灰色预测模型理论及其应用
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测.
灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。
1.1
1.2
来进行定量分析的，通常分为以下几类：
(1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。
(2) 畸变预测（灾变预测）。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
(3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。
(4) 系统预测，是对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变
化的同时，预测系统各个环节的变化。
上述灰预测方法的共同特点是： （1）允许少数据预测；
（2）允许对灰因果律事件进行预测，比如
灰因白果律事件：在粮食生产预测中，影响粮食生产的因子很多，多到无法枚举，故为灰因，然而粮食产量却是具体的，故为白果。粮食预测即为灰因白果律事件预测。
白因灰果律事件 ：在开发项目前景预测时，开发项目的投入是具体的，为白因，而项目的效益暂时不
，预 G M （1， 1） Grey Model 1阶方程 1个变量 设时间序列()
0X
有n 个观察值，()
()()()()()(){
}
00001,2,
,X
x x x n =，为了使其成为有规律的时
间序列数据，对其作一次累加生成运算，即令 从而得到新的生成数列()
1X
，()
()()()()()(){
}
11111,2,
,X
x x x n =,称
为GM(1,1)模型的原始形式。
新的生成数列()
1X
一般近似地服从指数规律. 则生成的离散形式的微分方程具体的形式为
即表示变量对于时间的一阶微分方程是连续的. 求解上述微分方程，解为
当t =1时，()(1)x t x =，即(1)u
c x a
=-
，则可根据上述公式得到离散形式微分方程的具体形式为 其中，ax 项中的x 为
dx
dt
的背景值，也称初始值；a ，u 是待识别的灰色参数，a 为发展系数，反映x 是一次累减生成的，因此该式可以改写为)t +是不会出现突变的，当()(
t x t ++式子，整理得
令 (0)
(0)(0)(2),(3),
,()Y x
x x n ⎡⎤=⎣⎦
称Y 为数据向量，B 为数据矩阵，α为参数向量. 则上式可简化为线性模型： 由最小二乘估计方法得
上式即为GM(1,1)参数,a u 的矩阵辨识算式，式中(
)
1
T
T B B
B Y -事实上是数据矩阵B 的广义逆矩阵.
将求得的a ，u 值代入微分方程的解式，则
其中，上式是GM(1,1)模型的时间响应函数形式，将它离散化得
对序列()
()1ˆx
t 再作累减生成可进行预测. 即
上式便是GM(1,1)模型的预测的具体计算式.
2.3 GM(1,1)模型的检验
GM(1,1)模型的检验包括残差检验、关联度检验、后验差检验三种形式.
每种检验对应不同功能：残差检验属于算术检验，对模型值和实际值的误差进行逐点检验；关联度检验属于几何检验范围，通过考察模型曲线与建模序列曲线的几何相似程度进行检验，关联度越大模型越好；后验差检验属于统计检验，对残差分布的统计特性进行检验，衡量灰色模型的精度. ➢
令ε令∆➢ .
式中,(0)
(0)ˆ()()x
t x t -为第t 个点(0)x 和(0)ˆx
的绝对误差，()t ξ为第t 个数据的关联系数，ρ称为分辨率，即取定的最大差百分比，0ρ<<1,一般取0.5ρ=.
(0)()x t 和(0)ˆ()x
t 的关联度为 关联度大于60%便满意了，原始数据与预测数据关联度越大，模型越好. ➢ 后验差检验
后验差检验，即对残差分布的统计特性进行检验. 检验步骤如下： 1、计算原始时间数列()
{}0(0)(0)(0)(1),(2),,()X
x x x n =的均值和方差
2、计算残差数列{}(0)(0)(0)(0)(1),(2),
,()e e e e n =的均值e 和方差22
s 其中(0)
(0)(0)ˆ()()(),1,2,,e
t x t x t t n =-=为残差数列.
3、计算后验差比值
当0
P P >. 如果原
始序列建立的GM(1,1)模型不够精确，也可以用GM(1,1)残差模型来提高精度.
若用原始序列(0)
X
建立的GM(1,1)模型
可获得生成序列(1)X 的预测值，定义残差序列(0)
(1)(1)ˆ()()()e
k x k x
k =-. 若取k=t , t+1, …, n ，则对应的残差序列为
计算其生成序列(1)
()e k ，并据此建立相应的GM(1,1)模型
