高中数学 《一元二次不等式》教案(1)
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一元二次不等式
教学目标：
通过由图象找解集的方法提高学生逻辑思维能力，渗透数形结合思想，提高运算(变形)能力，渗透由具体到抽象思想.
教学重点：
一元二次不等式解法
教学难点：
一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系.
数形结合思想渗透.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
1.｜x｜＞a及｜x｜＜a(a＞0)型不等式解法.
2.｜ax＋b｜＜c及｜ax＋b｜＞c（c＞0）解的结果.
3.绝对值符号去掉的依据是什么?
Ⅱ.讲授新课
1.“三个一次”关系
在初中我们学习了一元一次方程、一元一次不等式与一次函数.它们之间具有什么关系呢?
我们共同来看下面问题：
y＝2x－7 其部分对应值表
x 2 2.5 3 3.5 4 4.5
5
y －3 －2 －1 0 1
2
3
图象：
填表：
当x＝3.5时，y＝0，即2x－7＝0
当x＜3.5时，y＜0，得2x－7＜0
当x＞3.5时，y＞0，得2x－7＞0
注：(1)引导学生由图象得结论.(数形结合)，(2)由学生填空.
从上例的特殊情形，可得到什么样的一般结论？
教师引导下让学生发现其结论.
一般地，设直线y＝ax＋b与x轴的交点是(x0，0)就有如下结果.
一元一次方程 ax＋b＝0的解集是{x｜x＝x0}
一元一次不等式ax＋b＞0（＜0)解集
(1)当a＞0时，一元一次不等式
ax＋b＞0的解集是{x｜x＞x0}，一元
一次不等式ax＋b＜0的解集是
{x｜x＜x0}.
(2)当a＜0时，一元一次不等式 ax＋b＞0的解集是{x｜x＜x0}；一元
一次不等式ax＋b＜0的解集是{x｜x＞x0}.
2.“三个二次”的关系
一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间关系.
从下面特例寻求“三个二次”关系.
举例：y＝x2－x－6，对应值表
x －3 －2 －1 0 1 2 3
4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0
6
图象：
方程x2－x－6＝0的解x＝－2或x＝3
不等式x2－x－6＞0的解集{x｜x＜－2或x＞3}
不等式x2－x－6＜0的解集{x｜－2＜x＜3}
结合函数的对应值表，可以确定函数的图象，与x轴交点的
坐标，进而确定对应的一元二次方程x2－x－6＝0的根.
要确定一元二次不等式x2－x－6＞0与x2－x－6＜0的解集，那么就要在一元二次方程根的基础上结合图象完成.
我们仿“三个一次”关系，y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴相关位置，情形如下：
y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴相关位置，分三种情况：
以上三种情况，从图象我们可以发现其与Δ有关.
由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac的三种情况(Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0）来确定.
师引导学生发现：
要分三种情况讨论，以寻
求对应的一元二次不等式
ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c＜0
的解集.
请同学们思考，若a＜0，则一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0及ax2＋bx＋c＜0其解集如何，课后仿上表给出结果.
3.例题解析
［例1］解不等式2x2－3x－2＞0
解析：由“三个二次”关系，相应得到所求解集.
解：由2x2－3x－2＝0知Δ＝9＋16＞0，a＝2＞0
2x2－3x－2＝0的解集为{x｜x1＝－12 或x2＝2}
∴2x2－3x－2＞0的解集为{x｜x＜－12 或x＞2}
由例1解题过程可知，问题要顺利求解，应先考虑对应方程的判别式及二次项系数是否大于零，然后按照不等式解集情况求得原不等式的解集.
［例2］解不等式－3x2＋6x＞2.
解析：通过观察－3x2＋6x＞2与表格中不等式形式比较可发现，它们不同地方在于二次项系数.
故首先将其变形为二次项系数大于零情形，转化为熟知类型，然后求解.
解：原不等式－3x2＋6x＞2变形为3x2－6x＋2＜0
3x2－6x＋2＝0对应的Δ＝36－24＞0，3＞0
方程 3x2－6x＋2＝0解得：x1＝1－33，x2＝1＋33
所以原不等式的解集是{x｜1－33＜x＜1＋33}
［例3］解不等式4x2－4x＋1＞0
解析：因4＞0解法同例1
解：因4x2－4x＋1＝0对应的Δ＝16－16＝0
则方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝12
所以，原不等式的解集是{x｜x≠12 }
［例4］解不等式－x2＋2x－3＞0.
解：将原不等式变形为：x2－2x＋3＜0
因x2－2x＋3＝0对应Δ＝4－12＜0
故x2－2x＋3＝0无实数解，即其解集为
那么原不等式解集是
上述几例每一例都有各自特点，反映在两个方面：一是二次项系数，二是判别式Δ对于二次项系数不大于零的要化成大于零的式子，然后求解.
[例5]若不等式x2－8x＋20mx2－mx－1 ＜0对一切x恒成立，求实数m的范围. 解析：合理等价变形，正确分类是解决问题关键.
解：由题x2－8x＋20＝（x－4）2＋4＞0
则原不等式等价于 mx2－mx－1＜0成立
那么，①当m＝0时，－1＜0不等式成立；
②当m≠0时，要使不等式成立，应有
m＜0Δ＝m2＋4m＜0 ，解之得：－4＜m＜0
由①②可知，－4＜m≤0
[例6]设不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x｜α＜x＜β}(0＜α＜β}，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.
解：由题a＜0α＋β＝－ba
α·β＝ca 得：c＜01α ＋1β ＝－bc
1α ·1β ＝ac
故cx2＋bx＋a＜0的解集是{x｜x＜1β }∪{x｜x＞1α }
Ⅲ.课堂练习
课本P71练习 1～4
Ⅳ.课时小结
一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系，给出了解一元二次不等式的方法.即解一元二次不等式的步骤：先把二次项系数化成正数，再解对应的一元二次方程，最后，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集.
Ⅴ.课后作业
课本：P73习题 1，2，3
