积分变换2-1

at
1 cos d 0 a at 1 dsin 0 a sinat a
at
1 , at x at 1 sin at F 2a a 0, 其他
5.3 傅里叶变换的应用
本节介绍傅里叶变换在数理方程中的应用，通过积分 变换，可以把偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解 问题，从而得到原问题的形式解。
1 F F1 F2 F1 F2 eit d 2 1 - i f 1 e d f 2 u e -iu du eit d - 2 -
-1

首先证明一阶导数公式成立
Fs f t f t sin ωtdt
0
证明
0
f t sin ωt 0 ω f t cos ωtdt

ωFc f t
其次证明二阶导数公式成立
Fs f t f t sin ωtdt

-
-
1 f1 τ dτ f 2 u e -iωu τ du eit dω 2π - 1 f1 τ dτ f 2 u-τ e -iu du eit dω 2π -
成立，若t是间断点，等式的左端应以 代替。
f t 0 f t 0 2
来
定义1 若函数f(t)满足傅里叶积分定理中的条件，则称函数
F F f t f e i d

为f(t)的傅里叶变换， f(t)称为像原函数，F(ω)称为像函数。 定义F(ω)的傅里叶逆变换为
U , t F u x, t F x F x
假设无穷处边界条件为

华东理工大学复变函数与积分变换作业（第1册）班级____________学号_____________姓名_____________任课教师_____________第一次作业教学内容：复数及其运算 平面点集的一般概念1．填空题：（1）35arctan 2,234,2523,25,23-+-πk i (2)3arctan 2,10,31,3,1-+-πk i（3）)31(21i +- (4) 13,1=-=y x 。

2．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。

(1)31i +; 解：32)3sin 3(cos 2)2321(231πππi e i i i =+=+=+ (2))0(sin cos 1πϕϕϕ≤≤+-i 解：)22(2sin 2)]22sin()22[cos(2sin 2sin cos 1ϕπϕϕπϕπϕϕϕ-=-+-=+-i e i i(3)32)3sin 3(cos )5sin 5(cos φφφφi i -+. 解：φφφφφφφφφ199********)/()()3sin 3(cos )5sin 5(cos i i i i i e ee e e i i ===-+-- φε19sin 19cos i +3．求复数11+-z z 的实部与虚部 解：2|1|)1)(1()1)(1()1)(1(11++-=+++-=+-=z z z z z z z z z w 222|1|Im 2|1|1|1|)1(+++-=+--+=z z i z z z z z z z z 所以，2|1|1Re +-=z z z w ，2|1|Im 2Im +=z z w 4. 求方程083=+z 的所有的根. 解：.2,1,0,2)8()21(331==-=+k e z k i π即原方程有如下三个解：31,2,31i i --+5. 若 321z z z ==且0321=++z z z ，证明：以321,,z z z 为顶点的三角形是正三角形. 证明：记a z =||1，则232232223221)(2z z z z z z z --+=+= 得22323||a z z =-221|)||(|z z -=，同样，22212123||a z z z z =-=- 所以.||||212321z z z z z z -=-=-6. 设2,1z z 是两个复数，试证明. 212z z ++221z z -22122()z z =+. 并说明此等式的几何意义.证明： 左式=(21z z +)(21z z +)+(21z z +)(21z z -)=(21z z +)(21z z +)+(21z z +)(21z z -) =2121221121212211z z z z z z z z z z z z z z z z ⋅-⋅-⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ =2(2221z z z z ⋅+⋅)=2(2221z z +)7．求下列各式的值: (1)5)3(i -; 解：5)3(i -=6556532)2()223(2ππi i e e i --==⎥⎦⎤⎢⎣⎡- =i i 16316)65sin()65cos(32--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-ππ (2)31)1(i -；解: 31)1(i -.2,1,0,2)2()221(23)24(631431===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+--k e e i k i i πππ 可知31)1(i -的3个值分别是)12sin 12(cos 22626πππi e i -=-；)127sin 127(cos 226276πππi e i += )45sin 45(cos226456πππi e i += （3）求61-解：61-=.5,4,3,2,1,0,)(6/)21(612-=++k e e k i k i πππ可知61-的6个值分别是 223,1,2236526i ei e i e i i i +-==+=πππ223,,2234112367i e i e i ei i i -=-=--=πππ (4) ()()()()1001001001005050511+i +1-i =cos +isin +cos -isin 4444 =2cos 25+isin 25+2cos 25-isin 25 =-2ππππππππ⎤⎤⎫⎫⎪⎪⎥⎥⎭⎭⎦⎦8．化简2)1()1(--+n ni i 解：原式1222211)1(+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=n i n n i ie i i i π第二次作业教学内容： 平面点集的一般概念 复变函数1. 填空题(1)连接点i +1与i 41--的直线断的参数方程为10)52(1≤≤--++=t t i i z(2)以原点为中心，焦点在实轴上，长轴为a ，短轴为b 的椭圆的参数方程为π20sin cos ≤≤+=t t ib t a z2．指出下列各题中点z 的轨迹，并作图. (1)12≥-i z ;中心在i 2-半径为1的圆周及其外部。

2
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall:周期函数的 Fourier 级数
定理 (Dirichlet 定理)设 fT (t)是以 T 为周期的实值函数，且在 区间 [T/2 , T/2] 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：
(1) 连续或只有有限个第一类间断点；
(2) 只有有限个极值点(不能震荡太厉害) .
t t
( ) c e 1 f ( )e d e fT t
in t
n
T n
n
T2 T 2 T
int
分析
由
c0
a0 2
,
cn
an
2
ibn
,
cn
an
ibn 2
,
得 c0 A0 ,
|cn
| | cn
|
1 2
an2
bn2
An ， 2
An
n an
in t 2c n
bn
argcn argcn θn , (n 0) .
F ()
2
k sin 0
2 3
25
例2
求指数衰减函数f
(t)
0, et ,
积分表达式,其中 0.
t 0的傅氏变换及其 t0
2
0
1 2sin costd 2 sin cost d
0
0
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24
0
sin cost
d
24 0
| t | 1 | t | 1 | t | 1
因此可知当t 0时,有
sin x d x sinc(x) d x
0x
20
2

T 2 T 2

f 2 (t ) d t

T 2 T 2

g 2 (t ) d t
[ f , g] 这样可令 cos 是f , g间的夹角余弦, f g 则如果[ f , g ] 0称为f与g正交.
而在区间[T/2,T/2]上的三角函数系 1, cost, sint, cos 2t, sin 2t, ..., cos nt, sin nt, ... 是两两正交的, 其中=2p/T, 这是因 为cos nt和sin nt都可以看作是复 j n t 指数函数e 的线性组合. 当nm时,
T 2

布在整个数轴上, 两个相邻的点的距离为 2p p n n n 1 , 或T , T n
2p 2p 2p T T T
2p 如图 T
O 1 2 3
f (t )又可写为 1 f (t ) lim T T 1 lim n 0 2p
{ { {

T
n-1n
2 j nt j n fT ( )e d e T n 2 j nt j n fT ( )e d e n T n 2
T 2
为求an, 计算[fT(t), cosnt], 即
am T cos mt cos nt d t
m 1 n
2

T 2
bm T sin mt cos nt d t
m 1
2
T 2
T an T cos nt d t an 2 2 T 2 2 即 an T fT (t ) cos nt d t T 2
T 2
2
a0 dt 2