高中数学 第1章 集合与函数 1_1 集合中的数学思想方法例析素材 湘教版必修1

2019-2020年湘教版高中数学（必修1）1.1《集合》（集合间的基本关系）教案一、学习目标展示1．知识目标： (1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

(2)理解子集.真子集的概念。

(3)能使用图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.2．过程目标：(1)让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义(2)树立数形结合的思想．体会类比对发现新结论的作用.3．情感目标：(1)培养学生学习数学的兴趣，激励学生创新(2)学会沟通，鼓励学生讨论，培养团结协作精神．二、自主探究导航（一）复习回顾1．集合的分类（集合中元素个数的多少）及集合的表示方法2．元素与集合之间的关系是什么?集合中元素的性质有哪些？3．用列举法和描述法分别表示：“与2相差3的所有整数所组成的集合”（二）自学探究1．自主整理①阅读教材第6页---第7页中间（集合D的元素与集合C的元素是一样的）思考回答下例问题：⑴观察第6页中的前两个例子集合A与集合B具有什么关系？（从集合中的元素入手）⑵观察第7页中的第三个例子集合A与集合B具有什么关系？子集定义：集合相等：⑶对于集合A，B，C，，如果AB，BC，那么集合A与C有什么关系?(4) 包含关系与属于关系正义有什么区别?试结合实例作出解释.(5) 能否说任何一人集合是它本身的子集，即?(6) 用图示法表示（1）AB （2）A⊈B②阅读教材第7页中的相关内容，并思考回答下例问题：(1)集合A是集合B的真子集的含义记作若，且存在元素，但，则称为的真子集。

集合A是集合B的真子集与集合A是集合B的子集之间有什么区别?(2) 叫空集.空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗?(3)0，{0}与三者之间有什么关系?③阅读教材例2思考回答下例问题：(1) 写一个集合的子集时，怎样做到不发生重复和遗漏现象？(2) 分别写出下列各集合的子集及其个数：，，，.集合M 中含有个元素，总结当，，，时子集的个数规律，归纳猜想出集合M 有多少个子集？多少个真子集2．上手练习3．疑点汇总:①②（三）精讲示范Ⅰ 知识归纳（1）子集：注1．有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合2．任何一个集合是它本身的子集3．当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作AB 或BA（2）集合相等：（中的元素是一样），因此（3）真子集：对于两个集合A 与B ，如果，并且，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：AB 或BA,（4）子集与真子集符号的方向（类似于不等号）≤及≥）不同与同义；与如B A B A A B B A ⊇⊆⊇⊆（5） 空集是任何集合的子集 ΦA 空集是任何非空集合的真子集 若A ≠Φ，则ΦA（6）易混符号①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如ΦR ，{1}{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合如 Φ{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}（7）含n 个元素的集合的所有子集的个数是，所有真子集的个数是-1，非空真子集数为Ⅱ例题讲解例1．已知集合A ＝－1，3，2－1，集合B ＝3，．若BA ，则实数＝ ．跟踪练习11．已知A ＝{x ｜x ＜－2或x ＞3}，B ＝{x ｜4x ＋m ＜0}，当AB 时，求实数m 的取值范围.2．已知集合A ＝{x ∈R ｜x 2－3x ＋4＝0}，B ＝{x ∈R ｜（x ＋1）（x 2＋3x －4＝0}，要使A PB ，求满足条件的集合P .例2．若{}{}A B m x m x B x x A ⊆+≤≤-=≤≤-=,112|,43|，求是实数的取值范围.分析：由{}{}A B m x m x B x x A ⊆+≤≤-=≤≤-=,112|,43|，将此条件图像化，作图如下：根据图形，有，解得 .∴ 满足题设条件的实数的取值范围为.想一想：上面的分析完整吗？中的属性，可否出现的情况？评析：在具体问题中，特别是含有字母的问题中一定要注意空集的存在与否，以及元素互异性的讨论．要注意分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用．正解：跟踪练习21．已知{}{}A C B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆.2．已知集合，≥，且满足，求实数的取值范围。

第一章集合与逻辑1．1 集合1.1.1 集合第1课时集合与元素教材要点要点一集合与元素的概念在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个________________，这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个________．要点二元素与集合的关系要点三元素的基本属性(1)互异性：同一集合中的元素是________________．(2)确定性：集合中的元素是确定的．亦即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的．(3)无序性：集合中的元素________．状元随笔(1)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(2)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1，2，3与3，2，1构成的集合是同一个集合．要点四常用数集及表示符号要点五集合的分类(1)有限集：元素个数________的集合叫有限集(或有穷集)．(2)无限集：元素________的集合叫无限集(或无穷集)．(3)空集：没有元素的集合叫空集，记作________．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素．( )(2)我班喜欢打篮球的同学不能组成一个集合．( )(3)空集是无限集．( )(4)由方程x2－4＝0和x－2＝0的根组成的集合中有3个元素.( )2．(多选)下列元素与集合的关系判断正确的是( )A．0∈N B．π∈QC．－1∈Z D．√2∉R3．已知集合A含有三个元素0，1，x－2，则实数x不能取的值是________．4．若A是不等式4x－5＜3的解集，则1________A，2______A．(用∈或∉填空)题型1 集合概念的理解例1 判断下列每组对象能否构成一个集合：(1)援助湖北抗击新冠疫情的医护人员；(2)我校2021级所有高个子同学；(3)不小于3的自然数；(4)√3的近似值的全体．方法归纳判断一组对象能否组成集合的策略(1)注意集合中元素的确定性，看是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素，若具有此“标准”，就可以组成集合；否则，不能组成集合．(2)注意集合中元素的互异性、无序性．跟踪训练1 (多选)下列对象能构成集合的是( )A．联合国常任理事国B．充分接近√2的实数的全体C．方程x2＋x－1＝0的实数根D．全国著名的高等院校题型2 元素与集合的关系例2 (1)(多选)由不超过5的实数组成集合A，a＝√2+√3，则( )A．a∈A B．a2∈A∈A D．a＋1∈AC．1a(2)给出下列关系：①1∈R；②|－3|∉N；③|－√3|∈Q；④0∉N.其中正确的个数为( )2A．1B．2C．3D．4方法归纳判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．跟踪训练2 (1)给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N，则a＋b∈Q.其中正确的个数为( )A．0B．1C．2D．3(2)设集合M是由不小于2√3的数组成的集合，a＝√11，则下列关系中正确的是( )A．a∈M B．a∉MC．a＝M D．a≠M题型3 集合特性的应用例3 设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则1∈A(a≠1).1−a求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素．(2)集合A不可能是单元素集．变式探究本例前提条件不变，求证以下两个问题：(1)若3∈A，则A中必还有另外两个元素．(2)若a∈A，则1－1∈A.a方法归纳根据集合中元素的特性求值的三个步骤跟踪训练3 设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x，(1)求实数x应满足的条件．(2)若－2∈A，求实数x.易错辨析忽略集合元素的互异性例4 设a，b∈R，集合A中含有三个元素1，a＋b，a，集合B中含有三个元素0，b，a b，且A＝B，则a2021＋b2021＝________．＝1.若b＝1，解析：易知a≠0，a≠1，则根据两个集合相等可知a＋b＝0，且b＝1或ba＝1，则a＝b，结合a＋b＝0，可知a＝b＝0，由a＋b＝0得a＝－1，经验证，符合题意；若ba不符合题意．综上可知a＝－1，b＝1.故a2021＋b2021＝(－1)2021＋12021＝0.答案：0易错警示课堂十分钟1．下列各组对象可以组成集合的是( )A．数学必修1课本中所有的难题B．小于8的所有素数C．直角坐标平面内第一象限的一些点D．所有小的正数2．设M是所有偶数组成的集合，则( )A．3∈M B．1∈MC．2∈M D．0∉M3．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )A．P是由元素1，√3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－√3|构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合C．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集4．已知集合A中的元素x满足x≥2，若a∉A，则实数a的取值范围是________．5．已知集合A是由所有形如3a＋√2b(a∈Z，b∈Z)的数组成的，判断－6＋2√2是不是集合A中的元素．第一章集合与逻辑1．1 集合1．1.1 集合第1课时集合与元素新知初探·课前预习要点一集合或集元素要点二a是集合S的元素a∈S a不是集合S中的元素a∉S要点三互不相同的没有顺序要点四N N*或N＋Z Q R要点五有限无限多∅[基础自测]1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：显然AC正确；π是无理数，B不正确；√2是实数，D不正确．故选AC.答案：AC3．解析：由元素的互异性可知x－2≠0且x－2≠1，即x≠2且x≠3.答案：2，34．解析：由4x－5<3得x<2，则1∈A，2∉A.答案：∈∉题型探究·课堂解透例1 解析：(1)能构成集合．(2)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．(3)对于任意一个自然数能判断是不是不小于3，所以能构成集合．(4)“√3的近似值”没有明确精确到什么程度，因此很难判断一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合．跟踪训练1 解析：B 、D 中的元素不能确定，不能构成集合，故选AC. 答案：AC例2 解析：(1)a ＝√2+√3<√4+√4＝4<5， 所以a ∈A ，a ＋1<√4+√4＋1＝5，所以a ＋1∈A ，a 2＝(√2)2＋2√2×√3＋(√3)2＝5＋2√6>5，所以a 2∉A ，1a＝√2+√3＝√3−√2(√2+√3)(√3−√2)√3−√2<5，所以1a ∈A .故选ACD. (2)①正确；②③④不正确．故选A. 答案：(1)ACD (2)A跟踪训练2 解析：(1)实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a ∈Z ，则－a 也是整数，故－a ∈Z ，所以②也不正确；只有③正确．(2)判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵√11<2√3，∴a ∉M .答案：(1)B (2)B例3 证明：(1)若a ∈A ，则11−a ∈A . 又因为2∈A ，所以11−2＝－1∈A . 因为－1∈A ，所以11−(−1)＝12∈A . 因为12∈A ，所以11−12＝2∈A .根据集合中元素的互异性可知，A 中另外两个元素为－1，12，结论得证． (2)若A 为单元素集，则a ＝11−a ， 即a 2－a ＋1＝0，方程无实数解．所以a ≠11−a ，所以集合A 不可能是单元素集． 变式探究 证明：(1)因为3∈A ， 所以11−3＝－12∈A ， 所以11−(−12)＝23∈A ，所以11−23＝3∈A ，根据集合中元素的互异性可知，A 中另外两个元素为－12，23，结论得证． (2)因为a ∈A ，所以11−a ∈A ， 所以11−11−a＝1−a −a ＝1－1a ∈A .跟踪训练3 解析：(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2－2x，x2－2x≠3.解之得x≠－1且x≠0，且x≠3.(2)因为－2∈A，所以x＝－2或x2－2x＝－2.由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以x＝－2.[课堂十分钟]1．解析：A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．故选B.答案：B2．解析：∵0和2是偶数，∴2∈M，0∈M，故选C.答案：C3．解析：由于A中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.答案：A4．解析：∵x≥2，且a∉A，∴a<2.答案：a<25．解析：因为－2∈Z且2∈Z，所以－6＋2√2＝3×(－2)＋√2×2是形如3a＋√2b(a ∈Z，b∈Z)的数，即－6＋2√2是集合A中的元素．。

高中数学第一章《集合》教学案湘教版必修1一、课题：集合二、教学目标1. 要求学生进一步理解集合的定义,元素与集合及集合与集合间的关系2. 掌握集合的三种表示方法3. 强化集合运算的训练4. 熟练地解决集合的应用问题三、教学重点集合的表示方法及集合运算和应用问题是本章的重难点四、要点精讲同上五、基础训练1. 下面四个命题：（1）零属于空集；（2）方程x2-3x+5=0的解集是空集；（3）方程x2-6x+9=0的解集是单元集；（4）不等式2 x-6>0的解集是无限集；其中正确的命题有__________.21世纪教育网版权所有2. 用列举法表示集合D={2(,)8,,x y y x x N y N =-+∈∈}为________3.已知集合M={a,0}，N={1，2}，且M ∩N={1}，那么M ∪N 的真子集有___个4. 已知集合{}{}{}2220,0,2M x x px N x x x q M N =++==--=?=且，则q p ,的值为________5.表示图形中的阴影部分________________6.定义集合运算:{}B y A x y x xy Z Z B A ∈∈+==Θ,),(设集合A={}1,0,B={}3,2,则集合B A Θ的所有元素之和为____________五、典型例题 A B C例1、设全集R U =,{}5≥=x x A ,{}50<≤=x x B ,求()B A C U ?和()()B C A C U U ?,你从中发现了什么结论?并证明例2、设R b a ∈,,集合{}=+b a b a b a ,,0,,1,求a b -例3、已知集合{}R x x a x a x A ∈=+++-=,01)1()1(22中仅有一个元素,求a 的值例4.已知集{}{}}{02,0)1(,023222=+-==-+-==+-=mx x x C a ax x xB x x x A 若C C A A B A =?=?,,求实数a 和m 的值或者取值范围六、课后作业1.设全集{}{}{}4,3,5,4,6,5,4,3,2,1===B A U 则()B A C U ?___________2.设{}{}R x x y y N R x x x y y M ∈-==∈+-==,1,,342,则N M ?______________3.对于命题{}{}{}{}{}3,22)5(,0)4(,0)3(,3)2(,1723)1(∈?∈∈∈≤?N Q x x 其中正确的是___________4.设全集R I =,集合{}{}4,3,2,1,31=+≤=N x x M 则()N M CI ?_____________5.*已知道集合∈∈-=Z a N a a M ,56*,则M=_____________6.* *设集合≤∈<∈==3,,2,,*n N n m Z m n mx x M 用列举法表示集合M________________7.已知集合{}()(){}0431,053222=-++==+-=x x x x B x x x A且B P A ??求满足条件的集合P8.已知集合{}{},1,1,3,3,1,122+--=-+-=a a a B a a A 若{}2-=?B A ,求实数a 的值9.**已知集合{}4=-=a x x A ,集合{}b B ,2,1=1.是否存在实数a 使得对于任意实数b 都有B A ??若存在,求出相应的a,否则说明理由2.若B A ?成立,求出相应的实数对()b a ,10.设A B ≠，求满足{}12,A B a a ?=的集合A,B 的一切可能组成情况。