§2导数在实际问题中的应用
2．1实际问题中导数的意义
●三维目标
1．知识与技能：利用实际问题巩固和加强对导数概念的理解．理解瞬时速度、边际成本等概念并能利用导数求解有关实际问题．
2．过程与方法：通过具体实际问题，进一步理解导数的作用、培养探求规律的能力．
3．情感、态度与价值观：体会导数在实际问题中的意义，激发学生学习兴趣，培养科学精神．
●重点难点
重点、难点：实际问题中导数的意义的理解．
通过例题与练习让学生在解决实际问题中深入理解导数的意义．
●教学建议
本节是实际问题中导数的意义，是在进一步理解导数在实际问题中的意义中，引导学生理解“速度是路程关于时间的导数”，“功率是功关于时间的导数”等，让学生体会生活中的导数，进一步理解导数的意义．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 学生通过回答问题，进一步学习、认识实际问题中导数的意义 通过例1及变式训练，使学生掌握导数在物理学中的意义 通过例2及变式训练，使学生掌握导数在经济生活中的意义 通过例3及变式训练，使学生掌握导数在日常生活中的意义 完成当堂双基达标，巩固所学知识 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识
问题：某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－4t2＋10t.
(1)t从1 s到4 s时W关于t的平均变化率是多少？
(2)上述问题的实际意思什么？
(3)W′(1)的实际意义是什么？
【提示】(1)W（4）－W（1）
4－1
＝
40－7
3＝11(J/s)．
(2)它表示从t＝1 s到t＝4 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J.
(3)W′(t)＝3t2－8t＋10.W′(1)＝5表示在t＝1 s时每秒做功5 J.
1. 在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它的单位是瓦特，功率是功关于时间的导数．
2. 在气象学中，通常把单位时间内的降雨量称作降雨强度．它是反映一
次降雨大小的重要指标．降雨强度是降雨量关于时间的导数．
3. 在经济学中，通常把生产成本关于产量的函数的导数称为边际成本．
m)，t 是时间(单位：s)．
(1)求当t从1 s变到3 s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求当s′(1)，s′(2)，并解释它们的实际意义．
【思路探究】(1)套用Δs
Δt
公式即可求出平均变化率，即该质点在该段时间
内的平均速度；(2)求出导数s′(t)，它表示t时刻该质点的瞬时速度．
【自主解答】(1)当t从1 s变到3 s时，s关于t的平均变化率为Δs Δt
＝
s（3）－s（1）
3－1＝
27－5
3－1
＝11(m/s)．
它表示从t＝1 s到t＝3 s这段时间内，该质点平均每秒的位移是11 m.
(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s′(t)＝4t＋3，
则s′(1)＝4＋3＝7(m/s)，s′(2)＝4×2＋3＝11(m/s)．
s′(1)表示的是该质点在t＝1 s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝1 s这个时刻的瞬时速度为7 m/s.
s′(2)表示的是该质点在t＝2 s时的瞬时速度，也就是该质点在t＝2 s这个时刻的瞬时速度为11 m/s.
根据导数的实际意义，在物理学中，除了我们所熟悉的位移、速度与时间的关系，功与时间的关系，还应了解质量关于体积的导数为密度，电量关于时间的导数为电流强度等．因此，在解释某点处的导数的物理意义时，应结合这些导数
的实际意义进行理解．
某河流在一段时间x min 内流过的水量为y m 3，y 是x 的函数，y ＝f (x )＝3x .
(1)当x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率是多少？
(2)求f ′(27)，并解释它的实际意义．
【解】 (1)当x 从1变到8时，y 关于x 的平均变化率为f （8）－f （1）8－1
＝2－17＝17(m 3/min)，它表示时间从1 min 增加到8 min 的过程中，每增加1 min 水流量
平均增加17 m 3.
(2)f ′(x )＝13x －23，于是f ′(27)＝13×27－23＝127
(m 3/min)，实际意义为当时间为27 min 时，水流量增加的速度为127 m 3/min ，也就是当时间为27 min 时，每增加
1 min ，水流量增加127 m 3.
产品的总成本C (元)与日产量x (件)的函数关系为C (x )＝14x 2＋60x ＋2 050.求
(1)当日产量由10件提高到20件时，总成本的平均改变量，并说明其实际意义；
(2)当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义．
【思路探究】 (1)利用函数平均变化率计算，然后结合实际问题解释．(2)用瞬时变化率的意义解释．
【自主解答】 (1)当x 从10件提高到20件时，总成本C 从C (10)＝2 675元变到C (20)＝3 350元．
此时总成本的平均改变量为C （20）－C （10）20－10
＝67.5(元/件)，其表示产量从x ＝10件提高到x ＝20件时平均每件产品的总成本的改变量．
