湖南省邵阳市二中2010-2011学年高二数学上学期期末考试 理【会员独享】
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邵阳市二中2010-2011学年上学期期末考试
高二年一期数学试卷（理）
一、选择题（每小题4分，共10小题，共40分）
1．已知a ，b 都是实数，那么“a + bi = 0”是“a = b = 0”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
2．已知曲线2212
-=
x y 上一点P(1，2
3-)，则过点P 的切线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 165°
3．已知函数f(x) = x 3 + a x 2 +3x - 9在x = -3时取得极值，则a 等于 ( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
4．函数x
x y 2
+
= 在(0，+∞)上（ ） A.有极小值 B. 有极大值 C. 无极值 D. 既有极大值又有极小值
5．设f(x) = x 2(2-x)，则f(x)的单调递增区间是（ ）
A. ]34,0[
B. ),34[+∞
C. ]0,(-∞
D. ),3
4[]0,(+∞⋃-∞
6．函数f(x) = x-2sinx 在]2
,
0[π
上的最大点是（ ）
A.0
B.6π
C. 3π
D. 2
π
7．设z 1 = 3 - 4i ，z 2 = -2+3i ，则z 1 + z 2在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
8．复数 2
)11(i
- 的值是（ ）
A. 2i
B. -2i
C. 2
D. -2
9．根据偶函数的定义可推得“函数f(x) = x 2（x ∈R ）是偶函数”的推理过程是（ ）
A. 归纳推理
B. 类比推理
C. 演绎推理
D. 合情推理
10．用反证法证明“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（ ）
A. 假设三个内角都不大于60°
B. 假设三个内角都大于60°
C. 假设三个内角至多有一个大于60°
D. 假设三个内角至多有两个大于60°
二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）
11．|(i +1)i |的值为__ _ __.
12．函数m x x y +-=2362（m 为常数）在[-2，2]上的最大值为3，那么此函数在[-2，2]上的最小值为 .
13．周长为20cm 的矩形，绕一边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为 cm 3.
14．观察下列等式：13+23 =32，13+23+33 = 62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为
三、解答题（每题8分，共5题，共40分）
15. 已知函数f(x) = x 3 + a x 2 + bx + c ，当x = -1时，f (x)的极大值为7；当x = 3时，f(x)有极小值. 求：
（1）a 、b 、c 的值； （2）函数f(x)的极小值.
16. 求由曲线y = x 2 与 y = 2- x 2 围成的平面图形的面积.
17. 用总长14.8米的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5米，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？
18.用数学归纳法证明：
1
2)12)(12(1751531311+=
+-+⋯+⨯+⨯+⨯n n
n n （n ∈N*）
19. 设函数f(x) = lnx +ln(2-x)+ a x (a >0).
（1）当a = 1时，求f(x)的单调区间； （2）若f(x)在（0，1]上的最大值为2
1
，求a 的值.
高二数学参考答案
一、选择题（每小题4分，共10小题，共40分）
二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）
三、解答题（每题8分，共5题，共40分）
15．（1）a =-3，b =-9，c=2 …………………………………… 4分 （2）f(x)的极小值为 -25 …………………………………… 8分
积
V = … = -2x 3 + 2.2x 2 + 1.6x ，（0 < x < 1.6） …………… 3分
令V ’ = 0得 x = 1，或15
4
-
=x (舍去). ……………………………………… 5分 当x ∈(0，1)时，V ’ > 0；当x ∈(1，1.6 ) 时，V ’ < 0. …………………… 6分 因此，x = 1是函数V(x)的极大值点，也是最大值点. …………………… 7分 所以，长方体容器的高为1.2米时，容器最大，最大容积为1.8立方米.…… 8分
18．（1）当n=1时，等式左边=
31，等式右边=3
1
，此时等式成立. …………… 1分 （2）假设n = k 时等式成立，即
1
2)12)(12(1751531311+=+-+⋯+⨯+⨯+⨯k k
k k …………… 2分 案124000
那么当n = k+1时，
)32)(12(1)12)(12(1751531311++++-+⋯+⨯+⨯+⨯k k k k )32)(12(1
12++++=
k k k k ……………………………………………………… 4分 3
21
)32)(12(1)32(++=++++=
k k k k k k
这就证明了n=k+1时等式也成立. ………………………………………………… 7分 根据（1）、（2）可知，等式对一切n ∈N*都成立. ……………………………… 8分
19．函数f(x) 的定义域为（0，2）， ………………………………………… 1分
a x
x x f +-+=
21
1)(' ……………………………………… 2分
高二数学 上学期直线的斜率与倾斜角例题（三）
［例1］求经过两点P 1（2，1）和P 2（m ，2）（m ∈R )的直线l 的斜率，并且求出l 的倾斜角α及其取值范围.
选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.
解：(1)当m =2时，x 1＝x 2＝2，∴直线l 垂直于x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=
2
π (2)当m ≠2时，直线l 的斜率k =2
1
-m ∵m ＞2时，k ＞0. ∴α=arctan
21-m ,α∈（0，2
π
）， ∵当m ＜2时，k ＜0 ∴α＝π＋arctan
21-m ，α∈(2
π
,π).
说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围. ［例2］若三点A (－2，3），B （3，－2），C （
2
1
，m ）共线，求m 的值. 选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解：∵A 、B 、C 三点共线， ∴ｋAB ＝ｋAC ，
.22
13
2
332+-=+--m 解得m =
2
1. 说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.
［例3］已知两点A (－1,－5),B (3,－2),直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的一半，求直线l 的斜率.
选题意图：强化斜率公式.
解：设直线l 的倾斜角α，则由题得直线AB 的倾斜角为2α.
∵tan2α=ｋAB =
.4
3
)1(3)5(2=-----
4
3tan 1tan 22=-∴
αα
即3tan 2α+8tan α－3=0， 解得tan α＝3
1
或tan α＝－3. ∵tan2α＝
4
3
＞0,∴0°＜2α＜90°, 0°＜α＜45°， ∴tan α＝
3
1. 因此，直线l 的斜率是
3
1 说明：由2α的正切值确定α的范围及由α的范围求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.。
