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高中数学新课 数列 教案 (2)

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课 题：3.1 数列的一般概念（一）
教学目的：
⒈理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系.
⒉了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项
⒊对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式
教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用，前n 项和与an的关系
教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法关于数列的概
念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了一个在映射、函数
观点下的定义，指出：“从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域
为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列
函数值”这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，
而且有助于运用函数的观点去研究数列关于给出数列的两种方法，其中数列的
通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式点破了这一点，数列与函
数的内在联系揭示得就更加清楚此外，正如并非每一函数均有解析表达式一
样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)
教学过程：

一、复习引入：
1．函数的定义．

如果A、B都是非空擞 集，那么A到B的映射BAf:就叫做A到B
的函数，记作：)(xfy，其中.,ByAx
2．在学习第二章函数的基础上，今天我们来学习第三章数列的有关知识，
首先我们来看一些例子：
4，5，6，7，8，9，10． ①

1，21，31，41，51，„. ②
1，0.1，0.01，0.001，0.0001，„. ③
1，1.4，1.41，1.414，„. ④
-1，1，-1，1，-1，1，„. ⑤
2，2，2，2，2，„. ⑥
观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义）
上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序.
从而引出数列及有关定义
二、讲解新课：
⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相
同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以
重复出现.
⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个
数列的第1项（或首项），第2项，„，第n 项，„.
例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），
“9”是这个数列中的第6项.

⒊数列的一般形式：,,,,,321naaaa，或简记为na，其中na是数列
的第n项
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首

项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关
系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，
从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样
的对应关系：

项 1 51413121
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5

这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：nan1来表示其对应关系
即：只要依次用1，2，3„代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系

如：数列①：na=n+3(1≤n≤7)；数列③：nann(1011≥1）；

数列⑤：nna)1(n≥1）
⒋ 数列的通项公式：如果数列na的第n项na与n之间的关系可以用一
个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，„
它的通项公式可以是2)1(11nna，也可以是|21cos|nan.
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列
中的一项.
从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N*（或
它的有限子集{1，2，3，„，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应
的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可
根据其通项公式画出其对应图象，下面同学们练习画数列①，②的图象，并总
结其特点.
在画图时，为方便起见，直角坐标系两条坐标轴上的单位长度可以不同. 数
列①、②的图象分别如图1，图2所
示.
5．数列的图像都是一群孤立的
点.
6．数列有三种表示形式：
列举法，通项公式法和图象法.
7． 有穷数列：项数有限的数列.
例如，数列①是有穷数列.
8．无穷数列：项数无限的数列.
例如，数列②、③、④、⑤、⑥都是
无穷数列.
三、讲解范例：

例1 根据下面数列na的通项公式，写出前5项：

（1）nannannn)1()2(;1
分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，
即可得到数列的前5项

解：（1）;65;54;43;32;21.5,4,3,2,154321aaaaan

(2) ;5;4;3;2;21.5,4,3,2,154321aaaaan
例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

（1）1，3，5，7； （2）;515;414,313;2122222
（3）-211，321，-431，541.
解：
（1）项1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1
↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4
即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1，

∴它的一个通项公式是： 12nan；
（2）序号：1 2 3 4
↓ ↓ ↓ ↓
项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1
↓ ↓ ↓ ↓
项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1
即这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，

∴它的一个通项公式是： 1)1(2nnnan；

（3）序号 211 1  321 3  431 3  541 4 
‖ ‖ ‖ ‖
)11(11)1(1 )12(21)1(2 )13(31)1(3

)12(21)1(2

这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项
为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是： )1(1)1(nnann
四、课堂练习：
课本P112练习：1—4.
学生板演1，2；教师提问评析3，4.
答案：⒈⑴1,4,9,16,25；⑵10,20,30,40,50；
⑶5,-5,5,-5,5；⑷3/2，1，7/10，9/17，11/26.
⒉⑴a7=1/343，a10=1/1000；⑵a7=63，a10=120；
⑶a7=1/7，a10=-1/10；⑷a7=-125，a10=-1021.
⒊⑴na=2n；⑵na=1/5n；⑶na=(-1)n/2n；⑷na=(1/n)-[1/(n+1)].
⒋⑴8，64，na=2n；⑵1，36，na=n2；⑶-1/3，-1/7，na=(-1)n/n；
⑷3，6，an=n.
五、小结 本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其
任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式
六、课后作业：课本P114习题3.1：1，2.

答案：⒈ ⑴ na=3n；⑵ na=-2(n-1)；⑶ na=(n+1)/n；⑷na=(-1)n/2n；

⑸ na=1/n2；⑹ na=(-1)n+1 3n.
⒉ ⑴a10=110，a31=992，a48=2352；⑵求n(n+1)=420的正整数解得n=20.
补充作业：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

(1) 3, 5, 9, 17, 33,„„； (2) 32, 154, 356, 638, 9910, „„；
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,„„； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, „„；
(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,„„.

解：(1) na＝2n＋1； (2) na＝)12)(12(2nnn； (3) na＝2)1(1n；
(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, „„,
∴na＝n＋2)1(1n；
(5) 将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,„„，
∴ na＝(－1)1nn(n＋1).
七、板书设计（略）
八、课后记：

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高中数学 第二章 数列习题课教案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学教案

高中数学 第二章 数列习题课教案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学教案

2分钟
7
板书设 计
数列
学习目标： 例题： 练习：
8
课 后反 思
本节课，重点在于对数列通项公式的理解与应用上，唯一干扰学生思绪的地方在于函数的概念和性质的应用上；所以只有充分的理解了函数，才能真正明确通项公式的意义。
数列
课题
数列
课时
第二课时
课型
习题
教学
重点
1、数列的概念
2、数列通项公式的内容、含义、应用
依据：2018年高考大纲分析；
《优化学案》点播。
教学
难点
1、求数列的通项公式
2、利用通项公式，研究该数列的性质
依据：教材、教参和教辅
自主
学习
目标
一、知识目标：
1.能够用自己是语言描述出数列、数列的项、数列的首项、通项、项数的概念；
1、巡视学生完成情况，让学生更准确的认识计算（化简）的方法。
2、抽查记忆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ况。
1、独立完成练习册习题。
2、归纳出计算（化简）的方法。
。
通过具体例题，总结出计算（化简）的方法。
10分钟
思考1：数列通项公式的含义和谁密不可分?
思考2：研究数列的项，本质是在研究什么？
思考3：面对一个数列，最在意的应该是什么？
思考4：如何利用通项看其单调性？
1、巡视学生的完成情况。
2、对学生的展示和评价要给予及时的反馈。
3.要对学生不同的解题过程和答案给出准确的评价，总结。
1、学生先独立完成教辅习题，然后以小组为单位统一答案。
2、小组讨论并展示自己组所写的答案。
3、其他组给予评价（主要是找错，纠错）
在具体问题中，探索、挖掘内在规律、发现数学的本质。
《数列的概念》示范公开课教案【高中数学北师大】

《数列的概念》示范公开课教案【高中数学北师大】

第一章 数列1.1 数列的概念1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义与分类；2.能由通项公式求出数列的各项，反之能根据数列的前几项发现规律，写出数列的通项公式；3.通过学习，培养学生观察抽象的能力，认识数列是刻画自然规律的数学模型.教学重点：理解数列的概念，认识数列是刻画自然规律的数学模型． 教学难点：根据数列的前几项发现规律，写出数列的通项公式．一、情境导入在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如:1、从2000年到2022年我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为：28,32,52,38,26,38.2、拉面师傅在拉面过程中，随着拉的次数增多，面条根数依次增多：1,2,4,8,16，... 3.人们在1740年发现了一颗彗星，并且每隔83年出现一次.从发现那次算起，这颗彗星近五次出现的年份依次为:1740，1823，1906，1989，2072.4.庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完.如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为:问题1：这几列数的共同特点是什么？ 答：①规律都用一列数表示 ②都有一定顺序设计意图：从生活实例引入课题，让学生认识数学是刻画自然规律的数学模型.二、新知探究定义概念1.数列：一般地，按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数数列的一般形式： 123,,,,,n a a a a ⋯⋯ , 简记为数列 {}n a .其中数列第一项 1a ，也叫首项，n a 是数列的第n 项，也叫数列的通项.11111,,,,,2481632⋯◆教学目标◆教学重难点◆教学过程想一想：将数列：1，2，3，4，5，6改成：6，5，4，3，2，1.两个数列一样吗？ 答：不一样.2.数列的分类：✮以项数来分类：(1) 有穷数列：项数有限的数列； (2) 无穷数列：项数无限的数列. ✮ 以各项的大小关系来分类：(1) 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列.即对任意n ∈N ∗，总有a n+1>a n (或a n+1−a n >0).(2) 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.即对任意n ∈N ∗，总有a n+1<a n (或a n+1−a n <0). (3) 常数列：各项都相等的数列；(4) 摆动数列：从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.问题2： 数列与数集有什么异同？答：（1）数列{}n a 中是一列数，而集合中的元素不一定是数； （2）数列{}n a 中的数是有一定次序的，而集合中的元素没有次序； （3）数列{}n a 中的数可以重复，而集合中的元素不能重复. 问题3：数列{}n a 的项与序号n 有怎样的关系？答：数列的每一项都对应一个序号，反之，数列的每一个序号都对应着一个项. 如数列:2,4,8,16,32,64,⋯这个数列的每一项的序号n 与这一项的对应关系可用如下公式表示： 这样，只要依次用序号1,2,3,4,⋯代替求出数列相应的项.总结：1.对任意数列 {}n a ，其每一项的序号与项都有对应关系：2.如果数列 {}n a 的第 n 项n a 与序号 n 之间的关系可以用一个式子表示成:(),.n a f n n N +=∈这个式子叫做数列的通项公式.a n =2n问题4： 任意一个数列都能写出通项公式吗？它是唯一的吗？ 答：不是每一个数列都能写出它的通项公式；如：1248319，，，， ② 一些数列的通项公式不是唯一.如：数列 1-11-1，，，，1(1)n n a +=-1(1)n n a -=-或11,n n a n ⎧=⎨-⎩，为奇数或为偶数设计意图：从具体的一个数列出发，分析数列项与序号间的关系，培养学生从特殊到一般的思想与分析问题习惯.三、应用举例例1 根据下列数列的通项公式，写出数列的前5项.(1)1;1n a n =+(2)sin .2n n a π=解：(1)依次取 1,2,3,4,5,n = 得到数列 {}n a 前5项为11111,,,,;23456(2)依次取 1,2,3,4,5,n = 得到数列 {}n a 前5项为1,0,1,0,1.-例2 如果数列 {}n a 的通项公式为2328n a n n =-，那么 -49和 68 是不是这个数列的项? 如果是，是第几项?解：令 232849n n -=-， 解得：77().3n n ==或舍去 .∴-49是这个数列的第7项令 232868n n -=， 解得：342.3n n =-=或均不符合题意， .∴68不是这个数列的项总结：数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的项数n 之间的关系.已知数列的通项公式,只要用项数代替通项公式中的n ,即可求出相应的项.反过来,判断某一个数是不是数列中的项,就用数列的通项公式建立以n 为变量的方程,若方程有正整数解,则该数为数列中的项,n 的值即为该数在数列中的项数;若方程没有正整数解,则该数不是数列中的项.例3 写出下列数列的一个通项公式. (1)1,4,9,16,25,(2)1,3,5,7,9,--(3)9,99,999,9999,解：（1）2n a n =；(2) ()+1(1)21n n a n =--;(3)101nn a =- ；总结：用观察归纳法写出一个数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律，可以： (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等；(2)分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的关系式；(3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再以(−1)^k 处理符号；设计意图：通过例1、例2、例3，加深对数列通项公式的理解，同时培养学生观察与归纳能力.四、课堂练习1．下列说法:①数列{}31n -的第 5 项是10 ;②数列22222,1,,,,,,345n可以记为 2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭;③数列 3,6,9 与数列 6,9,3 是相同的数列;④数列 1,1,2,3,5,8,13,21,是无穷数列. 其中，正确的有 .2.写出下列数列的一个通项公式:（1）1,3,7,15,（2）7,77,777,7777,（3) 1,3,1,3,1,3,参与答案： 1．② ④2．(1) 21nn a =- ;(2) 7(101)9nn a =-(3) {1,3,n n n a =为奇数,为偶数. 或 2(1)n n a =+- .3．古希腊著名科学家毕达哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…．这些数量的（石子），排成一个个如图一样的等边三角形，从第二行起每一行都比前一行多1个石子，像这样的数称为三角形数．那么把三角形数从小到大排列，第10个三角形数是_________．解：根据题意，三角形数的每一项都是数列{}n 的前n 项的和，即10123,55n a n a =++++=故答案为:55设计意图：巩固数列的概念和数列的通项公式，强调数列的有序性，加深学生对数列的概念的认识.五、课堂小结一、知识：1.数列的有关概念：定义、分类、表示;2.数列的通项公式； 二、数学素养：培养观察、分析、归纳思维能力设计意图：总结与归纳本节课所学知识，培养学生的归纳概括能力.六、布置作业教材第7页练习1、2、3、4.。

高中数学选择性必修二 4 3 1(第2课时)等比数列的性质及应用 教案

高中数学选择性必修二 4 3 1(第2课时)等比数列的性质及应用 教案

6数据分析：等比数列的性质及推导、运用，提高学生数学判断以及参与数学活动的能力
重点
等比数列的性质、等比数列的应用
难点
等比数列的运算、等比数列的性质及应用
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
温故知新
等比数列
等差数列
定义
公比（公差）
q不可以是0
d可以是0
等比（差）中项
等比中项
等差中项 2A=a+b
等比数列的性质及应用教学设计
课题
等比数列的性质及应用
单元
第一单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
《等比数列》是人教A版数学选择性必修第二册第四章的内容。本节是数列这一章的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中蕴涵的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
分析：复利是把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和 构成等比数列.
解：（1）设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列 ，则 是等比数列，
首项 ，
公比q=1+0.400%，所以
所以，
12个月后的利息为 （元）
（2）设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本金和组成一个数列 ，则 也是一个等比数列，首项 ，公比为1+r，于是
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 元.
解不等式 ，得
所以，当季度利率不小于1.206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
例5已知数列Байду номын сангаас的首项 .
高中数学数列的教案

高中数学数列的教案

高中数学数列的教案一、教学目标1. 知识与能力a. 理解数列的概念，掌握数列的性质和判断数列的规律；b. 掌握常见数列（等差数列、等比数列）的通项公式和前n项和公式；c. 能够应用数列的知识解决实际问题。

2. 过程与方法培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，激发学生对数学的兴趣。

3. 情感态度价值观激发学生对数学的兴趣，培养学生的自学能力和团队合作精神。

二、教学重点与难点1. 重点a. 掌握等差数列、等比数列的概念和性质；b. 掌握等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式。

2. 难点掌握等差数列、等比数列的规律，并能够熟练应用解决问题。

三、教学过程1. 导入环节通过举例引入数列的概念，引起学生对数列的兴趣。

2. 提出问题现有一个数列：1, 3, 5, 7, 9，求这个数列的通项公式和前10项的和。

3. 学习过程a. 讲解等差数列和等比数列的概念、性质；b. 讲解等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式；c. 练习训练，让学生熟练掌握数列的求解方法；d. 教师总结，梳理知识点，强化学生对知识的理解。

4. 拓展应用通过实际问题让学生应用数列的知识解决问题。

5. 总结归纳总结本节课的重点知识，梳理解题思路和方法。

6. 布置作业布置相应的练习题，巩固所学知识。

四、教学手段黑板、投影仪、教材、课件等。

五、教学反馈1. 提问互动，让学生回答问题；2. 班内讨论，让学生相互交流学习经验；3. 教师评价，及时给予学生学习反馈。

【教学实施】根据上述教学目标和教学过程，进行教学实施，引导学生学习并巩固所学知识，培养学生的数学思维和解决问题的能力。