椭圆常用结论及其推导过程

椭圆总结一、椭圆的定义：（隐含条件）平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。

其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。

二、 方程1、标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。

其中22b a c -=（一个Rt 三角形）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。

其中22b a c -=2、 一般方程：)0,0(122>>=+B A By Ax Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。

要求能熟练的把一般方程转化成标准方程，并找出a,b,c.三、性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+b y a x （a ＞b ＞0）有以下性质：1、范围：|x|≤a ，|y|≤b ；[][]22121212,*,0PF a c a c PF PF b a F PF F BF ∈-+⎡⎤∈⎣⎦∈角，2、对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）；3、顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）；4、通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=ab 225、离心率：e=ca==（焦距与长轴长之比）()1,0∈；e 越大越扁，0=e 是圆。

椭圆标准方程的推导椭圆是一种非常重要的几何图形，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。

椭圆的标准方程可以帮助我们更好地理解和描述椭圆的性质和特点。

接下来，我们将对椭圆的标准方程进行推导，以便更好地理解这一数学概念。

首先，我们来看一下椭圆的定义。

椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。

椭圆还有一个短轴，长度为2b，满足b<a。

椭圆的中心C是焦点连线的中点，长轴和短轴的交点称为顶点。

现在我们来推导椭圆的标准方程。

假设椭圆的长轴与x轴重合，中心在原点，焦点在x轴上，则椭圆上任意一点P的坐标为(x, y)。

根据椭圆的定义，我们可以得到PF1+PF2=2a，即√(x-ae)^2+y^2+√(x+ae)^2+y^2=2a，整理得到(x-ae)^2+y^2+(x+ae)^2+y^2=4a^2，化简得到x^2-2aex+a^2e^2+y^2+x^2+2aex+a^2e^2+y^2=4a^2，合并同类项得到2x^2+2y^2=4a^2-2a^2e^2，再化简得到x^2/a^2+y^2/(a^2-e^2)=1。

这就是椭圆的标准方程。

如果椭圆的长轴与y轴重合，我们可以进行类似的推导，最终得到的标准方程为x^2/(a^2-e^2)+y^2/b^2=1。

通过这样的推导，我们可以得到椭圆标准方程的一般形式，从而更好地理解和应用椭圆的性质。

除了上述推导的情况，当椭圆的中心不在原点，或者长轴与坐标轴不重合时，我们可以通过平移坐标系的方法，将椭圆的中心移动到原点，将长轴与坐标轴重合，然后再进行类似的推导，最终得到椭圆的标准方程。

这样的推导过程虽然稍显复杂，但原理是相同的。

总结一下，通过推导椭圆的标准方程，我们可以更好地理解椭圆的性质和特点，为进一步的数学运算和物理应用打下基础。

椭圆作为一种重要的数学工具，在现代科学和工程中有着广泛的应用，因此掌握椭圆的标准方程推导是非常重要的。

椭圆方程的推导椭圆是一种常见的二维几何图形，它在数学、物理和工程等领域中有广泛的应用。

椭圆方程是描述椭圆的数学方程，它可以用来确定椭圆的形状、位置和大小。

在本文中，我们将对椭圆方程进行推导，并详细介绍其相关概念和性质。

椭圆的定义首先，我们来定义椭圆。

椭圆是平面上所有到两个给定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

这两个给定点称为焦点，连接两个焦点的线段称为主轴，主轴的中点称为椭圆的中心。

椭圆上的点到焦点的距离之和等于常数称为椭圆的离心率，用e表示。

离心率e的取值范围为0到1，当e=0时，椭圆退化成一个点；当e=1时，椭圆退化成一条线段。

椭圆方程的一般形式椭圆方程的一般形式为：其中，(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度。

椭圆方程的推导要推导椭圆方程，我们需要从椭圆的定义出发。

假设椭圆的焦点分别为F1和F2，中心为C，离心率为e，半长轴长度为a，半短轴长度为b。

设椭圆上的一点P的坐标为(x, y)。

根据椭圆的定义，我们可以得到以下两个关系式：1.PF1 + PF2 = 2a2.PF1 / PF2 = e根据距离公式，PF1和PF2的表达式分别为：PF1 = sqrt((x - h - e)^2 + (y - k)^2) PF2 = sqrt((x - h + e)^2 + (y -k)^2)将上述关系式代入PF1 + PF2 = 2a，得到：sqrt((x - h - e)^2 + (y - k)^2) + sqrt((x - h + e)^2 + (y - k)^2) = 2a为了简化表达式，我们引入一个新的变量c，定义为c = sqrt(a^2 - b^2)。

将c代入上式，得到：sqrt((x - h - e)^2 + (y - k)^2) + sqrt((x - h + e)^2 + (y - k)^2) =2sqrt(a^2 - c^2)我们再次利用距离公式，对上式两边进行平方，得到：(x - h - e)^2 + (y - k)^2 + 2sqrt((x - h - e)^2 + (y - k)^2) * sqrt((x - h + e)^2 + (y - k)^2) + (x - h + e)^2 + (y - k)^2 = 4(a^2 - c^2)将上式进行整理，得到：2x^2 + 2y^2 - 2h(x + e) - 2k(y + e) = 4(a^2 - c^2)进一步整理，得到椭圆方程的一般形式：(x - h)^2 / a^2 + (y - k)^2 / b^2 = 1其中，a^2 = (a^2 - c2)，b2 = a^2 - (a^2 - c^2) = c^2。

椭圆中的弦长公式推导1 椭圆椭圆是一种周边围绕椭圆心形成的曲线，它可以由近似一个圆形和长短轴定义。

在表示上，椭圆具有两个参数：长轴长度a和短轴长度b，其几何表示形式为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 2 弦长椭圆的弦是椭圆上任意两个端点之间连接的线段，并且它的两个端点在椭圆的曲线上。

因此，由于椭圆具有不同的长短轴，它们具有不同的弦长，弦长公式可以通过下面的形式计算：$$C = 2bE(a,e)$$ 其中，C为弦长，b为短轴长度，a为长轴长度，E(a,e)表示积分：$$E(a,e)=\int_0^{\pi}\sqrt{1-e^2 sin^2\theta}d\theta$$ 3 椭圆弦长的推导首先，我们将椭圆的几何表示式转换为椭圆的标准参数形式：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \Rightarrow\frac{x^2}{a^2-b^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$根据定义，我们可以知道特征系数的关系：$$e=\frac{a-b}{a+b}$$据此，我们可以进一步把椭圆的几何表示形式写成：$$\frac{x^2}{a(a-e(a+b))}+\frac{y^2}{b(a+b)}=1 $$由于我们要求椭圆上任意两点之间的弦长，所以我们可以考虑从端点开始进行推导。

椭圆的端点分为两种：纵向的对称端点（(0, b)）和横向的对称端点（border point）（(a, 0)）。

于是，我们可以把弦长表示为：$$C = 2a\int_0^{\pi/2}\sqrt{\frac{(a-e(a+b))^2}{a^2}sin^2\theta +\frac{b^2}{(a+b)^2}}d\theta$$由于其中sin和cos具有周期性，所以我们可以用变量集成的方法来求出弦长（C）：$$C=2a \int_0^{\pi/2}\sqrt{\frac{(a-e(a+b))^2}{a^2}cos^2\theta +\frac{b^2}{(a+b)^2}}d\theta$$将集成变量替换为椭圆的变量之后，得到：$$C = 2bE (a,e)$$因此，弦长公式即为：$$C = 2bE (a,e)$$4 结论本文从椭圆的标准参数形式出发，通过变量集成，所求出椭圆弦长的公式：$$C =2 e E(a,e)$$可用来计算椭圆上任意两点之间的弦长值。

极速秒杀法-------椭圆经典结论[结论1]：椭圆焦点三角形周长：122PFF =2a 2,=4a c MNF +V V周长周长； [例题]：（1）椭圆22131x y +=，点A,B 经过椭圆左焦点，2ABF ∆的周长。

解：2AB F V 周长（2）过椭圆221259x y +=左焦点作直线与椭圆交于AB ，若22AF +BF =12AB ，求的值。

解：2AB =4a=12+AB AB =8F ∴V 周长。

[结论2]：焦点三角形离心率：121222F F c e a PF PF ==+；1221cos 2=PFF =PF F cos 2e αβαβαβ+=∠∠-（，）； [例题]：（1）过椭圆22221x y a b+=左焦点作x 轴的垂线与椭圆交于P ，若1260F PF ∠=o ，求离心率。

解：121222F F c e a PF PF ====+ 。

（2）过椭圆22112mx y +=右焦点2F 作x 轴的垂线与椭圆交于A,B ，若1ABF ∆为正三角形，求椭圆方程。

解：3090cos cos 22=83090cos cos 22e m αβαβ++==--o oo o 。

（3）已知正方形ABCD ，求以A ，B 为焦点且过C ，D 的椭圆的离心率。

解：1212212F F c e a PF PF ====+ 。

（4）在三角形ABC 中，AB=BC ，7cos 18B =-，求以A,B 为焦点，且过C 的椭圆的离心率。

解：21221225523593283F F t t c t AC AC e t a PF PF t =∴=∴====++ 。

（5）设222221F x y a b+=以的右焦点为圆心，且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为M ，若1F M 与圆相切，求e.解：1212212F F c e a PF PF ====+。

[结论3]：焦点三角形之夹角：122PF F 12S =b tan ,sin 1=FPF 22e θθθ⎡⎫∈∠⎪⎢⎣⎭，，； [例题]：已知椭圆22221x y a b+=的两焦点，P 为椭圆上点且12120F PF ∠=o ，求离心率取值范围。

椭圆公式推导微积分椭圆公式是一种在数学中研究和求解椭圆方程的重要工具。

它提供了一种从给定椭圆方程求解椭圆的标准方法，并且在求解很多其他问题时也很有用处。

椭圆公式的推导过程需要使用微积分的知识。

首先，假设椭圆的方程为：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$其中，$a$ 和$b$ 是椭圆的长半轴和短半轴的长度。

我们考虑对椭圆求导，得到：$$\frac{d}{dx}(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}) = 0$$解出$y$，得到：$$y = \pm\sqrt{b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2}}$$将这个式子代回原方程，得到：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2}}{b^2} = 1$$化简得：$$x^2 = a^2(1 - \frac{b^2}{a^2})$$将这个式子带回原方程，得到：$$y^2 = b^2(1 - \frac{x^2}{a^2})$$将两个方程合并，得到椭圆公式：$$x = a\cos t$$$$y = b\sin t$$其中，$t$ 是参数，满足$0 \le t \le 2\pi$。

这个公式表示的是椭圆的标准形式，可以用来求解椭圆方程。

当然，这只是椭圆公式的简单推导过程。

这个公式还有许多其他应用。

例如，我们可以使用椭圆公式来求解椭圆的周长和面积。

椭圆的周长可以通过求积分的方式求出：$$C = 2\pi a E(\frac{b^2}{a^2})$$其中，$E(\frac{b^2}{a^2})$ 是椭圆积分的一种特殊形式，可以通过查表或使用公式求解。

椭圆的面积可以通过求积分的方式求出：$$S = \pi ab$$这些都是椭圆公式的重要应用，在数学中有着广泛的使用。

椭圆基本公式一、椭圆周长、面积计算公式根据椭圆第一定义，用a表示椭圆长半轴的长，b表示椭圆短半轴的长，且a>b>0。

椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程（一）发现椭圆常数常数在于探索和发现。

椭圆三要素：焦距的一半（c），长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。

椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。

椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。

椭圆的周长取值范围：4a<L<2πa （1）椭圆周长猜想：L=(2πa-4a)T （2）T是猜想的椭圆周率。

将（1）等式与（2）等式合并，得：4a<(2πa-4a)T<2πa （3）根据不等式基本性质，将不等式（3）同除(2πa-4a)，有：4a/(2πa-4a) <T<2πa /(2πa-4a) （4）简化表达式（4）：2/(π-2)<T<π/(π-2)定义：K1=2/(π-2)；K2=π/(π-2)计算K1、K2的值会发现K1、K2是两个非常奇特的数：K1＝1.75193839388411……K2＝2.75193839388411……椭圆第二常数：K2=K1+1椭圆常数的发现过程描述简单，得来却要复杂得多。

（二）椭圆周长公式推导长期以来我们只用椭圆离心率e=c/a来描述椭圆，却忽视了椭圆a与b的关系。

定义：椭圆向心率为f，f=b/a 。

根据椭圆第一定义，椭圆向心率f，有0<f<1的范围。

K1+f<K2的数学关系正是椭圆周长计算时存在的数学关系。

定义：T=K1+f，将此等式代入等式（2）则有：L=(2πa-4a)T=2(π-2)a(K1+f)=2(π-2)a(2/(π-2)+b/a)=2πb+4(a-b)椭圆周长计算公式：L=2πb+4(a-b)（三）椭圆面积公式推导椭圆面积的取值范围：0<S<πa2 （5）（由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。

推导椭圆的标准方程首先，让我们来回顾一下椭圆的定义。

椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a＞0）的点P的轨迹。

这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。

椭圆上到长轴两端点的距离等于2a的点称为椭圆的顶点，长轴的中点O称为椭圆的中心。

接下来，我们将推导椭圆的标准方程。

假设椭圆的长轴在x轴上，中心在原点O(0,0)，焦点在x轴上，且焦点到原点的距离为c。

根据椭圆的定义，我们可以得到椭圆上任意一点P(x,y)到两个焦点的距离之和等于2a，即|PF1|+|PF2|=2a。

根据点到焦点的距离公式，点P(x,y)到焦点F1(c,0)的距离为√((x-c)²+y²)，到焦点F2(-c,0)的距离为√((x+c)²+y²)。

代入椭圆的定义式中，得到√((x-c)²+y²)+√((x+c)²+y²)=2a。

接下来，我们对上式进行整理。

首先，将整个等式平方，得到(x-c)²+y²+2√((x-c)²+y²)√((x+c)²+y²)+(x+c)²+y²=4a²。

然后，将中间的交叉项移到一边，得到2√((x-c)²+y²)√((x+c)²+y²)=4a²-(x-c)²-y²-(x+c)²-y²。

接着，我们继续整理上式。

将两边平方，得到4((x-c)²+y²)((x+c)²+y²)=(4a²-(x-c)²-y²-(x+c)²-y²)²。

展开左边的乘积，得到4(x²-c²+y²)(x²+c²+y²)=16a⁴-(x-c)⁴-2(x-c)²y²-y⁴-(x+c)⁴-2(x+c)²y²-y⁴。

椭圆高考知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1. 椭圆的定义椭圆的定义有多种表述方式，其中一种常见的定义是：椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于定常长2a（a＞0）的点P的轨迹。

称F1、F2为椭圆的焦点，2a为椭圆的长轴。

即椭圆定义为$|PF_1|+|PF_2|=2a$。

根据这个定义，我们可以推导出椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$2a$和$2b$分别为椭圆的长轴和短轴。

椭圆的离心率e满足$0<e<1$。

2. 椭圆的基本性质（1）主轴和短轴: 通过椭圆两个焦点连线的中垂线叫做长轴，椭圆的两个焦点所在直线叫做长轴；长轴的两端点叫做椭圆的顶点。

垂直于长轴的直线段叫做短轴。

（2）顶点和焦点：椭圆的两个端点叫做顶点，两个焦点分别叫做F1和F2。

（3）公式中的取值范围：椭圆标准方程中的参数a和b满足$a>b>0$。

（4）对称性：椭圆具有镜面对称性。

（5）内外离心率：椭圆的内离心率e1满足：$0<e_1<1$，外离心率e2满足：$1<e_2$。

3. 椭圆的离散表示：根据离心率e和焦点F1、F2获知椭圆的表达式$|PF_1|+|PF_2|=2a$表示椭圆的定点，即点到两个定点的距离之和等于一个定常长2a。

其中a是椭圆的长轴，F1、F2是焦点。

这个定义可以描述椭圆的形状和性质。

二、椭圆的方程和坐标变换1. 椭圆标准方程：椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

2. 椭圆的一般方程：如果椭圆的长轴不在x、y轴上，可以通过坐标变换将椭圆的标准方程转化为一般方程$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$。

3. 椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为$x=acos\theta$，$y=bsin\theta$，其中$\theta$是参数，$-\pi<\theta<\pi$。

高中数学中椭圆的经典结论（一）1.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.2.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.3.椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.4.椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).5.AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+.7.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程22002222x x y y x y a b a b +=+.高中数学中椭圆的经典结论（二）1.过椭圆22221x y a b+=(a ＞0,b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.2.设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin c e aαβγ==+.3.若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为L ，则当0＜e 1-时，可在椭圆上求一点P ，使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.4.已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.则（1）22221111||||OP OQ a b+=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b+;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.。