关于转化思想方法在高中数学解题中的应用探讨

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谈高中数学中的转化思想

作者：李朝霞

来源：《科学大众·教师版》2011年第03期

摘 要：数学思想方法是数学的精髓,转化思想方法又是数学思想的核心和精髓。新课标下初高中数学衔接上呈现高中数学“起点高、难度大、容量多、课时紧”的特点,学生学习不适应现象突出,困难重重,师生更迫切需要强化数学思想方法,重视思想方法的教学与应用。

关键词：转化思想； 等价； 转化； 数形结合

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315(2011)3-069-001

所谓转化就是指在解决问题时通过观察、分析、类比、联想，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的。这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。在解决数学问题中，由未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现.。每一个数学问题无不是在不断转化中获得解决的，转化是简化题意的重要手段，是巧解数学习题的一把利剑，在解中巧妙使用转化，常常能达到一种曲径通幽的效果。转化思想方法是数学思想的核心和精髓。在高考中，转化思想占有相当重要的地位，掌握好转化思想的两大特点，学会在解题时注意依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，去寻求有利于问题解决的化归与转化的途径和方法，对学好数学是很有帮助的。

下面就转化思想谈一点看法：

一、转化具有多向性、层次性和重复性的特点

为了实施有效的转化，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多向性。转化原则既可应用于沟通数学与各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转换，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化的层次性。而解决问题可以多次的使用转化，使问题逐次达到规范化，这就是转化原则应用的重复性。

＠　考点聚焦　

管昭岛昭国圆圈宙岛（０）团昏（０）圈国国　

■曹利霞　

转化就是数学命题由一种形式向另一种形式的　

变换过程，化归就是把待解决的问题通过某种转化　

过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。　

转化与化归思想是中学数学最基本的思想方法，堪　称数学思想的精髓所在，因为数形结合思想、函数与　

方程思想、分类讨论思想都是转化与化归思想的具　

体体现，各种变换的方法、分析法、反证法、待定系数　法、构造法等都是转化与化归的手段。　

下面谈谈转化与化归思想在高中数学应用中主　

要涉及的基本类型。　

１．正与反的相互转化　对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算比较繁　

琐的问题，可先攻其反面，运用补集思想从而使正面　

得以解决。　

例１某射手射击１次击中目标的概率是０．９，他　连续射击４次且他各次射击是否击中目标是相互独　

立的，则他至少击中目标１次的概率为——。　

分析：至少击中目标一次的情况包括１次、２次、３　

次、４次击中目标共四种情况，可转化为其对立事　件——“一次都未中”来求解。　

略解：由上述分析可知，他四次射击未中１次的　

概率Ｐｉ＝Ｃ４０．１　＝Ｏ．１４，　

．・．他至少射击击中目标１次的概率为１一Ｐ１＝１—　

０．１４＝０．９９９９。　２．常量与变量的转化　

在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其　

中的常数（或参数），将其看成“主元”，而把其他变元　看成常量，从而达到减少变元简化运算的目的。　

２　２　例２已知曲线系ｃ　的方程为　一十　一＝１，试　９－ｋ　４－ｋ　证明：坐标平面内任一点（。，ｂ）（ａ，ｂ≠Ｏ），在　中总　

存在一椭圆和一双曲线过该点。　

分析：若从曲线的角度去考虑，即以　，ｙ为主元，　思维受阻。若从　考虑，不难看出，当表示的曲线分别　

为椭圆和双曲线，问题归结为证明在区间（一　，４）和　

（４，９）内分别存在　值，使曲线过点（。，ｂ）。（证明略）　点评：本题巧妙地将解析几何中的曲线系问题　

转化为视变量为主元的方程的根的问题，降低了难　

教育教学研究　

谈高中数学中转化思想的应用　

任天友　（启东市汇龙中学）　！　：　平翌　塑；：　ｒｅｎｌｌｚ￣ｙｕａｎｇｕａｎｌｔ　

【中图分类号】Ｄ　２　６　４　Ｉ文献标识码】Ａ　【文章编号】１　６　７　３—８　２　０９（２０１　０）０　３—０１４７—０　２　转化是一种特有的数学思想方法，转化思　想的核心是“化生为熟、化繁为简、化未知为　已知、化抽象为具体”，因此每解一道题，无论　是难还是易，都离不开转化。下面介绍一些常　用的转化方法，及其在解题中的应用。　１数形转化　数形结合的思想，其实质是将抽象的数学　语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题　与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几　何化，几何问题代数化。　例１．若方程ｌｇ（一Ｘ　＋３Ｘ—ｍ）＝ｌｇ（３一　ｘ）在Ｘ∈（０，３）内有唯一解，求实数ｍ的取值范　围。　分析：将对数方程进行等价变形，转化为　一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再　利用二次函数的图像进行解决。　

Ｘ　略解：原方程变形为　ｒ３一　＞０　１一　２＋３ｘ—　：３一　即：　』３一　＞ｏ　ｌ（　一２）　１一　设曲线Ｙ　＝（ｘ－２）２，ｘ∈（０，３）和直线ｙ，：　１～ｍ，图像如图所示。由图可知：　①当１一ｍ＝Ｏ时，有唯一解，ｍ＝ｌ；　②当ｌ≤１－ｍ＜４时，有唯一解，即一３＜ｍ　≤０．　．‘．ｍ＝ｌ或一３＜ｍ≤０　评析：一般地，方程的解、不等式的解集、　函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的　图像直观解决，简单明了。　／一’　’　

＼　．．．．．．。　Ｘ　

例２．设ｌＺｌＩ＝ｓ，ｌＺ　１＝２，ＩＺｊ－　Ｉ＝　，求　Ｚ。　的值。　分析：利用复数模、四则运算的几何意　义，将复数问题用几何图形帮助求解。　略解：如图，设Ｚ，＝　、Ｚ　２：历后，则　７一，１　ＯＣ、ｉ　０１９如图所示。　由图　；，Ｚ　Ａ　Ｏ　Ｄ：　ｕ　ＢＯＣ，由余弦定理得　ＣＯＳ　Ａ０　

：三ｒ一４＋一３　ｚ　２　５…５　２×５×２　

ＳＨＵＸＵＥＴＩＡｏＹＵ　≮｜　？　套誊　３７　转化与化归思想是高中数学的重要　思想方法，在实际教学过程，却存在下面　的问题：示范演练时，教师讲得津津有味，　学生听得如痴如醉；实际解题时，学生感　到茫然，无从下手。如何改变这种不理想　的现状，笔者就自己的教学尝试，谈谈自　己的想法。　一、读懂题意，用好等价转化　例１已知定义在Ｒ上的函数ｙｅ）＝ｘ。　（似一３），若函数ｇｅ）＝ｆｅ）＋ｆ。　），　∈［０，２］，在　＝０处取得最大值，则正数。的范围　思路一：ｇ　）：　）＋厂’　），　∈［０，２］在　＝０处取得最大值，研究　）的单调性，　分类讨论。　ｉ当ｙ　）在［Ｏ，２］上单调递减时，　）≤０在恒［０，２］成立；　ｉｉ当ｙ　）在［０，２］上先递减后递增　时，　（　）：０在［Ｏ，２］有解且　２）≤　０）ｏ　思路二：　（　）：厂【　）＋厂’　），　∈［０，２］在　＝０处取得最大值，可以理解为ｇ（０）是　ｇ（ｘ）在［０，２］的最大值，从而转化为恒成　立问题处理。　鼹：・。・ｒ’　）一２　（　一３）＋　・ａ＝３ａｘ　～６ｘ，　．・．　）＝　（６　＋３（０—１　一６），　‘．・　）＝触）＋ｆ’　），　Ｅ［Ｏ，２］在ｘ＝Ｏ处　取得最大值，即ｇ　）≤　Ｏ）在［Ｏ，２］恒成立。　．・．　）　（０　＋３（０—１　一６）≤０。　即当　∈（０，２］时，舛　＋３（０—１　一６≤Ｏ　恒成立，　令ｈ（ｘ）＝ａｘ　＋３（ａ－１　－６　．　（２）≤０，　．・．　≤　，　‘．・０＞０，　．‘…（Ｏｌ　比较两种思路，思路一比较繁，学生　不易做对，也不符合解填空题的要求，“小　题大做”了。究其原因是思路一解题时落　入俗套，没有认真体会题意；思路二从题　意出发，通过等价转化，简化解题过程，避　免分类讨论，因此，用好转化思想解题的　前提条件就是读懂题意，用好等价转化。　二、遇难而思。实施正反转化　例２　已知三条抛物线Ｃ　．　１一＝　＋４（　一４ａ＋３，Ｃ２　ｙ＝ｘ　＋（口一１）　＋　，Ｇ：　＝　＋２　一２ａ中至少有一条与　轴相交，　求实数０的取值范围。　分析：本题正面求解，需分类讨论，由　于情况众多，很难做对，考虑研究其反面　情况。　解：若三条抛物线均不与　轴相交，　ｆ（４　一４（～４０＋３）＜０　贝ｌ｛　一ｌ　一４ａ０＜０　，解得一—　＜ａ＜一ｌ，　ｌ（２ａ）Ｚ－４（－２　＜０　所以“至少有一条与　轴相交”时所　求范围为０≥一１或Ⅱ≤一　。　当正面思考问题比较烦琐或困难且　不易求解时，我们应考虑研究其反面情　况，如果反面情况比较容易，则可以实行　“正难则反”转化。一般带有“至少”、“至　让学生学会运胛禁　想解题　多”、“一定”、“只有”等关键词的问题，都　应从正面，反面两个角度研究，看看从哪　个角度入手比较容易求解。一句话：遇难　而思，实施正反转化。　三、复杂问题，尝试一般与特殊转化　例３已知椭圆　＋，二＝１的长轴　为Ａ　Ａ　，Ｐ为椭圆上一点（不同于Ａ　，　叁　暑　ｉ　交于　，Ⅳ两点，　是其右焦点，贝　厶ＭＦＮ＝——。　分析：考虑到本题是填空题，所以可　以特殊化。　解：Ｐ取椭圆的上顶点，　则Ａ１Ｐ：　＋等一ｌ；Ａ　２Ｐ：ｘ　＋等　＝１；右准线：　＝　一，　．・．Ｍ（孚，孚　（等，一手）　’．‘Ｆ　点的坐标为（４，Ｏ），　．・．蔚：（｝，孚），两：（｝，～　．．．　．　：０，　・・・／＿ＭＦＮ＝手。　试卷中的填空题，当直接求解感到复　杂、难处理时，不妨将问题由一般向特殊　转化。“特殊”问题往往比“一般”性问题显　得简单、直观和具体，容易解决。即使是解　答题，当思维出现障碍时，将问题由一般　向特殊转化，从特殊问题的解决过程中，　探索一般问题的解决方法，这也是一种常　用手段。用好转化思想解题的重要标志就　是复杂问题能进行一般与特殊转化。　四、参数问题，善于角色转化　例４设ｙ＝（１ｏｇ２ｘ）　＋（ｆ一２）ｌｏｇ￣ｘ—ｔ一１，　若ｔ在卜２，２］上变化时，，　恒取正值，求　的取值范围。　分析：将１ｏｇ２ｘ看成一个整体，转化　成二次函数处理；较难，不易得分。题设　给的范围是关于ｔ的，所以可以考虑把ｔ　当做主元，转化为一次函数求解。　解：￣ｔ）＝（１Ｏｇｚｘ一１　＋］０ｇ：　一２１Ｏｇ２ｘ＋１，　～ＥＨＩｌ　￣＜２）２＞）＞ｕ０．，　解得０＜　＜　或　＞８。　在解题过程合理选择主元，往往可以　简化解题过程。那么我们选择主元的依　据是什么？研究题设中关于参数的信息　主要关于哪个参数的，如可根据参数的范　围判定等。当题设中出现多个参数时，要　善于角色转化，改变对“　”的看法，这将有　助于解决问题。归纳成一句话：参数问题，　善于角色转化。　五、实际问题，陌生向熟悉转化；代数　问题，不忘数形转化　２０１０・２２　江苏省海门市悦来中学何振华　例５某厂２０１０年生产利润逐月增　加，且每月增加的利润相同，但由于厂方　正在改造建设　元月份投入资金建设恰好　与元月的利润相等，随着投入资金的逐月　增加，且每月增加投入的百分率相同，到　１　２月投入建设资金又恰好与１　２月的生　产利润相同，问全年总利润ｍ与全年总　投入Ⅳ的大小关系是——。　分析：如果设第一月的利润为ｘ，第　二月的利润为ｖ……．，未知数太多，不可　取。设第一月的利润为ａ，每月增加量为　ｄ；则第一月的投入为ａ，设增加的百分率　为ｑ，可以发现这是一个数列问题，每月　的利润组成等差数列｛ａｎ｝，且公差ｄ＞０，　每月的投入构成等比数列｛ｂ　｝，且公比　ｑ＞１。总ｌＪ￣［８就是｛ｎ，ｌ｝的前ｌ２项和，总投　入就是　｝的前１２项和。就是比较两者　大小问题。直接比较大小有难度，可以结　合等差数列的通项是关于ｎ的一次函数，　图像是一条直线上的一些点，等比数列的　通项是关于ｎ的指数函数，其图像是指数　函数上的一些点。　解：设第一月的利润为ｏ，每月增加　量为ｄ；则第一月的投入为ａ，设增加的百　分率为ｑ，每月的利润组成等差数列｛％｝，　且公差ｄ＞　ｌ，每月的投　入构成等比　数列｛ｂ　｝，且　公比ｑ＞ｌ。　总利润ｍ就　是｛　｝的前１　２　项和，总投入Ⅳ就是　１的前ｌ　２项和，由　题意可知Ⅱ１＝６１，ａ１２＝ｂｌ２，　作出ａｎ，ｂ　的图像，　从图像上发现　≥６　（ｎ＝ｌ，２，…，　１　２），　所以ｍ＞Ｎ。　在数学解题过程中，应用题往往让我　们感到困惑，究其原因：学生往往无法将　应用题转化为数学问题，从而无从下手。　其实我们可以通过设未知数将其归结为　数学问题，再延伸至数学中的某个指示灯　问题，进而实现陌生向熟悉转化ｉ对于代　数问题，直接求解有难度时，可以尝试数　形转化。概括起来实际问题，陌生向熟悉　转化；代数问题，不忘数形转化。　笔者希望通过剖析“转化”思想解题　的一般策略，告诉学生在什么情况下该用　转化思想，减少学生解题时的茫然，增强　学生运用转化思想解题的自信心，激发学　生在解题中想要用转化思想的欲望，从而