2007青岛中考数学题(含答案)

二○○七年山东省青岛市初级中学学业水平考试数学试题一、选择题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）1．12-的绝对值等于（ ）．A ．2-B ．2C ．12-D ．122．如图所示圆柱的左视图是（ ）．A ．B ．C ．D ．3．随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面朝上的概率是（ ）．A ．34B ．23C ．12D ．144． ⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）． A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．内含5．据有关部门统计，全国大约有1010万名考生参加了今年的高考，1010万这个数用科学记数法可表示为（ ）．A ．1.010×103B ．1010×104C ．1.010×106D ．1.010×107 6．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ， 对角线AC 平分∠BAD ，∠B ＝60º，CD ＝2cm ，则梯形ABCD 的面积为（ ）cm 2．A． B ．6 C． D ．12第6题图7．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m 3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ）．A ．不小于54m 3B ．小于54m 3C ．不小于45m 3D ．小于45m 3二、填空题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分） 81-＝ .9．甲、乙两家汽车销售公司根据近几年的销售量，分别制作如下统计图：第2题图)P B ACD 年份年份甲公司乙公司从2002年到2006年，这两家公司中销售量增长较快的是 .10．化简：22444a a a -++＝ .11．某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路x m ，则根据题意可得方程 .12．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB 的高度为36cm ，那么它在暗盒中所成的像CD 的高度应为 cm .第12题图13．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A ( 3，6 )，B ( 1，3 )，C ( 4，2 ) ．如果将△ABC 绕C 点顺时针旋转90 º，得到△A ′B ′C ′，那么点A 的对应点A ′ 的坐标为（ ）.14．一个大长方体是由四个完全一样的小长方体拼成的，如果每个小长方体的长、宽、高分别是3、1、1，那么这个大长方体的表面积可能有 种不同的值，其中最小值为 .四、解答题（本题满分72分，共有9道小题）16．（本小题满分6分）解方程组：2536x y x y +=-=⎧⎨⎩，．17．（本小题满分6分）某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低值不含最高值，身高单位：cm ，测量时精确到1cm ）：第9题图A /cm 165~170cm（1）请根据所提供的信息补全频数分布直方图；（2）样本的中位数在统计图的哪个范围内？（3）如果上述样本的平均数为157cm，方差为0.8；该校八年级学生身高的平均数为159cm，方差为0.6，那么_________(填“七年级”或“八年级”)18．（本小题满分6分）在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元．（1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；（2）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由．19．（本小题满分6分）一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：sin21.3°≈925，tan21.3°≈25，sin63.5°≈910，tan63.5°≈2）20．（本小题满分8分）某饮料厂开发了A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A、B两种饮料共100瓶．设生产A种饮料x瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A种饮料每瓶的成本为2.60元，B种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低？21．（本小题满分8分）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF．（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．A BC北东A DFD′22．（本小题满分10分）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w＝－2x＋240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：（1）求y与x的关系式；（2）当x取何值时，y的值最大？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？23．（本小题满分10分）提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC 的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：（1）当AP＝12AD时（如图②）：∵AP＝12AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝12S△ABD ．∵PD＝AD－AP＝12AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝12S△CDA ．∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP＝S四边形ABCD－12S△ABD－12S△CDA＝S四边形ABCD－12(S四边形ABCD－S△DBC)－12(S四边形ABCD－S△ABC)＝12S△DBC＋12S△ABC ．（2）当AP＝13AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（3）当AP＝16AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：________________；（4）一般地，当AP＝1nAD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；问题解决：当AP＝mnAD（0≤mn≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：___________．24．（本小题满分12分）已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：图①PDC BAAB CDP图②（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．二○○七年山东省青岛市初级中学学业水平考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）二、填空题（本题满分21分，共有7道小题，每小题3分）16．（本小题满分6分） 解：25,3 6.x y x y +=-=⎧⎨⎩①×3，得 6x ＋3y ＝15． ③②＋③，得 7x ＝21，x ＝3． …………………………3′ 把x ＝3代入①，得2×3＋y ＝5，y ＝－1． ∴原方程组的解是31x y ==-⎧⎨⎩，．………………………………6′17．（本小题满分6分）解：⑴ 正确补全频数分布直方图； ………………………………2′ ⑵ 样本的中位数在155~160cm 的范围内； ………………………………4′ ⑶ 八年级． ………………………………6′ 18．（本小题满分6分）解：⑴ 12450302011.875161616⨯+⨯+⨯=（元）； …………………………4′⑵ ∵11.875元＞10元，∴选择转转盘． ……………………………6′ （如果学生选择直接获得购物券，只要回答合理即可同样得分） 19．（本小题满分6分）解：过C 作AB 的垂线，交直线AB 于点D ，得到Rt △ACD 与Rt △BCD ． 设BD ＝x 海里，① ②B CDA在Rt △BCD 中，tan ∠CBD ＝CD BD，∴CD ＝x ·tan63.5°．在Rt △ACD 中，AD ＝AB ＋BD ＝(60＋x)海里，tan ∠A ＝CDAD ，∴CD ＝( 60＋x ) ·tan21.3°． ……………………………4′∴x·tan63.5°＝(60＋x)·tan21.3°，即 ()22605x x =+．解得，x ＝15．答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C 最近． …………………………6′ 20．（本小题满分8分）解：⑴ 设生产A 种饮料x 瓶，根据题意得：解这个不等式组，得20≤x ≤40． 因为其中正整数解共有21个，所以符合题意的生产方案有21种． ……………………………4′ ⑵ 根据题意，得 y ＝2.6x ＋2.8(100－x)．整理，得 y ＝－0.2x ＋280． ……………………………6′ ∵k ＝－0.2＜0，∴y 随x 的增大而减小．∴当x ＝40时成本总额最低． …………………………8′ 21．（本小题满分8分)证明：⑴ 由折叠可知：∠D ＝∠D′，CD ＝AD′，∠C ＝∠D′AE ． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B ＝∠D ，AB ＝CD ，∠C ＝∠BAD ．………2′∴∠B ＝∠D′，AB ＝AD′，∠D′AE ＝∠BAD ，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3．∴∠1＝∠3．∴△ABE ≌△A D′F ． ……………4′ ⑵ 四边形AECF 是菱形．由折叠可知：AE ＝EC ，∠4＝∠5． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ． ∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF ＝AE ． ∵AE ＝EC ， ∴AF ＝EC ． 又∵AF ∥EC ，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AF ＝AE ，∴四边形AECF 是菱形． ……………………………8′ 22．（本小题满分10分） 解：⑴ y ＝(x －50)∙ w ＝(x －50) ∙ (－2x ＋240) ＝－2x 2＋340x －12000，2030(100)28004020(100)2800x x x x +-+-⎧⎨⎩，．≤ ≤ A B CDE F D ′ 1 2 34 56∴y与x的关系式为：y＝－2x2＋340x－12000．……………………3′⑵y＝－2x2＋340x－12000＝－2 (x－85) 2＋2450，∴当x＝85时，y的值最大．………………………6′⑶当y＝2250时，可得方程－2 (x－85 )2 ＋2450＝2250．解这个方程，得x1＝75，x2＝95．………………………8′根据题意，x2＝95不合题意应舍去．∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元．…………………10′23．（本小题满分10分）解：⑵∵AP＝13AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝13S△ABD ．又∵PD＝AD－AP＝23AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝23S△CDA ．∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP＝S四边形ABCD－13S△ABD－23S△CDA＝S四边形ABCD－13(S四边形ABCD－S△DBC)－23(S四边形ABCD－S△ABC)＝13S△DBC＋23S△ABC ．∴S△PBC＝13S△DBC＋23S△ABC ．……………………………4′⑶ S△PBC＝16S△DBC＋56S△ABC ；……………………………5′⑷S△PBC＝1nS△DBC＋1nn-S△ABC ；∵AP＝1nAD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝1nS△ABD ．又∵PD＝AD－AP＝1nn-AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝1nn-S△CDA ．∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP＝S四边形ABCD－1nS△ABD－1nn-S△CDA＝S四边形ABCD－1n(S四边形ABCD－S△DBC)－1nn-(S四边形ABCD－S△ABC)PDCBAn DBC n ABC∴S△PBC＝1nS△DBC＋1nn-S△ABC ．……………………………8′问题解决：S△PBC＝mnS△DBC＋n mn-S△ABC ．……………………………10′24．（本小题满分12分）解：⑴根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm．△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，∴BP＝(3－t ) cm．△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．当∠BQP＝90°时，BQ＝12 BP．即t＝12(3－t )，t＝1 (秒)．当∠BPQ＝90°时，BP＝12 BQ．3－t＝12t，t＝2 (秒)．答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形．…………………4′⑵过P作PM⊥BC于M ．Rt△BPM中，sin∠B＝PM PB，∴PM＝PB·sin∠B2(3－t )．∴S△PBQ＝12BQ·PM＝12·2(3－t )．∴y＝S△ABC－S△PBQ＝12×32×2－12·t ·2(3－t )2444∴y与t的关系式为：y2444．…………………6′假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的23，MACQBPAPQC 3ABC244423×12×322．∴t 2－3 t ＋3＝0．∵(－3) 2－4×1×3＜0， ∴方程无解．∴无论t 取何值，四边形APQC 的面积都不可能是△ABC 面积的23．……8′⑶ 在Rt △PQM 中， MQ ＝BM BQ -＝()312t -．MQ 2＋PM 2＝PQ 2．∴x 2＝[32(1－t ) ]2＋[2(3－t ) ]2＝()()2293219644t t t t -++-+ ＝()23412124t t -+＝3t 2－9t ＋9． ……………………………10′∴t 2－3t ＝()2193x -．∵y 2444-+∴y )234t t -+()21943x -212x ．∴y 与x 的关系式为：y ＝212x +． ……………………………12′。