高等数学课件(同济版)_微积分基本公式

变限函数求导： 变限函数求导：
d ϕ( x) ∫a f (t) dt dx
= f [ϕ(x)]ϕ′(x)
d ϕ( x) ∫ψ (x) f (t) dt = f [ϕ(x)]ϕ′(x) − f [ψ (x)]ψ′(x) dx
例1. 求 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
例3.
证明
在
内为单调递增函数 .
设 f (x) ∈C[a, b], 且F′(x) = f (x) , 则有
∫a f (x) d x = f (ξ )(b − a) = F′(ξ )(b − a) = F(b) − F(a)
积分中值定理 微分中值定理 牛顿 – 莱布尼兹公式
b
2. 变限积分求导公式
作业 3 9 4
(2)
P243 5 (3) 10 11 6
第二节 微积分的基本公式
一、引例 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式
第五章 五
一、引例
s′(t) = v(t)
∫T
T2
1
v(t) d t = s(T2 ) − s(T1)
二、积分上限函数 及其导数
定理1. 定理 若
x
则变上限函数
Φ(x) = ∫Βιβλιοθήκη Baiduf (t) d t
a
原 函 数 存 在 定 理
(11) (12)
12
13
备用题
1. 设 求
2. 求极限
微积分基本公式） 三、牛顿 – 莱布尼兹公式 （微积分基本公式）
定理2. 定理
则
∫a
b
f (x) dx = F(b) − F(a)
( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
例4. 计算
例5. 计算
例6. 计算正弦曲线 的面积 .
y
y = sin x
o
例7. 证明改进的积分中值定理
π x
内容小结
1. 微积分基本公式