数论函数及其方程_冀永强

第19卷第1期

2006年3月 纺　织　高　校　基　础　科　学　学　报BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIES Vol.19,No.1

March,2006

收稿日期:2005-10-17基金项目:国家自然科学基金资助项目(60472068)通讯作者:冀永强(1976-),男,陕西省商洛市人,丹凤师范学校助教. 文章编号:1006-8341(2006)01-0005-02

数论函数及其方程

冀永强

(丹凤师范学校数学教研组,陕西　商洛　726207)

摘要: n∈N,著名的Euler函数φ(n)定义为不大于n且与n互素的正整数的个数.而Smaran-

dache可乘函数S1(n)定义为S1(1)=1,如果n>1且pα11pα22…pαkk为n的标准素因数分解式,其中p1

整数解.

关键词:Euler函数;方程的解;解的个数

中图分类号:O156.4 文献标识码:A

1　引言及结论

n∈N+,且n>1,著名的Euler函数φ(n)定义为大于n且与n互素的正整数的个数,即

φ(n)=∑n

k=1′1,

其中　′表示与n互素的正整数k求和.

n∈N+,且n≥1,Smarandache可乘函数S1(n)定义为S1(1)=1,如果n>1且pα11pα22…pαkk为n的标

准素因数分解式,其中p1

关于Euler函数方程的研究是初等数论中非常重要和有意义的课题,许多学者研究了它们的性质.令

bm=card{n∈N+:φ(n)=m}(m=1,2,3…).文献[1]研究了bm的性质,并证明了:对于无穷多的m,总

在δ>0使得bm>mδ.其后,文献[2]则给出了对于无穷多的m,如果0<δ<3-22,则有bm>mδ.

关于方程φ(x)=n解的个数的研究,Pomerance,P.Masai和A.Valette都作了很多研究工作,并给出了

许多重要的结论[3-4],但是他们都只给出了解的个数的渐近公式或者解的范围,本文利用初等方法研究方

程S1(n)=φ(n)的可解性,并给出了该方程的所有正整数解,即就是证明了下面的定理.

定理1 n∈N+,方程

S1(n)=φ(n)(1)

共有5个正整数解,它们是n=1,9,12,16,18.

2　定理1的证明

为了完成定理1的证明,需要引入一个引理.

引理1 n∈N+,n≥1,有φ(n)=n∏

p n1-1p,其中∏

p n表示对n的所有素因子求积.DOI:10.13338/j.issn.1006-8341.2006.01.002证明　参见文献[5]中的定理2.4.

现在来完成定理1的证明.首先,注意到φ(1)=1,S1(1)=1,所以n=1显然是方程(1)的解.

不妨设n>1且2mpα11pα22…pαkk为n的标准素因数分解式,其中3≤p1

况来讨论方程(1)的解.

(1)　当n=2α,α≥1时,S1(n)=2α,由引理1有φ(n)=pα1(p-1).为使方程(1)成立,应有pα-1(p

-1)=2α.则α=4,即n=24=16为方程(1)的解.

(2)　当n=2mpα11pα22…pαkk,k≥1时,不妨设S1(n)=piαi　(1≤i≤k).此时

φ(n)=2m-1pαi-1i(pi-1)pα1-11…pαi-1-1i-1pαi+1-1i+1…pαk-1k(p1-1)…(pi-1-1)(pi+1-1)…(pk-1).

注意到αi≥3时,3ai-2=(2+1)ai-2=2ai-2+C1ai-22ai-3+…+1≥ai,所以当ai≥3时,φ(n)>pαi-1i(pi-1)=pipαi-2i(pi-1)≥pi(2+1)αi-2(3-1)>pi(αi+1)piαi.即φ(n)>S1(n),所以方程(1)无解,因

此1≤αi≤2,1≤i≤k.

当k≥2时,

φ(n)=2m-1pα1-11pα2-12…pαk-1k(p1-1)(p2-1)…(pk-1)>2pαi-1i(pi-1)>piαi=S(n).

方程(1)无解.因此可设n=2mpα11.此时φ(n)=2m-1pα1-11(p1-1),

S1(n)=2m,　如果　2m>p1α1,

p1α1,　如果　2m

当m≥3时,若S1(n)=2m,显然,2m-1pα1-11(pi-1)>2m,即φ(n)>S1(n).若S1(n)=pim,同理

于上面的分析可知φ(n)=2m-1pα1-11(pi-1)>p1α1,即φ(n)>S1(n).所以当m≥3时,方程(1)无解.

当m=2时,n=22pα11.如果p1=3,α1=1,n=12.此时S1(n)=2·2=4,φ(n)=4.S1(n)=φ(n).

所以n=12为方程(1)的解;

如果p1≠3,由于φ(n)=2pα1-11(p1-1)>p1α1=S1(n),所以此种情况下方程(1)仍然无解.

当m=1时,n=2pα11·S1(n)=p1α1,φ(n)=pα1-11(p1-1).为使方程(1)成立,应有p1α1=pα1-11(p1-1).解之得p1=3,α1=2,则n=2·32=18为方程(1)的解.

当m=0时,n=2pα11·S1(n)=p1α1,φ(n)=pα1-11(p1-1).同理于n=2pα11时的分析可得p1=3,

α1=2,即n=9为方程(1)的解.

综合以上所有情况可得,方程(1)有且仅有5个正整数解,它们是n=1,9,12,16,18.

参考文献:

[1]　ERDOSP.Onthenormalmumberofprimefactorsofp-1andsomerelatedprodblemsconcerningEuler′sφfunction[J].

QuartJMathOxfordSer,1935,6:205-213.

[2]　K.Woolridge.ValuestakenmanytimesbyEulerv′sphi-function[J].ProcAmerMathSco,1979,76:229-234.

[3]　Pomerance.PopularvaluesofEulerv′sfunction[J].Mathematika,1980,27:84-89.

[4]　MASAIP,andVALETTEA.AlowerboundforacounterexamoletoCarmichael′sconjecture[J].BollUnMatItal,1982,A6

(1):313-316.

[5]　TOMM.ApstolIntroductiontoAnalyticNumberTheory[M].N

ewYork:Springer-Verlag,1976.

(下转第20页)6 纺　织　高　校　基　础　科　学　学　报 第19卷也无界,而级数(1)在s2,t2,z2不有界收敛,这与定理1矛盾.定理2证毕.

参考文献:

[1]　余家荣,丁晓庆,田范基.Dirichlet级数与随机Dirichlet级数的值分布[M].武汉:武汉大学出版社,2004.

[2]　余家荣.二重Dirichlet级数与二重Laplace变换的收敛性[J].武汉大学学报:自然科学版,1962(1):1-17.

[3]　余家荣.狄里克莱级数与随机狄里克莱级数[M].北京:科学出版社,1997.

OntheconvergenceoftripleDirichletseries

LANTian-yi,SONGXiao-hong,ZHANGKe-jun

(DepartmentofAppliedMathematics,NorthwesternPolytechnicalUniversity,Xi′an710072,China)

Abstract:TheconvergenceoftripleDirichlethasbeenresearchedinthispaper.Valironformuclaisexpandedby

tripleDirichletseries.

Keywords:tripleDirichletseries;convergence;Valironformula

编辑、校对:黄燕萍

(上接第6页)

Numbertheoreticalfunctionsanditsequation

JIYong-qiang

(DanfengTeacher′sSchool,Shangluo,Shaanxi,726207,China)

Abstract:Foranygivenpositiveintegern≥1,theEulerfuncionφ(n)isdefinedtobethenumberofpositivein-

tegersnotexceedingnwhicharerelativelyprimeton.ASmarandachemultiplicativefunctionS1(n)isdefinedas

S1(1)=1、Ifn=pα11pα22…pαkkisthefactorizationofnintoprimepowers,wherep1

maxi{αipi}).Inthispaper,thesolvabilityoftheequationofS1(n)=φ(n)isstudied,andallitssolutionsare

given.

Keywords:Eulerfunction;solutions;numberofsolutions

编辑、校对:黄燕萍20 纺　织　高　校　基　础　科　学　学　报 第19卷