全国初中数学竞赛辅导(初三)讲座(5)

全国初中数学竞赛辅导（初三）讲座（5）

1、求函数值和函数表达式：

例1：已知()44551912-+=-x x x f ，求()x f 。

例2：若函数()2

1x x g -= ，()[]221x x x g f -=，求⎪⎭⎫ ⎝⎛43f 。 例3：已知函数()535++-=x bx ax x f ，其中a 、b 为常数，若()75=f ，求()5-f 。 例4：函数()x f 的定义域是全体实数，并且对任意实数x 、y ，有()()xy f y x f =+，若()9919=f ，求()1999f 。

2、建立函数关系式：

例5：直线l 1过点A （0，2），B （2，0），直线l 2：b mx y +=过点C （1，0），且把ΔAOB 分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，并画出图象。

例6：已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成角的正切值等于0.5，设梯形的面积为S ，梯形中较短的底的长为x ，试写出梯形面积S 关于x 的函数关系式。

3、含绝对值的函数：

例7：作函数|1||3|-+-=x x y 的图象。

例8：作函数|65|2+-=x x y 的图象。

例9：点（x ，y ）满足方程2|2||1|=++-y x ，求它的图象所围成区域的面积。 例10：m 是什么实数时，方程05||42=+-x x 有四个互不相等的实数根？

解答：

（1）()3093192++=x x x f ；（2）3；（3）3；（4）99；（5）()0221<≤--=m m S ；

（6）()6043

29222<<++-=x x x S CD AE （7）略。（8）略。 （9）8。（10）51<

练习：

1、填空：

（1）已知()44551912-+=-x x x f ，则()x f 。

（2）对所有实数x ，()351242++=+x x x f ，那么对所有实数x ，()

12-x f 。

（3）设x 与y 2成反比例，y 与z 成正比例，当x=24时，y=2；当y=18时，z=3；则z=1时，x=。

（4）已知522++=mx x y 的值恒为正，且m 为实数，则m 的范围是。

（5）已知221y y y +=，其中y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例函数，且当x=2，x=3时，y

的值都是19，则y 的解析式是。

（6）如果y+m 与x+n 成正比例，且当x=1时，y=2；当x=–1时，y=1，则y 与x 之间的函数关系式是。

2、在平面直角坐标系里，点A 的坐标是（4，0），点P 是第一象限内一 次函数6+-=x y 图象上的点，原点是O ，如果ΔOPA 的面积为S ，P 点坐标为（x ，y ），求S 关于x 的函数表达式。

3、平面直角坐标系上有点P （–1，–2）和点Q （4，2），取点R （1，m ），试问当m 为何值时，PR+RQ 有最小值。

4、直线k x y +=2

1与x 、y 轴的交点分别是A 、B ，如果≤∆OAB S 1，试求k 的取值范围。 5、设|62||4||2|---++=x x x y ，且82≤≤x ，试求y 的最大值和最小值的和。

6、作|3|2-=x y ，a x y -=的图象，问a 取何值时，它们可以围出一个平面区域，并求其面积。

7、m 是什么实数时，方程m x x =+-|34|2有三个互不相等的实数解。