2017-2018学年高二下学期第三次月考数学(文)试题

贵州省三都民族中学2020-2021学年高二第二学期第一次月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1． 已知集合()()2{|}{|210}A x y y x B x y x y ===--=，，，，则()A B ⋂=A ．11x y ==，B ．()11，C ．{}11，D ．(){}11，2． 已知命题p ：210x R x x ∀∈+->，；命题q ：sin cos x R x x ∃∈+=，则下列判断正确的是() A ．p ⌝是假命题B ．q 是假命题C ．p q ∨是假命题D ．()p q ∧￢是真命题3．已知等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，则574a a -=（ ）A ．30B ．20C ．40D ．50 4．设()f x '是函数()f x 的导函数， ()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知||2a =，向量a 在向量b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．3πB ．6πC ．23πD ．2π 6．已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处有极值10，则(2)f 等于( )A ．1B ．2C ．—2D ．—17．执行如图所示的程序框图,输出的s 值为( )A ．2B ．32C ．53D ．858．函数()4f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ∈R ）的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．x ＝0 B ．4x π=- C ．4x π= D ．2x π=9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面直角三角形的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．510．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A ．14B ．15C ．16D ．1711．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，P 为抛物线C 上任意一点，若1(3,)2M ，则PM PF +的最小值是（ ）A ．6B ．112C ．92D ．7212．若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ）A ．2BCD二、填空题 13．已知x 与y 之间的一组数据：()()()()11232537，，，，，，，，则y 与x 的线性回归方程必过点______ ．14．若x y ，满足不等式2620x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩则y x 的最大值是______ ．15．正ABC 的三个顶点都在球O 的球面上，2AB AC ==，若三棱锥O ABC -的体积为2，则该球的表面积为______ ．16．在ABC 中，若14a A π=∠=，，则sin cos C C=+ ______ ．三、解答题 17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =2ABC S ∆=，求ABC ∆的周长.18．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足12594152141b a a a b a ==+==+，，（1）求数列{}{}n n a b ，通项公式；（2）令n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车，调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[)[)[)[)[)50,100,100,150,150,200,200,250,250,300，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中x 的值及续驶里程在[)200,300的车辆数；（2）若从续驶里程在[)200,300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的概率.20．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，∠BAC =90°，AC =AB =AA 1，E 是BC 的中点．（1）求证：AE ⊥B 1C ；（2）求异面直线AE 与A 1C 所成的角的大小；（3）若G 为C 1C 中点，求二面角C -AG -E 的正切值．21．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点)Q ，右焦点为)F ， （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l ：()1(0)y k x k =->分别交x 轴，y 轴于C D ，两点，且与椭圆C 交于M N ，两点，若CN MD =，求k 的值，并求弦长MN ．22．已知函数()()e ln ,e xf x a x x x=+-为自然对数的底数. (1)当0a >时,试求()f x 的单调区间;(2)若函数()f x 在1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭上有三个不同的极值点,求实数a 的取值范围.参考答案1．D【解析】联立得：2210y x x y ⎧=⎨--=⎩，消去y 得：221x x -=，即2(1)0x -=， 解得：11x y ==，， 则(){}11A B ⋂=，， 故选：D ．2．D【解析】由221551()244x x x +-=+-≥-，所以命题p ：210x R x x ∀∈+->，为假命题；由sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当4x π=时sin cos x x +=所以命题q ：sin cos x R x x ∃∈+=，是真命题． 由以上可知：p ⌝是真命题；q 是真命题；p Ⅴq 是真命题；()p q ∧￢是真命题． 故选D ．3．B【分析】利用等差数列{}n a 的通项公式代入可得574a a -的值.【详解】由13920a a a ++=，得131020a d +=，则有5711144(4)631020a a a d a d a d -=+--=+=.故选：B.【点睛】考查等差数列通项公式的运用，知识点较为简单.4．C【分析】根据()f x '的图象，由()f x '的符号，确定原函数()f x 的单调性，确定()f x 的图象.【详解】从()f x '的图象可以看出当(),0x ∈-∞， ()0f x '>， ()f x 在(),0-∞上为增函数；当()0,2x ∈时，()0f x '<， ()f x 在()0,2上为减函数；当()2,x ∈+∞时， ()0f x '> ， ()f x 在()2,+∞上为增函数，符合的图象是C .故选：C .【点睛】本题考查了导函数图象与原函数图象间的关系，属于容易题.5．B【解析】记向量a 与向量b 的夹角为θ，a ∴在b 上的投影为cos 2cos a θθ=．a 在bcos θ∴= []0θπ∈，，6πθ∴=．故选B ．【解析】()32f x x ax bx =++，()2'32f x x ax b ∴=++，函数()32f x x ax bx =++ 在1x =处有极值为10， 320110a b a b ++=⎧∴⎨++=⎩，解得1221a b =-⎧⎨=⎩． 经检验知，12,?21a b =-=符合题意． ()321221f x x x x ∴=-+，()32221222122f ∴=-⨯+⨯=．选B ．点睛：由于导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，故在求出导函数的零点后还要判断在该零点两侧导函数的值的符号是否发生变化，然后才能作出判断．同样在已知函数的极值点0x 求参数的值时，根据0()0f x '=求得参数的值后应要进行检验，判断所求参数是否符合题意，最终作出取舍．7．C【解析】试题分析：0k =时，03<成立，第一次进入循环：111,21k s +===；13<成立，第二次进入循环：2132,22k s +===；23<成立，第三次进入循环：31523,332k s +===，33<不成立，输出53s =，故选C.【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.【解析】()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴方程由42x k πππ-=+得：34x k ππ=+， ∴当1k =-时，4x π=-即为其一条对称轴的方程，故选B ．9．C【解析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P ABCD -，侧面PAD ⊥底面ABCD PA AD ⊥，，底面ABCD 是正方形．则此图中含有4个直角三角形(除了底面正方形)．故选C ．点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．10．C【解析】试题分析：由三角形面积为12，312022|33x ==，所以阴影部分面积为211326-=，所求概率为11616P ==考点：定积分及几何概型概率 11．C 【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =进而把问题转化为求PM PD +取得最小，进而可推断出当D P M ,,三点共线时PM PD +最小，即可求出结果． 【详解】抛物线2:6C y x =的准线为32x =-，设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，PM PF PM PD +=+，要求PM PF +取得最小值，即求PM PD +取得最小， 当D P M ,,三点共线时，PM PD +最小， 即PM PD +最小为39322⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即PM PF +的最小值是92. 故选：C. 【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D P M ,,三点共线时，PM PD +最小最小是解题的关键．12．A 【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ．点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．13．()24，【解析】24x y ==，，∴数据的样本中心点是()24，，y ∴与x 的线性回归方程必过点()24，，故答案为()24，． 14．2 【解析】画出x y ，满足不等式2620x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩的平面区域，如图示：由26x x y =⎧⎨+=⎩，解得()24A ，， 而yx的几何意义表示过平面区域内的点与原点的直线的斜率， 由图象得直线过OA 时斜率最大，4()22max y x ∴==．故答案为：2．点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大， z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离. 15．1603π【解析】由题可知BC是截面小圆的直径，所以截面小圆的半径2BCr ==又11222332V d d ∴=⨯⨯⨯⨯=⇒=,所以24444R S R πππ==∴===16【解析】14a A π=∠=，，∴sin sin 2b c B C ==，可得：b B =，322sin 2sin 4sin cos sin cos sin cos C C C B C C C C C Cπ⎫⎛⎫⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭====+++．． 17．（1）3C π=（2）5+【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C （2）11sin 6222∆=⇒=⋅⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-=a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5+考点：正余弦定理解三角形.18．()1n a n =．2nn b =．()()12122n n T n +=-⋅+．【解析】试题分析：()1 设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．()2利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．试题解析：()1设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，259214a a a =+=，，11221214a d a d ∴+=+=，，解得11a d ==．()11n a n n ∴=+-=．31241521162b a b a q ∴===+==⨯，，2q ∴=． 2n n b ∴=．()22n n n n c a b n =⋅=⋅．∴数列{}n c 的前n 项和23222322n n T n =+⨯+⨯+⋯+⋅，()2312222122n n n T n n +=+⨯+⋯+-⋅+⋅，()()21112212222212221n n n n n n T n n n +++-∴-=++⋯+-⋅=-⋅=-⋅--．()1122n n T n +∴=-⋅+．点睛：本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列， {}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式. 19．（1）0.003，5；（2）35. 【分析】（1）利用所有小矩形的面积之和为1，求得x 的值，求得续驶里程在[)200,300的车辆的概率，再利用频数=频率⨯样本容量求车辆数；（2）由（1）知续驶里程在[)200,300的车辆数为5辆，其中落在[)200,250内的车辆数为3辆，利用列举法求出从这5辆汽车中随机抽取2辆，所有可能的情况，以及恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的情况，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1可得：()0.0020.0050.0080.002501x ++++⨯=，解得：0.003x =，∴续驶里程在[)200,300的车辆数为：()200.0030.002505⨯+⨯=（辆）. （2）设“恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内”为事件M由（1）知续驶里程在[)200,300的车辆数为5辆，其中落在[)200,250内的车辆数为3辆，分别记为A 、B 、C ，落在[)250,300内的车辆数2辆，分别记为a 、b ,从这5辆汽车中随机抽取2辆，所有可能的情况如下：(),A B ，(),A C ，(),A a ，(),A b ，(),B C ，(),A B ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),a b 共10种且每种情况都等可能被抽到，事件M 包含的情况有：(),A a ，(),A b ，(),A B ，(),B b ，(),C a ，(),C b 共6种， 所以由古典概型概率公式有：()63105P M ==，即恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的概率为35. 【点睛】本题主要考查直方图的应用，以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B ….1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.20．（1）见解析；（2）3π；（3【分析】（1）由BB 1⊥面ABC 及线面垂直的性质可得AE⊥BB 1，由AC=AB ，E 是BC 的中点，及等腰三角形三线合一，可得AE⊥BC，结合线面垂直的判定定理可证得AE⊥面BB 1C 1C ，进而由线面垂直的性质得到AE⊥B 1C ；（2）取B 1C 1的中点E 1，连A 1E 1，E 1C ，根据异面直线夹角定义可得，∠E 1A 1C 是异面直线A 与A 1C 所成的角，设AC=AB=AA 1=2，解三角形E 1A 1C 可得答案．（3）连接AG ，设P 是AC 的中点，过点P 作PQ⊥AG 于Q ，连EP ，EQ ，则EP⊥AC，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP⊥平面ACC 1A 1，进而由二面角的定义可得∠PQE 是二面角C-AG-E 的平面角． 【详解】证明：（1）因为BB 1⊥面ABC ，AE ⊂面ABC ，所以AE ⊥BB 1 由AB =AC ，E 为BC 的中点得到AE ⊥BC ∵BC ∩BB 1=B ∴AE ⊥面BB 1C 1C ∴AE ⊥B 1C解：（2）取B 1C 1的中点E 1，连A 1E 1，E 1C ， 则AE ∥A 1E 1，∴∠E 1A 1C 是异面直线AE 与A 1C 所成的角． 设AC =AB =AA 1=2，则由∠BAC =90°，可得A 1E 1=AE A 1C ，E 1C 1=EC =12BC∴E 1C∵在△E1A 1C 中，cos∠E 1A 1C 12所以异面直线AE 与A 1C 所成的角为3π． （3）连接AG ，设P 是AC 的中点，过点P 作PQ ⊥AG 于Q ，连EP ，EQ ，则EP ⊥AC 又∵平面ABC ⊥平面ACC 1A 1 ∴EP ⊥平面ACC 1A 1 而PQ ⊥AG ∴EQ ⊥AG ．∴∠PQE 是二面角C -AG -E 的平面角．由EP =1，AP =1，PQtan∠PQE =PE PQ所以二面角C -AG -E 【点睛】本题是与二面角有关的立体几何综合题，主要考查了异面直线的夹角，线线垂直的判定，二面角等知识点，难度中档，熟练掌握线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角及二面角的定义，是解答本题的关键．21．(Ⅰ) 22142x y +=.(Ⅱ) 2MN ===. 【解析】试题分析：(Ⅰ)将Q 的坐标代入椭圆方程，以及a b c ，，的关系，解方程可得a b ，，进而得到椭圆方程；(Ⅱ)求出直线l 与x y ，轴的交点，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，可得k 的值，运用弦长公式可得弦长MN ． 试题解析：(Ⅰ)椭圆过点)Q，可得22211a b+=，由题意可得c =222a b -=，解得2a b ==，即有椭圆C 的方程为22142x y +=；(Ⅱ)直线l ：()1y k x =-与x 轴交点()10C y ，，轴交点()0D k -，，联立()22241x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消y 得，()2222124240k x k x k +-+-=，①设()()1122M x y N x y ，，，，则2122412k x x k +=+，()()22111CN x y MD x k y =-=---，，，，由CN MD =，得：21224112k x x k +==+，解得2k =±由0k >得2k =代入① 得22230x x --=，1212312x x x x +==-，，可得2MN ===．22．（1）单调增区间为()1,∞+,单调减区间为()0,1；（2）()e -- 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识求解；（2）依据题设运用导数的有关知识进行分析探求. 试题解析：（1）函数的定义域为()0,x ∈+∞,()()()()()()22211111'1x x xe ax x e x e x ax xf x a x x x x +---+-⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭.当0a >时，对于()0,,0x x e ax ∀∈+∞+>恒成立，所以，若()1,'0x f x >>，若()01,'0x f x <<<，所以()f x 的单调增区间为1,，单调减区间为0,1.（2）由条件可知()'0f x =，在1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭上有三个不同的根，即0x e ax +=在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有两个不同的根，且a e ≠-，令()xe g x a x==-，则()()1'xe x g x x-=-，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，()1,2x ∈单调递减，()g x ∴的最大值为()()2111,222g e g g e ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，而22110,22e e a e ⎛⎫--=->∴-<- ⎪⎝⎭.考点：导数与函数的单调性的关系等有关知识的综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式()()ln xe f x a x x x=+-为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数()()ln xe f x a x x x=+-的单调区间,求解时运用求导法则借助的范围及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数()xe g x a x==-,运用求导法则及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出,使得问题获解.。

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。

2023-2024学年高二数学上学期第三次月考卷02（人教A 版2019）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教A 版2019选择性必修第一册全部内容+选择性必修第二册第四章数列（第一章 空间向量与立体几何21%+第二章 直线和圆的方程21%+第三章 圆锥曲线的方程26%+第四章 数列32%）。

5．难度系数：0.65。

第一部分（选择题 共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．等差数列{}()*n a n ÎN 中，274110,2a a a a =-=，则7a =（ ）A ．40B ．30C ．20D ．10【答案】B【详解】设等差数列*{}(N )n a n Î的公差为d ，7412a a a -=，则132d a =，210a =，则1112103a d a a +=+=，解得16a =，4d =，71662430a a d =+=+=．故选：B ．2．经过点()()3,2,4,4A B -的直线在y 轴上的截距是（ ）A ．207B ．207-C ．10D ．-2【答案】A【详解】直线AB 的斜率为242347-=--，所以直线AB 的方程为()22822044,77777y x x y x -=-=-=+，纵截距为207.故选：A3．已知抛物线C ：2y mx =过点(，则抛物线C 的准线方程为（ ）A ．58x =B ．58x =-C ．38y =D ．38y =-【答案】B【详解】由于抛物线C ：2y mx =过点(，所以52m =，52m =，所以抛物线方程为252y x =，54p =，528p =，所以抛物线的准线方程为58x =-.故选：B.4．设,R x y Î，向量(,1,1)a x =-r ，(1,,1)b y =r ，(2,4,2)c =-r ，且a c ^r r ，//b c r r ，则×=rr a b （ ）A ．B ．0C ．1D ．2【答案】B【详解】由a c ^r r ，得2420x a c ×+=+=r r ，解得3x =-，即(3,1,1)a =--r，由//b c r r ，得11242y ==-，解得2y =-，则(1,2,1)b =-r ，所以31(1)(2)110a b ×=-´+-´-+´=rr .故选：B5．已知点P 是圆 22:4210C x y x y +--+=上一点，点(1,5)Q -，则线段PQ 长度的最大值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】C【详解】圆 22:4210C x y x y +--+=，即22(2)(1)4x y -+-=，则圆心(2,1)C ，半径2，由点(1,5)Q -，52=>，即点Q 在圆外，则max 527PQ CQ r =+=+=.故选：C.6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若51012,48S S ==，则20S =（ ）A ．324B ．420C ．480D ．768【答案】C【详解】因为{}n a 为等比数列，且51012,48S S ==，显然{}n a 的公比不为1-，所以510515102015,,,,S S S S S S S ---L 也成等比数列.由20151510105151010553S S S S S S S S S S S ---===--，解得1520156,480S S ==.故选：C.7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若存在空间一点P ，满足1312433DP DA DC DD =+-u uuu r uuu r u uu r uuu r，则点P 到直线BC 的距离为（ ）A ．56B C D 【答案】B【详解】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()11,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0A C D B ，()()()11,0,0,0,1,0,0,0,1DA DC DD ===uuu r uuu r uuuu r ，(1,0,0)CB =uuu r，由1312433DP DA DC DD =+-u uuu r uuu r u uu r uuu r ，得312(,,433DP =-uuu r ，322(,,)433CP DP DC =-=--uuu r uuu r uuu r ，所以点P 到直线BC 的距离d ===故选：B8．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，过焦点F 作圆222x y b +=的一条切线l 交椭圆E 的一个交点为A ，切点为Q ，且2OA OF OQ +=uuu r uuu r uuu r（O 为坐标原点），则椭圆E 的离心率为（ ）A B C D 【答案】A【详解】由题意可知：圆222x y b +=的圆心为点O ，半径为b ，c b >，设椭圆E 的右焦点为2F ，连接2AF ，因为2OA OF OQ +=uuu r uuu r uuu r，可知点Q 为AF 的中点，且点O 为2FF 的中点，则OQ ∥2AF ，222AF OQ b ==，由椭圆定义可知：2222AF a AF a b =-=-，因为Q 为切点，可知OQ AF ^，则2AF AF ^，可得22222AF AF F F +=，即)()2222242244b a b c a b +-==-，解得23a b =，即23b a =，所以椭圆E 的离心率ce a====故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且67789,a a S S S >=>，则下列结论正确的是（ ）A ．80a =B ．0d >C ．7S 与8S 均为n S 的最大值D ．8S 为n S 的最小值【答案】AC【详解】因为78S S =，所以8870a S S =-=，故A 正确；因为{}n a 是等差数列且67a a >，所以公差760d a a =-<，故B 错误；因为89S S >，所以9980a S S =-<，又因为{}n a 是等差数列且0d <，所以7S 与8S 均为n S 的最大值，故C 正确，D 错误.故选：AC.10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，直线y kx =与双曲线交于,A B 两点（点A 在第一象限），且122π3F AF Ð=，若223BF AF =，则下列结论正确的是（ ）A B ．双曲线的渐近线方程为23y x=±C ．23a b=D ．若点P 是双曲线上异于,A B 的任意一点，则94PA PB k k ×=【答案】AD【详解】如图，连接1BF ，由双曲线定义可知，122AF AF a -=，由题意得,A B 关于原点对称，故12AF BF =且12//AF BF ，即四边形12BF AF 为平行四边形，因为22122BF AF AF AF a -=-=，又223BF AF =所以23BF a =，，由122π3F AF Ð=，所以2π3AF B Ð=，由()22212F O F A F B =+uuuu r uuu u r uuu u r ，得()22222222212cos 4F O F A F B F A F B AF B =++×Ð，即有22221113(3)23424c a a a a a éù=++´´´=êúë，所以22134c a =，所以离心率c e a ==A 正确；又2222222914b c a c a a a -==-=，所以32b a =，所以渐近线方程为32y x =±，23b a =，故B 、C 错误，设点()()0011,,,P x y A x y ，因为,A B 是直线y kx =与双曲线的交点，根据对称性可得()11,B x y --，所以2210101022101010PA PBy y y y y y k k x x x x x x ----×=×=----.又点,P A 在双曲线上，代入可得22112222002211x y a b x y a b ì-=ïïíï-=ïî，两式相减可得()()()()1010101022y y y y x x x x b a -+-+=，所以2294PAPBb kk a ×==，故D 正确.故选：AD.11．如图，已知正六棱柱ABCDEF A B C D E F ¢¢¢¢¢¢-的底面边长为2O 的球面上，则下列说法错误的是（ A ．直线DE ¢与直线AF ¢异面B ．若M 是侧棱CC ¢上的动点，则AM MD ¢+C ．直线AF ¢与平面DFE ¢D ．球O 的表面积为18π【答案】AC【详解】对于A ，如图①，连接,AD A D ¢¢，则AD //,A D A D ¢¢¢¢//E F ¢¢，所以AD //E F ¢¢，所以直线DE ¢与直线AF ¢共面，故A 错误；对于B ，将平面ACC A ¢¢沿着CC ¢翻折到与平面CDD C ¢¢共面的位置，得到矩形ADD A ¢¢，如图②所示.因为底面边长为2π2,3ABC Ð=，所以AC =则AM MD ¢+的最小值为AD =¢B 正确；对于C ，以F 为坐标原点，,,FA FD FF ¢所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴，建立如图①所示的空间直角坐标系，则()(()()(2,0,0,,0,0,0,0,,A F F D E ¢¢-，所以(()(,0,,AF FD FE =-=¢¢=-uuuu r uuu r uuur .设平面DFE ¢的法向量为(),,m x y z =r ，则00FD m FE m ì×=ïí×=ïî¢uuu r ruuur r，即0x =ìïí-=ïî，令1z =，得x =DFE ¢的一个法向量为m =r.设直线AF ¢与平面DFE ¢所成角为q ，则sinC 错误；对于D ，如图③，设球O 的半径为R ，根据对称性可知，正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心12O O 的连线的中点处.1122,O C O O ==22222211922R OC O C O O ==+=+=，所以球O 的表面积294π4π18π2S R ==´=，故D 正确.故选：AC.第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中12题第一空2分，第二空3分。

2018—2019学年度通榆一中高二下学期第二次质量检测数 学 试 卷（文科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．22．点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，则它的直角坐标为( )A ．(3，1)B ．(－1，3)C ．(1，3)D ．(－3，－1) 3．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除 4．下面几种推理中是演绎推理的是( )A ．因为y ＝2x 是指数函数，所以函数y ＝2x 经过定点(0，1)B ．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2猜想出椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的面积为πabD ．由平面直角坐标系中圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝r 2 5．曲线的极坐标方程为ρ＝4sin θ，化成直角坐标方程为( ) A ．x 2＋(y ＋2)2＝4 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x －2)2＋y 2＝4D ．(x ＋2)2＋y 2＝46．已知（1－i ）2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝ ( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i7．根据如下样本数据得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( )x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5－0.50.5－2.0－3.0A.a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0 D ．a ＜0，b ＜08．点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R)的对称点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，4π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－7π6 9．根据下面的列联表得到如下四个判断：①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”．项目 嗜酒 不嗜酒 总计 患肝病 700 60 760 未患肝病 200 32 232 总计90092992其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ． 2D ．3 10．下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③ C ．①②④ D ．②④11．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为( )A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C.2ρ(sin θ＋cos θ)＝r D.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r 12．设函数)0(ln 31)(>-=x x x x f ，则)(x f y =（ ）A.在区间)1,1(e ，（1,e)内均有零点B.在区间)1,1(e内有零点，在区间（1,e)内无零点C.在区间)1,1(e 内无零点，在区间（1,e)内有零点D.在区间)1,1(e，（1,e)内均无零点二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(2017·天津卷)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．14．直线x cos α＋y sin α＝0的极坐标方程为__________． 15．已知线性回归直线方程是y ^＝a ^＋b ^x ，如果当x ＝3时，y 的估计值是17，x ＝8时，y 的估计值是22，那么回归直线方程为______． 16．在极坐标系中，若过点A (4,0)的直线l 与曲线ρ2＝4ρcos θ－3有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为__________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2.18．(本小题满分12分) )极坐标方程ρ＝－cos θ与ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1表示的两个图形的位置关系是什么？19．(本小题满分12分) 某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：xyOA BM分类 积极参加班级工作 不太主动参加班级工作 总计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般6 19 25 总计242650(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？并说明理由．P (K 2≥k ) 0.050 0.0100.001k3.841 6.635 10.828K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）20．(本小题满分12分)直线l 与抛物线x y =2交于1122(,),(,)A x y B x y 两点,与x 轴相交于点M , 且121-=y y .(I) 求证:M 点的坐标为)0,1(; (II) 求AOB ∆的面积的最小值.21．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．22．(本小题满分12分) 已知函数21()()2x f x e x ax a =-+∈R . (I)当1a >-时，试判断函数()f x 的单调性；(II)若1a e <-，求证：函数()f x 在[1,)+∞上的最小值小于12.1A 2C 3B 4A 5B 6D 7B 8A 9C 10C 11 D 12C二 、填空题 （每题5分，共20分）13． -2 14．θ＝π2＋α 15.y ^＝x ＋14 16．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 17.（10分）解：因为z ＝1＋i ，所以az ＋2b z －＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ， 因为a ，b 都是实数，所以⎩⎨⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2），解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－1，或⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝2.所以a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.18.（12分）解：ρ＝－cos θ可变为ρ2＝－ρcos θ，化为普通方程为x 2＋y 2＝－x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14，它表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，半径为12的圆． 将ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1化为普通方程为x －3y －2＝0.∵圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0到直线的距离为|－12－2|1＋3＝54＞1，∴直线与圆相离．19. （12分）解：(1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人， 所以抽到积极参加班级工作的学生的概率P 1＝2450＝1225，不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人， 所以抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生概率P 2＝1950.(2)由列联表知，K 2的观测值 k ＝50×（18×19－6×7）225×25×24×26≈11.538，由11.538＞10.828.所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．20.（12分）解：(I)设M 点的坐标为)0,(0x , 直线l 方程为0x my x +=,代入x y =2得002=--x my y ① 21,y y 是此方程的两根， ∴1210=-=y y x ,即M 点的坐标为(1, 0).(II)由方程①,m y y =+21,121-=y y ,且 1||0==x OM , 于是=-=∆||||2121y y OM S AOB 212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1, ∴当0=m 时,AOB ∆的面积取最小值1.1212121=⋅=∆PF PF S DF F 21.（12分）解：(1)由题意知n ＝10，x －＝110i＝8010＝8，＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．22. （12分）解：(I)由题可得()xf x e x a '=-+， 设()()xg x f x e x a '==-+，则()1x g x e '=-， 所以当0x >时()0g x '>，()f x '在()0,+∞上单调递增，当0x <时()0g x '<，()f x '在(),0-∞上单调递减，所以()()01f x f a ''≥=+，因为1a>-，所以10a +>，即()0f x '>，所以函数()f x 在R 上单调递増.………………6分(II)由(I)知()f x '在[)1,+∞上单调递増，因为 1a e <-， 所以()1 10f e a '=-+<，所以存在()1,t ∈+∞，使得()0f t '=，即0te t a -+=，即ta t e =-，所以函数()f x 在[)1,t 上单调递减，在(),t +∞上单调递増， 所以当[)1,x ∈+∞时()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+，令()()2111,2xh x e x x x =-+>，则()1()0xx x h e =-<'恒成立，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()21111122h x e <-+⨯=，所以()211122te t t -+<，即当[)1,x ∈+∞时()min12f x <， 故函数()f x 在[)1,+∞上的最小值小于12. (12)分。