第23章《一元二次方程》好题集(06)：23.2+一元二次方程的解法

专题02一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法）（3个知识点7种题型2个易错点中考4种考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：直接配平方法（重点）知识点2：配方法（重点）知识点3：配方法的应用（难点）【方法二】实例探索法题型1：用直接开平方法解一元二次方程题型2：用配方法解一元二次方程题型3：用配方法求字母的值题型4：用用配方法求代数式的最大（最小）值题型5：直接开平方法在实际生活中的应用题型6：用配方法判断三角形的形状题型7：利用换元法解方程【方法三】差异对比法易错点1混淆方程配方与代数式配方易错点2 配方时，没有进行恒等式变形而导致错误【方法四】仿真实战法考法1．解一元二次方程-直接开平方法考法2：解一元二次方程-配方法考法3：换元法解一元二次方程考法4：配方法的应用【方法五】成果评定法【知识导图】【方法一】脉络梳理法知识点1：直接配平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．例1.（2022秋•江都区校级期末）方程x2＝4的解是（ ）A．x1＝x2＝2B．x1＝x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝4，x2＝﹣4【分析】根据直接开平方解方程即可．【解答】解：直接开平方得：x＝±2，∴方程的解为：x1＝2，x2＝﹣2，故选：C．【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，特别注意：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．知识点2：配方法（1）将一元二次方程配成（x +m ）2＝n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．要点诠释：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．例2．用配方法解一元二次方程0422=-+x x .解：422=+x x移常数项222)1(4)1(2+=++x x 两边配上一次项系数一半的平方5)1(2=+x 转化为n m x =+2)(的形式5151-=+=+x x 或 转化为n m x =+2)(的形式 解得1515--=-=x x 或求解所以原方程的根是151521--=-=x x 或．例3.如何用配方法解方程 04222=-+x x 解： 4222=+x x移常数项22=+x x 方程两边同除以二次项系数22221(2)21(+=++x x 两边配上一次项系数一半的平方2521(2=+x 转化为n m x =+2)(的形式2222()a ab b a b ±+=±2102121021-=+=+x x 或 开平方解得2121021210--=-=x x 或 求解所以原方程的根是21210,2121022--=-=x x .知识点3：配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【方法二】实例探索法题型1：用直接开平方法解一元二次方程例4.解方程(x-3)2=49．【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得x-3=7或x-3=-7．由x-3=7，得 x=10．由x-3=-7，得 x=-4．所以原方程的根为x=10或x=-4．【总结升华】应当注意，如果把x+m 看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n ≥0)的方程就可看作形如x 2=k 的方程，也就是可用直接开平方法求解的方程；这就是说，一个方程如果可以变形为这个形式，就可用直接开平方法求出这个方程的根．所以，(x+m)2=n 可成为任何一元二次方程变形的目标．例5．（2022秋•江都区期中）解方程：（1）4x 2＝49； （2）（2x ﹣1）2﹣25＝0．【分析】（1）首先将方程整理为x 2＝，再利用平方根的意义直接开方求解即可；（2）首先将方程整理为（2x ﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可．【解答】解：（1）4x 2＝49，x 2＝，∴，∴x 1＝，x 2＝﹣；（2）（2x ﹣1）2﹣25＝0，（2x ﹣1）2＝25，∴2x ﹣1＝±5，∴x 1＝3，x 2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2＝a （a ≥0）；ax 2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2＝b （b ≥0）；a （x +b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．例6.解关于x 的方程：251250x -=．【答案】15x =，25x =-．【解析】整理方程，即得225x =，直接开平方法解方程，得：x =即方程两根为15x =，25x =-．【总结】直接开平方法解形如()20x a a =³方程两根即为x =例7.解关于x 的方程：290x -=．【答案】153x =，253x =-．【解析】整理方程，即得2259x ==，直接开平方法解方程，得：x =，即方程两根为153x =，253x =-．【总结】直接开平方法解形如()20x a a =³方程两根即为x =例8.解关于x )225x -=．【答案】14x =，21x =．【解析】整理方程，即得()2259x -==，直接开平方法解方程，得：253x -==±，得253x -=或253x -=-，即方程两根为14x =，21x =．【总结】直接开平方法解形如()()20ax b h h +=³的方程，将()ax b +当作一个整体，可得ax b +=或ax b +=例9.解关于x 的方程：()()222332x x +=+．【答案】11x =，21x =-．【解析】直接开平方法解方程，即得()2332x x +=±+，得2332x x +=+或()2332x x +=-+，即得方程两根为11x =，21x =-．【总结】直接开平方法解形如()()221122a x b a x b +=+的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得1122a x b a x b +=+或()1122a x b a x b +=-+．例10.解关于x 的方程： ()()22425931x x -=-．【答案】1135x =，2713x =-．【解析】整理方程，即为()()22225331x x -=-éùéùëûëû，直接开平方法解方程，即得()()225331x x +=±-，得()()225331x x +=-或()()225331x x +=--，解得方程两根分为1135x =，2713x =-．【总结】直接开平方法解形如()()221122a x b a x b +=+的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得1122a x b a x b +=+或()1122a x b a x b +=-+．例11.解关于x 的方程：()2222x a a ab b -=++．【答案】12x a b =+，2x b =-．【解析】整理方程，即为()()22x a a b -=+，直接开平方法解方程，即得()x a a b -=±+，得：x a a b-=+或()x a a b -=-+，解得方程两根分为12x a b =+，2x b =-．【总结】直接开平方法解形如()22ax b c +=的方程，将两边表示底数的式子当作一个整体，可得ax b c +=±．题型2：用配方法解一元二次方程例12.用配方法解方程：22330x x --=．【答案与解析】解：∵22330x x --=，∴233022x x --=∴23993216162x x -+=+ ，∴2333416x æö-=ç÷èø∴12x x ==． 【总结升华】原方程的二次项系数不为1，必须先化成1，才能配方．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，配成的形式，然后用直接开平方法求解即可．例13.用配方法解方程：2220x mx m +-=．【答案】1x m =-，2x m =-．【解析】由2220x mx m +-=，得22222x mx m m ++=，即22()2x m m +=，所以原方程的解为：1x m =-+，2x m =-．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．例14.用配方法解方程：21099750x x --=．【答案】195x =-，2105x =．【解析】由21099750x x --=，得2102510000x x -+=，即2(5)10000x -=，所以5100x -=±，所以95x =-或者105x =，()()20x m n n +=≥所以原方程的解为：195x =-，2105x =．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．例15.用配方法解方程：220130y --=．【答案】145y =+，245y =．【解析】由220130y --=，得2122025y -+=，即2(2025y -=，所以45y -=±，所以原方程的解为：145y =+，245y =-．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．例16.用配方法解方程：225x x -+【答案】154x =-+，254x =--．【解析】由225200x x --+=，得225200x x +-=，即251002x x +-=，配方，得：2525251021616x x ++=+，即25185()416x +=，解得：54x =-，所以原方程的解为：154x =-+，254x =-．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方．例17.用配方法解方程：210.30.2030x x -+=．【答案】1213x x ==．【解析】由210.30.2030x x -+=，得213203x x -+=，即221039x x -+=，所以21()03x -=，所以原方程的解为：1213x x ==．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方．例18.用配方法解关于x 的方程：222240x ax b a --+=．【答案】1222x a b x a b =+=-，．【解析】由222240x ax b a --+=，得22224x ax a b -+=，即22()4x a b -=，解得：2x a b =±，所以原方程的解为：1222x a b x a b =+=-，．【总结】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根．题型3：用配方法求字母的值例19.若把代数式223x x --化为2()x m k --的形式，其中m 、k 为常数，则m k +=．【答案】5．【解析】因为2223(1)4x x x --=--，所以14m k ==，，所以5m k +=．【总结】用配方法把代数式变成需要的形式，然后求出m 和k 的值．例20.已知2226100a b a b +-++=，求100123a b -×-×的值．【思路点拨】采用配方法求出,a b 的值，代入计算即可得到答案．【答案与解析】解：由题意可得：2221690a ab b -++++=()()22130a b -++=∴10a -=，30b +=∴1,3a b ==-将1,3a b ==-代入得： ()11002133213-´-´-=+= 【总结升华】本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，掌握配方法的步骤和几个非负数的和为0，每个非负数都为0是解题的关键．题型4：用用配方法求代数式的最大（最小）值例21.用配方法说明： 代数式 x 2+8x+17的值总大于0.【答案与解析】x 2+8x+17＝ x 2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴（x+4）2+1＞0，故无论x 取何实数，代数式 x 2+8x+17的值总大于0.【总结升华】利用配方法将代数式配成完全平方式后，再分析代数式值得符号.例22求代数式 x 2+8x+17的最小值【答案】x 2+8x+17＝ x 2+8x+42-42+17＝（x+4）2+1∵（x+4）2≥0，∴当（x+4）2＝0时，代数式 x 2+8x+17的最小值是1.题型5：直接开平方法在实际生活中的应用例23.某工厂今年1月份产品数是50万件，要求3月份达到60.5万件，求这个工厂2月份和3月份的月平均增长率．【答案】20％．【解析】设2月份和3月份的月平均增长率是x ，则根据题意可得：()5.601502=+x ，解：2.0=x （负值舍去）答：这两个月平均每月增长的百分率是20％．【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决增长率的问题．题型6：用配方法判断三角形的形状例24.已知△ABC 的一边长为4，另外两边长是关于x 的方程22320x kx k -+=的两根，当k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？【答案】2k =．【解析】由22320x kx k -+=，得(2)()0x k x k --=，所以x k =或者2x k =．当2k =时，2x =和4x =，满足三角形三边关系，当4k =时，4x =和8x =，不满足三角形三边关系．所以2k =时，△ABC 是等腰三角形【总结】先配方然后用分类讨论的方法解决问题．题型7：利用换元法解方程例25.用配方法解方程：2(1)2(1)10x x -+--=（要求用整体法的思想求解）．【答案】12x x ==．【解析】由2(1)2(1)10x x -+--=，得2(1)2(1)12x x -+-+=，即2(11)2x -+=，所以原方程的解为：12x x ==．【总结】本题考查整体思想的运用，把1x -看成一个整体进行配方．【方法三】差异对比法易错点1混淆方程配方与代数式配方若把代数式223x x --化为2()x m k --的形式，其中m 、k 为常数，则m k +=．【答案】5．【解析】因为2223(1)4x x x --=--，所以14m k ==，，所以5m k +=．【总结】用配方法把代数式变成需要的形式，然后求出m 和k 的值．易错点2 配方时，没有进行恒等式变形而导致错误如何用配方法解方程 04222=-+x x 解： 4222=+x x移常数项22=+x x 方程两边同除以二次项系数222)21(2)21(+=++x x 两边配上一次项系数一半的平方25)21(2=+x 转化为n m x =+2)(的形式2102121021-=+=+x x 或 开平方解得2121021210--=-=x x 或 求解所以原方程的根是21210,2121022--=-=x x .【方法四】 仿真实战法考法1．解一元二次方程-直接开平方法1．（2020•扬州）方程（x +1）2＝9的根是　x 1＝2，x 2＝﹣4　．【分析】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可．【解答】解：（x +1）2＝9，x +1＝±3，x 1＝2，x 2＝﹣4．故答案为：x 1＝2，x 2＝﹣4．【点评】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成x 2＝a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解，本题直接开方求解即可．考法2：解一元二次方程-配方法2．（2019•南通）用配方法解方程x 2+8x +9＝0，变形后的结果正确的是（ ）A ．（x +4）2＝﹣7B ．（x +4）2＝﹣9C ．（x +4）2＝7D ．（x +4）2＝25【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．【解答】解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．考法3：换元法解一元二次方程3．（2002•南京）用换元法解方程：（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6＝0，如果设x2﹣x＝y，那么原方程变为　y2﹣5y+6＝0　．【分析】把原方程中的（x2﹣x）代换成y，即可得到关于y的方程．【解答】解：根据题意x2﹣x＝y，把原方程中的x2﹣x换成y，所以原方程变化为：y2﹣5y+6＝0【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．考法4：配方法的应用4．（2018•泰州）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为　3　．【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值．【解答】解：依题意得：，解得∵x≤y，∴a2≤6a﹣9，整理，得（a﹣3）2≤0，故a﹣3＝0，解得a＝3．故答案是：3．【点评】考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．【方法五】成功评定法一．解一元二次方程-直接开平方法（共4小题）1．（2022秋•江都区校级期末）方程x2＝4的解是（ ）A．x1＝x2＝2B．x1＝x2＝﹣2C．x1＝2，x2＝﹣2D．x1＝4，x2＝﹣4【分析】根据直接开平方解方程即可．【解答】解：直接开平方得：x＝±2，∴方程的解为：x1＝2，x2＝﹣2，故选：C．【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，特别注意：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．2．（2023春•东莞市月考）解方程（x﹣1）2＝64．【分析】直接利用开平方法即可求出答案．【解答】解：x﹣1＝±8，x﹣1＝8或x﹣1＝﹣8，解得：x1＝9或x2＝﹣7．【点评】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，能够根据方程特点选择不同的解法是解题关键．3．（2022秋•江都区期中）解方程：（1）4x2＝49；（2）（2x﹣1）2﹣25＝0．【分析】（1）首先将方程整理为x2＝，再利用平方根的意义直接开方求解即可；（2）首先将方程整理为（2x﹣1）2＝25的形式，再利用平方根的意义直接开方求解即可．【解答】解：（1）4x2＝49，x2＝，∴，∴x1＝，x2＝﹣；（2）（2x﹣1）2﹣25＝0，（2x﹣1）2＝25，∴2x﹣1＝±5，∴x1＝3，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．4．（2022•盐城开学）解方程（x﹣1）2＝225．【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：∵（x﹣1）2＝225，∴x﹣1＝±15，解得x1＝16，x2＝﹣14．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．二．解一元二次方程-配方法（共8小题）5．（2022秋•仪征市期中）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；【解答】解：2x2+4x﹣1＝0，2x2+4x＝1，x2+2x＝，x2+2x+1＝+1，（x+1）2＝，x+1＝±，x+1＝或x+1＝﹣，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，所以，这位同学是乙，故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法：当二次项系数化为1时，常数项等于一次项系数一半的平方是解题的关键．6．（2022秋•花都区期末）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣1＝0时，此方程可变形为（ ）A．（x+2）2＝1B．（x﹣2）2＝1C．（x+2）2＝5D．（x﹣2）2＝5【分析】方程移项，配方变形后得到结果，即可作出判断．【解答】解：一元二次方程x2+4x﹣1＝0，移项得：x2+4x＝1，配方得：x2+4x+4＝5，变形得：（x+2）2＝5．故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．（2022秋•邳州市期中）将方程x2﹣6x＝0化成（x+m）2＝n的形式是　（x﹣3）2＝9　．【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【解答】解：x2﹣6x＝0，x2﹣6x+9＝9，（x﹣3）2＝9，故答案为：（x﹣3）2＝9．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．8．（2022秋•高邮市期中）若用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0时，则可以将该方程变形为　（x﹣2）2＝7　．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可．【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，x2﹣4x+4＝3+4，（x﹣2）2＝7，故答案为：（x﹣2）2＝7．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．9．（2022秋•惠山区校级月考）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a+b的值是　17　．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后得出a、b的值，继而得出答案．【解答】解：∵x2﹣8x﹣5＝0，∴x2﹣8x＝5，则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，∴a＝﹣4，b＝21，则a+b＝﹣4+21＝17，故答案为：17．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．10．（2022春•东台市期中）将一元二次方程x2﹣8x+5＝0化成（x+a）2＝b（a、b为常数）的形式，则a+b 的值为　7　．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后得出a、b的值，继而得出答案．【解答】解：∵x2﹣8x+5＝0，∴x2﹣8x＝﹣5，则x2﹣8x+16＝﹣5+16，即（x﹣4）2＝11，∴a＝﹣4，b＝11，则a+b＝﹣4+11＝7，故答案为：7．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．11．（2021秋•镇江期末）对方程x2x＝0进行配方，得+m＝+m，其中m＝ ．【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方，依此可求m．【解答】解：由题意得：m＝（÷2）2＝．故答案为：．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．12．（2022秋•秦淮区期末）解方程：x2﹣6x+4＝0（用配方法）【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：由原方程移项，得x2﹣6x＝﹣4，等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得x2﹣6x+9＝﹣4+9，即（x﹣3）2＝5，∴x＝±+3，∴x1＝+3，x2＝﹣+3．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．三．配方法的应用（共9小题）13．（2023春•梁溪区校级期中）在求解代数式2a2﹣12a+22的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法：解：原式＝2（a2﹣6a）+22＝2（a2﹣6a+9）﹣18+22＝2（a﹣3）2+4，∵无论a取何值，2（a﹣3）2≥0，∴代数式2（a﹣3）2+4≥4，即当a＝3时，代数式2a2﹣12a+22有最小值为4．仿照上述思路，则代数式﹣3a2+6a﹣8的最值为（ ）A．最大值﹣5B．最小值﹣8C．最大值﹣11D．最小值﹣5【分析】根据题意把代数式﹣3a2+6a﹣8配成﹣3（a﹣1）2﹣5的形式，再利用偶次方的非负性即可得出最值．【解答】解：由题意可得：原式＝﹣3（a2﹣2a）﹣8＝﹣3（a2﹣2a+1）+3﹣8＝﹣3（a﹣1）2﹣5，∵无论a取何值，3（a﹣1）2≥0，即﹣3（a﹣1）2≤0，∴代数式﹣3（a﹣1）2﹣5≤﹣5，即当a＝1时，代数式﹣3a2+6a﹣8有最大值﹣5，故选：A．【点评】本题主要是考查了配方法的应用以及偶次方的非负性，解题关键是把代数式配成﹣3（a﹣1）2﹣5的形式．14．（2023春•工业园区校级期中）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”．【解决问题】（1）数53 是　“完美数”（填“是”或“不是”）；【探究问题】（2）已知x2+y2﹣4x+2y+5＝0，则x+y＝　1　；（3）已知S＝2x2+y2+2xy+12x+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k 值，并说明理由；【拓展结论】（4）已知实数x、y满足，求x﹣2y的最大值．【分析】（1）把59分为两个整数的平方即可；（2）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出x+y的值；（3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可；拓展结论：（4）由已知等式表示出y，代入x﹣2y中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．【解答】解：（1）根据题意得：53＝22+72．故答案为：是．（2）已知等式变形得：（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，即（x﹣2）2+（y+1）2＝0，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，解得：x＝2，y＝﹣1，则：x+y＝2﹣1＝1．故答案为：1．（3）当k＝36时，S为“完美数”，理由如下：S＝2x2+y2+2xy+12x+k＝（x2+12x+k）+（y2+2xy+x2）＝（x2+12x+k）+（y+x）2，∵S是完美数，∴x2+12x+k是完全平方式，∴k＝36．（4）∵﹣x2+x+y﹣3＝0，∴﹣y＝﹣x2+x﹣3，即﹣2y＝﹣2x2+7x﹣6，∴x﹣2y＝x﹣2x2+7x﹣6＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x2﹣4x+4）+2＝﹣2（x﹣2）2+2，当x＝2时，x﹣2y最大，最大值为2．【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．（2023春•吴江区期中）我们可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，例如x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9，我们把这样的变形叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．已知关于a，b的代数式满足a2+b2+2a﹣4b+5＝0，请你利用配方法求a+b的值．【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式化简，再利用非负数的性质求出即可．【解答】解：已知等式变形得：（a2+2a+1）+（b2﹣4b+4）＝0，即（a+1）2+（b﹣2）2＝0，∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得：a＝﹣1，b＝2，则a+b＝﹣1+2＝1．【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．16．（2023春•吴中区期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+4xy+5y2+6y+9＝0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求边c的值．【分析】（1）根据x2+4xy+5y2+6y+9＝0，应用因式分解的方法，判断出（x+2y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值，代入x﹣y计算即可；（2）根据a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣2）2+2（b﹣41）2＝0，求出a、b 的值，然后根据三角形的三条边的关系，求出c的值即可．【解答】解：（1）∵x2+4xy+5y2+6y+9＝0，∴（x2+4xy+4y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x+2y）2+（y+3）2＝0，∴x+2y＝0，y+3＝0，∴x＝6，y＝﹣3，∴x﹣y＝6﹣（﹣3）＝9．（2）∵a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，∴（a2﹣4a+4）+（2b2﹣4b+2）＝0，∴（a﹣2）2+2（b﹣1）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，∴a＝2，b＝1，∵2﹣1＜c＜2+1，∴1＜c＜3，∵c为正整数，∴c＝2．【点评】本题考查配方法的应用，以及三角形三条边的关系，解答本题的关键是明确配方法、会用配方法解答问题．17．（2023春•南京期中）阅读下列材料：若x2﹣9＝0，则（x+3）（x﹣3）＝0，得x＝3或x＝﹣3；若x3+2x2y+xy2＝0，则x（x+y）2＝0，得x＝0或x＝﹣y；若2x2﹣2xy+y2﹣2x+1＝0，则（x﹣y）2+（x﹣1）2＝0，得x＝y＝1；……下列问题：（1）（a+b）2﹣4ab＝0，求证a＝b；（2）a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，求证a＝b＝c．【分析】（1）运用完全平方公式将（a+b）2﹣4ab＝0变形为（a﹣b）2＝0，即可证明a＝b；（2）先将已知等式利用配方法变形，再利用非负数的性质证明．【解答】证明：（1）∵（a+b）2﹣4ab＝0，∴a2+2ab+b2﹣4ab＝0，∴a2﹣2ab+b2＝0，∴（a﹣b）2＝0，∴a＝b；（2）∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，a﹣c＝0，∴a＝b＝c．【点评】此题考查了配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式．解题的关键是掌握完全平方公式，根据非负数的性质解题．18．（2022秋•淮安区校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：因为m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，所以m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0．所以（m+n）2+（n﹣3）2＝0．所以m+n＝0，n﹣3＝0．所以m＝﹣3，n＝3．问题：（1）若x2+2xy+5y2+4y+1＝0，求xy的值；（2）已知a，b，c是等腰△ABC的三边长，且a，b满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求△ABC的周长．【分析】（1）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，然后利用偶次方的非负性，进行计算即可解答；（2）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出a，b的值，然后分两种情况，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵x2+2xy+5y2+4y+1＝0，，∴x2+2xy+y2+4y2+4y+1＝0，∴（x+y）2+（2y+1）2＝0，∴x+y＝0，2y+1＝0，∴x＝﹣，y＝，∴xy＝×（﹣）＝﹣，∴xy的值为﹣；（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，∴a＝5，b＝4，因为△ABC是等腰三角形，所以c＝5或4，分两种情况：当c＝5时，△ABC的周长为5+5+4＝14，当c＝4，△ABC的周长为5+4+4＝13，所以△ABC的周长为13或14．【点评】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方式是解题的关键．19．（2022秋•东台市月考）【项目学习】“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1因为（a+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，因此，当a＝﹣3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．【问题解决】利用配方法解决下列问题：（1））当x＝　，1　时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值为　﹣2　．（2）当x取何值时，代数式2x2+8x+12有最小值？最小值是多少？【拓展提高】（3）当x，y何值时，代数式5x2﹣4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值为多少？（4）如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1；如图所示的第二个长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2．试比较S1与S2的大小，并说明理由．【分析】（1）仿照例题的解题思路，将代数式配方为（x﹣1）2﹣2，可得出答案；（2）仿照例题的解题思路，将代数式配方为2（x+2）2+4，可得出答案；（3）仿照例题的解题思路，将代数式配方为（2x﹣y）2+（x+3）2+16，可得出答案；（4）计算S1﹣S2可得a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1＞0，即可得出答案．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2，因为（x﹣1）2≥0，所以x2﹣2x﹣1≥﹣2，因此，当x＝1时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值是﹣2．故答案为：1，﹣2；（2）2x2+8x+12＝2（x2+4x）+12＝2（x2+4x+4﹣4）+12＝2[（x+2）2﹣4]+12＝2（x+2）2﹣8+12＝2（x+2）2+4，因为（x+2）2≥0，所以2x2+8x+12≥4，因此，当x＝﹣2时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值是4；（3）5x2﹣4xy+y2+6x+25＝（4x2﹣4xy+y2）+（x2+6x+9）+16＝（2x﹣y）2+（x+3）2+16，因为（2x﹣y）2≥0，（x+3）2≥0，所以5x2﹣4xy+y2+6x+25≥16，因此，当x＝﹣3，y＝﹣6时，代数式5x2﹣4xy+y2+6x+25取得最小值，最小值是16；（4）S1＞S2．理由如下：∵S1＝（2a+5）（3a+2）＝6a2+19a+10，S2＝5a（a+5）＝5a2+25a，∴S1﹣S2＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1＞0，∴S1＞S2．【点评】本题考查了配方法的应用、非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．20．（2022春•广陵区校级期中）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3问题：（1）不论x，y为何有理数，x2+y2﹣10x+8y+45的值均为　A　．A．正数B．零C．负数（2）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求x y的值．（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．【分析】（1）根据题意得到x2+y2﹣10x+8y+45＝（x﹣5）2+（y+4）2+4，即可作出判断；（2）根据题意由x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0得到（x﹣y）2+（y+2）2＝0，求得x＝y＝﹣2，即可得到答案；（3）由a2+b2＝10a+8b﹣41得到（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，求得a＝5，b＝4，因为a，b，c是△ABC的三边长，且c是△ABC中最长的边，即可求得c的取值范围．【解答】解：（1）x2+y2﹣10x+8y+45＝x2﹣10x+25+y2+8y+16+4＝（x﹣5）2+（y+4）2+4，∵（x﹣5）2≥0，（y+4）2≥0，∴x2+y2﹣10x+8y+45＝（x﹣5）2+（y+4）2+4≥4，∴不论x，y为何有理数，x2+y2﹣10x+8y+45的值均为正数，故选：A；（2）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，∴x2﹣2xy+y2+y2+4y+4＝0，∴（x﹣y）2+（y+2）2＝0，∴x﹣y＝0，y+2＝0，∴x＝y＝﹣2，∴；（3）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，∴a＝5，b＝4，∵a，b，c是△ABC的三边长，且c是△ABC中最长的边，∴5≤c＜5+4，即c的取值范围是5≤c＜9．【点评】此题考查了完全平方公式因式分解、非负数的性质、三角形三边关系的应用等知识，利用完全平方公式变形是解题的关键．21．（2022春•海州区校级期中）阅读下列材料：“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：简单应用：（1）填空：x2﹣4x+7＝（x﹣　﹣2　）2+　3　；深入探究：（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；灵活应用：（3）比较代数式2x2﹣4x+5与x2+x﹣2的大小，并说明理由．【分析】（1）根据配方法的方法配方即可；（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再代入得到x+y的值；（3）将两式相减，再配方即可作出判断．【解答】解：（1）x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3．故答案为：﹣2，3；（2）∵x2﹣4x+y2+2y+5＝0，∴x2﹣4x+4+y2+2y+1＝0，∴（x﹣2）2+（y+1）2＝0，则x﹣2＝0，y+1＝0，解得x＝2，y＝﹣1，则x+y＝2﹣1＝1；（3）2x2﹣4x+5﹣（x2+x﹣2）＝2x2﹣4x+5﹣x2﹣x+2＝x2﹣5x+7。

一元二次方程的解法（公式法3种题型）1.了解求根公式的推导过程.（难点）2.掌握用公式法解一元二次方程.(重点）3.理解并会用判别式求一元二次方程的根.4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况一、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b acx a a −+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac −≥时，22404b aca−≥利用开平方法，得：x += 即：x = ②当240b ac −<时，22404b ac a −< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b acx a a−+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．二、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac −≥时，有两个实数根：1x =2x =这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式． 三、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）； ②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac −的值（或代数式）；④若240b ac −≥，则把a 、b 、c 及24b ac −的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac −<，则方程无解．四、 根的判别式1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠， 当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根．五、根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题．题型1根的判别式例1.选择：（1） 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ）（A ）012=+x（B ）0122=++x x （C ）0322=++x x（D ）0322=−+x x（2） 不解方程，判别方程25750x x −+=的根的情况是（）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根（3）方程2510x x −−=的根的情况是()（A ）有两个相等实根 （B ）有两个不等实根 （C ）没有实根（D ）无法确定（4） 一元二次方程2310x x +−=的根的情况为（）（A ）有两个不相等的实数根 （B ）有两个相等的实数根 （C ）只有一个实数根（D ）没有实数根【答案】（1）D ；（2）D ；（3）B ；（4）A ．【答案】【答案】【解析】（1）A ：1a =，0b =，1c =，2440b ac ∆=−=−<，方程无实根；B ：1a =，2b =，1c =，240b ac ∆=−=，方程有两个相等实根； C ：1a =，2b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实根；D ：1a =，2b =，3c =−，24160b ac ∆=−=>，方程有两不等实根实根，故选D ；（2）5a =，7b =−，5c =，24510b ac ∆=−=−<，方程无实根，故选D ； （3）1a =，5b =−，1c =−，24290b ac ∆=−=>，方程有两不等实根，故选B ； （4）1a =，3b =，1c =−，24130b ac ∆=−=>，方程有两个相等实根，故选A ．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根． 例2.不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）24530x x −−=； （2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根；2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；2a =，b =−3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．题型2用公式法解一元二次方程例3．（2022秋·江苏苏州·九年级校考期中）用公式法解方程：22720x x −+=．【答案】12x x ==【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解．【详解】解：22720x x −+=，∴2,7,2a b c ==−=，244942233b ac ∆=−=−⨯⨯=，∴x ==，解得：12x x ==．【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 例4．用公式法解下列方程：（1）2320x x +−=；（2）25610x x −++=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x =．【解析】（1）132a b c ===−，，1742=−ac b ，则2173±−=x ，∴12x x ==；（2）561a b c =−==，，，则5642=−ac b ，则101426−±−=x ，∴123355x x −==，．【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式x =的运用．例5.用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+−=．【答案】（1）12x x ==；（2）12x x ==【解析】（1）1,66,9=−==c b a ，则18042=−ac b ，则185666±=x ，∴原方程的解为：12x x ==；22,34,2−===c b a ，则6442=−ac b ，则22834±−=x ，∴原方程的解为：12x x ==【总结】本题主要考查一元二次方程求根公式的运用．题型3根的判别式的应用例6．（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）关于x 的一元二次方程()21360x k x k +++−=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根不小于7，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析． (2)5k ≤−．【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到()25k ∆=−，根据非负数的性质得到0∆≥，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到13x =−，22kx =−．根据题意得到27k −≥，即可求得k 的取值范围．【详解】（1）解：()()21436k k ∆=+−−2211224k k k =++−+ 21025k k =−+()250k =−≥，∴方程总有实数根； （2）解：∵()250k ∆=−≥，∴()()152k k x −+±−=，解方程得：13x =−，22kx =−，由于方程有一个根不小于7， ∴27k −≥， 解得：5k ≤−．【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．例7．（2023·江苏苏州·统考一模）已知关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=． (1)若该方程有一个根是2x =，求m 的值；(2)求证：无论m 取什么值，该方程总有两个实数根． 【答案】(1)32m =(2)证明见解析【分析】（1）直接把2x =代入到原方程中得到关于m 的方程，解方程即可得到答案； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程22210x mx m −+−=的一个根为2x =，∴224210m m −+−=，∴32m =；（2）证明：由题意得，()()()222242421484410b ac m m m m m ∆=−=−−−=−+=−≥，∴无论m 取什么值，该方程总有两个实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根；一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．例8．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于2，求k 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)1k <【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；（2）根据公式法求得方程的解，得出122,1==+x x k ，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）证明：关于x 的一元二次方程()23220x k x k −+++=，∴1,(3),22a b k c k ==−+=+ ∵[]224(3)41(22)−=−+−⨯⨯+b ac k k221k k =−+2(1)0k =−≥，∴此方程总有两个实数根； （2）∵()23220x k x k −+++=∵2(1)k ∆=−∴3(1)2+±−==k k x解得:122,1==+x x k ，∵方程有一个根小于2， ∴12k +<， 解得1k <．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．一、单选题1．（2023·江苏徐州·统考一模）关于一元二次方程2430x x ++=根的情况，下列说法中正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】A【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：2430x x ++=其中1a =，4b =，3c =，∴2Δ441340=−⨯⨯=>，∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 2．（2023·江苏徐州·校考一模）关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −+=有实数根，∴()2440k ∆=−−≥，∴4k ≤，∴四个选项中只有A 选项符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程240x x k −−=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．5− B ．4− C ．3− D ．2【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k −−=无实数根，∴()2440k ∆=−+<，∴4k <−，∴四个选项中，只有A 选项符合题意， 故A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．4．（2023春·江苏盐城·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，则k 的值可以是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．1−【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程220x x k −+=没有实数根，∴()2240k ∆=−−<，∴1k >，∴四个选项中，只有选项A 符合题意， 故选A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．5．（2023秋·江苏·九年级统考期末）若关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k > B ．4k > C ．0k < D ．4k <【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2440x x k −−+=没有实数根，∴()2416440b ac k ∆=−=−−<，解得：0k <故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题6．（2023·江苏常州·校考一模）若关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根，则实数k 的取值范围是______． 【答案】1k ≥且2k ≠【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程()22210k x x −−−=有实数根， ∴()()()22024210k k −≠⎧⎪⎨−−−⨯−≥⎪⎩ ∴21k k ≠⎧⎨≥⎩，即1k ≥且2k ≠． 故答案为：1k ≥且2k ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和跟的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义和判别式的性质，从而完成求解．7．（2023·江苏常州·统考一模）若关于x 的方程20x x m −+=（m 为常数）有两个相等的实数根，则m =______．【答案】14【分析】先根据方程有两个相等的实数根得出△0=，求出m 的值即可．【详解】解：关于x 的方程20(x x m m −+=为常数）有两个相等的实数根，∴△2(1)40m =−−=，解得14m =．故答案为：14．【点睛】本题考查的是根的判别式，孰知当△0=时，一元二次方程2(0)y ax bx c a =++≠有两个相等的实数根是解答此题的关键．8．（2023·江苏盐城·校考二模）已知关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，则a 的值为________．【答案】5a =−【分析】将1x =代入方程240x ax ++=，解方程即可得到a 的值．【详解】∵关于x 的一元二次方程240x ax ++=有一个根为1，∴将1x =代入方程240x ax ++=，得140a ++=，解得：5a =−， 故答案为：5−【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是使得方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．9．（2023·江苏宿迁·模拟预测）关于x 的方程()21210m x x −−+=有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】2m ≤/2m ≥【分析】分当10m −=时，当10m −≠，即1m ≠时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：当10m −=时，即1m =时，原方程即为210x −+=，解得12x =，符合题意；当10m −≠，即1m ≠时，∵关于x 的方程()21210m x x −−+= ∴()()22410m ∆=−−−≥，解得2m ≤且1m ≠； 综上所述，2m ≤， 故答案为：2m ≤．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．10．（2023·江苏·模拟预测）请填写一个常数，使得一元二次方程25x x −+____________0=没有实数根．【答案】7（答案不唯一）【分析】设这个常数为a ，根据根的判别式求出a 的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ，∴方程250x x a −+=没有实数根，∴()2540a ∆=−−<，∴254a >，∴7a =满足题意，故答案为：7（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．11．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）请填写一个常数，使得关于x 的方程24x x −+________=0有两个不相等的实数根． 【答案】1（答案不唯一）【分析】根据方程的系数结合根的判别式2=40b ac ∆−>，即可得出关于c 的不等式，求解即可得出答案．【详解】解：1a =，4b =−，设常数为c ，()22=44410b ac c ∆−=−−⨯⨯>4c ∴<故答案为：1（答案不唯一）．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 三、解答题12．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）求证：关于x 的方程2()0()x m n x mn m n +++=≠有两个不相等的实数根． 【答案】见解析【分析】根据224()41b ac m n mn ∆=−=+−⨯⨯，再判断出的符号，即可得出结论． 【详解】解∶2222()412()m n mn m n mn m n ∆=+−⨯⨯=+−=−，m n ≠()2m n ∴−>∴方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式2Δ4b ac =−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=，方程有两个相等的实数根；当Δ0<，方程没有实数根． 13．（2023·江苏盐城·校考一模）已知关于x 的一元二次方程210x ax a −+−=． (1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程有一实数根大于4，求a 的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)5a >【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；（2）利用因式分解法解方程求出方程两个根为1211x x a ==−，，再根据该方程有一实数根大于4进行求解即可．【详解】（1）解：∵知关于x 的一元二次方程为210x ax a −+−=，∴()()()222414420a a a a a ∆=−−−=−+=−≥，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵210x ax a −+−=，∴()()110x x a −+−=，∴10x −=或10x a +−=， 解得1211x x a ==−，，∵该方程有一实数根大于4， ∴14a −>， ∴5a >．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，灵活运用所学知识是解题的关键． 14．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）关于x 的一元二次方程2(23)10mx m x m ++++=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最小整数时，求x 的值． 【答案】(1)98m >−且0m ≠(2)10x =，21x =【分析】（1）由0∆>得到关于m 的不等式，解之得到m 的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知1m =−，还原方程，利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解：由题意得：2(23)4(1)0m m m +−+>， 解得：98m >−且0m ≠；（2）由（1）知，m 最小整数为1−，此时方程为：20x x −+=，解得：10x =，21x =．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系．【答案】(1)28n m =−(2)见解析【分析】（1）根据根的判别式符号进行求解；（2）根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】（1）由题意得：()242n m ∆=−⋅−28n m ∆=+方程有两个相等的实数根， 0∴∆=280n m ∴+= 28n m ∴=−（2）当2n m =−()228m m ∆=−+2Δ44m m =++()224420m m m ++=+≥∴方程始终有两个实数根【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的判别式．一、单选题1．（2023春·江苏南京·九年级南京市竹山中学校考阶段练习）一元二次方程2440x x +−=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定【答案】B【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得，()24414320∆=−⨯⨯−=>，∴原方程有两个不相等的实数根， 故选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．2．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程250x ax −−=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．可能有实数根，也可能没有 C ．有两个相等的实数根 D ．没有实数根【答案】A【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为250x ax −−=，∴()()22451200a a ∆=−−⨯−⨯=+>，∴关于x 的一元二次方程250x ax −−=有两个不相等的实数根，故答案为：A ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．3．（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）若关于x 的一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．0k > B ．0k ≥ C ．0k < D ．0k ≤【答案】B【分析】根据一元二次方程有实数根，可知240b ac −≥，求出解即可．【详解】∵一元二次方程22(1)0x x k +−−=有实数根，∴240b ac −≥，即224[(1)]0k −−−≥， 解得0k ≥． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握24b ac −与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的关系是解题的关键．即当240b ac −＞时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；当240b ac −=时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根；当240b ac −＜时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．5．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A ．1k >−B ．1k <C ．1k >−且0k ≠D ．1k <且0k ≠【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的判别式得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210kx x −−=有两个不相等的实数根，∴0k ≠且0∆>，即2(2)4(1)0k −−⨯⨯−>， 解得1k >−且0k ≠． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ≠，，，为常数)的根的判别式24b ac ∆=−，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根． 二、填空题5．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）请填写一个常数，使得关于x 的方程22+−x x __________0=有两个相等的实数根． 【答案】1【分析】设这个常数为a ，利用一元二次方程根的判别式得出a 的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个常数为a ， ∵要使原方程有两个相等的实数根， ∴()2=240a ∆−−=，∴1a =，∴满足题意的常数可以为1， 故答案为：1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．6．（2023春·江苏泰州·九年级靖江市靖城中学校考阶段练习）方程220x x m −+=没有实数根，则m 的取值范围是______． 【答案】1m >/1m <【分析】根据一元二次方程无实数根得到Δ0<，代入即可得出答案．【详解】方程220x x m −+=没有实数根，4410m ∴∆=−⨯⨯<， 1m ∴>，故答案为：1m >．【点睛】本题考查一元二次方程有无实数根，熟记判别式24b ac ∆=−是解题的关键．三、解答题7．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=． (1)若该方程的一个根为2−，求a 的值及该方程的另一根； (2)求证：无论a 取何实数，该方程都有实数根． 【答案】(1)3a =，该方程的另一根为1− (2)证明见解析【分析】（1）先根据一元二次方程解的定义把2x =−代入到210x ax a ++−=中求出a 的值，再利用因式分解法解方程即可；（2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程210x ax a ++−=的一个根为2−，∴4210a a −+−=， ∴3a =，∴原方程即为2320x x ++=，∴()()120x x ++=，解得=1x −或2x =−， ∴方程的另一个根为1−；（2）解：∵关于x 的一元二次方程为210x ax a ++−=，∴()()222414420a a a a a ∆=−−=−+=−≥，∴无论a 取何实数，该方程都有实数根．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解一元二次方程，一元二次方程判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=−>，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=−=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=−，则方程没有实数根．8．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若m 为正整数，求出此时方程的根． 【答案】(1)43m ≤且0m ≠(2)11x =，23x =【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式0∆≥，可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围；（2）由（1）的结论，结合m 为正整数，可得出m 的值，再其代入原方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程2430mx x -+=有实数根，∴()20Δ4430m m ≠⎧⎪⎨=−−⨯⨯≥⎪⎩， 解得：43m ≤且0m ≠，∴m 的取值范围为43m ≤且0m ≠；（2）∵43m ≤且0m ≠，且m 为正整数， ∴1m =，∴原方程为2430x x −+=，即()()310x x −−=， 解得：11x =，23x =．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式0∆≥，找出关于m 的一元一次不等式组；（2）代入m 的值，求出方程的解．9．（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=（m 为常数，且0m ≠）(1)求证：方程总有实数根； (2)若该方程有两个实数根；①不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为______； ②若m 为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①2−；②1m =±或2m =±【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式求解即可；（2）①利用公式法求出方程的两个实数根即可得到答案；②根据①所求两实数根，结合m 为整数，且方程的两个实数根都是整数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得()()22=442444b ac m m m ∆−=−−−2216164161640m m m m =−+−+=>，∴方程总有实数根； （2）解：①∵关于x 的方程()242440mx m x m +−+−=有两个实数根，∴2422m x m −±==， ∴1224222242222m m m x x m m m −+−−−====−，，∴不论m 取何实数，该方程总有一个不变的实数根为2−， 故答案为：2−；②由①得，方程的两个实数根为12222mx x m −==−，，∵m 为整数，且方程的两个实数根都是整数， ∴2222m m m −=−为整数，∴1m =±或2m =±．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．10．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）已知关于x 的方程2(1)(3)20m x m x +−++=． (1)证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】(1)证明见解析(2)0m =【分析】（1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可；（2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m 的值．【详解】（1）（1）证明：①1m =−时，该方程为一元一次方程220x −+=，有实数根1x =；②1m ≠−时，该方程为一元二次方程，2(3)8(1)m m ∆=+−+221m m =−+2(1)m =−，不论m 为何值时，2(1)0m −…， ∴0∆…， ∴方程总有实数根；综上，不论m 为何值时，方程总有实数根．（2）解：解方程得，(3)(1)2(1)m m x m +±−=+， 11x =，221x m =+，方程有两个不相等的正整数根，m 为整数，0m ∴=．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；0∆=⇔方程有两个相等的实数根；0∆<⇔方程没有实数根是解题的关键．【答案】22212x x x −−或【分析】根据分式的混合运算法则化简后，再求出x 的值，代入求值即可．【详解】解：221222121x x x x x x x ⎛⎫÷ ⎪⎝⎭−−−−+++()()()()()22112221121x x x x x x x x x x x ⎡⎤=÷⎢⎥⎣⎦+−−−−++++()()()()21211112x x x x x x +=⨯++−−()2211x x x =−− 22221x x x =−−∵210x x −−=，∴21x x −=，∴原式()2221x x x −=−2211x =−⨯12x =−， 对于210x x −−=来说，1,1,1,a b c ==−=−∵()()22414115b ac −=−−⨯⨯−=，∴x =，∴12x x ==，∴当x =时，原式12x =−，当x =时，原式12x =−=．【点睛】此题考查了分式的化简求值，解一元二次方程等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．（2022秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）解下列方程：2231x x +=【答案】x x ==12，【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，然后用公式法求解即可；【详解】解：原方程可化为：22310x x +−=a b c ===−231 ， ，()b ac −=−⨯⨯−=>2243421170x ∴==x x ==12，【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的基本解法是解题的关键． 13．（2022秋·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）已知关于x 的方程220x mx m +−=−．(1)当该方程的一个根为1−时，求m 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【答案】(1)1=2m ，方程的另一根为32(2)见解析【分析】（1）把1x =−代入原方程求得m 的值，进一步求得方程的另一个根即可；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．【详解】（1）解：把1x =−代入方程 220x mx m +−=−得 120m m ++−=∴1=2m ，把1=2m 代入到原方程得 213022x x −−=∴1x =−或3=2x 故答案为：1=2m ，方程的另一根为32；（2）证明：∵方程220x mx m +−=−，∴根的判别式()()()224224m m m ∆=−−−=−+∵()220m −≥∴()2240m ∆=−+> ∴不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根的判别式24b ac ∆=−：当0∆>，方程有两个不相等的实数根；当0∆=，方程有两个相等的实数根；当0∆<，方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根的判别式的性质是解本题的关键． 14．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）用指定方法解下列一元二次方程：(1)2820x x −−=（配方法）(2)2320x x ++=（公式法）【答案】(1)14x =+24x =−(2)11x =−，22x =−【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果；（2）利用公式法计算即可．【详解】（1）解：2820x x −−=移项，得：282x x −=，配方，得：2228424x x −+=+，即()2418x −=，由此可得：4x −=±14x =+24x =−（2）解：2320x x ++=1a =，3b =，2c =，224341210b ac ∆=−=−⨯⨯=>，方程有两个不等的实数根，3131212x −±−±===⨯，即11x =−，22x =−．【点睛】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．。

一元二次方程解法(知识点和经典例题)优秀版一元二次方程知识要点1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。

通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。

2. 一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。

（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项；③配方，即方程两边都加上 的平方；④化原方程为2()x m n +=的形式，如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。

如果n ＜0，则原方程 。

（3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个 的乘积；③令每个因式都等于 ，得到两个 方程；④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。

3.一元二次方程的根的判别式 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根, 即-----=-----=2,1x x（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有两个 的实数根，即-----==21x x , （3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根。

4. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为12,x x ，则12x x += ，12x x =提示：在应用一元二次方程根与系数的关系时，一定要保证元二次方程有实数根。

考点02 一元二次方程的6大解法1，直接开平方法的方法（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。

一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a-.（2）直接开平方法适用于解形如x2 = p或(mx+a)2 = p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

2，配方法的用法1、配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开；2、把常数项移到等号的右边；3、方程两边都除以二次项系数；4、方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；5、若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

3，公式法的用法（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=a acb b24 2-±-，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。

（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公式中a,b,c的值，注意符号；③求出b2-4ac的值；若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。

4，因式分解法的用法1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.特别说明：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；（4）解一元二次方程时如果能用因式分解法进行解题，它是首选。

23.2一元二次方程的解法一、填空题1.（2009重庆綦江）一元二次方程x 2=16的解是 ． 【关键词】一元二次方程 【答案】14x =，24x =-2.（2009山东威海）若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______．【关键词】一元二次方程 【答案】13．（2009年甘肃庆阳）若关于x 的方程2210x x k ++-=的一个根是0，则k = ． 【关键词】一元二次方程组的解法 【答案】14.(2009年浙江温州)方程(x-1)2=4的解是 【关键词】解一元二次方程 【答案】x 1=3,x 2=-1.5.（2009年甘肃兰州）阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca.根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2+6x +3＝0的两实数根，则21x x +12x x 的值为 ． 【关键词】一元二次方程根与系数关系【答案】106.(2009年福建宁德)方程042=-x x 的解______________． 【关键词】一元二次方程的解 【答案】x 1=0, x 2=47.（2009年广西崇左）分解因式：2242x x -+= ． 【关键词】利用求根方法因式分解 【答案】22(1)x -8.（2009年广西崇左）一元二次方程230x mx ++=的一个根为1-，则另一个根为 ．【关键词】利用一元二次方程的根的定义可得，或利用根与系数的关系可得。

【答案】3- 9．（2009年湖北十堰）方程(x ＋2)(x －1)=0的解为 ． 【关键词】解一元二次方程【答案】－2，1；－2或1(x =－2，x =1或1,221=-=x x )10．（2009年山西）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ． 【关键词】解一元二次方程；一元二次方程根与系数的关系 【答案】答案不唯一，如21x = 二、选择题1.(2009年四川成都)若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是A.1k >- B .1k >-且0k ≠ C.1k < D.1k <且0k ≠【关键词】一元二次方程根的判别式 【答案】B2.（2009年山西太原）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()229x +=D ．()229x -=解析：本题考查配方，2250x x --=，22151x x -+=+，()216x -=，故选B ． 【关键词】配方 【答案】B3.（2009年内蒙古呼和浩特）用配方法解方程23610x x -+=，则方程可变形为（ ） A ．21(3)3x -=B ．213(1)3x -=C ．2(31)1x -=D ．22(1)3x -=【关键词】解一元二次方程 【答案】D4.（2009年湖北襄樊）如图5，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则ABCD 的周长为（ ）A．4+ B．12+．2+ D．212++解析：本题考查平行四边形及一元二次方程的有关知识，∵a 是一元二次方程ADCEB图52230x x +-=的根，∴1a =，∴AE=EB=EC=1，∴AB=，BC=2，∴ABCD 的周长为4+，故选A 。

专题02 一元二次方程的4种解法考点1：直接开方法；考点2：配方法；考点3：公式法；考点4：因式分解法。

1．方程（x +6）2﹣9＝0的两个根是（ ）A ．x 1＝3，x 2＝9B ．x 1＝﹣3，x 2＝9C ．x 1＝3，x 2＝﹣9D ．x 1＝﹣3，x 2＝﹣9解：∵（x +6）2﹣9＝0，∴（x +6）2＝9，则x +6＝±3，∴x 1＝﹣3，x 2＝﹣9，答案：D ．2．x 1、x 2是一元二次方程3（x ﹣1）2＝15的两个解，且x 1＜x 2，下列说法正确的是（ ）A ．x 1小于﹣1，x 2大于3B ．x 1小于﹣2，x 2大于3C ．x 1，x 2在﹣1和3之间D ．x 1，x 2都小于3解：∵x 1、x 2是一元二次方程3（x ﹣1）2＝15的两个解，且x 1＜x 2，∴（x ﹣1）2＝5，∴x ﹣1∴x 2＝13，x 1＝1−1，答案：A ．3．（易错题）若一元二次方程ax 2＝b （ab ＞0）的两根分别是m ﹣1和2m +3，则ba 的值为（ ）A ．16B ．259C ．25D ．259或25解：∵一元二次方程ax 2＝b 的两个根分别是m +1与2m ﹣13，且x =±∴m ﹣1+2m +3＝0，解得：m =−23，题型01 直接开方法即方程的根是：x 1=−53，x 2=53，∴b a =(±2=259，答案：B ．4．关于x 的一元二次方程x 2＝a 的两个根分别是2m ﹣1与m ﹣5，则m ＝　2　．解：根据题意得2m ﹣1+m ﹣5＝0，解得m ＝2，答案：2．5．关于x 的方程（2x +5）2＝m +1无实数解，则m 的取值范围 m ＜﹣1　．解：∵关于x 的方程（2x +5）2＝m +1无实数解，∴m +1＜0，解得m ＜﹣1．答案：m ＜﹣1．6．对于解一元二次方程（x +3）2＝4，通过降次转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x +3＝2，则另一个一元一次方程是 x +3＝﹣2　．解：（x +3）2＝4，∴x +3＝±2，∴x +3＝2或x +3＝﹣2，答案：x +3＝﹣2．7．解方程：（1）x 2﹣81＝0；（2）4（x ﹣1）2＝9．解：（1）x 2﹣81＝0，x 2＝81，∴x ＝±9，∴x 1＝9，x 2＝﹣9；（2）4（x ﹣1）2＝9，（x ﹣1）2=94，∴x ﹣1＝±32，∴x 1=52，x 2=−12．8．一元二次方程y 2﹣y −34=0配方后可化为（ ）A ．（y +12）2＝1B ．（y −12）2＝1C ．（y +12）2=34D ．（y −12）2=34解：y 2﹣y −34=0y 2﹣y =34y 2﹣y +14=1（y −12）2＝1答案：B ．9．将代数式x 2﹣10x +5配方后，发现它的最小值为（ ）A ．﹣30B ．﹣20C ．﹣5D ．0解：x 2﹣10x +5＝x 2﹣10x +25﹣20＝（x ﹣5）2﹣20，当x ＝5时，代数式的最小值为﹣20，答案：B ．10．（易错题）设a 、b 是两个整数，若定义一种运算“△”，a △b ＝a 2+b 2+ab ，则方程（x +2）△x ＝1的实数根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝x 2＝﹣1D ．x 1＝1，x 2＝﹣2解：∵a △b ＝a 2+b 2+ab ，∴（x +2）△x ＝（x +2）2+x 2+x （x +2）＝1，整理得：x 2+2x +1＝0，即（x +1）2＝0，解得：x 1＝x 2＝﹣1．答案：C ．11．把方程x 2﹣2＝4x 用配方法化为（x +m ）2＝n 的形式，则mn 的值是　﹣12　．题型02 配方法解：∵x2﹣2＝4x，∴x2﹣4x＝2，∴x2﹣4x+4＝2+4，∴（x﹣2）2＝6，∴m＝﹣2，n＝6，∴mn＝﹣12，答案：﹣1212．方程x2﹣2x﹣1＝0的解是　x1＝1+解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+1＝2，∴（x﹣1）2＝2，∴x＝1∴原方程的解为：x1＝1+x2＝1答案：x1＝1+x2＝113．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3．若将实数（x，﹣2x）放入其中，得到﹣1，则x＝　﹣2　．解：根据题意得x2﹣2•（﹣2x）+3＝﹣1，整理得x2+4x+4＝0，（x+2）2＝0，所以x1＝x2＝﹣2．答案：﹣2．14．（易错题）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c＝0变形为：x2+bax=−ca，…第一步x2+bax+（b2a）2=−ca+（b2a）2，…第二步（x +b 2a ）2=b 2−4ac 4a 2，…第三步x +b 2a =b 2﹣4ac ＞0），…第四步x =2a ，…第五步嘉淇的解法从第　四　步开始出现错误；事实上，当b 2﹣4ac ＞0时，方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠O ）的求根公式是　x =−b 2a　．用配方法解方程：x 2﹣2x ﹣24＝0．解：在第四步中，开方应该是x +b 2a =x =答案：四；x用配方法解方程：x 2﹣2x ﹣24＝0解：移项，得x 2﹣2x ＝24，配方，得x 2﹣2x +1＝24+1，即（x ﹣1）2＝25，开方得x ﹣1＝±5，∴x 1＝6，x 2＝﹣4．15．一元二次方程x 2+4x ﹣8＝0的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝2﹣B ．x 1＝x 2＝2﹣C ．x 1＝﹣x 2＝﹣2﹣D ．x 1＝﹣x 2＝﹣2﹣解：∵a ＝1，b ＝4，c ＝﹣8，∴Δ＝42﹣4×1×（﹣8）＝48＞0，则x −2±∴x 1＝﹣x 2＝﹣2﹣题型03 公式法答案：D ．16．已知a 是一元二次方程x 2﹣x ﹣1＝0较大的根，则下面对a 的估计正确的是（ ）A ．0＜a ＜1B ．1＜a ＜1.5C ．1.5＜a ＜2D ．2＜a ＜3解：解方程x 2﹣x ﹣1＝0得：x =∵a 是方程x 2﹣x ﹣1＝0较大的根，∴a∵23，∴3＜1+4，∴32＜2，答案：C ．17．若实数a ，b 满足a 2+ab ﹣b 2＝0，则a b = ．解：a 2+ab ﹣b 2＝0△＝b 2+4b 2＝5b 2．a =−b 2=∴a b =18．（易错题）对任意的两实数a ，b ，用min （a ，b ）表示其中较小的数，如min （2，﹣4）＝﹣4，则方程x •min（2，2x ﹣1）＝x +1的解是　x =或x =　．解：①若2＜2x ﹣1，即x ＞1.5时，x +1＝2x ，解得x ＝1（舍）；②若2x ﹣1≤2，即x ≤1.5时，x （2x ﹣1）＝x +1，解得x x答案：x=x=19．关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？解：（1）根据题意，得m≠1．∵a＝m﹣1，b＝﹣2m，c＝m+1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4，则x1=2m22(m−1)=m1m−1，x2＝1；（2）由（1）知，x1=m1m−1=1+2m−1，∵方程的两个根都为正整数，∴2m−1是正整数，∴m﹣1＝1或m﹣1＝2，解得m＝2或3．即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．20．方程x2﹣x＝56的根是（ ）A．x1＝7，x2＝8B．x1＝7，x2＝﹣8 C．x1＝﹣7，x2＝8D．x1＝﹣7，x2＝﹣8解：∵x2﹣x＝56，∴x2﹣x﹣56＝0，则（x﹣8）（x+7）＝0，∴x﹣8＝0或x+7＝0，解得x1＝﹣7，x2＝8，答案：C．21．一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的解是（ ）题型04 因式分解法A．x1＝x2＝0B．x1＝x2＝1C．x1＝0，x2＝2D．x1＝1，x2＝2解：x（x﹣2）＝x﹣2，移项，得x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，提公因式，得（x﹣2）（x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣1＝0，解得x1＝2，x2＝1．答案：D．22．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A．12B．9C．13D．12或9解：x2﹣7x+10＝0，（x﹣2）（x﹣5）＝0，x﹣2＝0，x﹣5＝0，x1＝2，x2＝5，①等腰三角形的三边是2，2，5∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5＝12；即等腰三角形的周长是12．答案：A．23．方程2x2+1＝3x的解为　x1＝1，x2=12　．解：2x2+1＝3x，2x2﹣3x+1＝0，（x﹣1）（2x﹣1）＝0，解得：x1＝1，x2=1 2．答案：x1＝1，x2=1 2．24．（易错题）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为　20　．解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣9x+20＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，解得：x＝4或x＝5，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．答案：20．25．（易错题）对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）◎（m﹣3）＝24，则m＝　﹣3或4　．解：根据题意得[（m+2）+（m﹣3）]2﹣[（m+2）﹣（m﹣3）]2＝24，（2m﹣1）2﹣49＝0，（2m﹣1+7）（2m﹣1﹣7）＝0，2m﹣1+7＝0或2m﹣1﹣7＝0，所以m1＝﹣3，m2＝4．答案：﹣3或4．26．解方程（1）2x2﹣3x﹣2＝0；（2）x（2x+3）﹣2x﹣3＝0．解：（1）（2x+1）（x﹣2）＝0，2x+1＝0或x﹣2＝0，所以x1=−12，x2＝2；（2）x（2x+3）﹣（2x+3）＝0，（2x+3）（x﹣1）＝0，2x+3＝0或x﹣1＝0，所以x1=−32，x2＝1．。

一元二次方程的解法一、定义及一般形式1.1 一元二次方程：含有一个未知数，未知数的最高次数为2的方程。

1.2 一般形式：ax^2 + bx + c = 0（a、b、c为常数，且a≠0）二、解一元二次方程的常用方法2.1 因式分解法2.1.1 提取公因式法2.1.2 十字相乘法2.1.3 公式法（完全平方公式、平方差公式）2.2 公式法2.2.1 求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)2.2.2 判别式：Δ = b^2 - 4ac2.2.3 根与系数的关系：•两根之和：x1 + x2 = -b/a•两根之积：x1 * x2 = c/a2.3 图像法2.3.1 抛物线的开口方向与a的符号有关：a > 0，开口向上；a < 0，开口向下。

2.3.2 抛物线与x轴的交点即为方程的解。

三、特殊类型的一元二次方程3.1 含绝对值的一元二次方程3.2 含平方根的一元二次方程3.3 含分式的一元二次方程四、一元二次方程的应用4.1 实际问题与一元二次方程4.2 几何问题与一元二次方程4.3 函数问题与一元二次方程五、练习与提高5.1 巩固题型：基本的一元二次方程求解。

5.2 提高题型：复杂的一元二次方程求解，如含绝对值、平方根、分式的方程。

5.3 综合题型：结合实际问题、几何问题、函数问题等，运用一元二次方程解决实际问题。

习题及方法：1.习题：解方程 x^2 - 5x + 6 = 0。

答案：x1 = 2，x2 = 3。

解题思路：利用因式分解法，将方程左边进行因式分解，得到 (x -2)(x - 3) = 0，从而得到两个一元一次方程 x - 2 = 0 和 x - 3 = 0，解得 x1 = 2，x2 = 3。

2.习题：解方程 2x^2 - 9x + 12 = 0。

答案：x1 = 2/3，x2 = 6。

解题思路：利用因式分解法，将方程左边进行因式分解，得到 (2x -3)(x - 4) = 0，从而得到两个一元一次方程 2x - 3 = 0 和 x - 4 = 0，解得 x1 = 2/3，x2 = 6。