高考数学中的染色问题的解题策略
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辱：ｆ敖 汇 ２００８．０８ （上旬刊）
高考数学中的染色问题的解题策略
口黄军华 （太湖县牛镇高中 安徽・太湖２４６４７０） 摘要文章从高中数学中的分类讨论思想和构造转化思想入手，探讨了高考数学中的热点题材——染色问 题的基本解题策略。 关键词数学分类讨论构造思想 染色思想 中圈分类号：Ｇ６３２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２—７８９４（２００８）一０８—１０９—０２ 近几年来，数学高考以能力立意来命题，每年都出现一批立意 独特、情景新颖脱俗的有关染色问题的试题。染色问题常以生活实 际为背景，其背景公平，突出了数学思维能力和学习潜能的考查， 是高考的热点素材之一，但是学生解答并不理想，症结在哪里呢？ ①对问题的背景不熟悉，染色问题情景生动有趣，虽然源于生 活实际，但学生的阅历浅，从未见过，更无具体模式可套，因此倍觉 破题困难； ②不能正确地选好分类标准和优化分类顺序； ③不能正确地将染色问题模型化、构造转化为熟悉的数学问 题。 针对染色问题的特点和学生解答染色问题时存在的问题，下 面本文将从两方面人手谈谈染色问题的常用解题策略。 １．选好分类标准，优化分类顺序的策略 分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题所给对象不能 进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，将整体问题划分 为局部问题，把复杂问题转化为单一问题，然后分而治之、各个击 破，最后综合各类的结果得到整个问题的解答。因此，采用分类策 略解答染色问题时，我们可以从三个方 面人手考虑： １．１从确定染色顺序入手 根据染色问题的要求，先确定好区 域的染色顺序，对各个区域分步染色， 再由乘法原理计算出染色的种数，是处 理这类问题最基本的方法。 Ｂ Ａ ｒ 。 Ｅ 图１ 剜ｌ如图（１）所示，用五种不同的颜色分别为Ａ、Ｂ、ｃ、Ｄ、Ｅ五 部分染色，相邻区域不能用同一种颜色，但同一种颜色可以反复 使用，也可不使用，求符合这种要求的不同染色方法的种数。 分析：按照分步计数原理，先为Ａ染色共有５种， 再为Ｂ染色有４种（不能与Ａ同色），接着为Ｃ染色有３种 （不与Ａ、Ｂ同色），同理依次为Ｄ、Ｅ染色各有３种，所以不同染色 方法的种数为５×４×３３＝５４０（种） １．２从使用颜色的种类入手 按照染色问题中的题设要求，从使用了多少种颜色分类讨论 人手，分别计算出各种情形的种类，再用分类计数原理求出不同的 染色方法的种数。 例２（２００７年天津市理科高考题） 如图（２）所示，用６种不同的颜色给图中的四个格子染色，每个 格子涂一种颜色，要求最多使用３种颜色且相邻的两个格子颜色 不同，则不同的染色方法的种数共有多少种？ 解析：要给图中的四个区域染色，可用２种或３种颜色完成染 色任务，故需分成两类： （１）用２种颜色染色，必 有Ａ与ｃ，Ｂ与Ｄ同色，故不 同 的染色方法有Ｃ ３０种； 图２ （２）用３种颜色对四个区域染色，必有一对不相邻区域要涂成 同种颜色，此时必有Ａ与ｃ或Ａ与Ｄ或Ｂ与Ｄ中之～同色，所以 不同的染色方法总数为Ｃ ．３６０种； 综上可知，不同的染色方法共有３９０种。 １．３从相对区域是否同色入手 从某两个不相邻区域同色与不同色人手，分别计算出两种情形 的种数，再用分类计数原理求出不同的染色方法的种类。 例３如图（３）所示，一个地区分为５个行政区域，现给地图染色， 要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有４种颜色可供选择，那么 不同的染色方法共有多少种？ 分析：要涂５个行政区域，可用３种颜色，也可用４种颜色，故 需分成两类，由于颜色数少于区域数，那么不相邻的区域可能要涂 成同色，因此要先对不相邻区域３、５或２，４染色，再染余下的，故需 分步完成。 解析：先分类讨论，再分步染色。 （１）若区域３与５同色有Ｃ 种染色方法，区域２、ｌ、４不同色 共有Ａ 种方法，共有 ２４（种）； 同理，区域２和４同色，区域３、１、５不同色，共有Ｃ －２４ （种） （２）若区域３与５同色有ＣＪ４种染色方法，区域２和４也同色 有 种染色方法，则区域１可在余下的两种颜色中任选～种有 。种选法，此时染色方法有Ｃ１４ＣＪ３ＣＪ２＝２４（种） 综上可知，不同染色方法共有７２种。 ２．构图转化的策略 构造思想的实质是根据已知条件的特征，创造一个新的数学对 象，从而实现问题的转化，显然它对培养学生创新意识和创新能力 有重要的作用。对某些染色问题，倘若充分地挖掘题设与结论的内 在联系，把染色问题与某个熟知的公式、图形联系起来，并恰当地构 造数列模型，就可得到富有新意的独特解法。 如图６，用ｋ种颜色对ｎ个扇形区域染色，要求相邻扇形区域 的颜色不同的染色问题，可令％表示对ｎ块区域染色方法的种数， 按区域的顺序研究区域ｉ（ｉ＝１，２，３，…，ｎ）的染色方法，区域１有ｋ 种染色方法，其它区域各有 一１种染色方法，故共有ｋ● 一Ｊ 种方 法，但这样的涂法只能保证区域ｉ与区域ｉ一１（ｉ＝２，３，…，ｎ）不同 色，但不能保证区域１与区域ｎ不同颜色。于是ｋ● 一Ｊ 种染色 （下转第１１１页）
１０９ 维普资讯 http://www.cqvip.com 数又汇 ２００８．０８ （上旬刊）
当０＝。Ｅｌ＂时，求也。 进～步拓展思考 ｐ 与０之间的联系。图２中 争＝ ＝
＝詈 为 ｐ。功，即ｂｔａｎＯ＝ ｍ日①，当ｅ的终边落在轴上时（Ｐ 的终边也在轴上，显然也符合①式。 这个教学设计学生对离心角０的出现不会觉得太过突兀，并且 在整个教学过程，学生始终处于一种创新探索的状态，化被动解题 为主动探求。并在０的寻求过程中人学生对参数的“桥梁”作用有 着更直接和深刻的认识。这个设计能更好激发学生学习的主动性 和积极性。但在教学实践中我发现学生对两个同心圆的联想存在 较大的困难，如何能让学生自然地联想到两个同心圆呢？ 在引入中加入圆的参数方程复习 引例：写出ｘ％／＝ｒｅ及 一妒＋ ６ ｒ２的参数方程。 变式１．判断Ａ ｏｓＯ，５ｓｉｎＯ），Ｂ ｏｓＯ，３）￣位置关系。 变式２写出于Ａ（５ｃｏｓＯ，５ｓｉｎＯ）纵坐标相等的点。 变式３．判断（ＤＡ（５ｃｏｓ０，３ｓｉｎＯ）与Ｂ（５ｃｏｓＯ，５ｓｉｎＯ）的位置关系。 Ａ（５ｃｏｓＯ，３ｓｉｎＯ）与Ｃ（３ｃｏｓＯ，３ｓｉｎＯ）的位置关系。 ②日从０ｏ到３６０ｏ变化时，Ａ、Ｂ、ｃ运动的轨迹分别是什么？ 这个引入不但可以让学生能更自然地联想到辅助图，并且对 参数方程的应用在思维上可以更上一个高度。
（上接第１０９页） 哆 哆 通过修改，方案Ｂ在培养学生逆向思维的同时，也告诉他们该如 何去思维：当学习遇到困难时，联想学习过的类似的知识，挖掘知识 之间的联系，借助已有的知识去更新新的知识，解决新的问题。这样 才能真正意义上做的自主学习，主动探究。创新能力也正是从旧的知 识向新知识迁移的过程中逐步培养出来的。 设计方案反思： 该设计方案突出的并不是椭圆参数方程的应用，因为在圆的参 数方程以及不等式的三角代换学生对于参数方程的应用比较熟练并 不存在太大的问题。椭圆的参数方程与圆的参数方程异曲而同工，引 导学生观察挖掘两者的联系和区别，借助圆的参数方程解决椭圆的 问题即可以很好地激发学生的热情也能让学生主动去寻找知识之间 的联系，利用这种联系去突破学习中的问题这是我们一直希望培养 的重要的学习能力。 对于同一个课题探讨不同教学方式正逐步在教育届形成一种潮 流。“同课研究”的模式一方面能促进教师素质的提高，另～方面对 某个课题的深入挖掘， 采取更科学有效的教学方式起到了积极作 用。相信通过不断地钻研思考，实践多种教学方式一定能使我的课堂 更加精彩。
参考文献： 弓爱芳，夏婧．新课程理念下对合睛推理的再认识田．中学教学研究．２００６（２）．
方法中包含了两类，一类是区域１与区域ｎ不同色的％种符合要 求的染色方法，另～类是区域ｎ与区域１同色的不符合要求的染色 方法，这时可以把区域ｎ与区域１看成一部分，这样的染色方法相 当于ｎ～１部分符合要求的染色方法即ａｎ＿ 种染色方法，根据分类 计数原理，则有： 时Ⅱ ： ●ｆｋ—ｉ 然后，依据上述数列的递推关系式求出数列的通项公式即可 例４一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪 和绿色灌木，周围的圆环部分分为ｎ（ｎ＞１３，ｎ Ｎ）等份，种植红、黄、 蓝三种不同的花，要求相邻部分种植不同颜色的花。 （１）如图（４），圆环分成三等份有多少种不同的种植方法？如 图５圆环分成四等份又有多少种种植方法？ （２）如图（６），若圆环分成ｎ等份，又有多少种不同的种植方 法？ （２）如图６，圆环分成几等份，有多少种不同的种植方法？
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圈４ 圈５ 圈６ 解：（１）由ａ￣＋ａ４＝３・２ 知：ａ４＝１８ （２）设不同的种植方法总数为％种，依据上述分析，则有 ・％＋・ｇ， Ｊ＝３・２ ≥３Ｊ 设ａ．＋ｘ２．－ｌ＝一（ｑＩ＿Ｊ ２ ） 贝４有ａｎ＝一ａｎ 一３－２ｎ－ｉ 比较系数，得： 一１ 故％一２ 一（％－』—２ ）， 从而｛ｑｒ２ ｆ是首项为妒２ 一２，公比ｑ＝一１的等比数列 ．’．甜一２ ～２‘ｆ＿１） ． ．ｑｌ＝２ 一２－（一１） （ ／＞３） 因此，符合要求的种植方法有２ 一２－ｆ－１） （ ≥３）种 例：（２００７年天津市文科高考题） 如图（２）所示，用６种不同的颜色给图中的四个格子染色，每个 格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的 颜色也不同，则不同的染色方法的种数共有多少种？ 分析：由于题设中要求两端的格子的颜色也不同，因而本题的 实质是用６种颜色给下图（７）中４个区域染色且相邻区域不同色 的染色问题。 解：设％表示用６种颜色对ｎ块区域染色 方法种数，则有： ％＋ ６・５ 由题意知： １２０ ａ４＋ａ￣＝６・５３＝７５０ 故ａ４＝６３０ ．、
２／／ 图７ 因此，不同的染色方法的种数共有６３０种。 ３．结束谙 概括地说，解答染色问题这种类型的创新试题，入口较宽，解题 自由度大，求解时联想、迁移的空间较大，可反映学生理解能力的高 低，独立分析，解决问题能力的强弱。既考查了能力，又为中学数学 注入了活力；同时，也可看出中学数学教学中，教师是以培养能力为 核心还是以知识为主的问题。随着课改的不断深入，学生的能力必 将有较大的提高。 １１】
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