椭圆及其性质

椭圆及其性质 ☆知识梳理☆一、椭圆的定义1、 的点的轨迹叫椭圆， 两定点叫 ，两点之间的距离叫 。

2、用符号语言表述为： 。

二、椭圆的标准方程及简单几何性质三、直线与椭圆的位置关系1、将直线的方程y kx b =+与椭圆的方程22221x y a b+=(0)a b >>联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ.①Δ＞0 ⇔ (或两个公共点）； ②Δ＝0⇔ ⇔ (或一个公共点)； ③Δ＜0⇔ ⇔ 。

2、弦长公式： 。

3、中点弦： 。

☆释疑解惑☆1、对椭圆定义的理解（1）动点P 到两定点()()0,2,0,2A B -的距离之和为4，则动点P 的轨迹是椭圆（2）已知ABC ∆的顶点,B C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边BC 上，则ABC ∆的周长是2、对椭圆的标准方程及简单几何性质理解（1）若椭圆2214x y k+=的焦点坐标是())12,F F ，则2k =（2）离心率为12，长轴长为8的椭圆标准方程是2211612x y += （3）点A 是椭圆短轴的一个顶点，12,F F 是椭圆的焦点，若12F AF ∆是等腰直角三角形，则椭圆的离心率是2（4）已知4AB =，M 是AB 的中点，点P 在平面内运动且保持6PA PB +=，则PM的最大值是3 ☆典例精析☆例1：在直角坐标平面内，已知两点()()2,0,2,0A B -，动点Q 到点A 的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ 于点P ，则点P 的轨迹方程是 （ ）A .22159x y += B . 22195x y += C . 22184x y += D . 22148x y +=变1：P 点在椭圆 22143x y +=上运动，,Q R 分别在两圆()2211x y ++=和()2211x y -+=上运动，则PQ PR +的最大值为 ．变2：已知动点(),P x y ，向量()()3,,3,m x y n x y =-=+8m n += ，则动点P例2：求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在坐标轴上，且经过两点11,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2Q ⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）经过点()2,3-且与椭圆229436x y +=具有共同的焦点.变1：已知,A B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 交椭圆于点M ，且OF =若M F O A ⊥，则椭圆的标准方程是 ．变2：若方程22221(1)x y m m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 （ ）A .12m >B . 12m <C . 112m m >≠且 D . 102m m <≠且例3：已知圆()2221x y -+=经过椭圆()222210b x y a ba +>>=的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e = ．变1：已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右支上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若12122IPF IPF IFF S S S ∆∆∆+=成立，则椭圆的离心率为（ ）A .2 B ．12 C D 变2：过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点M 作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称，且1213k k ⋅=-，则此椭圆的离心率为 .变3：已知12F F ，是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且 6021=∠PF F ，椭圆离心率e的取值范围为 ．变4：已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为()()12,0,,0,F c F c -若椭圆上存在点P 使1221sin sin a cPF F PF F =，则该椭圆离心率的取值范围是 ．例4：若椭圆()222210b x y a ba +>>=的焦点在x 轴上，过点()2,1作圆224x y +=的切线，切点分别为,A B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ．变1：点(),P x y 在椭圆2212516x y +=上，则2269x y x +-+的最大值是 ．例5：中心在原点，一个焦点为(1F 的椭圆截直线23-=x y 所得弦的中点横坐标为21，求椭圆的方程．变1：已知直线21y kx k =--与椭圆2212x y +=与椭圆左半部分恒有两交点，求k 的取值范围．变2：过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程．例6：已知椭圆22132x y +=的左右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线交椭圆于,B D 两点，过2F 的直线交椭圆于,A C 两点，AC BD ⊥，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最小值．变1：已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点坐标是()10,1F -，离心率为3． （1）求椭圆的标准方程；（2）过点1F 作直线交椭圆于,A B 两点，2F 是椭圆的另一个焦点，求2ABF S ∆的取值范围．变2：已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，椭圆短轴的一个端点与两个焦C 的右焦点的动直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点．（1）求椭圆C 的方程； （2）若线段AB 中点的横坐标为12，求直线l 的方程； （3）若线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D ，设弦AB 的中点为P ，试求DPAB的取值范围．变3：已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q ）． （1）求椭圆C 的方程；（2）设点P 是直线4x =-与x 轴的交点，过点P 的直线l 与椭圆C 相交于,M N 两点，当线段MN 的中点落在正方形Q 内（包括边界）时，求直线l 的斜率的取值范围．例7：椭圆P 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，该椭圆经过点312M ⎛⎫⎪⎝⎭，，且离心率为12．（1）求椭圆P 的方程；（2）若直线y kx m =+与椭圆相交于A B 、两点（非左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆P 的右顶点，求证：直线y kx m =+过定点，求该定点的坐标．变1：已知焦点在x 轴上的椭圆)0(12222>>=+b a bya x ，焦距为32，长轴长为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆交于,A B 两点.①证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值；②求AB 的最小值．变2：已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>，的离心率是12，其左右顶点分别为12,A A ，B为短轴的一个端点，12A BA ∆的面积是 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线:l x =x 轴交于D ，P 是椭圆C 上异于12,A A 的动点，直线12,A P A P 分别交直线l 于,E F 两点，求证：DE DF ⋅为定值．例8：已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称．（1）求实数m 的取值范围；（2）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．变1：已知椭圆22:143x y C +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线:4l y x m =+，椭圆C 上有不同的两点关于这条直线对称．☆优化热身☆1、已知椭圆()221025x y m m+=>的左焦点为()14,0F -，则m = （ ） A ．2 B ．4 C ．3 D ．92、已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点．若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为 （ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y +=3、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点()0F -，P 为C 上一点，满足OP OF =，且4PF =，则椭圆C 的方程是 （ ）A ．221255x y += B ．2213616x y +=C ．2214525x y += D ．2213010x y += 4、若椭圆()222210b x y a ba +>>=的离心率12e =，右焦点为(),0F c ，方程220ax bx c ++=的两个实数根分别是12,x x ，则点()12,P x x 到原点的距离为（ ）A B ．2C ．2D ．745、设,P Q 分别为圆()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则,P Q 两点间的最大距离是 （ ）A ．BC ．7D ．6、已知12,F F 分别是椭圆的左，右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点,M N ，若过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为 （ ）A 1B ．2C ．2 D 7、已知M 是椭圆2213x y +=上任意一点，P 是线段OM 的中点，则12PF PF ⋅ （ ） A ．没有最大值，也没有最小值 B ．有最大值，没有最小值 C ．有最小值，没有最大值 D ．有最大值和最小值8、已知椭圆()222210b x y a ba +>>=上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ）A ．1⎤⎥⎣⎦B ．⎫⎪⎪⎣⎭C ．⎣⎦D ．⎣⎦9、椭圆2255x ky +=的一个焦点是()0,2，那么k 等于 .10、若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，方程22sin cos 1x y αα+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是 .11、设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 .12、椭圆221169x y +=上的点到直线l : 90x y +-=的距离的最小值为 . 13、过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点M 作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称，且121,3k k ⋅=-则此椭圆的离心率为 .14、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标．15、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．16、已知椭圆:C ()222210b x y a b a +>>=的离心率为2e =，其左右焦点分别为12,F F ，12F F =()11,M x y 、()22,N x y 是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的直线的斜率之积为14． （1）求椭圆的方程；（2）求证：2212x x +为定值，并求该定值．17、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -=相切，直线:4l x my =+与椭圆C 相交于,A B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）求OA OB ⋅的取值范围．18、已知圆C 的方程为224x y +=，过点()2,4M 作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，直线AB 恰好经过椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点和上顶点． （1）求椭圆T 的方程；（2）已知直线):0l y kx k =>与椭圆相交于,P Q 两点，O 为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．19、如图，已知某椭圆的焦点是()()124040F F -，，，，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且1210FB F B +=，椭圆上不同的两点()()1122,,,A x y C x y 满足条件： 2F A 、2F B 、2F C 成等差数列．（1）求该弦椭圆的方程；（2）求弦AC 中点的横坐标；（3）设弦AC 的垂直平分线的方程为y kx m =+，求m 的取值范围．20、已知点,M N 的坐标分别是()),，直线,PM PN 相交于点P ，且它们的斜率之积是12-． （1）求点P 的轨迹方程；（2）直线:l y kx m =+与圆22:1O x y +=相切，并与点P 的轨迹交于不同的两点,A B ，当AB =OA OB ⋅ 的值．。