人教版高中数学必修二4.2.3直线与圆的方程的应用(3)ppt模板

4 • 2.3直线与圆的方程的应用R三维目标）【知识与技能】（1）理解掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用.（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题.【过程与方法】用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.【情感、态度与价值观】让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力.@重点难点）【重点】求解与圆有关的应用性问题.【难点】直线与圆的方程的灵活应用.@教学建议］(1)本节课是在教师的引导下，对已学知识进行归纳、总结，以形成更系统、更完整的体系；对已学知识进一步加深理解, 强化记忆，是一个再认识，再学习的过程，对已掌握的技能、规律、方法进行深化和进一步熟悉，有助于提高学生分析、理解问题的能力.(2)例题设置目的在于“以点带面，举一反三”.能抓住问题的本质举一反三；思路1,通过新旧知识的联系，加强横向沟通，考查学生是否具有多角度思考问题、利用不同的方法解决问题的能力，重在应用.思路2,注重在课堂上进行解题方法的讨论，有助于活跃学生思维，促进发散思维的培养，提高思维灵活性，抓住数形结合的数学思想，总结解题规律，充分体现解析几何的研究方法.@新课导入【导入】情境导入一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70畑处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域（假设台风中心不移动）.已知港口位于台风中心正北40畑处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解决这个问题的本质是什么？你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域？［解析］解决这个问题的本质是求台风中心到航线的距离与台风半径的关系，建立如图424坐标系，由题意得航线所在的直线方程为話游1理得4x+7y—280 = 0,台风中心到航线的距离宀・•・轮船航线不经过台风圆域.@预习探究）＞知识点一利用直线与圆的方程解决实际问题解决此类问题的一般程序是：仔细读题（审题）一建立数学模型一解答数学模型一检验，给出实际问题的答案.解决此类问题的基本步骤：（1）阅读理解，认真审题，了解问题的实际情境，把握问题的数学本质.(2)引进数学符号，具体分析问题中的数量关系，正确建立数学模型，将实际问题转化为数学问题.(3)利用数学方法将得到的数学问题(数学模型)予以解答, 求得纟吉果.(4)转化为具体问题，做出解答.»知识点二利用直线与圆的方程解决平面几何问题平面解析几何的基本思想方法是利用平面直角坐标系，把点用坐标表示,直线、圆等用方程表示,并用代数方法研究几何问题,这就是人们常说的“坐标法”，这种方法与平面几何中的综合法以及将来要学习的向量法都可以建立联系，另外还可以推广到空间去解决立体几何问题・用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”是：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题.第二步：通过代数运算，解决代数问题.第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.@考点类析；考点一直线与圆的方程在实际问题中的应用已知台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，求城市B处于危险区内的时间・解：如图所示，以A为原点，正北方A 向为y轴正向，正东方向为x轴正向，建幺' 立平面直角坐标系.依题意，作以5（40，A 夕Q0）为圆心，半径为30 km的圆.当台风中心/0<B一~/x 处于弦CD之间（包括端点）时，城市B处于/ 危险区.又直线仞的方程为y=x,则圆心B到直线CD40 l 的距离d=^=20边，所以弦长\CD\ = 2 打_胪=2 #302— a。

2
建立如图所示的坐标系，则
A(3,3 3), B(0, 0), C(6, 0), D(2, 0), E(5, 3)
直线AD的方程为 y 3 3(x 2)
y A
解以上两方程联立的方程组，得
x 15 , y 3 3
7
7
直线BE的方程为y 3 (x 5) 3
5
所以点P的坐标是 (15 , 3 3 )
xE
a 2
xO '
பைடு நூலகம்
xM
ac 2
yE
d 2
bd yO' yN 2
证明：以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、BD所在直 线分别为x轴、y轴，建立如所图所示的直角坐标系，设A （a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d），过四 边形外接圆O的 圆心 分别作AC、BD、AD的垂线，垂足为 M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点，
第二步： 通过代数运算，解决代数问题．
第三步： 把代数运算结果“翻译”成几何结论．
等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且有
BD 1 BC , CE 1 CA ,
3
3
AD,BE相交于点P．
y
求证： AP CP.
A
P
E
BD
C
解：以B为原点，BC边所在直线为轴，线段 1 BD为单位长，
D0
解得
E6
F 16
y N
┐
B
M
x
因此所求圆的方程为 x2＋y2＋6y－16＝0，
化为标准方程是
y N
A
┐
B
M
x
x2＋(y＋3)2＝52，
所以这个零件的半径为 5 cm．

思考1:许多平面几何问题常利用 “坐标法”来解决，首先要做的工 作是建立适当的直角坐标系，在本 题中应如何选取坐标系？
y
o
X
思考2：如图所示建立直角坐标系，设 四边形的四个顶点分别为点A(a，0)， B(0，b)，C(c，0)，D(0，d)，那么BC 边的长为多少？
B C o y
A
M x
N
D
思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的 y 坐标如何？ B
D = 0， E = 6， F = -16.
因此所求圆的方程为
x2＋y2＋6y－16＝0， 化为标准方程是 x2＋(y＋3)2＝52， 所以这个零件的半径为 5 cm．
A
y N
┐
B x
M
知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用
问题:已知内接于圆的四边形的对角 线互相垂直，求证：圆心到一边的 距离等于这条边所对边长的一半.
D (a,b)
x
a 0.5 b 1 E , 2 2
在直线l上
2 a b 3 2
a 0.5 b 1 1 0 2 2
3 2 5 D : ( x 2) ( y ) 2 4
2
1．对任意的实数 k，直线 y＝kx＋1 与圆 x2＋y2＝2 的位置关系一定是( C A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 )
求圆G的圆心和半径r=|GM| 圆心是CN与MN中垂线的交点 C N D O M G
两点式求CN方程
点(D)斜(kDG) 式求中垂线DG方程
x
中点公式求D, kDG kMN 1
kMN x ) ( y 1) 2 4

第四章 4.2 4.2.3
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设圆C的圆心为C(x1，y1)， 则可得圆C的方程为(x－x1)2＋(y－y1)2＝y21， 即x2＋y2－2x1x－2y1y＋x21＝0. ② ①－②，得2x1x＋2y1y－1－x21＝0. ③ ③式就是直线EF的方程，设CD的中点为H，其坐标为 (x1，y21)，将H代入③式，得
第四章 4.2 4.2.3
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几种特殊对称： ①关于原点对称：P(x，y)→P′(－x，－y)； ②关于x轴对称：P(x，y)→P′(x，－y)； ③关于y轴对称：P(x，y)→P′(－x，y)； ④关于直线y＝x对称：P(x，y)→P′(y，x)； ⑤关于直线y＝－x对称：P(x，y)→P′(－y，－x)．
第四章 4.2 4.2.3
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圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝
4|22＋8| 72＝
28 ， 65
而半径r＝3，
∵d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.
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这是用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”，又简 称为“一建二算三译”．
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用坐标法证明正方形的对角线互相垂直．
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