断裂力学讲义第三章:-弹性力学的平面问题Word版
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第3章 弹性力学的平面问题
任何弹性力学问题都是空间问题,但是在某些条件下,它们可以简化为平面问题。 在平面问题中,我们以x,y,z 表示直角坐标系的三个坐标,以u,v,w 表示相应的位移分量,而以xx σ、yy σ…和xx ε、yy ε…分别表示相应的应力分量和应变分量。
§3.1 平衡方程与变形协调方程
在平面问题里,所有位移量都只是x , y 的函数,与z 无关,因而所有应变和应力分量也都只是x , y 的函数,与z 无关。平衡方程(2.40)可简化为
⎪⎪
⎭
⎪
⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y yy
xy x xy
xx f y x f y x σσσσ (3.1)
变形协调方程(2.63)只余下
y
x x y xy yy
xx ∂∂ε∂∂ε∂∂ε∂22
2
222=+ (3.2) §3.2平面应力与平面应变
3.2.1平面应力问题
平面应力问题是指: 发生在物体某一方向(z 方向)的尺寸远小于其余两个方向尺寸的物体中,即物体是一个很薄的平板,此外还要求板的厚度均匀,所有外力都作用在板的中面内,或者所有外力都作用在与中面平行的平面内,且载荷对中面对称。根据这些前提条件,在物体的两个端面(上下底面)上,进而整个物体内,=zz σ0, 其它应力分量中0==zy zx σσ。
平面应力的应变分量, 根据虎克定律(2.95)式,有0==zx yz εε,
)(yy xx zz E
σσν
ε+-= (3.3)
利用(2.95)式,虎克定律可以写成
⎪
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎪⎬⎫+==-=-=
xy xy xy xx yy yy yy xx xx E E E σνσμενσσενσσε121)(1)(1
(3.4)
3.2.2平面应变问题
平面应变问题是指:在弹性体沿某一方向(z 方向)的尺度远大于其余两个方向的尺度,而且物体形状及载荷沿z 方向不变的情况下,在任一远离端部且与xoy 平行的平面内,物体的变形都是相同的。此外,由于z 方向尺度极大,不能产生z 方向的位移,即0=w ,因此,物体内的变形只发生在与xoy 平行的平面内。这类弹性力学问题称之为平面应变问题。由应变与位移的关系直接得出0=zz ε,其它应变分量中,0
==zx yz εε
平面应变的应力分量,根据虎克定律(3.15)式,有0==zx yz σσ
)(yy xx zz σσνσ+= (3.5)
利用(2.95)式,虎克定律可以写成
⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪
⎬⎫+==---=---=xy
xy xy xx yy yy yy xx xx E E E σνσμεσννσνεσνν
σνε121)1(1)1(122 (3.6)
3.2.3 虎克定律的统一形式
引入符号:
⎩
⎨
⎧-=)( )( )1/('2平面应力平面应变E E E ν, ⎩⎨⎧-=)( )
( )1/('平面应力平面应变νννν (3.7) 代入(3.4)和(3.6)式,虎克定律可以统一写成
⎪
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎪
⎬⎫+==-=-=xy xy xy xx yy yy yy xx xx E E E σνσμεσνσεσνσε''121)'('1)'('1
(3.8)
以应力表示的变形协调方程为:
y
x x x x y xy xx
yy yy xx ∂∂∂+=∂∂-∂∂+∂∂-∂∂σνσνσσνσ222222222)'1(2'' (3.9) 也可改写为:
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+-=+∇y f x f y x yy xx )'1()(2νσσ (3.10)
其中⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂=∇22222
y x 为二维直角坐标系中的拉普拉斯算符。
由(3.7)还可以得到一个常用的关系式:
μν2'
'
1=+E (3.11) 在后面我们还经常用到一个材料常数κ, 它的定义是
⎩
⎨⎧+--=)( )1/()3()( 43平面应力平面应变νννκ (3.12)
利用弹性常数之间的关系式(2.97),还可以得到常用的关系式
'421E μκ=+, '
'
1221E νμκ-⋅
=- (3.13) §3.3 Airy 应力函数
应力函数有许多种。本节只介绍平面问题中常用的Airy 应力函数。
在(3.10)中引入体力的势函数V ,满足
x
V
f x ∂∂-
=, y V f y ∂∂-= (3.14)
和Airy 函数),(y x U 使
V y U xx +∂∂=22σ, V x
U
yy +∂∂=22σ y x U xy ∂∂∂-=2τ (3.15)
则平衡方程自动满足,代入协调方程,得到
()V U U 2422'1)(∇--=∇=∇∇ν (3.16)
式中
44
224442
2
4
2)(y
y x x ∂∂+∂∂∂+∂∂=∇∇=∇ (3.17)
当体力势为零时, U 满足双调和方程
04=∇U (3.18)
应力分量与Airy 函数的关系成为
22y U xx ∂∂=σ, 22x
U
yy ∂∂=σ y x U xy ∂∂∂-=2τ (3.19)
Airy 函数可以取多种形式,例如多项式、三角函数等。这里只介绍一些矩形的平面问题,并取应力函数为多项式的形式。
由(3.18)可知,U 必须是二次以上的多项式。因为一次多项式只能使应力为零。在以下例子中,我们都假定0=V 。
表3.3.1列出了取二次和三次多项式中的一项为应力函数时的应力分布。各应力函数相应的矩形板的边界条件如表3.3.1第4列显示。
应力函数U
应 力 矩形板的边界条件
1
22
1ax 00===xy yy xx a τσσ
2
22
1cy 0
0===xy yy xx c τσσ
3
y bx ⋅
b xy yy xx -===τσσ00
4
y x e ⋅2
2
ex ey xy yy xx -===τσσ0
5
3
6
y g 0
0===xy yy xx gy τσσ
当U 才