初中数学 2.1 二次函数同步练习(3)

初中数学二次函数解析式图像性质练习题一、单选题1.二次函数231y x =-+的图象如图所示, 将其沿x 轴翻折后得到的抛物线的解析式为( )A.231y x =-B.23y x =C.231y x =+D.231y x =--2.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映,如果调整商品售价,每降价1元,每星期可多卖出20件.设每件商品降价x 元后,每星期售出商品的总销售额为y 元,则y 与x 的关系式为( )A. 60(30020)y x =+B. (60)(30020)y x x =-+C. 300(6020)y x =-D. (60)(30020)y x x =--3.如果将抛物线2y 2x =+向下平移一个单位,那么所得新抛物线的解析式是( )A. ()212y x =-+B. ()212y x =++ C. 2 1y x =+ D. 2y 3x =+ 4.当0ab >时，2y ax =与y ax b =+的图象大致是( )A. B. C. D.二、解答题5.如图，在ABC 中，906cm 12cm C AC BC ∠=︒==，，.动点P 从点A 开始沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动；动点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以2cm/s 的速度移动.如果P Q ，两点同时出发.（1）经过几秒，PCQ 的面积为28cm ？（2）若设四边形APQB 的面积为S ，运动时间为t ，当t 为何值时，S 最小，并求出S 的最小值；6.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米.(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x 的值;(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有，求出最大值和最小值;如果没有，请说明理由;(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x 的取值范围.三、填空题7.请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(01)，的抛物线的解析式__________.8.抛物线214y x =+的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 9.若()2221m y m x mx -=+++是关于自变量x 的二次函数，则m = 。

15．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当自变量x取两个不同的值x1、x2时函数值相等，则当自变量x取 时的函数值与x＝_____时的函数值相等．
16．如图为二次函数 图象，直线 与抛物线交于 两点, 两点横坐标分别为 根据函数图象信息有下列结论:
① ;
②若对于 的任意时若 变大,则线段 变长
【分析】
根据二次函数的图象与性质进行判断即可得解.
【详解】
解：抛物线开口向下，因此①正确，
对称轴为 ，可知a、b异号，由a＜0，可知b＞0，因此②不正确；
抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，故③不正确；
抛物线的顶点坐标为 ，又顶点坐标为 ，则 ，因此④正确；
抛物线与x轴的一个交点在x轴的负半轴，对称轴为x＝ ，因此当x＝1时，y＝a+b+c＞0，因此⑤不正确；
（2）观察图象，当 取何值时， ？
23．已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与y轴交于点C．
（1）抛物线的顶点坐称为，点C坐标为；（用含m的代数式表示）
（2）当m＝1时，抛物线上有一动点P，设P点横坐标为n，且n＞0．
①若点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标；
②设抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点纵坐标之差为h，求h与n之间的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；
（1）若二次函数 是闭区间 上的“闭函数”，求k的值；
（2）若一次函数 是闭区间 上的“闭函数”，求此函数的解析式(用含m，n的代数式表示)．
29．设 都是实数，且 ．我们规定：满足不等式 的实数 的所有值的全体叫做闭区间、表示为 ．对于一个函数，如果它的自变量 与函数值 满足：当 时，有 ，我们就称此函数是闭区间 上的“闭函数”．

初中数学二次函数的图象与性质基础过关测试题3（附答案详解）1．将抛物线24y x =+先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ） A ．2(2)3y x =-- B ．2(2)3y x =+- C ．2(2)3y x =-+D ．2(2)3y x =++2．如图，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与直线y ＝x 交于（1，1）和（3，3）两点，现有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②3b +c +6＝0；③当x 2+bx +c ＞2x时，x ＞2；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x +c ＜0，其中正确的序号是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．②④D ．③④3．二次函数y ＝2x 2－8x ＋9的图象可由y ＝2x 2的图象怎样平移得到（ ） A ．先向右平移2个单位再向上平移1个单位 B ．先向右平移2个单位再向下平移1个单位 C ．先向左平移2个单位再向上平移1个单位 D ．先向左平移2个单位再向下平移1个单位4．若点（﹣2，y 1），（﹣1，y 2），（3，y 3）在二次函数y ＝﹣x 2+x ﹣3的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ） A ．y 3＝y 1＜y 2B ．y 3≤y 2≤y 1C ．y 2＜y 1＝y 3D ．y 1＜y 2＜y 35．对于每个自然数n ，抛物线()()221111n y x x n n n n +=-+++与x 轴交于n A 、n B ，两点，以n n A B 表示该两点间的距离，则1122A B A B ++⋅⋅⋅20152015A B +值为（ ）. A ．20142015B ．20162015C ．20152014D ．201520166．已知点A(-3,y 1),B(-1,y 2),C(2,y 3)在函数y=-x 2的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系为( ) A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 37．抛物线y=﹣x 2经过平移得到抛物线y=﹣（x+2）2﹣3，平移的方法是（ ） A ．向左平移2个，再向下平移3个单位 B ．向右平移2个，再向下平移3个单位 C ．向左平移2个，再向上平移3个单位D ．向右平移2个，再向上平移3个单位9．把抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y ＝x 2+5x+6，则a ﹣b+c 的值为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．1210．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c +2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＝0；③a ＞2；④ax 2+bx +c ＝﹣2的根为x 1＝x 2＝﹣1；⑤若点B （﹣14，y 1）、C （﹣12，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2．其中正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．将抛物线y ＝x 2﹣6x +5化成y ＝a （x ﹣h ）2﹣k 的形式，则hk ＝_____． 12．如图，ABC ∆的顶点坐标分别为()()()0,4,2,0,4,2A B C ，若二次函数22y x bx =++的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是__________．13．若抛物线y=x 2+bx(b>2)上存在关于直线y=x 成轴对称的两个点，则b 的取值范围是______.14．已知抛物线的顶点坐标为(1,8)--，且过点(0,6)-，则该抛物线的表达式为________．15．二次函数22(1)4y x =-+-图象的顶点坐标是______.16．抛物线2(0)y ax a =≠沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线2yx 沿直线y x =向上平移，平移距离2时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是_____．17．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = x 2 的图象经过点M (x 1 , y 1 ) ，N (x 2 , y 2 ) 两点，若- 4< x 1< -2， 0< x 2 <2 ，则 y 1 ____ y 2 . （用“ < ”，“=”或“>”号连接） 18．对于二次函数y=5x 2+bx+c ，甲、乙、丙、丁四位同学给出四个说法，甲：图象对称轴是x=1；乙：函数最小值为3；丙：当x=﹣1时，y=0；丁：点（2，8）在函数图象上．其中有且仅有一个说法是错误的，则哪位同学的说法是错误的_____． 19．已知抛物线y=2x 2-bx+3的对称轴经过点（2，—1），则b 的值为______.20．某同学利用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出该二次函数的解析式：_____ x 0 1 2 3 4 y3﹣2321．已知二次函数y ＝﹣x 2﹣2x+3．（1）把函数关系式配成顶点式并求出图象的顶点坐标和对称轴．（2）若图象与x 轴交点为A ．B ，与y 轴交点为C ，求A 、B 、C 三点的坐标； （3）在图中画出图象．并求出△ABC 面积．22．已知抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点()C 0,6-与x 轴的一个交点坐标是()A 2,0-．()1求此抛物线的顶点D 的坐标；()2将此图象沿x 轴向左平移2个单位长度，直接写出当y 0<时x 的取值范围．23．已知二次函数y ＝x 2﹣6mx+9m 2+n （m ，n 为常数）（1）若n ＝﹣4，这个函数图象与x 轴交于A ，B 两点（点A ，B 分别在x 轴的正、负半轴），与y 轴交于点C ，试求△ABC 面积的最大值；（2）若n ＝4m+4，当x 轴上的动点Q 到抛物线的顶点P 的距离最小值为4时，求点Q 的坐标．24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:23c y ax ax =-+与直线:l y kx b =+交于A ，B 两点，且点A 在y 轴上，点B 在x 轴的正半轴上.（1）直接写出点A 的坐标； （2）若1a =-，求直线l 的解析式； （3）若31k -≤≤-，求a 的取值范围.25．如图，是一块三角形材料，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝6．用这块材料剪出一个矩形DECF ，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 上，要使剪出的矩形DECF 面积最大，点D 应该选在何处？26．如图，已知二次函数21:22(0)L y ax ax a a =++->和二次函数22:(2)2(0)=--+>L y a x a 图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），(1))函数222(0)y ax ax a a =++->的顶点坐标为 ；当二次函数L 1 ，L 2 的y 值同时随着x 的增大而增大时，x 的取值范围是 ；(2)当AD=MN 时，求a 的值，并判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）； (3)当B ，C 是线段AD 的三等分点时，求a 的值.27．在如图的平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2﹣2amx +am 2+1（a ＜0）与x 轴交于点A 和点B ，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，顶点是D ，且∠DAB ＝45°． （1）填空：点C 的纵坐标是 （用含a 、m 的式子表示）； （2）求a 的值；（3）点C 绕O 逆时针旋转90°得到点C ′，当﹣12≤m ≤52时，求BC ′的长度范围．28．如图，直线y =－x +4与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，点A 在x 轴负半轴上，且OA =12OB , 抛物线y =ax 2+bx +4经过A ，B ，C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值；（3）设点E为抛物线对称轴与直线BC的交点，若A，B，E三点到同一直线的距离分别是d1，d2，d3，问是否存在直线l，使得d1= d2=12d3? 若存在，请直接写出d3的值，若不存在，请说明理由．参考答案1．D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”进行判断即可. 【详解】解：抛物线24y x =+先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的函数关系式是：2(2)3y x =++. 故选D. 【点睛】本题考查了抛物线的平移，属于基础题型，熟知抛物线的平移规律是解题的关键. 2．C 【解析】 【分析】由函数y ＝x 2+bx +c 与x 轴无交点，可得b 2﹣4c ＜0；当x ＝3时，y ＝9+3b +c ＝3，3b +c +6＝0；利用抛物线和双曲线交点（2，1）得出x 的范围；当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x 2+bx +c ＜x ，继而可求得答案． 【详解】∵函数y ＝x 2+bx +c 与x 轴无交点， ∴b 2﹣4ac ＜0； ∴b 2﹣4c ＜0 故①不正确；当x ＝3时，y ＝9+3b +c ＝3， 即3b +c +6＝0； 故②正确；把（1，1）（3，3）代入y ＝x 2+bx +c ，得抛物线的解析式为y ＝x 2﹣3x +3， 当x ＝2时，y ＝x 2﹣3x +3＝1，y ＝2x＝1， 抛物线和双曲线的交点坐标为（2，1）第一象限内，当x＞2时，x2+bx+c＞2x；或第三象限内，当x＜0时，x2+bx+c＞2x；故③错误；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确；故选：C．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．3．A【解析】【分析】先将二次函数y＝2x2－8x＋9变形为顶点式，再利用函数平移规则：上加下减，左加右减，即可解答.【详解】y＝2x2－8x＋9=2（x-2）2+1所以由y＝2x2的图象先向右平移2个单位再向上平移1个单位得到二次函数y＝2x2－8x＋9的图象.故选A【点睛】本题考查二次函数平移，熟练掌握二次函数平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键. 4．A【解析】【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为x＝12，再根据抛物线的增减性以及对称性可得y1，y2，y3的大小关系．【详解】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+x ﹣3＝﹣（x ﹣12）2﹣114，∴对称轴为x ＝12， ∵a ＜0， ∴x ＜12时，y 随x 增大而增大， ∵（3，y 3）关于对称轴的对称点为（﹣2，y 3） ∴y 3＝y 1＜y 2． 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的增减性． 5．D 【解析】 【分析】首先求出抛物线与x 轴两个交点坐标，然后由题意得到n n A B 111n n =-+，进而求出1122A B A B ++⋅⋅⋅20152015A B +的值．【详解】 令y =x 2()211n n n +-+x ()11n n +=+0， 即x 2()211n n n +-+x()11n n +=+0， 解得：x 1n =或x 11n =+， 故抛物线y =x 2()211n n n +-+x ()11n n ++与x 轴的交点为（1n ，0），（11n +，0），由题意得：n n A B 111n n =-+，则1122A B A B ++⋅⋅⋅20152015A B +=11111122320152016-+-++-=11201520162016-=． 故选D ． 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴交点的知识，解答本题的关键是求出n n A B ． 6．B 【解析】 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计算出y 1、y 2、y 3的值，然后比较它们的大小． 【详解】当x=-3时，y 1=-x 2=-9；当x=-1时，y 2=-x 2=-1；当x=2时，y 3=-x 2=-4， 所以y 1＜y 3＜y 2． 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 7．A 【解析】 【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况． 【详解】解：抛物线y=-x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标为（-2，-3），而点（0，0）向左平移2个，再向下平移3个单位可得到（-2，-3），所以抛物线y=-x 2向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=﹣（x+2）2﹣3． 故选A ． 【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 8．C【解析】【分析】 根据图上给出的条件是与x 轴交于（1，0），叫我们加个条件使对称轴是x=2，意思就是抛物线的对称轴是x=2是题目的已知条件，这样可以求出a 、b 的值，然后即可判断题目给出四个人的判断是否正确．【详解】解：∵抛物线过（1，0），对称轴是x=2，3022a b b a++=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩ 解得a=1，b=-4，∴y=x 2-4x+3，当x=3时，y=0，所以小华正确；当x=4时，y=3，小彬也正确，小明也正确；抛物线被x 轴截得的线段长为2，已知过点（1，0），则可得另一点为（-1，0）或（3，0），所以对称轴为y 轴或x=2，此时答案不唯一，所以小颖错误．故选：C ．【点睛】本题是开放性题目，要把题目的结论作为题目的条件，再推理出四个人说的结论的正误．难度较大．9．B【解析】【分析】求得平移后抛物线的顶点坐标，根据平移规律求得原抛物线的顶点坐标，写出原抛物线解析式，即可取得a 、b 、c 的值．【详解】y ＝x 2+5x+6＝（x+）2﹣．则其顶点坐标是（﹣，﹣），将其右左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到（﹣，）．故原抛物线的解析式是：y ＝（x+）2+＝x 2+x+3．所以a ＝b ＝1，c ＝3．所以a ﹣b+c ＝1﹣1+3＝3．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．10．D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】 解：①由抛物线的对称轴可知：02b a -<， ∴0ab >，由抛物线与y 轴的交点可知：22c +>，∴0c >，∴0abc >，故①正确；②抛物线与x 轴只有一个交点，∴0∆=，∴240b ac -=，故②正确；③令1x =-，∴20y a b c =-++=， ∵12b a-=-， ∴2b a =，∴220a a c -++=，∴2a c =+，∵22c +>，∴2a >，故③正确；④由图象可知：令0y =，即202ax bx c =+++的解为121x x ==-,∴22ax bx c ++=-的根为121x x ==-，故④正确； ⑤∵11124-<-<-， ∴12y y >，故⑤正确；故选D ．【点睛】考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想.11．﹣12．【解析】【分析】将抛物线化成顶点式，可得h ，k 的值，代入计算即可.【详解】解：∵y ＝x 2﹣6x +5＝x 2﹣6x +9﹣4＝（x ﹣3）2﹣4，∴h ＝3，k ＝﹣4，∴hk ＝3×（﹣4）＝﹣12．故答案是：﹣12．【点睛】本题考查了抛物线的顶点式，熟练掌握顶点式的转化是解题关键.12．b≥-4【解析】【分析】因为a=1＞0，根据左同右异可知，对称轴在y 轴的左侧时，b ＞0，对称轴在y 轴右侧时，b ＜0，对称轴x=-2b ≤2时，二次函数y=x 2+bx+2的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点． 【详解】抛物线y=x 2+bx+2与y 轴的交点为（0，2），∵C （4，2），当对称轴在y 轴的右侧时当C 与（0，2）是对称点时，抛物线的对称轴的位置在最右边，∴对称轴0＜-2b ≤2时，二次函数y=x 2+bx+2的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点， ∴-4≤b ＜0．当对称轴在y 轴或y 轴的右侧时，都满足条件则有-02b ≤ 解得：b ≥0， 故有b≥-4故答案为b≥-4．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题时，利用了二次函数对称轴的位置列不等式来求b 的取值范围，并利用数形结合的思想．13．b>3【解析】【分析】可设出对称的两个点P ，Q 的坐标，利用两点关于直线y=x 成轴对称，可以设直线PQ 的方程为y=-x+a ，由于P 、Q 两点存在，所以方程组2y x a y x bx =-+⎧⎨=+⎩有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去b ，建立关于a 的函数关系，求出变量a 的范围．【详解】解：设抛物线上关于直线l 对称的两相异点为P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），线段PQ 的中点为M （x 0，y 0），设直线PQ 的方程为y=x+a ，由于P 、Q 两点存在，所以方程组2y x a y x bx=-+⎧⎨=+⎩有两组不同的实数解， 即得方程x 2+（1+b ）x -a=0．①判别式△=21b （）+-41a ⨯⨯-（）＞0．② 由①得x 0=x1x22+=-1b 2+，y 0=-x 0+a=1b 2++a ∵M （x 0，y 0）在y=x 上，x 0=y 0∴-1b 1b 22++=+a ∴a=-b-1代入②解得b ＞3或b <-1 ∵b>2，∴b ＞3故答案为b ＞3【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及对称问题，属于难题，有一定的计算量． 14．22(1)8y x =+-【解析】【分析】利用顶点式求解即可，设y=a （x+1）2-8，把(0,6)-代入求解.【详解】设y=a （x+1）2-8，把(0,6)-代入，得-6=a ×（0+1）2-8，∴a=2，∴22(1)8y x =+-.故答案为：22(1)8y x =+-.【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法,关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0）；顶点式y=a （x-h ）2+k ，其中顶点坐标为（h ，k ）；交点式y=a （x-x 1）（x-x 2），抛物线与x 轴两交点为（x 1，0），（x 2，0）．15．(-1,-4)【解析】【分析】根据抛物线的顶点式直接得到答案.【详解】二次函数22(1)4y x =-+-图象的顶点坐标是(1,4)--.【点睛】本题考查二次函数的顶点式，二次函数的顶点式为y=a （x-h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），解决此题需注意坐标的符号问题.16．()211y x =-+【解析】【分析】沿直线y=x y=ax 2 (a≠0)向右平移1个单位，向上平移1个单位，即可得到平移后抛物线的表达式．【详解】解:∵抛物线2y x =沿直线y x =向上平移，相当于抛物线()2y ax a 0=≠向右平移1个单位，向上平移1个单位，∴根据平移的规律得到:“同簇抛物线”的表达式是()2y x 11=-+．故答案为:()2y x 11=-+．【点睛】本题考查了二次函数的几何变换:由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17．>【解析】【分析】通过比较点M 和点N 到y 轴的距离的远近判断y 1与y 2的大小．【详解】解：抛物线y=x 2的对称轴为y 轴，而M （x 1，y 1）到y 轴的距离比N （x 2，y 2）点到y 轴的距离要远，所以y 1＞y 2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用二次函数的图象比较二次函数值的大小比较简便．18．丙【解析】【分析】设甲乙正确，利用顶点时写出抛物线的解析式为y=5（x-1）2+3，然后计算自变量为-1和2对应的函数值，从而判断丙错误．【详解】若甲乙对，则抛物线的解析式为y=5（x-1）2+3，当x=-1时，y=23，此时丙错误；当x=2时，y=8，此时丁正确．而其中有且仅有一个说法是错误的，所以只有丙错误．故答案为丙．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．19．8【解析】【分析】根据公式法可求对称轴，可得关于b 的一元一次方程，解方程即可．【详解】∵抛物线y=2x 2-bx+3的对称轴经过点（2，-1），∴对称轴x=-22b =2， 解得：b=8．故答案为8．【点睛】此题考查二次函数的性质，掌握利用公式法求对称轴是解决问题的关键．20．y＝x2﹣4x+3．【解析】【分析】由图表的信息知：第一、二、四、五个点的坐标都关于x=2对称，所以错误的一组数据应该是（2，-2）；可选取其他四组数据中的任意三组，用待定系数法求出抛物线的解析式．【详解】解：选取（0，3）、（1，0）、（3，0）；设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），则有：a（0﹣1）（0﹣3）＝3，a＝1；∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3．故答案为y=x2﹣4x+3【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，能够正确的判断出错误的一组数据是解答此题的关键．21．（1）y=﹣（x+1）2+4（2）抛物线与 y 轴的交点 C（0，3）（3）6【解析】【分析】（1）根据配方法步骤将解析式配成顶点式可得；（2）求出y=0时x的轴可得点A、B的坐标，求出x=0时y的值可得点C的坐标；（3）根据抛物线的顶点坐标及其与坐标轴的交点可画出抛物线的图象，再由三角形的面积公式可得答案．【详解】（1）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），对称轴为直线 x ＝﹣1； （2）当 y ＝0 时，﹣x 2﹣2x+3＝0，解得：x ＝1 或 x ＝﹣3，∴抛物线与 x 轴的交点 A （﹣3，0）、B （1，0），当 x ＝0 时，y ＝3，∴抛物线与 y 轴的交点 C （0，3）；（3）其函数图象如下图所示：S △ABC ＝ AB•y C ＝ ×4×3＝6．【点睛】本题考查的知识点是抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式，解题的关键是熟练的掌握抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式.22．(1) D 的坐标为125,24⎛⎫-⎪⎝⎭；(2) 4x 1-<<. 【解析】【分析】 ()1根据抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点()C 0,6-与x 轴的一个交点坐标是()A 2,0-，可以求得该抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可求得点D 的坐标；()2根据平移的特点，可以得到平移后抛物线的解析式，从而可以写出当y 0<时x 的取值范围．【详解】解：()1抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点()C 0,6-与x 轴的一个交点坐标是()A 2,0-， {c 642b c 0=-∴-+=，得{b 1c 6=-=-， ∴抛物线的解析式为22125y x x 6(x )24=--=--， ∴此抛物线的顶点D 的坐标为125,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； ()2抛物线的解析式为2125y (x )24=--， ∴此图象沿x 轴向左平移2个单位长度后对应的函数解析式为：22125325y (x 2)(x )2424=-+-=+-， ∴平移后抛物线的对称轴为直线3x 2=-，当y 0=时，1x 4=-，2x 1=， ∴当y 0<时x 的取值范围是4x 1-<<．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．23．（1）当m ＝0时，△ABC 的面积最大为8；（2）Q 点的坐标为（﹣6，0）或（0，0）．【解析】【分析】（1）把n ＝﹣4代入得到带有m 的解析式解析式y ＝x 2﹣6mx+9m 2﹣4，再用带有m 的值表示出A 、B 、C 的坐标，然后得出三角形面积判断最大值；（2）把n ＝4m+4代入原解析式得到y ＝（x ﹣3m ）2+4m+4，得出顶点P 的坐标，再根据动点Q 到抛物线的顶点P 的距离最小时为PQ 的横坐标相同，即可得出Q 的坐标.【详解】解：（1）若n ＝﹣4，则y ＝x 2﹣6mx+9m 2﹣4，当x ＝0时，y ＝9m 2﹣4，∴C （0，9m 2﹣4），∵这个函数图象开口向上，与x 轴交于A ，B 两点（点A ，B 分别在x 轴的正、负半轴），与y 轴交于点C ，∴9m 2﹣4＜0，当y ＝0时，x 2﹣6mx+9m 2﹣4＝0，x 1＝3m+2，x 2＝3m ﹣2，∴A （3m+2，0），B （3m ﹣2，0），∵3m+2﹣（3m ﹣2）＝4，∴AB ＝4，∴S △ABC ＝1•2C AB y ＝12×4•（﹣9m 2+4）＝﹣2m 2+8， ∵﹣2＜0，∴当m ＝0时，△ABC 的面积最大为8；（2）若n ＝4m+4，则y ＝x 2﹣6mx+9m 2+4m+4＝（x ﹣3m ）2+4m+4，∴P （3m ，4m+4），当动点Q 到抛物线的顶点P 的距离最小值为4时，则Q 为（3m ，0）且4m+4＝±4， 解得m ＝﹣2或m ＝0，∴Q 点的坐标为（﹣6，0）或（0，0）．【点睛】本题是二次函数的动点题型，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用.24．（1）()0,3A ；（2）3y x =-+；（3）a<−1或a>3【解析】【分析】（1）抛物线C ：y=ax 2-2ax+3与y 轴交于点A ，令x=0，即可求得A 的坐标；（2）令y=0，解方程即可求得B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l 的解析式； （3）当a=3时，抛物线C 过点B （1，0），此时k=-3．当a=-1时，抛物线C 过点B （3，0），此时k=-1．结合图象即可求得．【详解】(1)∵抛物线C:y=ax 2−2ax+3与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为(0,3).(2)当a=−1时,抛物线C 为y=−x 2+2x+3.∵抛物线C与x轴交于点B，且点B在x轴的正半轴上，∴点B的坐标为(3,0).∵直线l:y=kx+b过A，B两点，∴330bk b=⎧⎨+=⎩.解得13kb=-⎧⎨=⎩.∴直线l的解析式为y=−x+3.(3)如图，当a>0时，当a=3时,抛物线C过点B(1,0)，此时k=−3.结合函数图象可得a>3.当a<0时，当a=−1时,抛物线C过点B(3,0)，此时k=−1.结合函数图象可得a<−1.综上所述，a的取值范围是a<−1或a>3.【点睛】本题考查一次函数和二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式.25．使剪出的矩形DECF面积最大，点D应该选在AB的中点．【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理求出AC，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC ＝12AB ＝3，由勾股定理得，AC ==在Rt △ADF 中，∠A ＝30°，∴AD ＝2DF ，AF DF ，∴CF ＝AC ﹣AF ＝，则矩形DECF 面积＝DF ×（）2=23)24DF -+当DF ＝32时，剪出的矩形DECF 面积最大， 则AD ＝2DF ＝3，∴使剪出的矩形DECF 面积最大，点D 应该选在AB 的中点．【点睛】本题考查的是勾股定理、二次函数的性质、矩形的性质，根据勾股定理、矩形的面积公式列出二次函数解析式是解题的关键．26．（1）顶点坐标为M （-1，-2），12x -<<；（2）四边形AMDN 是矩形，理由见解析；（3）a =329 【解析】【分析】（1）把222(0)y ax ax a a =++->化为顶点式()212y a x =+-，即可求出顶点坐标；根据图像即可求出次函数L 1 ，L 2 的y 值同时随着x 的增大而增大时，x 的取值范围； （2）由两点间的距离公式求出MN 的长，用含a 的代数式表示出AD 的长，根据AD =MN列方程即可求出a 的值；由两点间的距离公式可求AN =MD ，AM =DN ，从而可证四边形AMDN是平行四边形，又AD =MN ，所以可证四边形AMDN 是矩形；（3）当B ，C 是线段AD 的三等分点时，分两种情况，根据两点间的距离公式求解：①点C 在点B 的左边，②点B 在点C 的左边.【详解】（1）∵222(0)y ax ax a a =++->∴()212y a x =+-，∴顶点坐标为M （-1，-2）；∵M （-1，-2），N （2，2），∴当1x >-时， L 1 的y 值随着x 的增大而增大，当2x <时，L 2的y 值随着x 的增大而增大. ∴x 的取值范围是12x -<< .（2）如图1，MN =，当y=0时，即()2120a x +-=，解得1A x =--1B x =-+当y=0时，即()2220a x --+=，2C x =-2D x =+∴AD=（2+-（1--=3+当AD=MN 时，即3+，解得a =2. 当 a =2时，1A x =--2，2D x =3，∵==∴AN=DM,∵==,∴AM=DN,∴四边形AMDN 是平行四边形，∵AD=3-(-2)=5,MN=5,∴AD=MN,∴四边形AMDN 是矩形 ;（3）当B，C是线段AD的三等分点时，存在以下两种情况：①点C在点B的左边，如图2，BC=（21a-+-（22a-=232a-+AC=BD=3 ，即232a-+，解得29a=;②点B在点C的左边，如图3，CB=（22a--（21a-+=23a-AB=CD=22a，即22a23a-329a= .【点睛】本题考查了二次函数一般式与顶点式的互化，二次函数的图像与性质，两点间的距离公式，矩形的判定，数形结合及分类讨论的数学思想.掌握一般式化顶点式的方法是解（1）的关键；灵活运用两点间的距离公式是解（2）的关键；分两种情况求解是解（3）的关键.27．（1）am2+1；（2）a＝﹣1；（3）0≤BC′≤94．【解析】【分析】（1）代入0x =求出y 值，此问得解；（2）设抛物线对称轴与x 轴交于点E ，由二次函数的对称性可得出ABD 为等腰直角三角形，进而可得出2AB DE =，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B 、D 的坐标，由2AB DE =可得出关于a 的无理方程，解之即可得出a 值；（3）由（1）（2）可得出点B 、C 的坐标，由旋转的性质可得出点'C 的坐标，利用两点间的距离公式可求出2'2BC m m =-++，再利用二次函数的性质即可求出：当1522m -≤≤时，'BC 的长度范围. 【详解】解：（1）当x ＝0时，y ＝ax 2﹣2amx +am 2+1＝am 2+1，∴点C 的纵坐标为am 2+1．故答案为am 2+1．（2）设抛物线对称轴与x 轴交于点E ，如图1所示．∵DA ＝DB ，∠DAB ＝45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AB ＝2DE ．∵y ＝ax 2﹣2amx +am 2+1＝a （x ﹣m ）2+1，∴点D 的坐标为（m ，1）．当y ＝0时，ax 2﹣2amx +am 2+1＝0，即a （x ﹣m ）2＝﹣1，解得：x 1＝m x 2＝m∴AB ＝2， 解得：a ＝﹣1．（3）由（1）（2）可知：点C 的坐标为（0，1﹣m 2），点B 的坐标为（m +1，0）．∵点C 绕O 逆时针旋转90°得到点C ′，∴点C ′的坐标为（m 2﹣1，0），∴BC ′＝|m +1﹣（m 2﹣1）|＝|﹣m 2+m +2|．∵﹣m 2+m +2＝﹣（m ﹣12）2+94，﹣12≤m ≤52，∴当m＝52时，﹣m2+m+2取得最小值，最小值为﹣74；当m＝12时，﹣m2+m+2取得最大值，最大值为94，∴当﹣12≤m≤52时，﹣74≤﹣m2+m+2≤94，∴当﹣12≤m≤52时，0≤BC′≤94．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解无理方程、两点间的距离公式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）代入0x 求出y值；（2）利用等腰直角三角形的性质找出关于a的无理方程；（3）利用二次函数的性质找出'BC的长度范围.28．（1）y=－12x2+ x+4；（2）当m=2时，PE2；（3）存在，满足题意的d3的值为2或665．【解析】【分析】（1）由直线y=-x+4得出B（4，0），C（0，4），即可得出A（-2，0），将A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式；（2）已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC的长；在Rt△OBC中，∠OCB=45°，根据平行线的性质得出∠PFD=45°，解直角三角形即可求出PD的表达式，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可．（3）见解析.【详解】解:（1）由y=－x+4得当x=0时，y=4；当y=0时，x=4．∴B (4，0) ，C (0，4)， ∴ OB =4．∴ OA =12OB =2， ∴ 点 A (－2，0)． 把A (－2，0)，B (4，0)分别代入抛物线y =ax 2+bx +4中，得4230,16430.a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得1,21.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴ 抛物线的解析式为 y =－12x 2+ x +4． （2）∵ 点P 的横坐标为m ，则P (m ，－12m 2+ m +4)． 过点P 作PF ∥y 轴交BC 于点F ，则F (m ，－m +4) ．∴ PF =－12m 2+ m +4－(－m +4)=－12m 2+2m ． 在Rt △OBC 中，OB =4，OC =4．又 PF ∥y 轴， ∴ ∠PFD =∠OCB=45°．∴ PD =PF ·sin ∠PFD = PF ·sin ∠OCB =22(－12m 2+2m )=－24(m －2)22 ∵ 0＜m ＜4，－24＜0，∴ 当m =2时，PE 2 （3）存在，∵y =－12x 2+ x +4=－12（x-1）²+92， ∴C 点坐标为（1,3），如图，d 1= d 2=12d 3 ，满足题意的d3的值为2或6或655．【点睛】本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力，。

合作学习，探索新知 :
(3)一个温室的平面图如图,温室外围是一
个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸 如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。
1 1 1
x
3
合作学习，探索新知 : 1.y
=πx2
2.y
= 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) 2+58x-112 2 =-x =2x +4x+2
二次函数
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2。一次函数、正比例函数的定义是 什么？
合作学习，探索新知 :
请用适当的函数表达式表示下列问题情 境中的两个变量 y 与 x 之间的关系：
2
(1)圆的面积 y ( cm )与圆的半径 x ( cm ) (2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润的月平 均增长率为x，3月份的利润为y
(6)y=x2-x(1+x)
做一做:
（1）正方形边长为x（cm），它的面积y（cm ） 是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长 增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘 米，试写出y与x的表达式．
2
函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)， 当a,b, c满足什么条件时
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须 根据题意确定自变量的取值范围.
1:若函数 值。
为二次函数，求m的 y (m 1)x
2
m 2 m
2: m取何值时，函数 y= (m+1) x2 +(m-3)x+m 是二次函数？ 3:要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩 形的花圃，设连墙的一边为x, 矩形的面积为y,试 (1)写出y关与x的函数关系式. (2)当x=3时,距形的面积为多少?