[推荐学习]2017_2018学年高中物理第五章曲线运动习题课3竖直面内的圆周运动教学案新人教版必修

习题课3 竖直面内的圆周运动[学习目标] 1.了解竖直面上圆周运动的两种基本模型.2.掌握轻绳约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析.3.学会分析圆周运动问题的一般方法.一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型[导学探究] 如图1所示，长为L 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直面内做圆周运动.试分析：图1(1)当小球在最低点A 的速度为v 1时，求绳的拉力F T1. (2)当小球在最高点B 的速度为v 2时，求绳的拉力F T2. (3)小球过最高点的最小速度是多大？(4)假设绳拉球过最高点时最小速度小于gL ，则会产生什么样的后果？请总结绳拉球过最高点的条件.(5)有一竖直放置、内壁光滑的圆环，其半径为r ，质量为m 的小球沿它的内表面做圆周运动，分析小球在最高点A 的速度应满足什么条件？答案 (1)最低点：F T1＝mg ＋mv 12L(2)最高点：F T2＝mv 22L－mg(3)由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由F T2＋mg ＝mv 22L可知，当F T2＝0时，v 2最小，最小速度为v 0＝gL .(4)当v <gL 时，所需的向心力F n ＝mv 2L<mg .此时，重力mg 的一部分提供向心力，剩余的另一部分力会使小球向下偏离圆周轨道，即小球此时不能过最高点做圆周运动，这之前已经脱离圆周轨道了.绳拉球过最高点的条件是：v ≥gL .(5)与绳拉球模型相似，在最高点A 时，有F N ＋mg ＝m v 2r，当F N ＝0时，v 最小为v 0＝gr ，当v ＝v 0时，小球刚好能够通过最高点，当v <v 0时，球偏离轨道，不能过最高点.当v >v 0时，小球能够通过最高点.[知识深化] 轻绳模型(如图2所示)的最高点问题图21.绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力).2.在最高点的动力学方程F T ＋mg ＝m v 2r .3.在最高点的临界条件F T ＝0，此时mg ＝m v 2r，则v ＝gr .v ＝gr 时，拉力或压力为零. v >gr 时，小球受向下的拉力或压力. v <gr 时，小球不能达到最高点.即轻绳模型的临界速度为v 临＝gr .例1 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，水的质量m ＝0.5 kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50 cm.(g 取10 m/s 2)图3(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字) (2)若在最高点水桶的速率v ＝3 m/s ，求水对桶底的压力大小. 答案 (1)2.24 m/s (2)4 N解析 (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小.此时有：mg ＝m v 02l，则所求的最小速率为：v 0＝gl ≈2.24 m/s.(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为F N ，则由牛顿第二定律有：F N ＋mg ＝m v 2l，代入数据可得：F N ＝4 N.由牛顿第三定律，水对桶底的压力：F N ′＝4 N.针对训练 (多选)如图4所示，用长为l 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )图4A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为glD.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力 答案 CD解析 小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A 错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则可以使绳子的拉力为零，B 错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v ＝gl ，C 正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D 正确. 二、竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型[导学探究] 长为L 的轻杆一端固定着一质量为m 的小球，使小球在竖直面内做圆周运动.(如图5)图5(1)当小球在最高点B 的速度为v 1 时，求杆对球的作用力. (2)杆拉球过最高点的最小速度为多少？(3)试分析光滑圆管竖直轨道中，小球过最高点时受管壁的作用力与速度的关系？答案 (1)设杆对它的作用力向下，则有mg ＋F ＝mv 12L则F ＝mv 12L－mg当v 1＝gL 时，F ＝0当v 1>gL 时，F >0，表示球受杆的作用力方向向下，表现为拉力. 当v 1<gL 时，F <0，表示球受杆的作用力方向向上，表现为支持力. (2)由(1)中的分析可知，杆拉球过最高点的最小速度为零. (3)设管壁对球的作用力向下，为F N .则有F N ＋mg ＝mv 2R即F N ＝mv 2R－mg当v ＝gR 时，F N ＝0，当v >gR 时，F N >0，即上管壁对球有向下的压力；当0<v <gR 时，F N <0，即F N 竖直向上，下管壁对球有向上的支持力. [知识深化] 细杆和管形轨道模型 1.最高点的最小速度如图6所示，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球，由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v ＝0，此时小球受到的支持力F N ＝mg .图62.小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况(1)v >Rg ，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，F 随v 增大而增大. (2)v ＝Rg ，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F ＝0. (3)0<v <Rg ，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，F 随v 的增大而减小. 3.小球能过最高点的条件：v ＝0.例2 长L ＝0.5 m 的轻杆，其一端连接着一个零件A ，A 的质量m ＝2 kg.现让A 在竖直平面内绕O 点做匀速圆周运动，如图7所示.在A 通过最高点时，求下列两种情况下A 对杆的作用力大小(g ＝10 m/s 2).图7(1)A 的速率为1 m/s ； (2)A 的速率为4 m/s. 答案 (1)16 N (2)44 N解析 以A 为研究对象，设其受到杆的拉力为F ，则有mg ＋F ＝m v 2L.(1)代入数据v 1＝1 m/s ，可得F ＝m (v 1 2L －g )＝2×(120.5－10) N ＝－16 N ，即A 受到杆的支持力为16 N.根据牛顿第三定律可得A 对杆的作用力为压力，大小为16 N.(2)代入数据v 2＝4 m/s ，可得F ′＝m (v 2 2L －g )＝2×(420.5－10) N ＝44 N ，即A 受到杆的拉力为44 N.根据牛顿第三定律可得A 对杆的作用力为拉力，大小为44 N.例3 (多选)如图8所示，半径为L 的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P 时的速度为v ，则( )图8A.v 的最小值为gLB.v 若增大，球所需的向心力也增大C.当v 由gL 逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小D.当v 由gL 逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大 答案 BD解析 由于小球在圆管中运动，最高点速度可为零，A 错误；根据向心力公式有F n ＝m v 2r，v若增大，球所需的向心力一定增大，B 正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v ＝gL 时，圆管受力为零，故v 由gL 逐渐减小时，轨道对球的弹力增大，C 错误；v 由gL 逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大，D 正确.故选B 、D.1. (轻绳作用下物体的运动)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m 的细绳的一端，系一个与水的总质量为m ＝0.5 kg 的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图9所示，若“水流星”通过最高点时的速率为 4 m/s ，则下列说法正确的是(g ＝10 m/s 2)( )图9A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 答案 B解析 水流星在最高点的临界速度v ＝gL ＝4 m/s ，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B.2.(轨道约束下小球的运动)(多选)如图10所示，质量为m 的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动.圆环半径为R ，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是( )图10A.小球对圆环的压力大小等于mgB.重力mg 充当小球做圆周运动所需的向心力C.小球的线速度大小等于gRD.小球的向心加速度大小等于g 答案 BCD解析 因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A 错误；此时小球只受重力作用，即重力mg 充当小球做圆周运动所需的向心力，满足mg ＝m v 2R＝ma ，即v ＝gR ，a ＝g ，选项B 、C 、D 正确.3.(球在管形轨道中的运动)(多选) 如图11所示，小球m 在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是( )图11A.小球通过最高点时的最小速度是RgB.小球通过最高点时的最小速度为零C.小球在水平线ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力 答案 BD解析 小球通过最高点的最小速度为0，圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab 以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，就是外侧管壁对小球的作用力，故B 、D 正确.4.(杆拉球在竖直面内的运动)质量为0.2 kg 的小球固定在长为0.9 m 的轻杆一端，杆可绕过另一端O 点的水平轴在竖直平面内转动.(g ＝10 m/s 2)求： (1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？(2)当小球在最高点的速度分别为6 m/s 和1.5 m/s 时，球对杆的作用力. 答案 (1)3 m/s (2)6 N ，方向竖直向上 1.5 N ，方向竖直向下解析 (1)当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mg ＝m v 02R ，解得v 0＝3 m/s.(2)v 1＞v 0，由牛顿第二定律得：mg ＋F 1＝m v 12R，由牛顿第三定律得：F 1′＝F 1，解得F 1′＝6 N ，方向竖直向上.v 2＜v 0，由牛顿第二定律得：mg －F 2＝m v 22R，由牛顿第三定律得：F 2′＝F 2，解得：F 2′＝1.5 N ，方向竖直向下.课时作业一、选择题(1～7为单项选择题，8～10为多项选择题)1.长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v 0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点.则下列说法中正确的是( ) A.小球过最高点时速度为零B.小球开始运动时绳对小球的拉力为m v 02LC.小球过最高点时绳对小球的拉力为mgD.小球过最高点时速度大小为gL 答案 D2.秋千的吊绳有些磨损，在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千( ) A.在下摆过程中 B.在上摆过程中 C.摆到最高点时 D.摆到最低点时答案 D解析 当秋千摆到最低点时速度最大，由F －mg ＝m v 2l知，吊绳中拉力F 最大，吊绳最容易断裂，选项D 正确.3.如图1所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R ，人体重为mg ，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )图1A.0B.gRC.2gRD.3gR 答案 C解析 由题意知F ＋mg ＝2mg ＝m v 2R，故速度大小v ＝2gR ，C 正确.4.如图2所示，质量为m 的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O 做圆周运动.当小球运动到最高点时，即时速度为v ＝ 12Lg ，L 是球心到O 点的距离，则球对杆的作用力是( )图2A.12mg 的拉力 B.12mg 的压力 C.零 D.32mg 的压力 答案 B解析 当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg ＝m v ′2R解得：v ′＝gL ，所以12gL <gL 时，杆对球是支持力，即mg －F N ＝m v 2L ，解得F N ＝12mg ，由牛顿第三定律，球对杆是压力，故选B.5.某飞行员的质量为m ，驾驶飞机在竖直面内以速度v 做匀速圆周运动，圆的半径为R ，在圆周的最高点和最低点比较，飞行员对坐椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于坐椅的表面)( ) A.mgB.2mgC.mg ＋mv 2RD.2mv 2R答案 B解析 在最高点有：F 1＋mg ＝m v 2R ，解得：F 1＝m v 2R －mg ；在最低点有：F 2－mg ＝m v 2R ，解得：F 2＝mg ＋m v 2R.所以F 2－F 1＝2mg ，B 正确.6.长度为1 m 的轻杆OA 的A 端有一质量为2 kg 的小球，以O 点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，小球通过最高点时的速度为3 m/s ，g 取10 m/s 2，则此时小球将( )图3A.受到18 N 拉力B.受到38 N 的支持力C.受到2 N 的拉力D.受到2 N 的支持力 答案 D解析 设此时轻杆拉力大小为F ，根据向心力公式有F ＋mg ＝m v 2r，代入数值可得F ＝－2 N ，表示小球受到2 N 的支持力，选项D 正确.7.如图4所示，长为L 的轻杆一端固定一个质量为m 的小球，另一端固定在水平转轴O 上，杆绕转轴O 在竖直平面内匀速转动，角速度为ω.某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角θ满足( )图4A.sin θ＝ω2LgB.tan θ＝ω2LgC.sin θ＝gω2LD.tan θ＝gω2L答案 A解析 对小球受力分析如图所示，杆对球的作用力和小球重力的合力一定沿杆指向O ，满足mg sin θ＝m ω2L ，可得sin θ＝ω2Lg，选项A 正确.8.如图5所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R . 现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v 0，则下列说法中正确的是( )图5A.若v 0＝gR ，则小球对管内壁无压力B.若v 0>gR ，则小球对管内上壁有压力C.若0 <v 0<gR ，则小球对管内下壁有压力D.不论v 0多大，小球对管内下壁都有压力 答案 ABC解析 在最高点，只有重力提供向心力时，由mg ＝m v 02R 解得v 0＝gR ，因此小球对管内壁无压力，选项A 正确.若v 0＞gR ，则有mg ＋F N ＝m v 02R ，表明小球对管内上壁有压力，选项B 正确.若0＜v 0＜gR ，则有mg －F N ＝m v 02R，表明小球对管内下壁有压力，选项C 正确.综上分析，选项D 错误.9.长为l 的轻杆一端固定着一个小球A ，另一端可绕光滑水平轴O 在竖直面内做圆周运动，如图6所示，下列叙述符合实际的是( )图6A.小球在最高点的速度至少为glB.小球在最高点的速度大于gl时，受到杆的拉力作用C.当球在直径ab下方时，一定受到杆的拉力D.当球在直径ab上方时，一定受到杆的支持力答案BC解析小球在最高点的速度最小可以为0，选项A错误；球在最高点的速度大于gl时，向心力大于mg，一定受到杆的拉力作用，选项B正确；当球在直径ab下方时，重力和轻杆弹力的合力提供向心力，小球一定受到杆的拉力，选项C正确；当球在直径ab上方时，可能受到杆的支持力或拉力或不受杆的作用力，选项D错误.10. 2013年6月20日，航天员王亚平在运行的“天宫一号”内上了节物理课，做了如图7所示的演示实验，当小球在最低点时给其一初速度，小球能在竖直平面内绕定点O做匀速圆周运动.若把此装置带回地球表面，仅在重力场中，仍在最低点给小球相同初速度，则( )图7A.小球仍能做匀速圆周运动B.小球不可能做匀速圆周运动C.小球可能做完整的圆周运动D.小球一定能做完整的圆周运动答案BC解析把此装置带回地球表面，在最低点给小球相同的初速度，小球在运动过程中，不可能做匀速圆周运动，选项A错误，B正确；若小球到达最高点的速度v≥gr，则小球可以做完整的圆周运动，若小于此速度，则不能到达最高点，故不能做完整的圆周运动，选项C正确，D错误.二、非选择题11.如图8所示，长为L＝0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，A端连着一个质量m ＝2 kg 的小球，g 取10 m/s 2.图8(1)如果小球的速度为3 m/s ，求在最低点时杆对小球的拉力为多大.(2)如果在最高点杆对小球的支持力为4 N ，求杆旋转的角速度为多大.答案 (1)56 N (2)4 rad/s解析 (1)小球在最低点受力如图甲所示：合力等于向心力：F A －mg ＝m v 2L解得：F A ＝56 N(2)小球在最高点受力如图乙所示：则：mg －F B ＝m ω2L解得：ω＝4 rad/s.12.在杂技节目“水流星”的表演中，碗的质量m 1＝0.1 kg ，内部盛水质量m 2＝0.4 kg ，拉碗的绳子长l ＝0.5 m ，使碗在竖直平面内做圆周运动，如果碗通过最高点的速度v 1＝9 m/s ，通过最低点的速度v 2＝10 m/s ，g ＝10 m/s 2，求碗在最高点时绳的拉力大小及水对碗的压力大小.答案 76 N 60.8 N解析 对水和碗：m ＝m 1＋m 2＝0.5 kg ，F T1＋mg ＝mv 1 2l ，F T1＝mv 1 2l －mg ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0.5×810.5－0.5×10N ＝76 N ，以水为研究对象，设最高点碗对水的压力为F 1，则F 1＋m 2g ＝mv 1 2l ，解得F 1＝60.8 N ，水对碗的压力F 1′＝F 1＝60.8 N ，方向竖直向上.13.如图9是小型电动打夯机的结构示意图，电动机带动质量为m ＝50 kg 的重锤(重锤可视为质点)绕转轴O 匀速运动，重锤转动半径为R ＝0.5 m.电动机连同打夯机底座的质量为M ＝25 kg ，重锤和转轴O 之间连接杆的质量可以忽略不计，重力加速度g 取10 m/s 2.求：图9(1)重锤转动的角速度为多大时，才能使重锤通过最高点时打夯机底座刚好离开地面？(2)若重锤以上述的角速度转动，当打夯机的重锤通过最低位置时，打夯机对地面的压力为多大？答案(1)30 rad/s (2)1 500 N解析(1)当拉力大小等于电动机连同打夯机底座的重力时，才能使打夯机底座刚好离开地面：有：F T＝Mg对重锤有：mg＋F T＝mω2R解得：ω＝(M＋m)gmR＝30 rad/s(2)在最低点，对重锤有：F T′－mg＝mω2R则：F T′＝Mg＋2mg对打夯机有：F N＝F T′＋Mg＝2(M＋m)g＝1 500 N由牛顿第三定律得F N′＝F N＝1 500 N.。