初三数学奥赛 代数最值问题

关于代数式的最值

求代数式的最大值及最小值是初中考试中经常出现的题目，它的解法灵活多样，不可一概而论，下面就初中阶段较常见的解法举例说明，以便同学们复习参考。

一、 配方法

例1. 设a、b为实数，那么aabbab222的最小值是___________。

解：aabbab222

ababb2212()

()()abb12341122

因为()ab1202，34102()b

所以当ab120且b10

即a0且b1时，式子aabbab222的值最小，最小值为－1。

二、 计算法

例2. 已知：ab221，bc222，ca222，则abbcca的最小值为（ ）

A. 312 B. 123

C. 123 D. 123

解：由abbcca222222122 解得abc222262

因为abbccaabcabc()()22222

()abc2522

所以只要||abc最小，abbcca就最小，通过计算当ab2222，，c62；或abc222262，，时||abc最小，最小值为262

所以abbcca的最小值为

()262522212645221232

故选B

注：也可把a、b、c的值直接代入abbcca通过计算并比较，从而求出其最小值。

三、 消元法

例3. 已知：xy2221，则252xy的最大值是___________，最小值是_________。

解：由xy2221得yx2212

所以1202x

所以11x 所以25251222xyxx

522522xx

522529102()x

所以当x25时，252xy的最大值为2910；当x1时，252xy的最小值为－2。

2 中等数学

叙#活幼镙程鉼雇

初中数学竟赛中的组合最值仰题解法举例

钟志强

(四川省绵阳外国语学校，621000)中图分类号:〇157 文献标识码：A 文章编号：1005 - 6416(2020)06 - 0002 - 05

(本讲适合初中）

组合最值问题是指变量随组合结构的安

排方式不同而变化，适当安排这些对象可以

使某些结构取得最大值或最小值.这类问题

往往以整数、点、线、三角形、圆、集合等离散

对象为背景，与代数最值和几何最值（连

续变量最值问题）在思考方式上有很大的

不同.

组合最值问题处理三部曲：估计、证明、

构造，有时证明和构造可以合二为一.

(1 )估计:对变量的取值做出猜想估计，

猜想出最值的大概范围，估计出最大值或最

小值；(2) 证明；

(3) 构造:找到一种具体的安排方式，以

说明前面估计的最大值或最小值是能够达

到的.

即先找“界”（估计可能的最值），再通过

证明或构造说明等号能成立.

先举例说明解决该类问题的三个步骤.

例1已知〜<*2〈…<%7,且均为正整 数，h +a;2 +…+ ：«7 = 158.求〜+a：2 +巧的最

大值.解估计A +心+ 6的最大值为60.

先证明：尤1 +巧+ %矣60.

假设h +*2 +*3多61.则

(«3 ~2)+ (x3 -1) + A：3 +X2 +X3 ^61

收稿日期:2020 - 05 - 06=> x3 ^22

=> x4 +x5 +x6 +x7

+1 + + 2 + 3 +4

= 4x3 + l〇5：4 x 22 + 10 =98

=> X{ + x2 + ''• + X-J=(a：! + x2 +^c3)+ (a:4 +ac5 + x6 +x-j)

彡61 +98 =159，

与已知等式矛盾.故〜备60，即々+ + ；t3的最大

值为60.

再构造说明60可以取到.

取丨1 = 19，丨2 = 20，丨3 = 21 ,丨4 = 22，

丨5 =23，丨6 =24，尤7 =29.

则;^ + ；*2 + 巧=60.

到底是只需构造一例还是需严格证明，

要看题目的描述.若题目要求是存在性的，则

构造一例即可;若题目要求是任意性的，则需

严格的证明，也需构造.

组合最值问题，在初中阶段大体有如下

一些处理方法，下面举例说明.

1构造抽屉

例2记正整数m的各位数字之和为

S(m)，比如 S(2 017) = 2 +0 +1 + 7 = 10•现

从1，2,…，2 017这2 017个正整数中任意取

出n个不同的数，都能在这n个数中找到八

个不同的数％，a2，…，a8，使得

…= S(a8)

.2020年第6期3

则正整数n的最小值是（ ）.[U(A)185 (B)187 (C)189 (D)191

(2017,全国初中数学联赛四川赛区决

赛）解注意到，1,2,…，2 017这2 017个

正整数中，数字之和的最小值为1，最大值为 28.

易知，数字之和为1的有1、1〇、1〇〇、 1 _这四个数;数字之和为2,3,…，26的数

的个数均不少于八个;数字之和为27的仅有

999、1 899、1 989、1 998这四个数;数字之和

为28的仅有1 999这一个数.

故数字之和为2,3,…，26的各取七个，

其余数字之和的数全取，不满足条件.从而，ra彡4 + 7 x 25 + 4 + 1 +1 =185.

又由抽屉原理，知n = 185时，符合条件.

因此，正整数n的最小值是185，选(A).

2逐步调整

例3已知n个正整数〜，〜…八满足

〜+*2 +…+ ；»：„ = 2 020•求这re个正整数乘

积•••；»：„的最大值.

(根据2008年全国初中数学竞赛天津初

赛题改编）解设的最大值为M.

由题意，知M中的每一个1(七>1)(/ =

1，2,…，n),若其中有乂 5=4,可将;k;分成\ -

2和2两个数，考虑其乘积，有

(x{ - 2)x2 =xi + (xt -4)

于是，所有这样不小于4的正整数七

分成^-2和2两个数后，其和不变，但乘积

变大.从而，在M中不可能出现不小于4的正

整数.故乂 =2或3•这表明，M可写成2P x 39

的形式.又因为2+2+2=3 +3,但23 <32,艮P在

乘积中用两个3替代三个2,乘积更大，所以，/>矣2.又 2 020 =3 x672 +2 +2,贝IJ 心…、的

最大值为22x3672.

3极端原理

例4 (1)在4x4的方格表中，先把部

分格染成红色，然后划去2行和2列.若无论

怎么划，都至少有一个红色的小格没有被划

去，则至少要染多少个小格?证明你的结论.

(2)若把（1)中的“4 x4的方格表”改成

“ra xra(/i多5)的方格表”，其他条件不变，贝！J

至少要染多少个小格?证明你的结论.[2]

解设染m个红格.

(1)当m矣4时，一定能全划去.

当m=5时，由抽屉原理，知必有一行至

少有两个红格，则先划去这一行，剩下的红格

至多有三个，能被全划去.

当m =6时，由抽屉原理，知必有一行至

少有三个红格或至少有两行恰各有两个红

格.若有一行至少有三个红格，则先划去这一

行，剩下的红格至多有三个，必然能被全划

去;若至少有两行恰各有两个红格，则先划

去这两行，则剩下只有两个红格，也必能被全

划去.

当m =7时，如图1的染法符合条件.

故至少要染七个红格.

图1 图2(2)当m专4时，一定能被全划去，当

/I = 5时，构造如图2的染法符合条件.

故至少要染五个红格.4中等数学

4分类讨论

例5图3是由圆组成的一个五环，请

将数字1，2,…，9填入五环中的9个空白处， 使得每一个圆中所填的数的和都相等•求这

个相等的和的最大值和最小值.[3]

解设图3中的数字和为则 5S = (a + b)+(b+c + d) +

(d + e +f) + (f+g +h) + (h +i)

= (a+b+c + d + e +f + g + h + i) +

(b+d+f+h)

=(1 +2 + •■■ +9)+ (b +d +f +h)

=45 + (b + d +f + h).

于是，6+d+/+/i能被5整除.

而6+(/+/+/i的最大值为6 +7 +8 +9

=30,最小值为 1 +2 +3 +4 =10,故 6 +/ + /i

的值可能为1〇、15、20、25、30.(\)^ b+d+f+h =30 0t,S = 15,gp

b + d +f + h =6 +1 + 8 + 9,

此时，包括9的圆环至少有一个圆环内数字

和超过15,故S = 15不合题意.

(2)当 6+(/+/+& =25 时，S = 14,此时， b+d+f+h=S+l+ 6+ 4

=9+ 7+ 5+ 4= 9+ 7+ 6+ 3

=9 +8 +6 +2,

如图4,存在一种填法，使得

b + d +f +h =9 +1 + 6+3.故S的最大值为14.

(3)当6+4+/ + /1=1+2+3+4 = 10时，

S = 11，此时，存在一种填法如图5.

5不等式控制

例6如图6,将1，2,…，10这十个数分

别填入图6的十个圆圈内，

使任意连续相邻的五个圆

圈内的数的和均不大于某

一个整数M.求M的最小

值并完成你的填图.[4] 图6

解设满足已知条件的数依次为：％，

a2，”.，ai。.则ax + a2 + a3 + a4 + a5

0,2 + ^3 + ^4 ^5 + ^ Af ,

炫10 +汉1 +炫2 ++炫4故 5 ( + a2 + …+ 〇丨。）< 10M

5 xlO xll 2^10M

=> M^27. 5.

而M为整数，于是，A/的最小值为28.

将1，2,…，10分成如

下的两组：10,7,6,3,2；

9,8,5,4，1，

依次填入图中即得图7.

例7已知n个正整数a，a2，…，

足:1 < a, < a2…< an < 2 009，且其中任意

n - 1个数的算术平均数均为正整数.求/I的

最大值.2020年第6期5

解设〇i，a2，…，an中去掉a;后的Ti-l

个数的算术平均数为6,.(i = 1，2，…，》)，即, (a, +a2 + +an)-aibi =-------------—-j-----------------.n — l

于是，对1 均有

从而，（n _ 1)丨（a; - a;).

由\ - \ ^为正整数，知n - l Ti-l

(n-l) I23 x251.

由 an - %

=(Hi)+(an-i -2)+…+ (〇2-A )^(n-l)+(ra-l) + ,*> + (/i-l)

=(n - l)2，

得（n-l)2<2 008.

于是，矣45.

又（n-l) I23 x251，从而，n矣9.

下面构造说明n = 9可以取到.

^a, = 8x0 + 1, a2 = 8x1 +1,

a8=8x7 + I，a9=8x251 +1，

这9个数满足题设要求.

综上，n的最大值为9.

6正难则反（反面或反证）

例8从1，2,…，2 004中任选A：个数，

使得所选的A个数中一定可以找到能构成

三角形边长的三个数（这里要求三角形三边 长互不相等）.则满足条件的A的最小值为

解原问题等价于“在1，2,…，2 004中

选左-1个数，使其中任意三个数都不能成为

三边互不相等的一个三角形三边的长•求灸

的最大值.”为使&达到最大，可选加人之数

等于已得数组中最大的两数之和，这样得： 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,

377,610,987,1 597, ①共16个数.对符合上述条件的任意数组，

a2，…，，显然总有不小于①中的第t•个

数.故

解得bl7.

因此A的最小值为17.

例9在一串数％，％，…，〇„中，任何连

续五项之和均为负数，而任何连续九项之和

均为正数.试问力的最大值是多少？并证明

你的结论.[5](2〇15,全国初中数学邀请赛）

解当有13项时，按如下方式排列：

al，a2，…，a9 ;

赘• • •赘 fl10 5

a3，a4，…，all ;

a4，a5，…，fl12 ;

a5，a6，…，fl13.考虑计算该表中所有数的和M

由已知，其中每行数之和为正，从而，M>0.

又数表中每一列之和为负，从而，M <0.

矛盾.

这表明，满足要求的数串至多有12项.

再构造如下一串数：-4, -4, -4,15, -4, -4, -4, -4,15,

-4, -4, -4.

验证知这12项满足题目要求.

故满足题目要求的《的最大值为12.

练习题

1.已知正整数/I满足:从1,2,…，2 020

中任取〃个两两互素的正整数，其中都必有

一个为素数.求《的最小值.

提不n的最小值为16.

2•若从1，2,…，n中任取五个两两互素

的不同的整数A，a2，…，％，其中总有一个整

数为素数，求〃的最大值.提示若049,取整数1、22、32、52、

72,

一、利用非负性

【例1】 求22222412xyxyxy的最小值

【巩固】设()ab，为实数,那么bababa222的最小值是__________.

二、利用绝对值的几何意义

【例2】 求12345yxxxxx的最小值

【巩固】若+1aa，2xax，且+1+5+2xxxm的最小值是7，则m_________

三、利用二次函数的最值

【例3】 四边形的两条对角线相互垂直，并且和等于10，求它们的长各为多少时，其面积最大

初中代数最值问题

例题精讲

【巩固】如果抛物线211yxkxk与x的交点为A、B，顶点为C，那么ABC的面积最小值为_________

四、利用均值不等式

【例4】 如图，已知平行四边形ABCD，AB=a，BC=b(a>b)，P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q，求AP+BQ的最小值．

QPDCBA

【巩固】如图，点A、B是半径为R的圆O上任意两点，圆O过A、B、O三点，点P是圆O上任意一点，PO交AB于点C，求22POOC的最小值

O'OPCBA

【巩固】矩形ABCD的周长为16，点P是矩形边上任意一点，PGAC，PHBD，垂足分别为G、H.求+PGPH的最大值

【巩固】若0x，求24411xxxx的最大值是_____________．

【巩固】若2220xy，则221123xy的最大值是__________

五、利用判别式

【例5】 已知：点P是等边ABC的外接圆圆O的弧BC上任意一点，PA交BC于D，求PDPA的最大值

OPDCBA

HGPDCBA

【巩固】正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在BC、CD上.若CMN的周长为2，求

（1）MAN的大小

（2）MAN△面积的最小值

【巩固】ABC中，AACB＜，点D、E分别在AB、AC上，且1=2=A，=aCB，=bAC，=cAB，设ADE△、CBD△的周长分别为12ll、，ABC的周长为l，则12lll的最小值为_____

第 1 页 共 2 页 代数题用几何求解的最值问题例子

初中数学的最值问题一直都是大家学习当中公认的比较困难的一部分内容。这部分内容的难度相对于其他知识点来说存在很多的不确定性，特别是其中出现做辅助线等方法来辅助解题时不知道从何入手，今天我们将针对几何代数的最值问题进行分类讲解，希望在这过程当中能帮大家理清楚这类题型的大致解题思路。

首先，几何最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。收到最大值或最小值，那么很多同学就会联想到线段和线段差或者是周长，面积等的最大值和最小值问题。在中考中常以填空选择及解答题形式出现，可见其出现的形式还是比较多样化的，难易程度多为难题、压轴题。同学们务必掌握以下几种求几何最值的基本方法：

（1）特殊位置及极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情况下的推理证明。这种特殊的位置。一般都会通过题目的条件或者是初级的推论就可以得出。同学们在读取条件的过程当中，一定要重点关注。

（2）几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理。常见几何性质有：两点之间线段最短；点到直线垂线段最短；三角形两边之和大于第三边；斜边大于直角边等，这类型的应用就相对来说比较简单。只要根据已学的内容，那么就可以进行解决，其难度不大。 第 2 页 共 2 页 （3）数形结合法：分析问题变动元素的代数关系，构造二次函数等。树形结合来解决二次函数的最值问题，那么通过图形和代数求解的方式相结合，可以很快的也就能得到。最后的结果，这是我们在初中学习二次函数时就重点学习的对象。

其次，代数最值问题一般以应用题形式出现，常见题型为求一个花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大的方案。这类型的最值问题作为各地中考必考题之一，难度以中档为主，是所有学生必拿之分。他主要考察的是二次函数或一次函数的实际应用，结合真实生活中的应用场景来解决实际问题。