天津科技大学2010-2011高数大一(下)作业答案

2011 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1．（ 5 分）（ 2011?天津） i 是虚数单位，复数 =（ ）A ． 2+iB ． 2﹣ iC ．﹣ 1+2iD ．﹣ 1﹣ 2i【考点】 复数代数形式的乘除运算．【专题】 数系的扩充和复数．【分析】 要求两个复数的除法运算， 分子和分母同乘以分母的共轭复数， 分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式．【解答】 解：复数 = ==2 ﹣ i故选 B ．【点评】 本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大， 解题应用的原理也比较简单，是一个送分题目．2 2）2．（ 5 分）（ 2011?天津）设 x ， y ∈R ，则 “x ≥2 且 y ≥2”是 “x +y ≥4”的（ A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】 简易逻辑．2222【分析】 由“x ≥2 且 y ≥2”推出 “x +y ≥4”可证明充分性；由满足 “x +y ≥4”可举出反例推翻 “x ≥2且 y ≥2”，则证明不必要性，综合可得答案．2 2【解答】 解：若 x ≥2 且 y ≥2，则 x ≥4， y ≥4，所以若 x 2 +y 2≥4，则如（﹣ 2，﹣ 2）满足条件，但不满足所以 “x ≥2 且 y ≥2”是 “x 22+y ≥4”的充分而不必要条件． 故选 A ．【点评】 本题主要考查充分条件与必要条件的含义．2 2 2 2≥4；x +y ≥8，即 x +yx ≥2 且 y ≥2．3．（ 5 分）（ 2011?天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】 程序框图．【专题】 算法和程序框图．【分析】 通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值． 【解答】 解：该程序框图是循环结构 经第一次循环得到 i=1 ， a=2； 经第二次循环得到 i=2 ， a=5； 经第三次循环得到 i=3 ， a=16；经第四次循环得到 i=4 ， a=65 满足判断框的条件，执行是，输出4故选 B【点评】 本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．4．（ 5 分）（ 2011?天津）已知 n7 是 a 3 与 a 9 的等比中项，S n 为 {a n } 的前 n 项和， n ∈N *，则 S 10 的值为（）A ．﹣ 110B ．﹣ 90C ．90D ．110【考点】 等差数列的前 n 项和；等比数列的性质．【专题】 等差数列与等比数列．【分析】 通过 a 7 是 a 3 与 a 9 的等比中项，公差为﹣ 2，求出【解答】 解： a 7 是 a 3 与 a 9 的等比中项，公差为﹣ 2，所以 a 72=a 3?a 9， ∵{a n } 公差为﹣ 2，∴a 3=a 7﹣ 4d=a 7+8， a 9=a 7+2d=a 7﹣4，2所以 a 7 =（ a 7+8）（ a 7﹣ 4），所以 a 7=8，所以 a 1=20，所以 S 10= =110故选 D【点评】 本题是基础题，考查等差数列的前n 项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型．5．（ 5 分）（ 2011?天津）在的二项展开式中， x2的系数为（）A ．B ．C ．D ．【考点】 二项式定理．【专题】 二项式定理．【分析】 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数为 2，求出展开式中，x 2的系数，即得答案．r 2r ﹣6 r 3﹣ r【解答】 解：展开式的通项为T r+1=（﹣ 1） 2 C 6 x令 3﹣ r=2 得 r=1所以项展开式中， x 2的系数为﹣故选 C【点评】 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．6．（5 分）（ 2011?天津）如图，在△ABC 中， D 是边 AC 上的点，且AB=AD ，2AB=BD ，BC=2BD ，则 sinC 的值为（）A．B．C．D．【考点】三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】根据题中条件，在△ABD 中先由余弦定理求出 cosA ，利用同角关系可求 sinA ，利用正弦定理可求 sin∠ BDC ，然后在△ BDC 中利用正弦定理求解 sinC 即可【解答】解：设 AB=x ，由题意可得AD=x ， BD=△ABD 中，由余弦定理可得∴s inA=△ABD 中，由正弦定理可得? sin∠ ADB=∴△BDC 中，由正弦定理可得故选： D．【点评】本题主要考查了在三角形中，综合运用正弦定理、余弦定理、同角基本关系式等知识解三角形的问题，反复运用正弦定理、余弦定理，要求考生熟练掌握基本知识，并能灵活选择基本工具解决问题．7．（ 5 分）（ 2011?天津）已知，则（）A ． a＞ b＞ cB ．b＞ a＞ c C． a＞ c＞b D ．c＞ a＞ b【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】 比较大小的方法：找 1 或者 0 做中介判断大小， log 43.6＜ 1，log 23.4＞ 1，利用分数指数幂的运算法则和对数的运算法则对 c 进行化简，得到 ＞ 1＞b ，再借助于中间值 log 2 进行比较大小，从而得到结果． ，【解答】 解：∵ log 23.4＞1， log 43.6＜ 1，又 y=5 x是增函数，∴a ＞ b ，＞= =b而 log 23.4＞ log 2 ＞ log 3 ，∴a ＞ c故 a ＞ c ＞ b ． 故选 C ．【点评】 此题是个中档题．本题考查对数函数单调性、指数函数的单调性及比较大小， 以及中介值法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．8．（ 5 分）（ 2011?天津）对实数 a 与 b ，定义新运算“? ”： ．设函数 f（x ）=（x 2﹣ 2）? （ x ﹣ x 2），x ∈R ．若函数 y=f （x ）﹣ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】 函数与方程的综合运用．【专题】 函数的性质及应用．f （ x ） =（ x 2﹣2） ? （x ﹣ x 2）的解析式，并求出 f【分析】 根据定义的运算法则化简函数（x ）的取值范围，函数 y=f （ x ）﹣ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点转化为 y=f （ x ），y=c 图象的交点问题，结合图象求得实数 c 的取值范围．【解答】 解：∵，∴函数 f （ x ）=（ x 2﹣ 2）? （ x ﹣ x 2） =，由图可知，当 c ∈∴c 的取值范围是，故选 B ．【点评】 本题考查二次函数的图象特征、 函数与方程的综合运用，及数形结合的思想． 属于基础题．二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）9．（ 5 分）（2011?天津）一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，则抽取男运动员的人数为12 ．【考点】 分层抽样方法． 【专题】 概率与统计．【分析】 根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目， 得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果． 【解答】 解：∵田径队有男运动员 48 人，女运动员36 人，∴这支田径队共有48+36=84 人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，∴每个个体被抽到的概率是 ，∵田径队有男运动员 48 人，∴男运动员要抽取48× =12 人，故答案为： 12．【点评】 本题考查分层抽样， 在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等， 这是解决这种问题的依据，本题是一个基础题．10．（ 5 分）（ 2011?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则这个几何体的体积为 6+π m 3．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由已知中的三视图，我们易判断已知中几何体的形状，然后根据已知的三视图分析出几何体的相关几何量，代入体积公式，即可求出该几何体的体积．【解答】解：由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体其中上部的圆锥的底面直径为2，高为 3，下部的长方体长、宽高分别为：2，3，1则 V 圆锥 =?π?3= πV 长方体 =1 ×2×3=6则 V=6+ π故答案为： 6+π【点评】本题考查的知识是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析几何体的形状是解答本题的关键．11．（5 分）（ 2011?天津）已知抛物线C 的参数方程为（ t 为参数），若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆（222（ r＞ 0）相切，则 r=．x﹣ 4）+y =r【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；直线的参数方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．【分析】由抛物线 C 的参数方程为我们易求出抛物线的标准方程，进而根据斜率222为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆（ x﹣ 4）+y =r （ r＞0）相切，我们根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于 r 的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：∵抛物线 C 的参数方程为2则抛物线的标准方程为：y =8x则抛物线 C 的焦点的坐标为（2， 0）又∵斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点则直线的方程为y=x﹣ 2，即经 x﹣ y﹣2=02 2 2由直线与圆（ x﹣ 4） +y =r ，则r==故答案为：【点评】本题考查的知识点是直线与的圆位置关系，抛物线的简单性质及抛物线的参数方程，其中根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于 r 的方程，是解答本题的关键．12．（ 5 分）（ 2011?天津）如图，已知圆中两条弦AB 与 CD 相交于点F，E 是 AB 延长线上一点，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE 的长为．【考点】圆的切线方程．【专题】直线与圆．【分析】设出 AF=4k ， BF=2k ， BE=k ，由 DF ?FC=AF ?BF 求出 k 的值，利用切割定理求出CE．【解答】解：设 AF=4k ，BF=2k ， BE=k ，由 DF?FC=AF ?BF，得 2=8k 2，即 k=，∴AF=2 ， BF=1 ， BE= ， AE=，2= ，由切割定理得 CE =BE ?EA=∴CE=．【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况，常考题型．13．（ 5 分）（ 2011?天津）已知集合A={x ∈R||x+3|+|x ﹣ 4|≤9} ，B=，则集合 A ∩B= {x| ﹣ 2≤x≤5}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合 A ，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出 A ∩B ．【解答】解：集合 A={x ∈R||x+3|+|x ﹣4|≤9} ，所以 A={x| ﹣4≤x≤5} ；集合，，当且仅当t=时取等号，所以B={x|x ≥﹣ 2} ，所以 A ∩B={x| ﹣ 4≤x≤5} ∩{x|x ≥﹣ 2}={x| ﹣ 2≤x≤5} ，故答案为： {x| ﹣ 2≤x≤5} ．【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力．14．（ 5 分）（ 2011?天津）已知直角梯形ABCD 中， AD ∥ BC，∠ ADC=90 °，AD=2 ，BC=1 ，P 是腰 DC 上的动点，则的最小值为5．【考点】向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则 A （ 2，0），B（ 1，a），C（ 0， a）， D（0， 0），设 P（ 0， b）（ 0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．【解答】解：如图，以直线DA ， DC 分别为 x， y 轴建立平面直角坐标系，则A （ 2， 0）， B（ 1，a）， C（ 0， a）， D（ 0，0）设 P（ 0， b）（ 0≤b≤a）则=（2，﹣ b），=（ 1， a﹣ b），∴=（ 5，3a﹣ 4b）∴=≥5．故答案为5．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．三、解答题（共 6 小题，满分80 分）15．（ 13 分）（ 2011?天津）已知函数f（ x） =tan（ 2x+），（1）求 f（ x）的定义域与最小正周期；（2）设α∈（ 0，），若f（）=2cos2α，求α的大小．【考点】正切函数的周期性；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦；正切函数的定义域．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用正切函数的定义域求出函数的定义域，利用周期公式求出最小正周期；（Ⅱ）通过，化简表达式，结合α∈（0，），求出α的大小．【解答】解：（Ⅰ）由 2x+≠+k π， k∈Z．所以 x≠，k∈Z．所以f（x）的定义域为： f （x）的最小正周期为：．（Ⅱ）由得 tan（）=2cos2α，整理得因为α∈（ 0，），所以sinα+cosα≠0 因此（ cosα﹣ sinα）2 =即 sin2α= 因为α∈（ 0，），所以α=【点评】本题考查两角和的正弦函数、余弦函数、正切函数公式，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式等基本知识，考查基本运算能力．16．（ 13 分）（ 2011?天津）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、 2个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在 1 次游戏中，（i ）摸出 3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E（ X ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（ I ）（ i ）甲箱子里装有 3 个白球、 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出22 2 个球，事件数是 C5 C3，摸出 3 个白球事件数为211（ ii ）获奖包含摸出 2 个白球和摸出 3 个C3 C2 C2；由古典概型公式，代入数据得到结果，白球，且它们互斥，根据（i）求出摸出 2 个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算要正确，因为第二问要用本问的结果．（II）连在 2次游戏中获奖次数 X 的取值是0、 1、 2，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望．【解答】解：（Ⅰ）（ i）设“在一次游戏中摸出i 个白球”为事件 A i（ i= ， 0，1， 2， 3），则P（A 3）=，（ii ）设“在一次游戏中获奖”为事件 B，则 B=A 2∪A 3，又P（A 2）=，且 A 2、A 3互斥，所以 P（ B ）=P（ A 2） +P（ A3）=；（Ⅱ）由题意可知X 的所有可能取值为 0， 1， 2．P（ X=0 ） =（ 1﹣）2=，1（1﹣） = ，P（ X=1 ） =C2P（ X=2 ） =（2，） =所以 X 的分布列是X012pX 的数学期望 E（ X ） =0×．【点评】此题是个中档题．本题考查古典概型及共概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．17．（ 13 分）（ 2011?天津）如图所示，在三棱柱ABC ﹣ A 1B 1C1中， H 是正方形 AA 1B1B 的中心， AA 1=21111．， C H⊥平面 AA B B，且 C H=（1）求异面直线 AC 与 A 1 B1所成角的余弦值；（2）求二面角 A ﹣ A 1C1﹣ B1的正弦值；（3）设 N 为棱 B 1C1的中点，点 M 在平面 AA 1B 1B 内，且 MN ⊥平面 A 1B1C1，求线段 BM 的长．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．【分析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点．（Ⅰ）求出中的有关向量，然后求出异面直线AC 与 A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）利用求出平面AA 1C1的法向量，通过求出平面 A 1B1C1的法向量，然后利用求二面角 A ﹣A 1C1﹣ B1的正弦值；（Ⅲ）设 N 为棱 B 1C1的中点，设 M（ a，b，0），利用 MN ⊥平面 A 1B1C1，结合求出 a， b，然后求线段 BM 的长．方法二：（ I ）说明∠ C1A 1B1是异面直线 AC 与 A 1B1所成的角，通过解三角形C1A 1B1，利用余弦定理，．求出异面直线 AC 与 A 1B1所成角的余弦值为．（II ）连接 AC 1，过点 A 作 AR ⊥ A 1C1于点 R，连接 B1R，说明∠ ARB 1为二面角 A ﹣A 1C1﹣B 1的平面角．连接 AB 1，在△ARB 1中，通过，求出二面角 A ﹣A 1C1﹣ B1的正弦值为．（III ）首先说明MN ⊥ A1B 1．取 HB 1中点 D，连接 ND ，由于 N 是棱 B1C1中点，推出ND ⊥ A 1B1．证明 A 1B 1⊥平面 MND ，连接 MD 并延长交 A 1B1于点 E，延长 EM 交 AB 于点F，连接 NE．连接 BM ，在 Rt △ BFM 中，求出．【解答】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点．依题意得（I ）解：易得，于是，所以异面直线AC 与 A 1B1所成角的余弦值为．（II ）解：易知．设平面 AA 1C1的法向量 =（ x， y， z），则即不妨令，可得，同样地，设平面A1B 1C1的法向量 =（ x， y，z），则即不妨令，可得．于是，从而．所以二面角 A ﹣A 1C1﹣ B 的正弦值为．（III ）解：由 N 为棱 B1C1的中点，得．设 M （ a， b， 0），则由MN ⊥平面 A 1B1C1，得即解得故．因此，所以线段BM 的长为．方法二：（I）解：由于AC ∥ A1C1，故∠ C1A 1B1是异面直线AC 与 A 1B 1所成的角．因为 C1H⊥平面 AA 1B1B ，又 H 为正方形 AA 1B 1B 的中心，，可得 A 1C1=B 1C1=3 ．因此．所以异面直线AC 与 A 1B1所成角的余弦值为．（I I ）解：连接 AC 1，易知 AC 1=B1C1，又由于 AA 1=B 1A 1， A 1C1=A 1C1，所以△ AC 1A 1≌△ B1C1A 1，过点 A 作 AR ⊥ A 1C1于点 R，连接 B 1R，于是 B1R⊥ A1C1，故∠ ARB 1为二面角 A ﹣ A 1C1﹣ B 1的平面角．在 Rt△ A 1RB 1中，．连接 AB 1，在△ARB 1中，=，从而．所以二面角 A ﹣A 1C1﹣ B1的正弦值为．（I II ）解：因为 MN ⊥平面 A 1B1C1，所以 MN ⊥ A1B 1．取HB 1中点 D，连接 ND ，由于 N 是棱 B1C1中点，所以 ND ∥C1H 且．又C1H⊥平面 AA 1B1B，所以 ND ⊥平面 AA 1B1B，故 ND ⊥ A 1B 1．又MN ∩ND=N ，所以 A 1B 1⊥平面 MND ，连接 MD 并延长交 A 1B1于点 E，则ME ⊥ A1B1，故 ME ∥AA 1．由，得，延长 EM 交 AB 于点 F，可得．连接 NE ．在 Rt△ ENM 中， ND ⊥ ME ，故2ND =DE ?DM ．所以．可得．连接 BM ，在 Rt△ BFM 中，．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．18．（ 13 分）（2011?天津）在平面直角坐标系xOy 中，点 P（a，b）（ a＞ b＞ 0）为动点， F1，F2分别为椭圆的左、右焦点．已知△ F1PF2为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A， B 两点， M 是直线 PF2上的点，满足，求点 M 的轨迹方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）直接利用 △ F 1PF 2 为等腰三角形得 |PF 2|=|F 1F 2 |，解其对应的方程即可求椭圆的离心率 e ；（Ⅱ）先把直线方程与椭圆方程联立，求得A ，B 两点的坐标，代入 ，即可求点 M 的轨迹方程．【解答】 解：（Ⅰ）设 F 1（﹣ c ，0）， F 2（ c ， 0）（ c ＞0）．由题得 |PF 2 |=|F 1F 2|，即=2c ，整理得 2 + ﹣ 1=0 ，得 =﹣ 1（舍），或 = ，所以 e= ．（Ⅱ）由（Ⅰ） 知 a=2c ，b= c ，可得椭圆方程为3x 2+4y 2 =12c 2，直线方程为 y=（x ﹣ c ）．A ，B 的坐标满足方程组，消 y 并整理得 5x 2﹣ 8xc=0 ，解得 x=0 ，x=，得方程组的解为 ， ，不妨设 A （ c ，c ）， B （ 0，﹣c ）．设点 M 的坐标为（ x ，y ），则=（ x ﹣ c ， y ﹣ c ）， =（x ， y+ c ）由 y=（ x ﹣ c ）得 c=x ﹣y① ，由=﹣ 2 即（ x ﹣ c ） x+ （y ﹣ c ）（ y+ c ）=﹣ 2．将① 代入化简得 18x 2﹣16xy ﹣ 15=0 ，? y= 代入 ① 化简得 c=＞ 0．所以 x ＞ 0，因此点 M 的轨迹方程为 18x 2﹣ 16xy ﹣15=0（ x ＞ 0）．【点评】 本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程， 平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．19．（ 14 分）（ 2011?天津）已知 a ＞0，函数 f （x ） =lnx ﹣ ax 2，x ＞ 0．（ f （ x ）的图象连续不断）（Ⅰ）求 f （ x ）的单调区间；（Ⅱ）当时，证明：存在 x 0∈（ 2，+∞），使 ；（Ⅲ）若存在均属于区间 [1，3]的 α，β，且 β﹣ α≥1，使 （f α）=f （β），证明．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点；不等式的证明．【专题】导数的综合应用．【分析】（ I ）求导数 fˊ（ x）；在函数的定义域内解不等式 fˊ（x）＞ 0 和 f ˊ（ x）＜ 0 确定函数的单调区间，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．（II ）由（ I）知 f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，在（2， +∞）内单调递减．令．利用函数f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，得到．最后取．从而得到结论；（III ）先由 f （α） =f （β）及（ I）的结论知，从而f（x）在[α，β]上的最小值为 f（ a）．再依 1≤α≤2≤β≤3建立关于 a 的不等关系即可证得结论．【解答】解：（ I），令．当 x 变化时， f' （ x）， f （ x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）f ′（ x） +0﹣f （ x）增极大值减所以，（f x）的单调递增区间是的单调递减区间是．（II ）证明：当．由（ I）知 f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，在（ 2， +∞）内单调递减．令．由于 f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，故．取．所以存在x0∈（ 2， x'），使 g（ x0） =0，即存在．（说明： x'的取法不唯一，只要满足x'＞ 2，且 g（ x' ）＜ 0 即可）（III ）证明：由 f （ α）=f （β）及（ I ）的结论知，从而 f （ x ）在 [ α，β]上的最小值为f （ a ）．又由 β﹣ α≥1， α，β∈[1，3] ，知 1≤α≤2≤β≤3．故从而．【点评】 本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法．20．（ 14 分）（ 2011?天津）已知数列{a n } 与 {b n } 满足：， n ∈N *，且 a 1=2， a 2=4 ．（Ⅰ）求 a 3，a 4， a 5 的值；（Ⅱ）设 c n2n ﹣1 2n+1， n ∈N *，证明： {c n=a+a} 是等比数列；（Ⅲ）设 S k =a 2+a 4+⋯+a 2k ， k ∈N *，证明：．【考点】 数列与不等式的综合；等比关系的确定．【专题】 等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）要求 a 3， a 4， a 5 的值；通过赋值方法，利用已知条件化简求解即可．（Ⅱ）化简出a 2n ﹣ 1+a 2n+1， a 2n+1+a 2n+3的关系，即： c n+1 与 c n 的关系，从而证明 {c n } 是等比数列；就是利用（Ⅰ）的，用 2n ﹣ 1， 2n ， 2n+1，替换中的 n ，化简出只含 “a n ”的关系式， 就是 a 2n﹣ 1+a 2n +2a 2n+1=0，① 2a 2n +a 2n+1+a 2n+2=0，② a 2n+1+a 2n+2+2a 2n+3=0，③ 然后推出 a 2n+1+a 2n+3=﹣（ a 2n ﹣ 1+a 2n+1），得到 c n+1=﹣c n （ n ∈N *），从而证明 {c n } 是等比数列；（Ⅲ）先研究通项公式a 2k ，推出 S k 的表达式，然后计算，结合证明的表达式，利用表达式的特征，通过裂项法以及放缩法证明即可；就是：根据 a 2k ﹣1+a 2k+1=（﹣ 1） k，对任意k ∈N * 且 k ≥2，列出 n 个表达式，利用累加法求出 a 2k =（﹣ 1） k+1（ k+3 ）．化简 S 2k =（ a 2+a 4）+（a 6+a 8）+⋯+（ a 4k ﹣ 2+a 4k ）=﹣ k ，k ∈N * ，，通过裂项法以及放缩法证明：．【解答】 20、满分 14 分．（I ）解：由，可得又 b n a n +a n+1+b n+1a n+2=0，（ I I ）证明：对任意 n ∈N *， a 2n ﹣1+a 2n +2a 2n+1=0， ①2a 2n +a 2n+1+a 2n+2=0， ② a 2n+1+a 2n+2+2a 2n+3=0， ③ ② ﹣③ ，得 a 2n =a 2n+3． ④将④ 代入 ① ，可得 a 2n+1+a 2n+3=﹣（ a 2n ﹣ 1+a 2n+1）即 c n+1=﹣ c n （ n ∈N *） 又 c 1=a 1+a 3=﹣ 1，故 c n ≠0，因此是等比数列．（ I II ）证明：由（ II ）可得 a 2k ﹣ 1+a 2k+1=（﹣ 1） k，于是，对任意 k ∈N *且 k ≥2，有将以上各式相加，得 a 1+（﹣ 1）ka 2k ﹣ 1=﹣（ k ﹣1），即 a 2k ﹣ 1=（﹣ 1）k+1（ k+1），此式当 k=1 时也成立．由 ④ 式得 a 2k =（﹣ 1） k+1（ k+3）．从而 S 2k =（ a 2+a 4） +（ a 6+a 8）+⋯+（ a 4k ﹣ 2+a 4k ）=﹣ k ， S 2k ﹣1=S 2k ﹣ a 4k =k+3 ．*所以，对任意 n ∈N ， n ≥2，== ==对于 n=1 ，不等式显然成立．【点评】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．赋值法是求数列前几项的常用方法，注意n=1 的验证，裂项法和放缩法的应用．。

① 任意实数； ② 1； ③ 2； ④ 12.3．若随机变量X 的概率密度为(),()xf x aex -=-∞<<+∞，则=a （ 2 ）. ① 12-； ②12； ③1； ④ 32.4．若连续型随机变量X 的分布函数为)(x F ，则以下结论错误的是（ 3 ）.① ()P a X b <≤=)()(a F b F -； ② ()()()P a X b F b F a <<=-； ③ ()()()P a X b F a F b <<≠-； ④ ()0.P X a ==.5．设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量Y X 23-的方差是（ 4 ）。

① 8； ② 16； ③ 28； ④ 44. 三、某校入学考试的数学成绩近似服从正态分布(65,100)N .若85分以上为“优秀”，问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几?(8分)解: 设X 表示考生的数学成绩，则 ~ (65,100)X N 近似，于是858565{85}1{85}1{}1010X P X P X P -->=-≤=-≤ (4分)1(2)10.9772 2.28%≈-Φ=-= (8分)即数学成绩“优秀”的考生大致占总人数的2.28%。

四、某灯泡厂有甲、乙两条流水线，它们所出产的灯泡中，寿命大于2500小时的分别占80%和90%，从它们生产的灯泡中各自随机地抽取一个，求下列事件的概率：（1）两个灯泡寿命均大于2500小时；（2）两灯泡中至少有一个寿命大于2500小时；（3）两个灯泡中至多有一个寿命大于2500小时.（12分）解：用B A ,分别表示从甲、乙两个流水线上的产品中抽取的灯泡寿命大于2500小时，则它们相互独立.(1) 72.09.08.0)()()(=⨯==B P A P AB P , (4分)22,()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩，33,0()0,y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩，写出二维随机变量(), X Y 的联合密度函数(), f x y ，并求概率(2,1)P X Y <>. （10分） 解：由随机变量X 与Y 相互独立，得(23)0,0,6,(,)()().0,x y X Y x y e f x y f x f y else -+>>⎧==⎨⎩(5分) 2(23)1(2,1)6x y P X Y dx edy +∞-+<>=⎰⎰(8分) 2234316()()(1)0.0489xyedx edy e e+∞----==-≈⎰⎰(10分)八、 某保险公司多年的资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，用X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X 的概率函数；（2）利用棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，求索赔户中被盗索赔户不少于10户且不多于26户的概率的近似值。

吧 天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-1答案一、填空题1. c b a 6142+-；2. )2,1,2(31-±；3. 3232313--，，，；4. 22；5.2020z y +，0z ；二、选择题1.（B ）；2. (C)；3.（D ）.三、解答题1．解：由BN AB MA MN ++=，DN CD MC MN ++=，得)(21CD AB MN +=， 而)1,2,4()3,6,0(-=--=CD AB 、，于是)1,4,2(--=MN . 或由中点坐标公式，得N M 、点坐标为)2/5,5,1(M 、)2/3,1,3(N 于是)1,4,2(--=MN .2. 解：设)2cos ,cos ,(cos ααα=e，由12cos cos cos 222=++ααα，有02s i n c o s 222=-αα，即0)sin 21(cos 22=-αα，所以2πα=或4πα=（43πα=舍去），于是)1,0,0(-=e 或)0,22,22(=e . 3. 解：由49)3()2(62222=-+-+=AB ，49)6(3)2(2222=-++-=AC ，98)3(5)8(2222=-++-=BC，有AC AB =及222BC ACAB =+，所以，三角形ABC 是等腰直角三角形.天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-2答案一、填空题1. 2， )13,4,7(--；2. 2，212arccos；3. )2,1,1(-k （k 是任何实数）；4.26.二、选择题1.（A ）；2.（B ）；3.（C ）；4. (D) .三、解答题1．解：22253)3()2(n n m m n m n m b a -⋅+=-⋅+=⋅08532cos 5322=-+=-⋅+=nn m mθ.2. 解：8=⋅b a ，8=⋅c a ，于是k j b c b c a c b a248)(8)()(--=-=⋅-⋅；k j i k j i b a +--=--=⨯58311132，=⨯⨯c b a)(k j i k j i 212021158++=---；3. 解：(2=u +a +b ()⋅c +a +b )c14)(2222=⋅+⋅+⋅+++=c b c a b a c b a ，所以14=u.=⋅⋅=u a u a θcos 14141411===⋅⋅+⋅+⋅u u a c a b a a a. 天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-3答案一、填空题1. 6)2()1()1(222=-+++-z y x ；2. 2222)1(x z y +=+，221z x y ++=；3. 122=-z x ，z ，单叶旋转双曲面； 4. 圆锥面；二、选择题1.（B ）；2.（B ）；3.（C ）；4. (D) .天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-4答案一、填空题1. 16322=-z y ； 2.⎩⎨⎧=-；022y x ,12=z3. 0=-y x ；4. 62=+-z y x ；5. 0==C B ，0≠A .二、选择题1.（C ）；2.（C ）；三、解答题1．解： 取法向量)4,3,1()2,3,1()12,2(3121=-⨯--=⨯=M M M M n， 平面方程为0)2(4)0(3)1(=-+-+-z y x ，即943=++z y x . 2. 解：取法向量)0,1,1(2)1,1,1()11,1(1-=⨯-=⨯=AB n n， 平面方程为0)1(0)1()1(=-+---z y x ，即0=-y x . 3．解：设所求平面方程为132=++a za y a x ，由到原点的距离是6，有 2223121116⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a ，即766a=，得7±=a ，代入方程132=++az a y a x 并化简，得所求平面为42236±=++z y x . 天津科技大学《高等数学》(一)检测题8-5答案一、填空题1. )5,3,1(--；2. 42132zy x =-+=-； 3. z y x ==； 4.232211-=--=-z y x ； 5. 0. 二、选择题1.（D ）；2.（B ）.三、解答题1．解：取)1,1,3()1,2,1()2,1,1(21-=-⨯-=⨯=n n s，所求直线方程为111231-=--=+z y x . 2. 解：在直线上取一点)0,3,4(0-M ，并取所求平面的法向量为)22,9,8()2,4,1()1,2,5(0--=-⨯=⨯=MM s n，所求平面方程为0)2(22)1(9)3(8=+----z y x ，即592298=--z y x . 3. 解：设所求平面方程为012=+--+z z y x λ，将点M 代入有03=-λ，得3=λ，于是所求方程为122=++z y x .4．解：设所求直线方程为pz n y m x 321-=-=-，由与已知直线垂直，有0=++p n m ①；又设与z 轴交点为),0,0(0z ，有p z n m 3210-=-=-②，由①、②两式得m p m n 32-==、，所求直线方程是332211--=-=-z y x . 天津科技大学《高等数学》(一)检测题9-1答案一、填空题1．u u 22+，1-+y x ； 2．{}1),(2≤≤y x y x ； 3．}0,1),{(22≥<+x y x y x ； 4．{}x y y x ±=),(.二、选择题1．（B ）； 2．（C ）； 3．（D ）；三、解答题1．解：令y x u +=，x y v =.则v u x +=1，vuvy +=1.于是 vv u v uv v u y x x y y x f v u f +-=+-+=-=+=1)1()1()1(),(),(22222.所以yy x y x f +-=1)1(),(2.2．解：))((2)()(),(44ty tx ty tx ty tx f -+=2t =).,()2(244y x f t xy y x =-+3．解：由⎩⎨⎧≥->--,0)(,0122x y x y x 有⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥<+；，，00122x y x y x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤<+.00122x y x y x ，，得⎩⎨⎧≥≥<+；0,122x y y x 或⎩⎨⎧≤≤<+.0,122x y y x 于是，定义域为：)0,1(),{(22≥≥<+=x y y x y x D或)}0,1(22≥≥<+x y y x .天津科技大学《高等数学》(一)检测题9-2答案一、填空题1．)1(22xy x y -； 2．222ln xy zxy z-；3．z 2或yx 2； 4．1；二、选择题1．（A ）； 2．（C ）；三、解答题1．解：；y x x z y e 2=∂∂ .)1(e )e e (2222yy x y y x y z y y y -=-⋅=∂∂ 2．解：x y x x y x y xx y x y x x y x x z cos sin 21)(cos sin 212-=-⋅+=∂∂； .cos 1)1(cos x y xx x y x y z =⋅=∂∂ 3．证明：由)ln(2122y x z +=，有2222)(22yx xy x x x z +=+=∂∂， 由变量y x ，的对称性，得22y x yy z +=∂∂，于是1=∂∂+∂∂y z y x z x . 4．证明：由于)2sin(21)21)](2sin()[2cos(2t x t x t x t z -=----=∂∂,)2cos(2122t x tz --=∂∂； )2c o s (22t x x t zt x z -=∂∂∂=∂∂∂. 所以, 0)2cos()2cos(2222=-+--=∂∂∂+∂∂t x t x t x ztz . 天津科技大学《高等数学》(一)检测题9-3答案一、填空题1．119.0-, 125.0-； 2．y yx x y y d )11(d )1(2-++； 3．)1ln 2(sec 2++t t t ；二、选择题1．（B ）； 2．（A ）； 3．（B ）.三、解答题1. 解：由 y y xyx y x y y y x y x x z 2csc2cossin 11tan sec 2==⋅=∂∂,22222c s c2c o ss i n )(t a n s e cy y xx yx y x y x y x y x y x y z -=-=-⋅=∂∂. 得)d d (2csc 2d 2csc 2d 2csc 2d 22y x x y y xyy y x y x x y x y z -=-=. 2. 解：2222212222)d 2d 2()(d )(d d 21y x y y x x y x y y y x yx y z ++⋅+⋅-+=+=-)d d ()(2/322y x x y y x x-+-=.3. 解：由)ln(2122y x z u +=，有2222)(22yx xz y x x z x u +=+⋅=∂∂， 由变量y x ,的对称性,得22y x yz y u +=∂∂；又22ln y x z u +=∂∂. 所以，.d ln d d d 222222z y x y yx yz x y x xz u +++++=4. 解：用代入法，vu vu z -+=arctan，2222)()()()(11v u vv u v u v u v u v u uz +-=-+---++=∂∂，2222)()()()(11v u uv u v u v u vu v u vz +=-++--++=∂∂. 天津科技大学《高等数学》(一)检测题9-4答案一、填空题1．21e 2f x f y xy '+'-； 2．31cos 12f yxy f x '+'； 3．2e -； 4．z x z +；)(2z x y z +；二、选择题1．（B ）； 2．（A ）； 3．（C ）. 三、解答题1．解：.)()(2)(2)(2222222222y x f y x f xy y x f x y x f y x z --'-=-⋅-'⋅-=∂∂ .)()(2)(22222222y x f y x f y y x f y z --'+-=∂∂=∂∂+∂∂y z y x z x 1122f f y '-222yff y f '++.2y z= 2．解：.222121f x f y x f y f xz'+'=⋅'+⋅'=∂∂ )2(22)2(22212121122f x f y x f f x f y y xz''+''+'+''+''=∂∂ 222212112244f f x f xy f y '+''+''+''=. =∂∂∂yx z2)2(2)2(222112111f y f x x f y f x y f ''-''+''-''+' 1221222114)(2f f xy f y x f xy '+''-''-+''=. 3．解：方程两边对y 求导，有)(12xz yxyzxyzyx+∂∂=+∂∂， 即xz y xyz xyz y x xyz+∂∂=+∂∂2. 解得.2yzxyz xyz xz y x --=∂∂ 天津科技大学《高等数学》(一)检测题9-5答案一、填空题1．314211-=-+=-z y x ； 2．122=--z y x ； 3．101-； 4．⎪⎭⎫ ⎝⎛5354，. 二、选择题1．(D)； 2．（C ）.三、解答题1．解：以x 为参数，于是1)(24)(2-='='x z z x y y ，，在点)1,2,1(-M 处，2/1)1(1)1(='='z y ，. 取切线方向向量)1,2,2())1()1(1(2=''=z y T ，，，切线方程为：112221+=-=-z y x ；法平面方程为：0)1()2(2)1(2=++-+-z y x ，即522=++z y x .2．解：设切点为),,(000z y x M ，442),,(222-++=z y x z y x F ， 取法向量),4,2()2,8,4(21),,(21000000z y x z y x F F F n Mz y x =='''=， 由切平面与已知平面平行，有12422000z y x ==，即000022y z y x ==，， 代入椭球面方程，得2/10±=y ，100±==z x ，切平面方程为：0)1()2/1(2)1(2=±+±+±z y x ，即0422=±++z y x .3．解：设所求点为),,(000z y x M ，则法向量)1,,()1,,(00-=-''=x y z z nM y x， 根据已知，有113100-==x y ，得31300000==-=-=y x z y x ，，， 切平面方程为：0)3()1(3)3(=-++++z y x ，即033=+++z y x ； 法线方程为：133113-=+=+z y x . 天津科技大学《高等数学》(一)检测题9-6答案一、填空题1．)2,2(-，8； 2．)1,1(-，0； 3．．41)21,21(=z ； 二、选择题1．(A)； 2．（C ） 3．(C)； 4．(B)；三、解答题1．解：设两直角边分别为x 、y ，三角形面积为A ，则xy A 21=，条件222l y x =+. 设(),(λ+=xy y x L )222l y x -+，)0(l y x <<，，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+='=+=',,02,02222l y x y x L x y L y xλλ 得惟一可疑点2l y x ==，由实际意义，斜边一定时直角三角形面积为A 有最大值，于是在斜边长为l 的直角三角形中，以等边直角三角形面积最大，最大面积为42maxl A =. 2．解：设水箱的长、宽、高分别为z y x ,,.则表面积z y x xy A )(2++=， )0,0,0(>>>z y x .约束条件为V xyz =.设)()(2),,(V xyz z y x xy z y x L -+++=λ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++='=++='=++=',,0)(2,02,02V xyz xy y x L xz z x L yz z y L z yxλλλ 得惟一可疑点32V y x==，3212V z =. 由实际意义，体积一定时，长方体表面积A 有最小值. 所以，当水箱的长、宽都为32V ，高为3212V时，最省材料.3．解：用z 表示销售收入减去广告费用，则221028311315),(y x xy y x y x z ---++=， )0,0(≥≥y x .（1） 由⎩⎨⎧=--='=--=',020831),(,04813),(y x y x z x y y x z yx得惟一驻点75.0=x （万元），25.1=y （万元）.由实际意义，z 有最大值．于是，在不限定广告费用时，当报纸广 告费为0.75万元，电视广告费为1.25万元时，广告策略最优. （2） 当广告费用限定为1.5万元时，即约束条件是5.1=+y x ，设=),(y x L )5.1(102831131522-++---++y x y x xy y x λ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--='=+--=',5.1,020831),(,04813),(y x y x y x L x y y x L y x λλ得惟一可疑点0=x （万元），5.1=y （万元）.由实际意义，z 有最大值．于是，在限定广告费用为1.5万元时，将其全部用于做电视广告，广告策略最优.天津科技大学《高等数学》(一)检测题10-1答案一、填空题1．2； 2．3π． 二、选择题 1．．（A ）； 2．（C ）． 三、解答题1．解：设)(),(y x x y x f +=，则在D 上，1),(0≤≤y x f ，又0)0,0(=f ，1)0,1(=f ．于是，在D 上),(y x f 的最小值0=m ，最大值1=M ，而区域D 的面积21=σ. 0=σm ，21=σM ，所以， ⎰⎰≤+≤Dy x y x x 21d d )(0 2．解：设 143),(22-+=y x y x f ，由⎩⎨⎧=='==',08),(,06),(y y x f x y x f yx在区域D 内得驻点)0,0(O ，1)0,0(-=f .又在D 的边界上，212212]143[),(2222y y x y x f y x y x +=-+==+=+，（11≤≤-y ）于是，在D 的边界上，),(y x f 的最小值21=m ，最大值31=M ．在D 上，),(y x f 的最小值1-=m ，最大值3=M ，D 的面积πσ=． 所以，⎰⎰≤-+≤-Dy x y x ππ3d d )143(22． 天津科技大学《高等数学》(一)检测题10-2答案一、填空题1．⎰⎰⎰⎰+2112102d ),(d d ),(d x x x y y x f x y y x f x ； 2．⎰⎰--1)1(212d ),(d y yx y x f y ；3．⎰⎰-+21)sin (cos 1d )sin ,cos (d πθθρρθρθρθf ；4．⎰⎰20cos 20d )(d πθρρρθa f ．二、计算题1．解：49]43[d )2(d d d d 2142321322122=-+=-+==---+⎰⎰⎰⎰⎰x x x x x x x y x x y x x x x D．2．解：)2cos 1(21cos 21d sin 21d sin d d d sin 2020202-=-===⎰⎰⎰⎰⎰x x x y x x x y x x x x x D．3．解：记1D ，2D 分别为D 位于直线x y =的上、下部分，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-12d d )(d d )(d d D D Dy x y x y x x y y x y x31d 21d )1(21d )(d d )(d 10210210101=+-=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x x x y y x x y x y x xx． 或：由于1D ，2D 关于x y =直线对称，于是⎰⎰⎰⎰-=-21d d d d D D y x x y y x y x ，所以31d d )(d 2d d 2d d 12102==-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x y y x x y x x y y x y x x D D． 4. 解：=⎰⎰Dy x yxd d ⎰⎰⎰=20sin 20220sin 20d cot 21d cot d πθπθθθρρθρθa a=22/022202sin d cos sin 2a a a==⎰ππθθθθ．5. 解：=⎰⎰Dy x xy d d ⎰⎰⎰⎰+24cos 20340sin 203d cos sin d d cos sin d ππθπθρθθρθρθθρθ61c o s 32s i n 32d s i n c o s 4d c o s s i n 46/4/64/06245405=-=+=⎰⎰ππππππθθθθθθθθ． 天津科技大学《高等数学》(一)检测题10-3答案1．解：⎰⎰⎰---20)2(232360d ),,(d d x y x z z y x f y x ．2．解：原式πρρρπρρθπρ316d )44(d d d 42202222=-==⎰⎰⎰⎰z z ． 3．解：原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++=z y x xy z y x y xd d d 2d d d )(2210d )1(2d d d 1320113πρρρπρρθπρ=-==⎰⎰⎰⎰z ．天津科技大学《高等数学》(一)检测题10-4答案一、填空题1．⎰⎰--Dy x y x d )d 4(22，}4),{(22≤+y x y x ； 2．⎰⎰++Dy x y x d d 416122， }1),{(22≤+y x y x ；二、计算题1．解：由⎪⎩⎪⎨⎧+=--=,,22222y x z y x z 消去z 得122=+y x .于是立体在xoy 面上的投影为xy D ：122≤+y x . 所以，立体体积为y x y x y x V xyD d d ]2[2222+---=⎰⎰103232202102]31)2(31[2d ]2[d ρρπρρρρθπ---=--=⎰⎰π)12(34-=． 或：ππϕϕθππ)12(34322)221(2d d sin d d 204/022-=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωr r v V ． 1∑：222y x z --=， 2222221yx z z y x --='+'+．2∑：22y x z +=，2122='+'+y x z z ． 立体的全表面积为y x y x yx A xyxyD D d d 2d d 2222⎰⎰⎰⎰+--=πρρρθπ2d 2d 220102+-=⎰⎰πρπ2]2[22102+--=π)24(-=． 2．解：如图取坐标，由对称性，0=x ．2222πμπμa a M =⋅=， ⎰⎰⎰⎰==πρθρθμμ2d sin d d d aDx y x y M 323233μμa a =⋅=，π34a M M y x ==， 于是质心位于)340(πa ，处．天津科技大学《高等数学》(一)检测题11-1答案一、填空题1．216； 2．⎰+2122d 41)(x x x,x f ，⎰+41d 214),(y yy y y f ；二、选择题1．（B ）； 2．（C ）； 3．（D ）．三、计算题1．解：)10(,1≤≤-=x x y BC ：；)01(,1≤≤-+=x x y CA ：，⎰⎰⎰⎰++=CABCABLs y x s y x s y x s y x d d d d 222262122122d )1(2d )1(20012102=+=++-+=⎰⎰-x x x x x x ． 2．解：t a t a t a a t a y x s z d )cos ()sin (d 22220222222++-=+⎰⎰Γπ 3202328d 2ππa t t a ==⎰．3．解：由对称性，得0=y ，πμa M =，μμμππ2222/2/2d )cos ()sin (cos d a t t a t a t a s x M Ly =+-==⎰⎰-，πaMM x y 2==，于是形心位于)0,2(πa．天津科技大学《高等数学》(一)检测题11-2答案一、填空题1．8， 2； 2．0； 二、选择题1．（B ）； 2．（B ）．三、计算题1．解：2sin 212dsin sin d sin d sin d 0200=+=+=+⎰⎰⎰πππx x x x x y x x y L ． 2．解：从原点起沿摆线的第一拱到)0,2(πa 对应参数t 从0变到π2，于是tt a t t a t a t a a y x x y a Ld }sin )sin ()cos 1()]cos 1(2{[d d )2(20-+---=+-⎰⎰π2202022022]d cos cos [d sin a t t tt a t t t aππππ-=+-==⎰⎰．3．解：z x y yz x z y d d 2d )(222-+-⎰Γ⎰⋅-⋅+-=122564d ]322)[(t t t t t t t3515273d )23(1046=-=-=⎰t t t ． 天津科技大学《高等数学》(一)检测题11-3答案一、填空题1．12； 2．2， 1； 3．π2-． 二、选择题1．（B ）； 2．（B ）．三、解答题1．解：由格林公式，原式πρρθπ43d d 3d d )(3403D22a y x y xa==+=⎰⎰⎰⎰．2．解：如图，补直线AO ，用由格林公式， 原式⎰⎰++++++=AOL OAy y x x x y y x x x d )2(d d )2(d232d d d 0-=+-=⎰⎰⎰πππx x y xD．3．解：如图，补折线ABO ，用由格林公式， 原式⎰⎰⎰++++=BOAB L OBBA1sin 322d )cos 1(d d 2d 1102--=+-+=⎰⎰⎰⎰πy y x x y x D． 4．证明：221),(y xy y x P --=，2)(),(y x y x Q +-=，xQ y x y P ∂∂=+-=∂∂)(2，且在xOy 面内连续，于是 y y x x y xy d )(d )21(22+---在xOy 面内是某个二元函数),(y x u 的全微分．天津科技大学《高等数学》(一)检测题11-4答案一、填空题1．π4；2．3； 3．y x y x y x y x f y x d d 441),,(2212222+++⎰⎰≤+.二、计算题1．解：∑：y x z 231--=，222R y x D xy ≤+：，14122='+'+y x z z ，原式2146)00d d 6(14d d )236(14R y x y x y x xyxyD D π=++=--=⎰⎰⎰⎰． 2．解：21∑+∑=∑，221y x z +=∑：，12=∑z ：，122≤+y x D xy ：，在1∑上2122='+'+y x z z ，在2∑上1122='+'+y x z z ，原式⎰⎰⎰⎰∑∑+++=21d )(d )(2222S y x S y x y x y x y x y x xyxy D D d d )(d d )(22222⎰⎰⎰⎰+++= πρρθπ221)21(2013+=+=⎰⎰d d ． 天津科技大学《高等数学》(一)检测题11-5答案一、填空题1．0； 2．y x y x y x R xyD d d ),,(⎰⎰+-， 222a y xD xy ≤+：；二、计算题1．解：x y x D xy -≤≤≤≤10,10：；x z x D xz -≤≤≤≤10,10：． 原式⎰⎰⎰⎰+--=xzxyD D z x z y x y x d d d d )1(2⎰⎰⎰⎰--+--=101010102d d d )1(d x x z z x y y x x4161121d )1(21d )1(31102103=+=-+-=⎰⎰x x x x ． 2．解：221x R y -=∑：（右侧）；222x R y --=∑：（左侧），H z R x R D xz ≤≤≤≤-0,：． 原式0d )d (d d 2222+----=⎰⎰⎰⎰xzxzD D z x x R z x x RH R H R z x x R HR R22022212d d 2ππ=⋅⋅=-=⎰⎰-．天津科技大学《高等数学》(一)检测题11-6答案一、填空题1．0； 2．z y x z y x d d )d (3222⎰⎰⎰Ω++； 3．31． 二、计算题1．解：由高斯公式， 原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=Ωaaaa a z z y x a z y x z 053020323d 3d d 3d d d )33(． 2．解：由高斯公式， 原式ππρρπρρθπρ53)d -(23d d d 3z 1042010122====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωdz z d d z y x ．3．解：为用高斯公式，补平面：01=∑z ：（222a y x ≤+，下侧）， 22=∑z ：（222a y x ≤+，上侧），原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--++=--=∑+∑+∑∑∑ΩxyD y x z y x z y x d d 40d d d )(22112πρρθπ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=Ωa D a z z y x z y x z xy22204d 2d d d d 4d d d 20442222=-⋅⋅=ππa a ．天津科技大学《高等数学》(一)检测题12-1答案一、填空题1．n n n 1)1(--+； 2．)1ln(+n ； 3．)1(1+n n ；4．1； 5．0u S +； 6．41． 二、选择题1．（B ）； 2．（C ）； 3．（D ）．三、解答题1．解：1111231121-+=+++++++=n nn S n ．由于+∞=-+=∞→∞→)11(lim lim n S n n n ,于是，级数∑∞=++111n nn 发散．2. 解：)12)(12(1531311+-++⋅+⋅=n n S n )1211(21)]121121()5131()311[(21+-=+--++-+-=n n n ． 21)1211(21lim lim =+-=∞→∞→n S n n n ，所以，级数∑∞=-12141n n 收敛，且和为21． 3．解：因为级数∑∞=121n n 收敛于12/112/1=-；级数∑∞=141n n 收敛于314/114/1=-． 由性质2，级数)4121(1∑∞=-n nn收敛，且和为32311=-． 天津科技大学《高等数学》(一)检测题12-2答案一、填空题1．发散； 2．收敛； 3．收敛； 4．收敛。

2 1. 2 x12 − 6 x3 + 2 x1 x2 − 6 x1 x3 + 8 x2 x3 ；2. 2 2 − x12 + 3x2 + 2 x3 + 2 5 x1 x2 −4 x2 x3 . 二．计算题⎛⎜0 ⎜ 3 解：(1 二次型 f 的矩阵为 A = ⎜⎜2 ⎜⎜ −3 ⎜⎝⎛3 ⎜2 0 ⎜ 3 A→⎜0 ⎜ 2 ⎜⎜0 −1 ⎜ 2 ⎝⎛ −5 ⎜⎜0 ⎜ (2 二次型 f 的矩阵为 A = ⎜⎜0 ⎜⎜⎜0 ⎝⎛ −5 0 ⎜⎜0 1 ⎜ 2 A→⎜⎜0 0 ⎜⎜0 0 ⎝ 0 ⎞ −3 ⎟⎟ 1 0 − ⎟，对其施行初等行变换，得 2⎟⎟ 1 − −3 ⎟⎟ 2 ⎠ 1⎞ − ⎟ 1⎞⎛3 2 0 − ⎟⎟⎜ 2 2 ⎟， r ( A = 3 ，故 f 的秩为3. −3 ⎟ → ⎜⎟⎜ 0 1 −2 ⎟⎟⎜⎟⎝ 0 0 −5 ⎠ −4 ⎟⎟⎠ 3 2 0 1 2 0 ⎞⎟ 5 − ⎟ 0 2⎟⎟，对其施行初等行变换，得1 2 −5 ⎟ 2 ⎟⎟ 5 − −5 0 ⎟⎠ 2 0 0 ⎞⎛ −5 0 0 0 ⎞⎟⎜⎟ 1 2 −5 ⎟⎜ 0 2 −5 ⎟⎟⎜⎟ 2 ， r ( A = 3 ，故 f 的秩为 3. → 1 5⎟⎜ 1 5⎟ − ⎟⎜0 0 − ⎟ 2 2⎟⎜ 2 2⎟⎜0 0 0 0 ⎟ 5 −25 ⎟⎠⎠⎝天津科技大学线性代数检测题 5-2 参考答案一．填空题 1. n ；2 2. y12 − y2 ；2 2 3. λ1 y12 + λ2 y2 + λ3 y3 . 二．选择题 1. (A； 2. (C ； 3. (A. 三．计算题⎛2 1⎞ λ − 2 −1 1. 解：二次型 f 的矩阵为 A = ⎜⎟，由λ E − A = −1 λ − 2 = (λ − 1(λ − 3 ，知特征值为λ1 =1 ，⎝1 2⎠2 λ2 =3 ，故二次型 f 的标准形为 f = y12 + 3 y2 . ⎛ −1 −1⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎛ −1⎞对于λ = λ1 = 1 ，解方程组( E − A X = 0 ，即⎜⎟⎜⎟ = ⎜⎟，得到特征向量 p2 = ⎜⎟；⎝ −1 −1⎠⎝ x2 ⎠⎝ 0 ⎠⎝1⎠⎛ 1 −1⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎛ 1⎞对于λ = λ2 = 3 ，解方程组(3 E − A X = 0 ，即⎜⎟⎜⎟ = ⎜⎟，得到特征向量 p2 = ⎜⎟ . ⎝ −1 1 ⎠⎝ x2 ⎠⎝ 0 ⎠⎝ 1⎠单位化，得 e1 = 1 ⎛ −1⎞ 1 ⎛ 1⎞⎜⎟， e2 = ⎜⎟. 1 2⎝⎠ 2 ⎝ 1⎠ 16⎛ 1 ⎜− 2 令P =⎜⎜ 1 ⎜⎝ 2 1 ⎞⎛ 1 − ⎟⎛ x1 ⎞⎜ 2⎟ 2 ⎜，则所求正交变换为 X = PY 即⎜⎟ = 1 ⎟⎝ x2 ⎠⎜ 1 ⎟⎜ 2⎠⎝ 2 1 ⎞⎟ 2 ⎟⎛ y1 ⎞⎜⎟ . 1 ⎟⎝ y2 ⎠⎟ 2⎠⎛ 2 0 0⎞ λ −2 0 0 ⎟，由 = 2. 解：二次型 f 的矩阵为 A = ⎜ λ 0 − 1 − 1 = (λ − 2 2 λ ，知特征值为λE − A ⎜0 1 1⎟⎜0 1 1⎟ 0 −1 λ − 1 ⎝⎠ 2 λ1 = λ2 =2 ，λ3 = 0 ，故二次型 f 的标准形为 f = 2 y12 + 2 y2 . ⎛1⎞⎛ 0⎞⎛ 0 0 0 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟对于λ = 2 ，解方程组(2 E − A X = 0 ，即⎜ 0 1 −1⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟，得到特征向量 p1 = ⎜ 0 ⎟， p2 = ⎜ 1 ⎟；⎜ 0 −1 1 ⎟⎜ x ⎟⎜ 0 ⎟⎜ 0⎟⎜1⎟⎝⎠⎝ 3 ⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛0⎞⎛ −2 0 0 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎟⎜ x ⎟ = ⎜⎟，得到特征向量 p = ⎜ −1⎟ . 对于λ = 0 ，解方程组− AX = 0 ，即⎜ 3 ⎜⎟⎜ 0 −1 −1⎟⎜ 2 ⎟⎜ 0 ⎟⎜ 0 −1 −1⎟⎜ x ⎟⎜ 0 ⎟⎜1⎟⎝⎠⎝ 3 ⎠⎝⎠⎝⎠⎛0⎞⎛0⎞ 1⎜⎟ 1 ⎜⎟标准正交化，得 e1 = p1 ，e2 = −1⎟ . 1 ⎟， e3 = 2⎜ 2⎜⎜1⎟⎜1⎟⎝⎠⎝⎠⎛1 ⎜⎜0 令P =⎜⎜⎜0 ⎜⎝ 0 ⎞⎛1 ⎜⎟ x ⎛⎞ 1 ⎟ 1 ⎜ − ⎜⎟ 0 2 2 ⎟，则所求正交变换为 X = PY 即⎜ x2 ⎟ = ⎜⎟⎜x ⎟⎜ 1 1 ⎟⎝ 3 ⎠⎜0 ⎜⎟ 2 2 ⎠⎝ 0 1 0 1 2 1 2 0 ⎞⎟ 1 ⎟⎛ y1 ⎞ − ⎜⎟ 2 ⎟⎜ y2 ⎟ . ⎟⎟ 1 ⎟⎜⎝ y3 ⎠⎟ 2 ⎠⎛3 0 0⎞ λ −3 0 0 ⎜⎟ 3. 解：二次型 f 的矩阵为 A = ⎜ 0 2 1 ⎟，由λ E − A = 0 λ − 2 −1 = (λ − 3 2 (λ − 1 ，知特征值为⎜ 0 1 2⎟ −1 λ − 2 0 ⎝⎠ 2 2 λ1 = λ2 = 3 ，λ3 = 1 ，故二次型 f 的标准形为 f = 3 y12 + 3 y2 . + y3 ⎛1⎞⎛ 0⎞⎛ 0 0 0 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟对于λ = 3 ，解方程组(3 E − A X = 0 ，即⎜ 0 1 −1⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟，得到特征向量 p1 = ⎜ 0 ⎟， p2 = ⎜ 1 ⎟；⎜ 0 −1 1 ⎟⎜ x ⎟⎜ 0 ⎟⎜ 0⎟⎜1⎟⎝⎠⎝ 3 ⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛0⎞⎛ −2 0 0 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟对于λ = 1 ，解方程组( E − A X = 0 ，即⎜ 0 −1 −1⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟，得到特征向量 p3 = ⎜ −1⎟ . ⎜ 0 −1 −1⎟⎜ x ⎟⎜ 0 ⎟⎜1⎟⎝⎠⎝ 3 ⎠⎝⎠⎝⎠⎛0⎞⎛0⎞ 1 ⎜⎟ 1 ⎜⎟标准正交化，得 e1 = p1 ， e2 = 1 ⎟，e3 = −1⎟ . 2⎜ 2⎜⎜1⎟⎜1⎟⎝⎠⎝⎠⎛1 ⎜⎜0 令P =⎜⎜⎜0 ⎜⎝ 0 ⎞⎛1 ⎟ x ⎛ 1⎞⎜ 1 ⎟ − ⎜⎟⎜0 2 2 ⎟，则所求正交变换为 X = PY 即⎜ x2 ⎟ = ⎜⎟⎜x ⎟⎜ 1 1 ⎟⎝ 3 ⎠⎜0 ⎜⎟ 2 2 ⎠⎝ 0 1 0 1 2 1 2 0 ⎞⎟ 1 ⎟⎛ y1 ⎞ − ⎜⎟ 2 ⎟⎜ y2 ⎟ . ⎟⎟ 1 ⎟⎜⎝ y3 ⎠⎟ 2 ⎠天津科技大学线性代数自测题 5 参考答案 17一．填空题 1. 0 ； 2. 2 . 二．选择题 1. (C. 三．计算题⎛ 6 12 ⎞ λ − 6 −12 = (λ + 10(λ − 15 ， 1. 解：二次型 f 的矩阵为 A = ⎜由λE − A = 知特征值为λ1 = −10 ，⎟，−12 λ + 1 − 12 1 ⎝⎠ 2 λ2 = 15 ，故二次型 f 的标准形为f = −10 y12 + 15 y2 . ⎛3⎞⎛ −16 −12 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜− 4⎟； p = = 对于λ = −10 ，解方程组(−10 E − A X = 0 ，即⎜，得到特征向量⎟⎜⎟⎜⎟ 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎝ −12 −9 ⎠⎝ x2 ⎠⎝ 0 ⎠⎝⎠⎛4⎞⎛ 9 −12 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜ 3⎟. = p = 对于λ = 15 ，解方程组(15 E − A X = 0 ，即⎜，得到特征向量⎟⎜⎟⎜⎟ 2 ⎜ x − 12 16 0 ⎜1⎟⎟⎝⎠⎝ 2 ⎠⎝⎠⎝⎠⎛3 ⎜− 5 − 3 4 1⎛⎞ 1⎛⎞单位化，得 e1 = ⎜⎟， e2 = ⎜⎟ . 令 P = ⎜ 5⎝ 4 ⎠ 5 ⎝3⎠⎜ 4 ⎜⎝ 5 ⎛ 3 − ⎛ x1 ⎞⎜ 5 ⎜⎟=⎜⎝ x2 ⎠⎜ 4 ⎜⎝ 5 4⎞ 5⎟⎟，则所求正交变换为 X = PY 即 3⎟⎟ 5⎠ 4⎞⎛ −10 0 ⎞ 5 ⎟⎛ y1 ⎞ T ⎟⎜⎟，且P T AP = Λ = ⎜⎟，于是A = P Λ P ， 3 ⎟⎝ y2 ⎠⎝ 0 15 ⎠⎟ 5⎠ T 10 A10 = ( P Λ P ⎛ 3 ⎜−5 =P Λ10 P T = ⎜⎜ 4 ⎜⎝ 5 4⎞⎛ 3 − 10 ⎟⎛⎞ 0 ⎜ 5 5 ( −10 ⎟⎜⎜⎟ 3 ⎟⎜ 4 0 1510 ⎟⎠⎜⎟⎝⎜ 5⎠⎝ 5 4⎞ 10 10 12(1510 − 1010 ⎞ 5 ⎟ 1 ⎛ 9 × 10 + 16 × 15 ⎟= ⎜⎟. 3 ⎟25 ⎝ 12(1510 − 1010 16 × 1010 + 9 × 1510 ⎠⎟ 5⎠ 2. * (此题型不要求学生掌握5 −1 3 ⎛ 5 −1 3 ⎞⎜⎟解：(1二次型 f 的矩阵为 A = ⎜ −1 5 −3 ⎟，由 r ( A = 2 ，知 A = −1 5 −3 = 24(a − 3 = 0 ，故 a = 3 . ⎜ 3 −3 a ⎟ 3 −3 a ⎝⎠ λ −5 1 −3 (2 λ E − A = 1 λ −5 3 = λ (λ − 4(λ − 9 ，知特征值为λ1 = 0 ，λ2 = 4 ，λ3 = 9 ，−3 2 1 2 2 3 2 3 λ −3 2 2 故二次型f = 5 x + 5 x + 3x − 2 x1 x2 + 6 x1 x3 − 6 x2 x3 可经正交变换 X = PY 化为标准形为 f = 4 y2 + 9 y3 ，于是 2 2 曲面方程变为 4 y2 + 9 y3 = 1 .由于正交变换相当于坐标旋转，因此并不改变曲面的形状，从而所求曲面为椭圆柱面. 18。