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前向弧均非饱和，后向弧均非零流。
0 xij cij , cij xij 0 , (i, j ) (i, j )
最大流：流量最大的可行流。 f * f ( X * )
可行流为最大流的充要条件：不存在从s到t的增广链
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运筹学--线性规划
图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。
例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图 来表示，图8.1就是一个表示这种关系的图。
(v1) 赵
e1 (v2)钱 (v5) 周
e2
e3
(v3)孙 e4 (v4) 李 e5 (v6)吴
图8.1
4
(v7)陈
描述对象之间关系， 研究特定关系之间的内在规律， 图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲直，对于
1 4 2 3 3 2 4 1
1 3 3 1 2 s 1 5 2 6 t 5 1
（3）如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余下的图
即为最小树，否则返回第1步。
19
例8.1
20
2、避圈算法
步骤：
（1）任找一个点S，其余各点就是 S 。
（2）在连接S与
S
的所有边中，选择权数最小的边(i, k)；
（3）将最小边(i, k)的另一个端点移入S； （4）若
S
则停止，否则返回（2）。
G' G
11
链：点边交替序列
◦
vi 0 vik 闭链：v1 v2 v3 v4 v1 vi 0 vik 开链：v1 v2 v3
◦ห้องสมุดไป่ตู้
边不同，简单链：v3 v4 v5v1v6v5
边不同且结点不同，初等链：v1 v2 v3 v4 v5v6
圈：闭链，且至少有3个不同结点，v2 v3 v4 v2
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（一）线性(整数)规划法
max f (i s) f, x x (i s, t ), (i V ) ij ji 0, s.t. j j f , (i t ) 0 xij cij , ( (i, j ) A)
例8-13
(k ) Dk dij Dk 1 Dk 1 , (k 2,3,, p)
D1 W
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例8-12
求任意两点间的最短路
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运筹学--线性规划
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第四节 最大流问题
容量网络(网络)：N=(V, A, c) 或 N=(V, A)，最大流量cij = c(i,j)
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运筹学--线性规划
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柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题
充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
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第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
v1 v2 v6 v5 v7 v6 v8 v9 v3 v4 v2 v4 v1 v2 v3 v5 v8 v3 v4 v5 v7 v6 v9 v1 v8
有限图
无限图
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运筹学--线性规划
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G=(V,E)
•关联边(m)：ei
•端（顶）点(n)：vi, vj •点相邻(同一条边)： v1, v3 •边相邻(同一个端点)：e2, e3 环：e1 多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
反映对象之间的关系并不是重要的。
e2 (v1) e1 e4 e3 赵 (v2)钱 孙(v3) 李(v4) 周(v5)
图8.2
e5 吴(v6) 陈(v7)
5
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关
系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。
N (V , A) V S U S, s S, S IS tS
◦ S中各点联通，S 中各点联通
◦ 始点在S，终点在S 的集合，称为一个分离发点s和收点t的 割集，（S,S） 割集容量：c( S , S )
ij ( i , j )( S , S )
c
最小割：最小的割集容量
弧的权数的总和最小，这条路被称之为从Vs到Vt的最短路。
这条路上所有弧的权数的总和被称为从Vs到Vt的距离。
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一、狄氏标号法（Dijkstra算法）
适用于：每条弧（边）的赋权数wij ≥0
优点：能够求出某点至各点的最短路
基本思想：
◦ T(j) （tentative label）——从始点s到j点的最短路长上界，
xij rij ，则 j 不标号 b(i), x ji} 逆向弧且 x ji 0，则 j 标号（-i, b(j)） bj min{
x , 当 ( i , j ) ij ' xij x , 当 ( i , j ) ij
3.
4.
检查标号
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Ford—Fulkerson标号法 基本思想：先确定一个初始可行流，再找增容链，调整流量，直到找不到增 容链为止。双标号（i, b(j)），b(j)—当前最大可调容量 运算步骤：
1.
2.
发点s标号（0, ∞ ）；
给所有相邻点标号 ◦ ◦ ◦
b(i), cij xij } 正向弧且 xij rij，则 j 标号（i, b(j)） bj min{
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运筹学--线性规划
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次（d）：结点的关联边数目
◦ d(v3)=4，偶点
◦ d(v2)=3，奇点
◦ d(v1)=4
◦ d(v4)=1，悬挂点 出次：d+(vi)
◦ e6, 悬挂边
◦ d(v5)=0，孤立点 定理1 定理2
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入次：d-(vi)
d
(vi ) d (vi )
(a)
(b)
图8-4
v7
(c)
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是 树， (c)因为不连通所以也不是树。
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树的基本性质
1. 任意两点间有且仅有一条链
2. 不相邻两点间添加一条边，有且仅有一个圈
3. 任意去掉一条边，得不连通图.
4. 存在悬挂点
5. m=n-1
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生成（支撑）树
调整量
例8-13
（1）计算机编程
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（2）手算
2 3 3 3 2 s 2 5 1 4 t
2
f*=11
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5 5 4 s 1 4 t 4 3 3 s 2 5 t 3 2 5 s 3 6 t 1 2 3 s 2 6 t
运筹学
赵明霞
山西大学经济与管理学院
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念
树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
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柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
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第一节 图与网络的基本概念
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（二）网络分析法 ◦ 增广链调整法
f (X ') f (X )
c x , ( i , j ) ij ij min x , ( i , j ) ij xij , (i, j ) ' xij xij , (i, j ) x , (i, j ) ij
1 j n
d (r ) min d (i )
1i n
例8-11
某连锁企业有6个销售点，问仓库应建在哪个地点，
可使各销售点离仓库较近？
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运筹学--线性规划
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二、Floyd算法
各点间的最短距离
k ( k 1) ( k 1) ( k 1) dij min dij ,dik dkj
役龄 项目 效益vk(t) 维修费uk(t) 5 0.5 4.5 1 4 1.5 3.75 2 3 2.5 2.5 3 0 1 2 3 4 5
更新费ck(t)
-
1.5
2.2
2.5
3
3.5
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运筹学--线性规划
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网络中心（r点）
d (i) max(dij ), (1 1, 2,, n)
若 V ' V , E ' E ,则G’是G的支撑（生成）树。
(a)
(b)
(c)
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最小生成树问题就是指在一个赋权的连通的无向图G中找出一 个生成树，并使得这个生成树的所有边的权数之和为最小。 1、破圈算法 步骤： （1）在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 （2）在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两条或两 条以上的边都是权数最大的边，则任意去掉其中一条）。
称为试探性标号;
◦ P(j) （permanent label）——从始点s到j点的最短路长，称
为永久性标号.
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基本步骤
标号T(j)→P(j)
例8-9
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运筹学--线性规划
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运筹学--线性规划
