OB →+16OC →10．法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河．他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中，方程x 3+y 3＝3axy 所表示的曲线称为笛卡尔叶形线．当a ＝1时，笛卡尔叶形线具有的性质是（ ） A ．经过第三象限B ．关于直线y ＝x 对称C ．与直线x +y +1＝0有公共点D ．与直线x +y +1＝0没有公共点11．对于给定的数列{a n }，如果存在实数p ，q ，使得a n +1＝pa n +q 对任意n ∈N *成立，我们称数列{a n }是“线性数列”，数列{c n }满足c 1=1，c n+1=c n +b n (n ∈N ∗)，则（ ） A ．等差数列是“线性数列”B ．等比数列是“线性数列”C ．若{b n }是等差数列，则{c n }是“线性数列”D ．若{b n }是等比数列，则{c n }是“线性数列”12．已知P 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面圆的圆心，M 为线段PO 的中点，AD 为底面圆的直径，△ABC 是底面圆的内接正三角形，AP =AB =2√3，则下列说法正确的是（ ） A ．BD ∥OCB ．AM ⊥平面MBCC ．在圆锥侧面上，点A 到PB 中点的最短距离为3D ．圆锥内切球的表面积为16(2−√3)π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设m ∈R ，b →=(1，−2，m)，c →=(2，−4，2)，b →∥c →，则m ＝ ． 14．点P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|+|PF 2|＝4，离心率为√32，则b ＝ ． 15．已知正四棱锥的侧棱长为2√2，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为323π，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为 ．16．某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为{a n }，在数列{a n }的任意相邻两项a k 与a k +1（k ＝1，2，…）之间插入3k 个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{b n }．按新数列{b n }的各项依次派遣支教学生．记S 50为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则S 50的值为 ．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，第18～22题每题12分．17．（10分）已知圆C 经过点A （0，2），B （6，4），且圆心在直线x ﹣3y ﹣4＝0上． （1）求圆C 的方程；（2）若平面上有两个点P （﹣6，0），Q （6，0），点M 是圆C 上的点且满足|MP||MQ|=2，求点M 的坐标．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3a 1﹣2，且S 5﹣S 3＝4a 2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{1S n}的前n 项和T n ．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5． （1）求证：AA 1⊥平面ABC ；（2）求平面A 1C 1B 与平面B 1C 1B 夹角的余弦值．20．（12分）已知数列{a n }的首项a 1=38，且满足a n +1=3a n 3a n +2．（1）求数列{1a n−3}的通项公式； （2）若1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a n＜101，求满足条件的最大整数n 的值．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，AB ∥CD ，且CD ＝2，AB ＝1，BC ＝2√2，P A ＝1，AB ⊥BC ，E ，F 分别为PD ，BC 的中点． （1）求证：EF ∥平面P AB ；（2）在平面PBC 内是否存在点H ，满足HD →•HA →=0，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H 的轨迹图形形状．22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且A 1A 2＝4，椭圆C 的一条以(1，12)为中点的弦所在直线的方程为3x +2y ﹣4＝0．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 为直线x ＝4上一点，且P 不在x 轴上，直线P A 1，P A 2与椭圆C 的另外一个交点分别为M ，N ，设△P A 1A 2，△PMN 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的最大值，并求出此时点P 的坐标．2023-2024学年安徽省合肥市六校联盟高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12(a →+2b →−3c →)−3(a →−2b →−c →)=（ ） A ．−52a →−4c →B ．−52a →+4b →−2c →C ．−52a →+7b →+32c →D ．−52a →−5b →−92c →解：12(a →+2b →−3c →)−3(a →−2b →−c →)=−52a →+7b →+32c →．故选：C ．2．已知平面α内有一个点A （2，﹣1，2），α的一个法向量为n →=（3，1，2），则下列点P 中，在平面α内的是（ ） A ．（1，﹣1，1） B ．(1，3，32)C ．(1，−3，32)D ．(−1，3，−32)解：由题意可知符合条件的点P 应满足PA →⋅n →=0，选项A ，PA →=（2，﹣1，2）﹣（1，﹣1，1）＝（1，0，1）， PA →⋅n →=3×1+1×0+2×1＝5≠0，故不在平面α内；同理可得：选项B ，PA →=（1，﹣4，12），PA →⋅n →=0，故在平面α内；选项C ，PA →=（1，2，12），PA →⋅n →=6≠0，故不在平面α内；选项D ，PA →=（3，﹣4，72），PA →⋅n →=12≠0，故不在平面α内；故选：B ．3．已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝9﹣2n ，则其前n 项和S n 取得最大值时，n 的值（ ） A ．6B ．5C ．4D ．3解：由题意等差数列{a n }的通项公式为a n ＝9﹣2n ，则a 1＝9﹣2＝7， 故S n =n(7+9−2n)2=−(n −4)2+16， 即当n ＝4时，S n 取得最大值，即S n 取得最大值时，n 的值是4． 故选：C ．4．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +9＝0相交所得弦长为2√3，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．−43或−34B ．−34C ．−53D ．−53或−35解：根据题意，设B 与点（2，3）关于y 轴对称，则B 的坐标为（﹣2，3）， 则反射光线经过点B ，且与圆x 2﹣6x +y 2+4y +9＝0相交．设反射光线所在直线的方程为y ﹣3＝k （x +2），即kx ﹣y +2k +3＝0， 圆x 2﹣6x +y 2+4y +9＝0的标准方程为（x ﹣3）2+（y +2）2＝4， 则圆心为（3，﹣2），半径r ＝2．因为弦长l =2√3，根据勾股定理得，圆心（3，﹣2）到反射光线的距离d ＝1， 故d =|5k+5|√1+k =1，即12k 2+25k +12＝0，解得k =−43或k =−34．故选A ．5．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则四棱锥A 1﹣ABC 1D 1的体积为（ ） A ．43B ．8√23 C ．83D ．163解：正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，A （2，0，0），B （2，2，0），D 1（0，0，2），A 1（2，0，2）， AB →=(0，2，0)，AD 1→=(−2，0，2)，AA 1→=(0，0，2)， 设平面ABC 1D 1的法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB →=2y =0n →⋅AD 1→=−2x +2z =0，取x ＝1，得n →=(1，0，1)，点A1到平面ABC1D1的距离d=|AA1→⋅n→||n→|=√2，S四边形ABC1D1=AB×AD1=2×√4+4=4√2，∴四棱锥A1﹣ABC1D1的体积为：V=13×S四边形ABC1D1×d=13×4√2×√2=83．故选：C．6．双曲线x29−y216=1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是7，则P到F2的距离是（）A．13B．1C．1或13D．2或14解：由题意双曲线x29−y216=1，a＝3，c＝5，|PF1|＜a+c，所以P在靠近F1的那一支上，则由双曲线的定义可知|PF2|﹣|PF1|＝6，P到F1的距离是7，∴|PF2|＝13，故选：A．7．设S n是等比数列{a n}的前n项和，a n＞0，若S6﹣2S3＝5，则S9﹣S6的最小值为（）A．14B．12C．20D．54解：设等比数列的{a n}的公比q，显然q＞0，q≠1，∵S6﹣2S3＝5，∴a1(q6−1)q−1−2a1(q3−1)q−1=5，∴a1(q3−1)2q−1=5，∴q＞1⇒q3＞1，则S9﹣S6=a1(q9−1)q−1−a1(q6−1)q−1=a1(q3−1)q−1⋅q6=5q6q3−1=5[(q3−1)+1q3−1]+10≥5×2√(q3−1)⋅1q3−1+10=20，当且仅当q3＝2，即q=√23时取等号，∴S9﹣S6的最小值为20，故选：C．8．P是抛物线y2＝8x上一点，点A（4，1），B是圆C：（x+2）2+（y﹣4）2＝1关于直线l：x﹣y+2＝0的对称曲线C1上的一点，则|P A|+|PB|的最小值是（）A．3B．4C．5D．6解：由题意可知曲线C1是半径为1的圆，设圆心C1（x0，y0），圆C：（x+2）2+（y﹣4）2＝1的圆心坐标为（﹣2，4），则有{4−y 0−2−x 0=−1−2=x 02−4+y 02+2=0，解得{x 0=2y 0=0，即C 1（2，0）是抛物线的焦点，该抛物线的准线方程为x ＝﹣2，过A （4，1）作准线x ＝﹣2的垂线，垂足为D ， 当P 在线段DA 上时，|P A |+|PC 1|有最小值，最小值为|DA |＝4﹣（﹣2）＝6， 所以当B 在线段PC 1上时，如下图所示：|P A |+|PB |有最小值，最小值为6﹣1＝5， 故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，空间四边形OABC 中，M ，N 分别是边OA ，CB 上的点，且AM ＝2MO ，CN ＝2NB ，点G 是线段MN 的中点，则以下向量表示正确的是（ ）A ．AG →=56OA →+13OB →+16OC →B ．BG →=16OA →−23OB →+16OC →C ．CG →=16OA →−13OB →+56OC →D ．OG →=16OA →+13OB →+16OC →解：由题意点G 是线段MN 的中点，CN ＝2NB ，可得OG →=12OM →+12ON →=12×13OA →+12×（23OB →+13OC →）=16OA →+13OB →+16OC →，故D 正确， AG →=OG →−OA →=16OA →+13OB →+16OC →−OA →=−56OA →+13OA →+16OC →，故A 错误，BG →=OG →−OB →=16OA →−23OB →+16OC →，故B 正确，CG →=OG →−OC →=16OA →+13OB →−56OC →，故C 错误，故选：BD ．10．法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河．他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中，方程x 3+y 3＝3axy 所表示的曲线称为笛卡尔叶形线．当a ＝1时，笛卡尔叶形线具有的性质是（ ） A ．经过第三象限B ．关于直线y ＝x 对称C ．与直线x +y +1＝0有公共点D ．与直线x +y +1＝0没有公共点解：当a ＝1时，笛卡尔叶形线为x 3+y 3＝3xy ，A ：若x ＜0，y ＜0，则x 3+y 3＜0，3xy ＞0，x 3+y 3≠3xy ，故不经过第三象限，故A 错误；B ：若点（x ，y ）在曲线上，则点（y ，x ）也在曲线上，故笛卡尔叶形线关于直线y ＝x 对称，故B 正确；C ，D ：由方程组{x 3+y 3=3xy x +y =−1，得{(x +y)(x 2−xy +y 2)=3xy x +y =−1，得{x +y =0x +y =−1，此方程组无解，故笛卡尔叶形线与直线x +y +1＝0没有公共点，故D 正确，C 错误； 故选：BD ．11．对于给定的数列{a n }，如果存在实数p ，q ，使得a n +1＝pa n +q 对任意n ∈N *成立，我们称数列{a n }是“线性数列”，数列{c n }满足c 1=1，c n+1=c n +b n (n ∈N ∗)，则（ ） A ．等差数列是“线性数列”B ．等比数列是“线性数列”C ．若{b n }是等差数列，则{c n }是“线性数列”D ．若{b n }是等比数列，则{c n }是“线性数列”解：对A ，数列{a n }为等差数列，则a n +1﹣a n ＝d ，即a n +1＝a n +d ， 满足“线性数列”的定义，A 正确；对C ，{b n }是等差数列，设b 1＝1，b 2＝2，b 3＝3，b 4＝4， 则c 1＝1，c 2＝2，c 3＝4，c 4＝7，若{c n }是“线性数列”，则{c 2=pc 1+q c 3=pc 2+q ，∴{2=p +q 4=2p +q ，∴{p =2q =0，则应有c 4＝2c 3+q ＝8≠7，故{c n }不是“线性数列”，C 错误； 对B ，数列{a n }为等比数列，则a n+1a n=q ，即a n +1＝qa n ，满足“线性数列”的定义，B 正确；对D ，{b n }是等比数列，设首项为b 1，公比为t ，若t ＝1时，b n ＝b 1，则c 1=1，c n+1=c n +b 1(n ∈N ∗)，满足“线性数列”的定义； 若t ≠1时，由c 1=1，c n+1=c n +b n (n ∈N ∗)，得c n +1﹣c n ＝b n ， c 2﹣c 1＝b 1，c 3﹣c 2＝b 2，⋯，c n ＝c n ﹣1+b n ﹣1， 累加的c n −c 1=b 1+b 2+⋯+b n−1=b 1(1−t n−1)1−t，则c n=1+b1(1−t n−1)1−t=b1−b1t n−1+1−t1−t，经验证当n＝1时，c1=1+b1(1−t1−1)1−t=1满足c n，则c n=b1−b1t n−1+1−t1−t，若{c n}是“线性数列”，则存在实数p，q，使得c n+1＝p c n+q成立，则b1−b1t n+1−t1−t=pb1−b1t n−1+1−t1−t+q，b1−b1t n+1−t=p(b1−b1t n−1+1−t)+q(1−t)，b1−b1t n+1−t=pb1−pb1t n−1+p−pt+q−qt，则{−b1t=−pb1b1+1−t=pb1+p−pt+q−qt，则{p=tq=b1+1−t，则{c n}是“线性数列”，D正确．故选：ABD．12．已知P为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，M为线段PO的中点，AD为底面圆的直径，△ABC 是底面圆的内接正三角形，AP=AB=2√3，则下列说法正确的是（）A．BD∥OCB．AM⊥平面MBCC．在圆锥侧面上，点A到PB中点的最短距离为3D．圆锥内切球的表面积为16(2−√3)π解：对A选项，因为△ABC是底面圆的内接正三角形，AD为底面圆的直径，所以∠CAD＝30°，∠ADB＝60°，又∠COD＝2∠CAD＝60°，所以∠ADB＝∠COD，故BD∥OC，A正确；对B选项，因为P为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，M为线段PO的中点，所以MO⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以MO⊥BC，又AO⊥BC，MO∩AO＝O，MO，AO⊂平面MOA，所以BC⊥平面AMO，因为AM⊂平面AMO，所以AM⊥BC，因为AP =AB =2√3，所以AO ＝2，由勾股定理得：PO =√AP 2−AO 2=2√2，则MO =√2， 故AM =√AO 2+MO 2=√4+2=√6，同理可得BM =√6， 因为BM 2+AM 2＝AB 2，所以BM ⊥AM ， 因为BC ，BM ⊂平面MBC ，且BC ∩BM ＝B ， 所以AM ⊥平面MBC ，∴B 正确； 对C 选项，将侧面展开，如图所示，设PB 中点为Q ，连接AQ ，则|AQ |为点A 到PB 中点的最短距离， 其中AP =BP =CP =2√3，故底面周长为2π•AO ＝4π，故AB̂=4π3，则∠APB =4π32√3=2√3π9， 若∠APB =π3，由AP =2√3，PQ =√3，由余弦定理得：AQ =√AP 2+PQ 2−2AP ⋅PQcos∠APB =√12+3−6=3， 因为∠APB =2√3π9≠π3，所以在圆锥侧面上，点A 到PB 中点的最短距离不为3，∴C 错误； 对D 选项，由对称性可知，圆锥内切球球心在OP 上，作出图形，如图所示，设内切球球心为T ，设内切球半径为R ，TU ＝R ，PO =2√2，则PT =PO −R =2√2−R ， 其中UD ＝OD ＝2，故PU =PD −UD =2√3−2， 在Rt △PUT 中，由勾股定理得TU 2+PU 2＝PT 2， 即R 2+(2√3−2)2=(2√2−R)2，解得R =√6−√2，故圆锥内切球的表面积为4πR 2=4π(√6−√2)2=16(2−√3)π，∴D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设m ∈R ，b →=(1，−2，m)，c →=(2，−4，2)，b →∥c →，则m ＝ 1 ． 解：因b →∥c →，则b →=λc →，则{1=2λ−2=−4λm =2λ⇒{λ=12m =1． 故答案为：1． 14．点P 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|+|PF 2|＝4，离心率为√32，则b ＝ 1 ． 解：根据题意可得{2a =4c a =√32，∴a ＝2，c =√3，∴b 2＝a 2﹣c 2＝1，b ＞0，∴b ＝1．故答案为：1．15．已知正四棱锥的侧棱长为2√2，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为323π，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为√22． 解：如图所示，正四棱锥E ﹣ABCD ，AC ∩BD ＝O ，则EO ⊥平面ABCD ．设正四棱锥外接球的半径为R ，由题意，43πR 3=323π，可得R ＝2，设正四棱锥底面边长为a ，高为h ＝OE ，则(√22a)2+ℎ2=(2√2)2=8，12a 2+ℎ2=8①， 由(ℎ−2)2+(√22a)2=22整理得12a 2+ℎ2−4ℎ=0②， 由①②解得a =2√2，ℎ=2，由于EO ⊥平面ABCD ，所以正四棱锥的侧棱与底面所成的角为∠EAO ，则sin ∠EAO =2√2=√22． 故答案为：√22． 16．某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为{a n}，在数列{a n}的任意相邻两项a k与a k+1（k＝1，2，…）之间插入3k个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列{b n}．按新数列{b n}的各项依次派遣支教学生．记S50为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则S50的值为200．解：由已知原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人，所以数列{a n}为等差数列，且a1＝18，数列{a n}的公差d＝6，所以a n＝6n+12，数列{b n}为数列{a n}的任意相邻两项a k与a k+1（k＝1，2，⋯）之间插入3k个2所得，所以数列{b n}满足条件，b1＝18，当2≤n≤4时，b n＝2，b5＝24，当6≤n≤14时，b n＝2，b15＝30，当16≤n≤42时，b n＝2，b43＝36，当44≤n≤50时，b n＝2，所以数列{b n}的前50项的和为18+24+30+36+46×2＝200．故答案为：200．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题10分，第18～22题每题12分．17．（10分）已知圆C经过点A（0，2），B（6，4），且圆心在直线x﹣3y﹣4＝0上．（1）求圆C的方程；（2）若平面上有两个点P（﹣6，0），Q（6，0），点M是圆C上的点且满足|MP||MQ|=2，求点M的坐标．解：（1）∵圆心在直线x﹣3y﹣4＝0上，设圆心C（3a+4，a），已知圆C经过点A（0，2），B（6，4），则由|CA|＝|CB|，得√(3a+4)2+(a−2)2=√(3a+4−6)2+(a−4)2解得a＝0，所以圆心C为（4，0），半径r=|CA|=√(4−0)2+(0−2)2=2√5，所以圆C的方程为（x﹣4）2+y2＝20；（2）设M（x，y），∵M在圆C上，∴（x﹣4）2+y2＝20，又P（﹣6，0），Q（6，0），由|MP||MQ|=2可得：（x+6）2+y2＝4[（x﹣6）2+y2]，化简得（x﹣10）2+y2＝64，联立{(x−4)2+y2=20 (x−10)2+y2=64解得M(103，4√113)或(103，−4√113)．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝3a1﹣2，且S5﹣S3＝4a2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{1S n}的前n项和T n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，因为a3＝3a1﹣2，且S5﹣S3＝4a2．所以{a1+2d=3a1−22a1+7d=4a1+4d，解得{a1=3d=2，所以数列{a n}的通项公式a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1．（2）S n＝3n+n(n−1)2×2＝n（n+2），所以1S n=1n(n+2)=12（1n−1n+2），所以T n=12（1−13+12−14+13−15+⋯+1n−1−1n+1+1n−1n+2）=12（1+12−1n+1−1n+2）=34−2n+32(n+1)(n+2)．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5．（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）求平面A1C1B与平面B1C1B夹角的余弦值．证明：（Ⅰ）因为四边形AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC．因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，所以AA1⊥平面ABC．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，建立空间直角坐标系：A﹣xyz，如图所示：则A 1（0，0，4），B （0，3，0），B 1（0，3，4），C 1（4，0，4）， 所以BC 1→=(4，−3，4)，BA 1→=(0，−3，4)，BB 1→=(0，0，4)， 设平面A 1C 1B 的法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，n 2→=(x 2，y 2，z 2)，所以{n 1→⋅BC 1→=0n 1→⋅BA 1→=0，故{4x 1−3y 1+4z 1=0−3y 1+4z 1=0，故n 1→=(0，4，3)，同理n 2→=(3，4，0)，所以cos ＜n 1→，n 2→＞=|n 1→⋅n 2→||n 1→||n 2→|=165×5=1625． 平面A 1C 1B 与平面B 1C 1B 夹角的余弦值为1625．20．（12分）已知数列{a n }的首项a 1=38，且满足a n +1=3a n3a n +2．（1）求数列{1a n−3}的通项公式； （2）若1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a n＜101，求满足条件的最大整数n 的值．解：（1）由a n+1=3a n3a n +2，得1a n+1=23a n +1，即1a n+1−3=23(1a n −3)， 1a 1−3=83−3=−13≠0，所以{1a n −3}是以−13为首项，23为公比的等比数列． 所以1a n−3=−13×(23)n−1； （2）由（1）可得：1a n=−13×(23)n−1+3， 可得1a 1+1a 2+1a 3+...+1a n=−13×[1−(23)n ]1−23+3n =3n +(23)n −1，令3n +(23)n −1＜101，即3n +(23)n −102＜0，设f(n)=3n +(23)n −102，当n ≥1时，f(n +1)−f(n)=3−13×(23)n ＞0，所以f （n ）单调递增，又f （33）＜0，f （34）＞0，所以满足不等式的最大整数n ＝33．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥面ABCD ，AB ∥CD ，且CD ＝2，AB ＝1，BC ＝2√2，P A ＝1，AB ⊥BC ，E ，F 分别为PD ，BC 的中点． （1）求证：EF ∥平面P AB ；（2）在平面PBC 内是否存在点H ，满足HD →•HA →=0，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点H 的轨迹图形形状．（1）证明：如图，过E 作EG ⊥AD 交AD 于点G ，连接EG ，GF ， P A ⊥面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，则P A ⊥AD ，又EG ⊂面P AD ，P A ⊂面P AD ，且EG ，P A 不共线，故EG ∥P A ， 因为E 为PD 的中点，所以G 也为AD 中点， 又F 为BC 的中点，所以GF ∥AB ，而EG ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ，所以EG ∥平面P AB ，同理GF ∥平面P AB ， 又因为EG ∩GF ＝G ，EG ，GF ⊂平面EGF ， 所以平面EGF ∥平面P AB ，而EF ⊂平面EGF ， 所以EF ∥平面P AB ；（2）解：因为AB ⊥BC ，过点A 作Ax ∥BC ，则Ax ⊥AB ， 又P A ⊥面ABCD ，故Ax ，AB ，AP 两两垂直， 如图，以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(0，1，0)，C(2√2，1，0)，D(2√2，−1，0)， 故PB →=(0，1，−1)，PC →=(2√2，1，−1)， 设平面PBC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则有{n →⋅PB →=y −z =0n →⋅PC →=2√2x +y −z =0，令y ＝1，可得n →=(0，1，1)，又AD 中点G(√2，−12，0)，则BG →=(√2，−32，0)，则AD 中点到平面PBC 的距离为|BG →⋅n →||n →|=|0×√2+1×(−32)+1×0|√1+1=|−32|√2=3√24，由HD →⋅HA →=0，可得HD ⊥HA ，故H 在以AD 中点为球心，半径为12AD =32的球面上，而3√24＜32，故H 在面PBC 上的轨迹是半径为√(32)2−(3√24)2=3√24的圆，故存在符合题意的H ，此时H 轨迹是半径为3√24的圆． 22．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且A 1A 2＝4，椭圆C 的一条以(1，12)为中点的弦所在直线的方程为3x +2y ﹣4＝0．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 为直线x ＝4上一点，且P 不在x 轴上，直线P A 1，P A 2与椭圆C 的另外一个交点分别为M ，N ，设△P A 1A 2，△PMN 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2的最大值，并求出此时点P 的坐标．解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 分别代入椭圆方程可得，x 12a 2+y 12b 2=1，x 22a 2+y 22b 2=1，相减可得：(x 1+x 2)(x 1−x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1−y 2)b 2=0，∵x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝1，y 1−y 2x 1−x 2=−32，∴2a 2+1b 2×（−32）＝0，化为b 2=34a 2．又2a ＝4，解得a ＝2，b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）设P （4，t ）（t ≠0），M （x 3，y 3），N （x 4，y 4），可得直线P A 1的方程为：y =t 6（x +2），直线P A 2的方程为：y =t2（x ﹣2），联立{y =t6(x +2)3x 2+4y 2=12，化为（t 2+27）y 2﹣18ty ＝0，解得y 3=18t t 2+27． 联立{y =t2(x −2)3x 2+4y 2=12，化为（t 2+3）y 2+6ty ＝0，解得y 4=−6t t 2+3．∴S 1S 2=12|PA 1|⋅|PA 2|⋅sin∠P 12|PM|⋅|PN|⋅sin∠P =|PA 1||PM|•|PA 2||PN|=t−0t−y 3•t−0t−y 4=t t−18t t 2+27•t t−−6t t 2+3=(t 2+27)(t 2+3)(t 2+9)2， 令m ＝t 2+9＞9， 则S 1S 2=(m+18)(m−6)m 2=m 2+12m−108m 2=−108(1m )2+12m +1（0＜1m ＜19），当且仅当1m=−122×(−108)=118∈（0，19），即m ＝18，t ＝±3时，S 1S 2取得最大值43． ∴当点P 的坐标为（4，±3）时，S 1S 2取得最大值43．。

2025届安徽省合肥市合肥一中、合肥六中数学高三第一学期期末学业质量监测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ）A ．98B ．78C ．12D ．62562．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥3．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为棱1AA 、1CC 、11B C 、11A B 的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B4．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x ⋂=<< B ．{|2}A B x x ⋂=< C ．{|2}A B x x ⋃=<D ．{|12}AB x x =-<<5．已知函数()ln xf x x =，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221kx e x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最大值为（ ） A ．2e B ．eC ．24e D ．21e 6．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个8．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2sin 2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 9．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、M 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 、11A D 上，且11(0)A P AQ m m a ==<<，设平面MEF 平面MPQ l =，则下列结论中不成立的是（ ）A ．//l 平面11BDDB B ．l MC ⊥C ．当2am =时，平面MPQ MEF ⊥ D ．当m 变化时，直线l 的位置不变10．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（ ）A ．若m α且n α，则m nB ．若m β⊥且m n ⊥，则n βC ．若m α⊥且m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n11．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（ ）A ．4510B ．4510-C ．32-D ．3210-12．双曲线()221x y m c m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为（ ）A ．3B ．5C ．62D ．52二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

马鞍山市2021年高三第二次教学质量监测文科数学试题本试卷4页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U=R,集合A={x|x2≤x},B={-1,0,1,2},则（C U A)∩B=A.{2}B.{1,2}C.{-1,2}D.{-1,0,1,2}2.已知复数z满足iz=z+2i,则复数z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.相传在17世纪末期，莱布尼兹在太极八卦图的启示下，发明了二进制的记数方法．他发现，如果把太极八卦图中“连续的长划”（阳爻：）看作是1,把“间断的短划”（阴爻：）看作是0,那么，用八卦就可以表示出从0到7这八个整数．后来，他又作了进一步的研究，最终发明了二进制的记数方法。

下表给出了部分八卦符号与二进制数的对应关系：请根据上表判断，兑卦对应的八卦符号为4.函数f(x)=xcosx-1x在(－π,π)上的图象大致为5.已知变量x,y满足约束条件10,30,310.x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则目标函数z=2x-3y的最小值为A. -7B.-4C.-1D.16. 5.已知sin(3π-α3，则cos(3π＋2α)的值为 A. 23 B. 13 C.- 13 D.- 237.某同学计划暑期去旅游，现有A,B,C,D,E,F 共6个景点可供选择，若每个景点被选中的可能性相等，则他从中选择4个景点且A 被选中的概率是 A.15 B. 16 C. 35 D. 258. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0, 0≤φ≤π)的部分图象如图所示．则函数f(x)的图象可由函数 y=sinx 的图象经过下列哪种变换得到A.向左平移3π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）B.向左平移6π个单位长度，再将横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）C.向左平移6π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）D.向左平移3π个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）9.已知双曲线C: 2224x y b+＝1(b>0),以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是A.(1,3213) C.( 32, 131310.3,底面半径为1,O 为底面圆心，OA,OB 为底面半径，且∠AOB=2,3πM 是母线PA 的中点。