高三数学第二次质量检测考试文【会员独享】

2024-2025学年天津市高三上学期第二次月考数学质量检测试卷一、单选题1. 已知集合，，则（ ）{}220A x x x =--<{}11B x x =-<<A. B. C. D.A BB AA B=A B =∅2. 已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（）{}n a n n S 2220S a -<()11n n nS n S +>+A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知，则（ ）0.2πππ,0.2,log 20.a b c ===A. B. C. D. b a c >>c b a >>a c b >>a b c>>4. 已知的部分图象如图，则可能的解析式为（ ）2cos ()()x x f x g x +=()g x A.B.()22x xg x -=+()22x xg x -=-C.D.2()g x x =()ln g x x=5. 设等比数列的前项和为，且，则（ ）{}n a n n S 573103,9a a a a ==105S S =A. 243B. 244C. 81D. 826. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面14AA =11AA B B 恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（ 1111,,,AC BC A C B C 14CE CA =ABC ）A. B. C. D. 3154521587. 已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的()cos (0)f x x x ωωω=->是（ ）A. 函数的图象关于点中心对称()f x 7π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 函数的单调增区间为()f x ()2πππ,π36k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z C. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到()f x 2sin y x ω=5π6D. 函数在上有2个零点，则实数t 的取值范围为()()()0g x f t x t ω=>(0,π)713,2424⎛⎤⎥⎝⎦8. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一12,F F 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>2F 条渐近线引垂线，垂足为点，且（为坐标原点），则双曲线的11,3P PQ PF = 1OQ PF ⊥O C渐近线方程为（ ）A .B. y =±y=C .D. y =y =9. 已知函数，若，，使成立，则()2,0ln ,0x x x f x x a x x ⎧-≤=⎨->⎩10x ∀≤20x ∃>()()21f x f x =实数的取值范围为（ ）a A. B. ()[),0e,-∞⋃+∞][(),e e,-∞-+∞ C .D.(]0,e [)(],e,0e 0-⋃二、填空题10. 若复数是纯虚数，则实数的值是__________.3i12i a ++a 11. 在的展开式中，项的系数为________.（用数字作答）51)x -x 12. 已知，，是不同的平面，，，是不同的直线，下列命题中所有真命题的序αβγl m n 号是_____（1）若，，，则；（2）若，，，则αβ⊥l αβ= m l ⊥m β⊥l α⊥m βγ= //l m 且；αβ⊥αγ⊥（3）若，，，则；（4）若，，，则//αβm α⊂n β⊂//m n αβ⊥γβ⊥l αγ= .l β⊥13. 紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机的特有装置．根据某机构对失事飞机的调查得知：失踪飞机中有后来被找到，在被找到的飞机70%中，有安装有紧急定位传送器；而未被找到的失踪飞机中，有未安装紧急定位传60%90%送器．则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器飞机的比例为______（填写百分数），现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为______．14. 过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为24y x =P 222:(4)(0)C x y r r -+=>，若的最小值是，则______.,A B ||||⋅AB PC 12r =15.在中，，，点为的中点，点为的中点，若设ABC V 60A ∠=︒3BC =D ABE CD ，，则可用，表示为________；若，则的最大AB a = AC b = AE ab 13BF BC =AE AF ⋅ 值为________.三、解答题16. 在中，角，，所对的边分别是，，，已知.ABC V A B C a b c ()cos 2cos b C a c B=-（1）求角的大小；B （2）设，2a =3c =（i ）求的值；b （ii ）求的值.()sin 2A B -17. 如图，四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD=CD=1，AA 1=AB=2，E 为棱AA 1的中点．（1）证明B 1C 1⊥CE ；（2）求二面角B 1﹣CE ﹣C 1的正弦值．（3）设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1，求线段AM 的长．18. 已知椭圆的一个焦点，两个焦点与短轴的一个端点构2222:1(0)x y C a b a b +=>>1(1,0)F 成等边三角形.（1）求椭圆的标准方程;C （2）过焦点作轴的垂线交椭圆上半部分于点，过点作椭圆的弦1F x P P C 在椭圆上且直线的倾斜角互补，问直线MN 的斜率是否为定PM PN MN ，，、PM PN ，值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.（3）在第（2）问的条件下，当面积最大时，求直线MN 的方程.OMN 19. 已知数列的前项和公式为，数列满足.{}n a n 232n S n n =-{}n b 11b a =（1）求数列的通项公式和；{}n a 1212n n ii a --=∑（2）若求数列的通项公式；12()nn n n a b b +=-{}n b （3）若数列满足，求.{}n c ()()*22N log 12k n k n n c k n n n ⎧≠⎪=∈⎨+=⎪⎩，，21n i i c =∑20. 已知函数，，．()()21e 1ax f x x -=++()()21(1)e 1a x ax g x x +-=++（1）若，求的极值；1a =()f x （2）当时，讨论零点个数；0a <()f x （3）当时，，求实数的取值范围．0x ≥()()f xg x ≥a。

厦门市2024届高中毕业班第二次质量检查一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}14A x x =-≤，40x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬⎩⎭，则A B =R ð（）A ．()0,4B ．[)0,4C ．[](]3,04,5- D ．[)(]3,04,5- 2．已知正项等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且()()22334441,41S a S a =+=+，则d =（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知,αβ为关于x 的方程2450x x -+=的两个虚根，则αβαβ+=+（）A ．52B ．52-C D ．4．已知样本()2,1,3,,4,5x x ∈R 的平均数等于60%分位数，则满足条件的实数x 的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．35．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线3410x y ++=上．若向量()3,4a = ，则OP 在a 上的投影向量为（）A ．34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．34,55⎝⎭C ．34,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．34,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭6．设12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，且满足112PF F F =，直线2PF 与C 的一条渐近线垂直，则C 的离心率为（）A ．53BC ．2D 7．已知()()()cos 140sin 110sin 130ααα-︒++=︒-︒，则tan α=（）A ．33B ．33-C D ．8．设集合{}1,0,1A =-，(){}12345,,,,,1,2,3,4,5iB x x x x x x A i =∈=，那么集合B 中满足1235413x x x x x ≤++++≤的元素的个数为（）A ．60B ．100C ．120D ．130二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1～6月的GDP 数据y （单位：百亿元）建立了一元线性回归模型，根据最小二乘法得到的经验回归方程为ˆ0.4ˆ2yx a =+，其中解释变量x 指的是1～6月的编号，其中部分数据如表所示：时间1月2月3月4月5月6月编号x 123456y /百亿元1y 2y 3y 11.1075y 6y （参考数据：621796i i y ==∑，()62170i i y y =-=∑），则（）A ．经验回归直线经过点()3.5,11B ．ˆ10.255a=C ．根据该模型，该地2023年12月的GDP 的预测值为14.57百亿元D ．第4个样本点()44,x y 的残差为0.10310．如图1，扇形ABC 的弧长为12π，半径为AB 上有一动点M ，弧AB 上一点N 是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A 为顶点的圆锥，使得AB 和AC 重合，则在图2的圆锥中（）（第10题图1）（第10题图2）A ．圆锥的体积为216πB ．当M 为AB 中点时，线段MN 在底面的投影长为C ．存在M ，使得MN AB⊥D ．min 3302MN =11．已知()(),f x g x 都是定义在R 上的奇函数，且()f x 为单调函数，()11f >．x ∀∈R ，()()f g x x a -=（a 为常数），()()()()222g f x g f x x ++=+，则（）A ．()20g =B ．()33f <C ．()f x x -为周期函数D ．()21422n k f k nn=>+∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 在C 上，且5AF =，O 为坐标原点，则AOF △的面积为______．13．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，π4ππ633f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω的可能取值为______．14．已知函数()()log 0,0,1ab f x x x a b b =->>≠，若()1f x ≥恒成立，则ab 的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是边长为2的菱形，1π3ABB ∠=，AC =，M 为11A B 中点，CM =（第15题图）（1）证明：平面ABC ⊥平面11ABB A ；（2）若2BC =，求平面ABC 与平面1ABC 夹角的余弦值．16．（15分）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形．如图，ABC △的面积为S ，三个内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，且222sin S C c b=-．（第16题图）（1）证明：ABC △是倍角三角形；（2）若9c =，当S 取最大值时，求tan B ．17．（15分）已知()2,0A ，()2,0B -，P 为平面上的一个动点．设直线,AP BP 的斜率分别为1k ，2k ，且满足1234k k ⋅=-．记P 的轨迹为曲线Γ．（1）求Γ的轨迹方程；（2）直线PA ，PB 分别交动直线x t =于点C D 、，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．HC HD ⋅ 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．18．（17分）若*n ∀∈N ，都存在唯一的实数n c ，使得()n f c n =，则称函数()f x 存在“源数列”{}n c ．已知()(]ln ,0,1f x x x =∈．（1）证明：()f x 存在源数列；（2）（ⅰ）若()0f x≤恒成立，求λ的取值范围；（ⅱ）记()f x 的源数列为{}n c ，证明：{}n c 前n 项和53n S <．19．（17分）小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5．（1）若小明共投篮4次，在投中2次的条件下，求第二次没有投中的概率；（2）若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中1X 次，第二组投篮2次，投中2X 次，求()12E X X -；（3）记()P i 表示小明投篮()2,3,i i =⋅⋅⋅次，恰有2次投中的概率．在投篮不超过()2n n ≥次的情况下，若小明投中2次，则停止投篮；若投篮n 次后，投中的次数仍不足2次，则不再继续投篮．记Y 表示小明投篮的次数．证明：()()222n i E Y P i +=≥∑．。

2024—2025学年高三（上）第二次质量检测联考高三数学解析版注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：集合、逻辑用语、不等式、函数、导数、概率统计、三角函数、平面向量.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 如图，已知全集U =R ，集合{}2340A x x x =-->，{}0B x x =>，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A. {}0x x ≤ B. {}1x x ≥- C. {}10x x -≤≤ D. {}04x x x 或【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合.【详解】依题意，集合{|1A x x =<-或}4x >，而{}0B x x =>，则|1{A B x x =<- 或}0x >，由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为(){|10}U A B x x =-≤≤ ð.故选：C.2. 若复数z 满足(13i)3i z -=-（i 为虚数单位），则z 的模z =（ ）A.35B. 1C. D. 5【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式求解即可.【详解】由(13i)3i z -=-，得()()()()223i 13i 3i 39i i 3i 68i 34i 13i 13i 13i 19i 1055z -+-+--+=====+--+-，所以1z ==.故选：B.3. 设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，且6634S =，135212a a a ++=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为（ ）A. 32 B. 16C. 128D. 64【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式、前n 项和公式，结合【详解】设该等比数列的公比为q ，因为()61352S a a a ≠++，所以1q ≠，由6634S =，()()()61135241111631211422122a q q a a a a a q a q ⎧-⎪=⎪-++=⇒⎨⎪++=⎪⎩()()()()()()()()()()2246242411111333112,221221111q q q q q q q q q q q q q q -+++--÷⇒=⇒=⇒=⇒=--++-++18a =，()()()()()21111172112312221211111182,2n n n n n n n n n nn n T a a a a a q a qaqa q--+--+-++++-⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=⋅=⋅= ⎪⎝⎭即221749172282222n n T ⎛⎫--+-+ ⎪⎝⎭==，显然当3n =，或4n =时，n T 最大，最大值为634264T T ===，故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是要根据指数复合函数的单调性进行求解.4. 已知向量,,a b c ，满足1a = ，2b = ，3c = ，π,,3a b a b c =+=，则a b + 在c 方向上的投影向量为（ ）A. B. 143cC. D. 76c 【答案】C 【解析】【分析】利用投影向量的定义计算即可求得a b + 在c方向上的投影向量.【详解】因为1a = ，2b = ，3c =，π,3a b 〈〉= ，所以a b +=== ，所以a b + 在c 方向上的投影向量为()||||a b c c c c +⋅⋅=2π||||cos 3||a b c c c +== ．故选：C.5. 柜子里有4双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果错误的是（ ）A. “取出的鞋不成双”的概率等于67B. “取出的鞋都是左鞋”的概率等于314C. “取出的鞋都是一只脚的”概率等于37D. “取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的概率等于57【答案】D 【解析】【分析】利用古典概型公式可判断A 、B 、D 选项，根据B 结论和加法公式可判断选项C.【详解】对于A ，可以先取两双鞋再各分配一只即可得到“取出的鞋不成双”的可能情况数，所以“取出的鞋不成双”的概率为21122248C C C 246C 287P ===，故A 正确，不符合题意；对于B ，从4只左鞋里面取两只即可得到“取出鞋都是左鞋”的可能情况数，所以“取出的鞋都是左鞋”的概率等于82243C C 14628P ===，故B 正确，不符合题意；对于C ，由B 可知，“取出鞋都是左鞋”的概率等于314，同理“取出的鞋都是右鞋”的概率等于314，的的所以“取出的鞋都是一只脚的”概率等于33314147+=，故C 正确，不符合题意；对于D ，可以先取两双鞋，再分步取鞋使得它们一只是左脚，一只是右脚，所以“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的概率为82112412C C C 12C 2873P ===，故D 错误，符合题意；故选：D.6. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22430x y y +-+=，若直线1y kx =-上存在点P ，使以P 点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 11,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B. ,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C. ,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭D. 11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】两圆有公共点，则两圆相交或相切，利用圆心距与半径的关系列不等式求实数k 的取值范围.【详解】解法一：圆C 的方程化标准方程为()2221x y +-=，所以圆C 是以()0,2为圆心，1为半径的圆.设()00,1P x kx -，由以P 为圆心，1为半径圆与圆()22:21C x y +-=有公共点，得关于0x 的不等式1111-≤≤+有解，即()22001650k x kx +-+≤有解，所以()()2262010k k ∆=-+≥，解得k ≤或≥k .故选：B.解法二：圆C 的方程化标准方程为()2221x y +-=，所以圆C 是以()0,2为圆心，1为半径的圆.又直线1y kx =-上存在点P ，使以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，所以只需圆()22:24C x y -'+=与直线1y kx =-有公共点即可.2，解得k ≤或≥k .的故选：B.7. 已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，过2F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，且1AF AB ⊥，22BF =，则椭圆长轴长的最小值是（ ）A. 12B. 3+C. 6D. 6+【答案】D 【解析】【分析】利用椭圆的定义，结合勾股定理，利用基本不等式转化求解即可．【详解】设2AF t =，则2AB t =+，122BF a =-，12AF a t =-，由1AF AB ⊥，得222(2)(2)(22)t a t a ++-=-，则22202t ta t +=>-，有2t >，所以2282(2)66622t t a t t t +==-++≥+=+--当且仅当822t t -=-，即2t =+所以椭圆长轴长的最小值是6+.故选：D8. 已知函数()3e ln xf x x x x a x =---，若对任意的0x >，()1f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. []3,3- B. []22-, C. []4,4- D. []1,1-【答案】B 【解析】【分析】问题等价于()3e ln 10x x x x a x x ---≤>恒成立，不妨令()()3e ln 110x x x g x x x--=->，求出()min g x 即可得实数a 的取值范围.【详解】当0x >，3eln 1xx x x a x ---≥恒成立，3e ln 1xa x x x x ≤---，即()3e ln 10x x x x a x x ---≤>恒成立.不妨令()()3e ln 110x x x g x x x--=->，则()mina g x ≤设()e 1xh x x =--，有()00h =，()e 1xh x '=-，当0x ≥时，()0h x '≥，()h x 在[)0,+∞上单调递增，有()()00h x h ≥=，所以0x ≥时， e 1x x ≥+，当且仅当0x =时等号成立.故()()()3ln 3e ln 1e e ln 111x x x x x x g x xx-+-+=-⋅=-()ln 3e ln 1ln 31ln 112x x x x x x xx+-+++--=≥-=，当且仅当ln 30x x +=，即ln 3x x =-时上式取得等号，由对数函数和一次函数的图象和性质可知，方程ln 3x x =-显然有解，所以2a ≤，得[]2,2a ∈-.故选：B.【点睛】方法点睛：问题等价于()3e ln 10x x x x a x x---≤>恒成立，由()()()ln 33e ln 1e ln 110x x x x x x g x x x x+-+--=-=>，利用e 1x x ≥+，得到()2g x ≥.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记1A 表示事件“从甲袋摸出的是红球”，2A 表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记1B 表示事件“从乙袋摸出的是红球”，2B 表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（ ）A. 12,A A 是互斥事件B. 12,A B 是独立事件C. ()22711P B A =∣ D. 211210()()11P B A P B A +=【答案】ACD 【解析】【分析】根据互斥事件的定义可判断A ；求出1212()()(),P A P B P A B 是否相等可判断B ；计算出22()P B A 可判断C ；计算出2112()()P B A P B A +可判断D.【详解】对于A ，依题意，因为每次只摸出一个球，12A A =∅ ，所以1A ，2A 是互斥事件，故A 正确；对于B ，11()2P A =，2161713()21121122P B =⨯+⨯=，则12121163()()()21111P A B P A P B A =⨯=⨯=，所以1212()()()P A P B P A B ≠，故B 错误；对于C ，227()11P B A =，故C 正确；对于D ，21126410()()111111P B A P B A +=+=，故D 正确.故选：ACD.10. 我国在预测人口变化趋势上有直接推算法、灰色预测模型、VAR 模型、队列要素法等多种方法，直接推算法使用的公式是()()011nn P P k k =+>-，其中n P 为预测期人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内人口增长率，n 为预测期间隔年数，则下列说法正确的有（ ）A. 若在某一时期内10k -<<，则这期间人口数呈下降趋势B. 若在某一时期内0k >，则这期间人口数呈上升趋势C. 若在某一时期内01k <<，则这期间人口数摆动变化D. 若在某一时期内0k =，则这期间人口数不变【答案】ABD 【解析】【分析】利用数列的单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】由()()011nn P P k k =+>-，得当10k -<<时，011k <+<，因为00P >，所以，对任意的n *∈N ，0n P >，所以，()()10101111n n n n P k P k P P k +++==+<+，则1n n P P +<，此时，在某一时期内10k -<<，则这期间人口数呈下降趋势，A 对；对于B 选项，当0k >时，11k +>，因为00P >，所以，对任意的n *∈N ，0n P >，所以，()()10101111n n n n P k P k P P k +++==+>+，则1n n P P +>，故在某一时期内0k >，则这期间人口数呈上升趋势，B 对；对于C 选项，由B 选项可知，在某一时期内01k <<，则这期间人口数呈上升趋势，C 错；对于D 选项，当0k =时，0n P P =，故在某一时期内0k =，则这期间人口数不变，D 对.故选：ABD.11. 已知函数()cos2sin f x x a x =+，0a ≠，则（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为2πB. 当1a =时，函数()f x 的值域为92,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 当2a =-时，函数()f x 的单调递增区间为()π7π2π,2π26k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z D. 当1a =时，若函数()f x 在区间()()0,πk k ∈Z 内恰有2025个零点，则1350k =【答案】ABD 【解析】【分析】利用余弦型函数和正弦函数的周期性可判断A 选项；利用二次函数的值域可判断B 选项；利用复合函数的单调性可判断C 选项；在()0,2πx ∈时解方程()0f x =，结合函数的周期性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为函数cos 2y x =的最小正周期为12ππ2T ==，函数()sin 0y a x a =≠的最小正周期为22πT =，故函数()f x 的最小正周期为2π，A 对；对于B 选项，当1a =时，()2cos 2sin 2sin sin 1f x x x x x =+=-++，令sin t x =，则[]1,1t ∈-，221212948y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，当14t =时，max 98y =；当1t =-时，2112y =--+=-；当1t =时，0y =.所以，min 2y =-，所以，当1a =时，函数()f x 的值域为92,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B 对；对于C 选项，当2a =-时，()cos 22sin f x x x =-，则()22132sin 2sin 12sin 22f x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，令sin t x =，则11t -≤≤，则外层函数213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，外层函数213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的单调递增区间为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当112t -≤≤-时，则内层函数sin t x =单调递增时，则函数()f x 为增函数，所以，()ππ2π2π26k x k k -≤≤-∈Z ；当112t -≤≤时，则内层函数sin t x =单调递减时，则函数()f x 为增函数，所以，()π7π2π2π26k x k k +≤≤+∈Z .综上所述，当2a =-时，函数()f x 的单调递增区间为()ππ2π,2π26k k k ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭Z 、()π7π2π,2π26k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，C 错；对于D 选项，当1a =时，()2cos 2sin 2sin sin 10f x x x x x =+=-++=，可得sin 1x =或1sin 2x =-，由于函数()f x 的最小正周期为2π，且()2π1f =，现在考虑函数()f x 在()0,2π上的零点个数，由sin 1x =可得π2x =，由1sin 2x =-可得7π6x =或11π6x =，所以，函数()f x 在()0,2π上的零点个数为3，因为20253675÷=，故26751350k =⨯=，D 对.故选：ABD.【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：①利用sin x 和cos x 的最值直接求；②把形如sin cos y a x b x =+的三角函数化为()sin y A ωx φ=+的形式求最值；③利用sin cos x x ±和sin cos x x 的关系转换成二次函数求最值；④形如2sin sin y a x b x c =++或2cos cos y a x b x c =++转换成二次函数求最值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知x ，y 为正实数，则2162y x x x y++的最小值为__________．【答案】4-【解析】【分析】将原式变形为2162y y xx++，再结合基本不等式即可求解.【详解】21621622y x y y x x y x x+=+++，令0yt x =>，所以()21616162224222y t t y x t t x+=+=++-+++44≥-=-，当且仅当2t =-取等号.所以2162y x x x y++的最小值为4.故答案为：4-13. 阅读材料：空间直角坐标系O xyz -中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,n a b c =的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为270x y z -+-=，直线l 是两平面10x y -+=与20y z -+=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为____________.【答案】0【解析】【分析】由题意可得平面α的法向量，同理可得平面30x y -+=的法向量以及210x z --=的法向量，进而求得直线l 的一个方向向量，再利用向量的夹角公式即可得解.【详解】平面α的方程为270x y z -+-=，可得平面α的法向量为()1,2,1n =-r，平面10x y -+=的法向量为()11,1,0,20m y z =--+= 的法向量为()20,1,1m =-，设直线l 的方向向量为(),,m x y z = ，则120m m m m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00x y y z -=⎧⎨-=⎩，令1z =，则()1,1,1m =，设直线l 与平面α所成角θ，090θ︒≤≤︒，则sin cos ,0m θ= ，所以直线l 与平面α所成角的正弦值为0.故答案为：0.14. 已知正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方形ABCD 的中心．M 为平面ABCD 上的一个动点，则下列命题正确的_______①若1||MA MB =，则M 的轨迹是圆；②若M 到直线11AB,A D 距离相等，则M 的轨迹是双曲线；③若M 到直线1,CD BB 距离相等，则M 的轨迹是抛物线【答案】②③【解析】【分析】根据题意，利用空间向量的坐标法或直接运用几何定义法来研究动点轨迹，然后再进行判断即可.【详解】对于①，建立如图空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -棱长为a ，对于A ，()0,0,0A ，()1,0,B a a ，(),,0M x y ，则()()1,,0,,,,AM x y B M x a y a ==--AM M =，则()222222x y x a y a ⎡⎤+=-++⎣⎦，即()2220x a y -+=此时仅有2,0x a y ==，所以M 的轨迹是一个点，故①错误；对于②，过M 向AB 作垂线，垂足为3M ，过M 向AD 作垂线，垂足为1M ，过1M 向11A D 作垂线，垂足2M ，由于11121,MM M M AD A D ⊥⊥，又因为11//AD A D ，1112MM M M M = ，211,MM M M ⊂平面12MM M ，所以11A D ⊥平面12MM M ，又因为2MM ⊂平面12MM M ，所以112MM A D ⊥，若M 到直线AB ，11A D 距离相等，即32MM MM =，因为(),,0M x y，所以32,MM y MM ==则222y x a =+，即22221y x a a-=，则M 的轨迹是双曲线，故②正确，对于③，若M 到直线CD ，1BB 距离相等，1BB ⊥面ABCD ， MB ⊂面ABCD ，所以1BB MB ⊥，所以M 到直线1BB 的距离为M 到点B 的距离，则M 到直线CD ，点B 距离相等，由抛物线定义可得，M 的轨迹是抛物线，故③正确；故答案为：②③.【点睛】关键点睛：本题重点考查立体几何中的轨迹问题，关键在于对于对圆锥曲线定义的理解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 记锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C 的角平分线交AB 于点D，CD =sinsin 2A Ba c A +=.（1）求C ；（2）求a b +的取值范围.【答案】（1）3C π= （2）94,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】为【分析】（1）利用正弦定理将边化角可得sin sin 2A BC +=，再由诱导公式和二倍角的正弦公式化简即可得出答案.（2）令CAB α∠=，利用正弦定理求出,a b ，再化简a b +的表达式，最后再利用对勾函数单调性即可得到范围.【小问1详解】由正弦定理可得：sin sinsin sin 2A BA C A +=，因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，即sinsin 2A BC +=，所以ππsinsin cos sin 2sin cos 222222C C C C C C -⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭，因为()π0,π,0,22C C ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，所以cos 02C≠，12sin2C=，即1sin =22C ，所以π=26C ，即3C π=.【小问2详解】锐角ABC V 中，令CAB α∠=，则022032παππα⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，则62ππα<<，在ACD中，sin 6bπα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭6sin b παα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=， 在BCD △中，sin 63aππα=⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则6sin 3a παπα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以66sin sin 3a b ππααπαα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭2sin sin 63sin sin 3ππαααπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭13cos sin 22αααα⎫⎛⎫++⎪⎪===令1tan x α=∈，11()22a b f x +===11)42⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦因为x ∈，则114t <=+<，则()1442h t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据对勾函数的单调性知()h t 在()1,2上单调递减，在()2,4单调递增，且()()9142h h ==，()14224422h ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，则()h t 的值域为94,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.即a b +的取值范围为94,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.16. 如图1，平面图形PABCD 由直角梯形ABCD 和等腰直角PAD △拼接而成，其中1AB BC ==，BC AD ∥，90BAD ∠=；PA PD ==90APD ∠= ，点O 是AD 中点，现沿着AD 将其折成四棱锥P ABCD -（如图2）．（1）当二面角P AD C --为直二面角时，求点A 到平面PCD 的距离；（2）在（1）的条件下，设点Q 为线段PD 上任意一点（不与P ，D 重合），求二面角Q AC D --的余弦值的取值范围．【答案】（1（2）⎫⎪⎪⎭【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得点A 到平面PCD 的距离.（2）设PQ PD λ=，求得Q 点坐标，表示出二面角Q AC D --余弦值，再求其范围.【小问1详解】∵PA PD ⊥，PA PD ==∴2AD =．点O 是AD 中点，1AO =，∴1PO =，结合折叠前后图形的关系可知,PO AD CO AD ⊥⊥，∵二面角P AD C --为直二面角，则侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ⋂底面ABCD AD =，的∴⊥PO 平面ABCD ，易知PO ，AD ，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示，则P (0,0,1)，()0,1,0A -，()1,1,0B -，()1,0,0C ，D (0,1,0)，∴()0,1,1PA =-- ，()1,0,1CP =-，PD =(0,1,−1)．设平面PCD 的法向量为(),,u x y z =，则00CP x z PD y z μμ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1z =，得1x =，1y =，则()1,1,1u = 为平面PCD 的一个法向量，则点A 到平面PCD的距离PA u d u ⋅==．【小问2详解】设点Q 满足PQ PD λ=（01λ<<）．∵PD =(0,1,−1)，∴()0,,PQ OQ OP λλ=-=-，∴()0,,1OQ λλ=-，∴()0,,1Q λλ-．设平面CAQ 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1)，又∵()1,1,0AC = ，()0,1,1AQ λλ=+-，∴()()11110110m AC x y m AQ y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩ ，取11z λ=+，则11y λ=-，11x λ=-，取()1,1,1m λλλ=--+为平面CAQ 的一个法向量．易知平面CAD 的一个法向量为()0,0,1n =，∴二面角Q AC D --的余弦值为cos,m nm nm n⋅===⋅==，由01λ<<，所以()211,01λ-∈-+⎫⎪⎪⎭，所以二面角Q AC D--的余弦值的取值范围为⎫⎪⎪⎭.17. 甲、乙、丙参加某竞技比赛，甲轮流与乙和丙共竞技n场，每场比赛均能分出胜负，各场比赛互不影响.（1）假设乙的技术比丙高，如果甲轮流与乙和丙竞技3场，甲只要连胜两局即可获胜，甲认为：先选择与实力弱的丙比赛有优势，判断甲猜测的正确性；（2）假设乙与丙的技术相当，且甲与乙，甲与丙竞技甲获胜的概率都是12，设()*3,nP n n≥∈N为甲未获得连续3次胜利的概率.①求3P，4P；②证明：1n nP P+≤.【答案】（1）甲猜测错误.（2）①378P=，41316P=；②证明见解析【解析】【分析】（1）设甲胜乙的概率为0p，甲胜丙的概率为p'，由独立事件的乘法公式分别求出若甲与丙比赛，则甲获胜的概率和甲先与乙比赛，则甲获胜的概率再比较大小即可；（2）①3P 为1减去甲获得连续3次胜利的概率，4P 为1减去甲获得连续3次和4次胜利的概率；②考察3n P +，分为情形一、二、三，结合独立事件的乘法公式和全概率公式计算即可；【小问1详解】设甲胜乙的概率为0p ，甲胜丙的概率为0p '， 乙的技术比丙高，00p p ∴<'若甲与丙比赛，则甲获胜的概率为：()000000200012p p p p p p p p p -+⋅='''''-若甲先与乙比赛，则甲获胜的概率为：()200000000012p p p p p p p p p ''-⋅⋅+-'⋅='显然220000000022p p p p p p p p --''''<，故甲应先与乙比赛有优势，故甲猜测错误.【小问2详解】①3317128P ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，344111312216P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦②考察3n P +，分为情形一：第3n +局甲输；情形二：第3n +局甲赢，2n +局甲输情形三：第3n +局甲赢，2n +局甲赢，1n +局甲输由题意分为三种情形，如下：情形一 第n 场输了，则前1n -场甲未获得连续3次胜利，此时概率为112n P -.情形二 第n 场赢了，第1n -场输了，则前2n -场甲未获得连续3次胜利，此时概率为214n P -.情形三 第n 场赢了，第1n -场赢了，第2n -场输了，则前3n -场甲未获得连续3次胜利，此时概率为318n P -.由全概率公式得()*1231114,248n n n n P P P P n n ---=++≥∈N .①因此()*12341115,248n n n n P P P P n n ----=++≥∈N .②①12-②得141016n n n P P P ---=-≤，又因为34P P >，所以当3n ≥，*n ∈N 时，1n n P P +≤.【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键是考察3n P +时能够把情况分为三种，再结合全概率计算比较大小.18. 在平面内，若直线l 将多边形分为两部分，多边形在l 两侧的顶点到直线l 的距离之和相等，则称l 为多边形的一条“等线”．双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，其离心率为2，且点P 为双曲线E 右支上一动点，直线m 与曲线E 相切于点P ，且与E 的渐近线交于A 、B 两点，且点A在点B 上方．当2PF x ⊥轴时，直线1y =为12PF F 的等线．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>在其上一点()00,P x y 处的切线方程为00221x x y ya b-=．（1）求双曲线E 的方程；（2）若y =是四边形12AF BF 的等线，求四边形12AF BF 的面积；（3）已知O 为坐标原点，设13OG OP =，点G 的轨迹为曲线Γ，证明：Γ在点G 处的切线n 为12AF F △的等线．【答案】（1）2213y x -=（2）12 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）在双曲线E 的方程中，令x c =，结合已知条件求出点P 的坐标，根据“等线”的定义可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出a 、b 的值，即可得出双曲线E 的方程；（2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可.（3）利用给定条件和新定义证明即可.【小问1详解】解：在双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的方程中，令x c =，解得2by a =±，因为直线1y =为12PF F 的等线，显然点P 在直线1y =的上方，故有2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，又F 1(−c,0)、()2,0F c ，有212b a-=，2c e a ==，222c a b =+，解得1a =，b =，所以E 的方程为2213y x -=．【小问2详解】解：设P (x 0,y 0)，由题意有m 方程为0013y yx x -=，①渐近线方程为y =，联立得001A x y x =-，001B x y x =+，故00112A B x x x y y x x +=+=-+，所以P 是线段AB 的中点，因为1F 、2F 到过原点O 的直线距离相等，则过原点O 点的等线必定满足：A 、B 到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点P ，即直线OP的方程为y =，由2213y y x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故P ．所以03A A y ====.所以03B B y ====-，所以6A B y y -=，所以121212122A B A B AF BF S F F y y y y =⋅-=-=四边形．【小问3详解】证明：设()G x y ,，由13OG OP =，所以03x x =，03y y =，故曲线Γ的方程为22931(0)x y x -=>，由①知切线为n ，也为0093133x y y x -=，即00133y y x x -=，即00310x x y y --=．易知A 与2F 在n 的右侧，1F 在n 的左侧，分别记1F 、2F ，A 到n 的距离为1d 、2d 、3d ，由（2）知001A x y x =-，0001A y y x ==-所以3d ，由01x ≥得12d d ==，因为231d d d +===，所以直线n 为12AF F △的等线．【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用给定定义和条件，然后结合前问结论，得到231d d d +=，证明即可．19. 已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均为幂函数.()ln h x kx =，且(2)(3)(3)(2)f g f g >.（1）若()()()u x f x g x =+，证明：102u ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；（2）若()()()u x f x h x =-，(2)4f =，当0k >且函数()u x 有两个零点时，求实数k 的取值范围；（3）若()()()u x g x h x =，(2)1f =，()ln e k g =，证明：()u x 在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增.【答案】（1）证明见解析 （2）)+∞（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据幂函数解析式及性质可设函数解析式，再根据指数函数的单调性可证明不等式；（2）利用导数先分析函数的单调性，进而结合函数()u x 有两个零点求解即可；（3）由已知可得0b a >=，求导，可转化为证明ln ln 10b b b x ++>在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭恒成立，结合函数()ln 1F b b b b =-+的单调性与正负情况可得证.【小问1详解】证明：由已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均为幂函数，可设()af x x =和()bg x x =，且()()f x f x -=，()()g x g x -=-，又()()()()2332f g f g >，即2332abab⋅>⋅，即2233a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以a b <，所以11111112222222a bu f g f g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1110222a bu ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】由已知()224a f ==，得2a =，即()2f x x =，所以()()()2ln u x f x h x x kx =-=-，当0k >时，()2ln u x x kx =-的定义域为()0,∞+，()21212x u x x x x -'=-=，令()0u x '=，解得x =或x =，所以当x ⎛∈ ⎝时，()0u x '<，()u x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0u x '>，()u x 单调递增，因为函数()u x 有两个零点，所以()min 1ln 02u x u ==-<，解得k >，即实数k 的取值范围为)+∞.【小问3详解】证明：由()ln e ln e bk g b ===，又已知()221af ==，所以0a =，由（1）得a b <，即0b >，所以函数()()()ln bu x g x h x x bx ==的定义域为()0,∞+，所以()()11ln ln 1b b b bu x bxbx x x b bx bx--'=+⋅=+，又10b x ->恒成立，且1,ex ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以ln 1x >-，ln 1ln ln 1ln 1b bx b b b x b b b +=++>-+，设()ln 1F b b b b =-+，则()ln 11ln F b b b '=+-=，令()0F b '=，则1b =，所以当()0,1b ∈时，()0F b '<，()F b 单调递减，当()1,b ∈+∞时，()0F b '>，()F b 单调递增，所以()()10F b F ≥=， 所以ln 10b bx +>，即当1,ex ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()()1ln 10b u x xb bx -'=+>，所以函数()u x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．。

高三第二次质量检测数学试题（文科）本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的）1.已知全集U R =，集合xA {x |0}x 2=<-，则C U A =（ ） A.（-∞，0] B.［2，+∞) C.(,0][2,)-∞⋃+∞ D.［0，2］2.函数x f (x)23x =+的零点所在的一个区间是（ ）A.（-2，-1）B.（-1，0）C.（0，1）D.（1，2） 3.已知三条直线a,b,c 和平面β，则下列推论中正确的是（ ） A.若a//b,b β⊂,则a //β B.//αβ，b//β，则a//b C.若a ,b //,a,b ββ⊂共面，则a //b D.a c,b c ⊥⊥，则a//b4.已知A B C ∆的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足：PA PB PC 0++=，若实数λ满足：AB AC AP λ+=，则λ的值为A.3B.23C.2D.85.“a=-1”是“直线2a x y 60-+=与直线4x (a 3)y 90--+=互相垂直”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 C.既不充分也不必要条件6.等比数列｛n a ｝中，3a 7=，前3项之各3S 21=，则数列｛n a ｝的公比为（ ） A.1 B.1或12- c.12- D.-1或127.函数)1(,||)(>=a x xa x f x的图象的大致形状是（ ）8.若向量a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直，则y x 39+的最小值为（ ）A.12B.32C.23D.69.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：㎡）为 A.48 B.64 C.80 D.12010.函数)32cos()62sin(ππ+++=x x y 的最小正周期和最大值分别为（ ）A.2,2πB.1,2πC.π，1D.π，211.已知对任意实数x ，有),()(),()(x g x g x f x f =--=-且0>x 时，0)(',0)('>>x g x f ，则0<x 时（ ）A.0)(',0)('>>x g x fB.0)(',0)('<>x g x fC.0)(',0)('><x g x fD.0)(',0)('<<x g x f12.已知函数x x g x a ax x f =+--=)(,1)3()(2，若对于任一实数x ，)(x f 与)(x g 至少有一个为正数，则实数a 的取值范围是 （ ）A.［0，3）B.［3，9）C.［1，9）D.［0，9）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=.0,2,0,log )(2x x x x f x若21)(=a f ，则=a .14.已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则y x z 2-=的最小值是 .15.若ABC ∆的面积为3，O 60,2==C BC ，则边长AB 的长度等于 .16.对于连续函数)(x f 和)(x g ,函数|)()(|x g x f -在闭区间［b a ,］上的最大值为)(x f 与)(x g 在闭区间［b a ,］上的“绝对差”，记为b x a x g x f ≤≤∆)).(),((则322221331≤≤-+∆x x)x ,x (= 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 已知函数R x x x x x f ∈---=,1)sin (cos 212sin 23)(22. （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）设ABC ∆的内角C B A 、、的对边分别为a 、b 、c ，若c=7，,sin 3sin ,0)(A B C f ==求a,b 的值18.（本小题满分12分）若向量a (3sin(x x )),b (sin(x ),cos(x ))=++=++ωϕωϕωϕωϕ，其中0,02πωϕ><<，设函数3f (x)a b 2=⋅- ，其周期为π，且x 12π=是它的一条对称轴。