初中数学最值问题

初中数学100道经典最值题1.如图1所示，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝4，D 为边AB 的中点，P 为边AC 上的动点，则PB+PD 的最小值为( )B. C. D.2.如图2所示，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足13PAB ABCD S S =矩形 ，则点P 到AB 两点距离之和PA+PB 的最小值为 。

3.如图3所示，在矩形ABCD 中，AD ＝3，点E 为边AB 上一点，AE ＝1，平面内动点P 满足13PAB ABCD SS =矩形，则|DP －EP|的最大值为 。

4.已知y ，则y 的最小值为 。

5.已知y =，则y 的最大值为 。

6.如图4所示，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝，D 是边AB 上一动点，连接CD ，以AD 为直径的圆交CD 于点E ，则线段BE 长度的最小值为 。

7.如图5所示，正方形ABCD 的边长是4，点E 是边AB 上一动点，连接CE ，过点B 作BG ⊥CE 于点G ，点P 时边AB 上另一动点，则PD+PG 的最小值为 。

8.如图6所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，点E 、F 分别为边AD 、DC 上的点，且EF ＝2，点G 为EF 的中点，点P 为边BC 上一动点，则PA+PG 的最小值为 。

9.在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(a，2)，C(0，m)，D(n，0)，且m2+n2＝4，若点E为CD 的中点，则AB+BE的最小值为。

A.3B.4C.5D.2510.如图7所示，AB＝3，AC＝2，以BC为边向上构造等边三角形BCD，则AD的取值范围为。

11.如图8所示，AB＝3，AC＝2，以BC为腰(点B为直角顶点)向上构造等腰直角三角形BCD，则AD的取值范围为。

12.如图9所示，AB＝4，AC＝2，以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD，则AD的取值范围为。

初中数学最值问题有六种模型，包括将军饮马模型、一箭穿心模型、费马点模型、阿氏圆模型、胡不归模型和瓜豆原理模型。

1. 将军饮马模型：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线上找一点P，使PA+PB最小。

可以理解为两点之间线段最短。

连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点。

2. 一箭穿心模型：在直线l上找M、N两点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=d。

将点A向右平移d个单位到A′，作A′关于直线l的对称点A"，连接A"B交直线l 于点N，将点N向左平移d个单位到M，点M、N即为所求。

3. 费马点模型：在三角形ABC中，若D、E分别是AB、AC 上的点，则DE的延长线与BC的延长线交于费马点处，此时三角形周长最小。

4. 阿氏圆模型：以给定点A为圆心，给定距离r为半径画圆，与已知直线l相交于两点B、C，连接两点B、C并延长交于D。

则D点的轨迹是以A为圆心，r为半径的圆。

这个圆被称为阿氏圆。

5. 胡不归模型：在直角三角形ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，AD为BC边上的高。

若点P在BC边上，问是否存在点P使得DP垂直于BC边？如果存在，求出点P的位置；
如果不存在，请说明理由。

6. 瓜豆原理模型：在一条直线上有若干个点，每个点都有一个到直线的距离，问如何选择若干个点使得这些点到直线的距离之和最小？瓜豆原理告诉我们，选择任意两个相邻的点并连接它们与直线的交点，然后选择第三个点与前两个点的距离之和最小即可。

以上是初中数学最值问题的六种模型，希望对解决这类问题有所帮助。

初中几何最值问题类型
初中几何中的最值问题类型有以下几种：
1.最大值最小值问题：
求某个几何图形的最大面积或最小周长，如矩形、三角形等。

求抛物线的最高点或最低点，即顶点的坐标。

2.极值问题：
求函数图像与坐标轴的交点。

求函数在某个区间内的最大值或最小值，如求二次函数的最
值等。

3.最优化问题：
求物体从一个点到另一个点的路径问题，如两点之间的最短
路径、最快速度等。

4.最长边最短边问题：
求三角形的最长边或最短边，如用三根木棍构成三角形，求
最长边的长度。

5.相等问题：
求两个几何形状中的某个参数，使得它们的某个关系成立，
如求两个相似三角形的边长比、两个等腰三角形的底角角度等。

这些问题类型都需要通过合理的分析和运用相关的几何定理
来解决。

对于初中学生来说，熟练掌握基本的几何概念和定理，灵活运用数学思维和方法，可以较好地解决这些最值问题。

通
过多做练习和思考，培养几何思维和解决问题的能力。

“最”集●平面几何中的最⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯01●几何的定与最⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯07●最短路⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14● 称⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯18●巧作“ 称点”妙解最⋯⋯⋯⋯⋯22●数学最的常用解法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯26●求最⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯29●有理数的一多解⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯34●4 道典⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯37●平面几何中的最在平面几何中，我常常遇到各种求最大和最小的，有它和不等式系在一起，称最．如果把最和生活中的系起来，可以达到最、最和最高效率．下面介几个例．在平面几何中，当某几何元素在定条件，求某几何量（如段的度、形的面、角的度数）的最大或最小，称最。

最的解决方法通常有两种：（1）用几何性：① 三角形的三关系：两之和大于第三，两之差小于第三；② 两点段最短；③ 直外一点和直上各点的所有段中，垂段最短；④ 定中的所有弦中，直径最。

⑵运用代数法：① 运用配方法求二次三式的最；② 运用一元二次方程根的判式。

例 1、A、B 两点在直 l 的同，在直L 上取一点 P，使 PA+PB最小。

分析：在直 L 上任取一点 P’， A P’， BP’，在△ ABP’中 AP’+BP’＞ AB，如果 AP’+BP’＝ AB,则 P’必在线段 AB上，而线段AB 与直线 L 无交点，所以这种思路错误。

取点 A 关于直线 L 的对称点 A’，则 AP’＝ AP，在△ A’BP 中 A’P’+B’P’＞ A’B, 当 P’移到 A’B与直线 L 的交点处 P 点时A’P’+B’P’＝ A’B，所以这时 PA+PB最小。

1 已知 AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮， ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形 ABDC的周长最大 ( 图 3－ 91) ？分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于 AB∥ CD，必有AC=BD．若设 CD=2y，AC=x，那么只须求梯形 ABDC的半周长 u=x+y+R的最大值即可．解作 DE⊥AB于 E，则2 2 2x =BD=AB·BE＝2R· (R-y) ＝2R -2Ry，所以2 2所以求 u 的最大值，只须求 -x +2Rx+2R最大值即可．2222 2-x +2Rx+2R=3R-(x-R)≤ 3R，上式只有当 x=R时取等号，这时有所以2y=R=x．所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点 C， D，这时，梯形的底角恰为 60°和 120°．2 . 如图 3－92 是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8 米(m) ，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+π x=8，若窗户的最大面积为S，则把①代入②有即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．3.已知 P 点是半圆上一个动点，试问 P在什么位置时， PA+PB最大 ( 图 3－93) ？分析与解因为 P 点是半圆上的动点，当 P 近于 A 或 B 时，显然 PA+PB渐小，在极限状况 (P 与 A 重合时 ) 等于 AB．因此，猜想 P 在半圆弧中点时， PA+PB取最大值．设P 为半圆弧中点，连 PB，PA，延长 AP到 C，使 PC=PA，连 CB，则 CB是切线．为了证 PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点 P′，连 P′A，P′B，延长 AP′到C′，使P′C′=BP′，连 C′B，CC′，则∠ P′ C′ B=∠P′BC=∠ PCB=45°，所以 A，B，C′， C 四点共圆，所以∠ CC′A=∠CBA=90°，所以在△ ACC′中， AC＞AC′，即 PA+PB＞P′A+P′B．4如图 3－ 94，在直角△ ABC中，AD是斜边上的高， M，N 分别是△ ABD，△ ACD的内心，直证连结 AM， BM，DM，AN， DN，CN．因为在△ ABC中，∠ A=90°， AD⊥BC于 D，所以∠ ABD=∠ DAC，∠ ADB=∠ADC=90°．因为 M，N分别是△ ABD和△ ACD的内心，所以∠1=∠ 2=45°，∠ 3=∠4，所以△ ADN∽△ BDM，又因为∠ MDN=90° =∠ADB，所以△ MDN∽△ BDA，所以∠BAD=∠MND．由于∠ BAD=∠ LCD，所以∠MND=∠LCD，所以 D， C， L， N四点共圆，所以∠ALK=∠NDC=45°．同理，∠ AKL=∠1=45°，所以 AK=AL．因为△AKM≌△ ADM，所以AK=AD=AL．而而从而所以 S △ABC≥S△AKL．5.如图 3－95．已知在正三角形 ABC内( 包括边上 ) 有两点 P，Q．求证： PQ≤ AB．证设过 P，Q的直线与 AB，AC分别交于 P1，Q1，连结 P1C，显然， PQ≤P1Q1．因为∠ AQ1P1+∠ P1 Q1 C=180°，所以∠ AQ1P1和∠ P1Q1 C中至少有一个直角或钝角．若∠ AQ1P1≥90°，则PQ ≤ P1Q1≤AP1≤AB；若∠ P1Q1C≥90°，则PQ ≤ P1Q1≤P1C．同理，∠ AP1C 和∠ BP1C 中也至少有一个直角或钝角，不妨设∠BP1C≥90°，则P 1C≤BC=AB．对于 P，Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQ≤ AB．6.设△ ABC是边长为 6 的正三角形，过顶点 A 引直线 l ，顶点 B，C到 l 的距离设为 d 1，d2，求 d1+d2的最大值 (1992 年上海初中赛题 ) ．解如图 3－96，延长 BA到 B′，使 AB′=AB，连 B′C，则过顶点 A 的直线 l 或者与BC相交，或者与 B′C相交．以下分两种情况讨论．(1)若 l 与 BC相交于 D，则所以只有当 l ⊥BC时，取等号．(2)若 l ′与 B′C相交于 D′，则所以上式只有 l ′⊥ B′C 时，等号成立．7.如图 3－97．已知直角△ AOB中，直角顶点 O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长AO， BO分别与单位圆交于 C，D．试求四边形 ABCD面积的最小值．解设⊙ O与 AB相切于 E，有 OE=1，从而即AB≥ 2．当 AO=BO时， AB有最小值 2．从而所以，当 AO=OB时，四边形 ABCD面积的最小值为●几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、 极端位置，直接计算等方法， 先探求出定值， 再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量 ( 如线段长度、角度大小、图形面积 ) 等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理 ( 公理 ) 法； 3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性 ( 目标不明确 ) ，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法． 【例题就解】【例 1】 如图，已知 AB=10，P 是线段 AB 上任意一点，在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作等边△ APC 和等边△ BPD ，则 CD 长度的最小值为 ．思路点拨 如图，作 CC ′⊥ AB 于 C ，DD ′⊥ AB 于 D ′，2221DQ ⊥CC ′， CD=DQ+CQ ， DQ= AB 一常数，当 CQ 越小， CD 越小，2本例也可设 AP=x ，则 PB=10 x ，从代数角度探求 CD 的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1) 中点处、垂直位置关系等；(2) 端点处、临界位置等．【例 2】 如图，圆的半径等于正三角形 ABC 的高，此圆在沿底边 AB 滚动，切点为T ，⌒MTN 为的度数（）圆交 AC 、BC 于 M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， A ．从 30°到 60°变动 B ．从 60°到 90°变动C ．保持 30°不变D ．保持 60°不变思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点 C 时， 其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断． 注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变 化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时， 研究的量取得定值与最值．【例 3】 如图，已知平行四边形 ABCD ，AB= ，BC=b ( a > b ) ，P 为 AB 边上的一动点，a直线 DP 交 CB 的延长线于 Q ，求 AP+BQ 的最小值．思路点拨xx的代数式表示， 运用不等式 a 2b 22ab( 当设 AP= ，把 AP 、BQ 分别用且仅当 a b 时取等号 ) 来求最小值．7AC 与 BM 相交于 K ，直线 CB 与 AM 相交于点 N ，证明：线段 AK 和 BN 的乘积与 M 点的选择无关．思路点拨 即要证 AK · BN 是一个定值，在图形中△ ABC 的边长是一个定值，说明 AK ·BN 与 AB 有关，从图知 AB 为2△ ABM 与△ ANB 的公共边，作一个大胆的猜想， AK ·BN=AB ，从而我们的证明目标更加明确．注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例 5】 已知△ XYZ 是直角边长为 1 的等腰直角三角形 ( ∠Z=90°) ，它的三个顶点分别在等腰 Rt △ABC(∠C=90° ) 的三边上，求△ ABC 直角边长的最大可能值．思路点拨 顶点 Z 在斜边上或直角边 CA(或 CB)上，当顶点 Z 在斜边 AB 上时，取 xy 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值， 当顶点 Z 在(AC 或 CB)上时，设 CX=x ，CZ=y ，建立 x ， y 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．注：数形结合法解几何最值问题， 即适当地选取变量， 建立几何元素间的函数、 方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：(1) 利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2) 构造二次函数求几何最值．学力训练1．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 为边 BC 上任意一点（可与 B 点或 C 点重合），分别过 B 、 C 、 D 作射线 AP 的垂线，垂足分别是 B ′、 C ′、 D ′，则 BB ′+CC ′ +DD ′的最大值为 ，最小值为 ．2．如图，∠ AOB=45°，角内有一点 P ， PO=10，在角的两边上有两点 Q ， R(均不同于 点 O)，则△ PQR 的周长的最小值为 ．3．如图，两点 A 、 B 在直线 MN 外的同侧， A 到 MN 的距离 AC=8， B 到 MN 的距离 BD=5， CD=4，P 在直线 MN 上运动，则 PA PB 的最大值等于 ．4．如图，A 点是半圆上一个三等分点， B 点是弧 AN 的中点， P 点是直径 MN 上一动点，⊙ O 的半径为 1，则 AP+BP 的最小值为 ( )A ．1B．2C ． 2D． 3 125．如图，圆柱的轴截面 ABCD 是边长为 4 的正方形，动点 P 从 A 点出发，沿看圆柱的 侧面移动到 BC 的中点 S 的最短距离是 ( )A ． 2 1 2B ． 2 1 4 2C ． 4 1 2D ． 2 4 26．如图、已知矩形 ABCD ，R ，P 户分别是 DC 、BC 上的点， E ，F 分别是 AP 、RP 的中点，当 P 在 BC上从 B 向 C 移动而 R不动时，那么下列结论成立的是( )A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段 EF的长不改变D．线段EF的长不能确定7．如图，点 C 是线段 AB上的任意一点 (C 点不与 A、B 点重合 ) ，分别以 AC、BC为边在直线 AB的同侧作等边三角形 ACD和等边三角形 BCE， AE与 CD相交于点 M，BD与 CE 相交于点 N．(1)求证： MN∥ AB；(2) 若 AB的长为 l0cm，当点 C 在线段 AB上移动时，是否存在这样的一点 C，使线段MN的长度最长 ?若存在，请确定 C 点的位置并求出 MN的长；若不存在，请说明理由．(2002 年云南省中考题 )8．如图，定长的弦 ST在一个以 AB为直径的半圆上滑动， M是 ST 的中点， P 是 S 对AB作垂线的垂足，求证：不管 ST 滑到什么位置，∠ SPM是一定角．9．已知△ ABC是⊙ O的内接三角形， BT为⊙ O的切线， B 为切点， P 为直线 AB上一点，过点 P 作 BC的平行线交直线 BT 于点 E，交直线 AC于点 F．(1)当点 P 在线段 AB上时 ( 如图 ) ，求证： PA·PB=PE·PF；(2)当点 P 为线段 BA延长线上一点时，第 (1) 题的结论还成立吗 ?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．10．如图，已知；边长为 4 的正方形截去一角成为五边形 ABCDE，其中 AF=2，BF=l，在AB上的一点 P，使矩形 PNDM有最大面积，则矩形 PNDM的面积最大值是 ( ) A．8 B．12C．25D．14211．如图，AB是半圆的直径，线段 CA上 AB于点 A，线段 DB上 AB于点 B，AB=2；AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形 ACPDB的最大面积是 ( )A．22B．12C．32D．3 212．如图，在△ ABC中， BC=5，AC=12， AB=13，在边 AB、 AC上分别取点 D、E，使线段 DE将△ ABC分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．13．如图， ABCD是一个边长为 1 的正方形， U、V 分别是 AB、CD上的点， AV与 DU 相交于点 P， BV与 CU相交于点 Q．求四边形 PUQV面积的最大值．14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0 米的圆，问如何设计 ( 求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽 ) ，才能使矩形花坛的面积最大?15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场( 平面图如图所示 ) ．其中，正方形 MNPQ与四个相同矩形 ( 图中阴影部分 ) 的面积的和为800 平方米．的代数式表示y 为．(1) 设矩形的边 AB= ( 米) ，AM=y ( 米) ，用含xx(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为 2100 元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为 105 元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为 40 元．①设该工程的总造价为 S( 元) ，求 S 关于工的函数关系式．②若该工程的银行贷款为 235000 元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务 ?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金 73000 元，问能否完成该工程的建设任务 ?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．( 镇江市中考题 )16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积( 精确到21m) ．参考答案●最短路线问题通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短” 为原则引申出来的．人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段．这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的．例如，在地球（近似看成圆球）上 A、B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B 两点及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上 A、 B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的 A、 B 两点间的最短路线，航海上叫短程线．关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲．在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法．例1 如下图，侦察员骑马从 A 地出发，去 B 地取情报．在去 B 地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来．解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线．作点 A 关于河岸的对称点 A ′，即作 AA′垂直于河岸，与河岸交于点 C，且使 AC=A′C，连接 A′B 交河岸于一点 P，这时 P 点就是饮马的最好位置，连接 PA，此时 PA＋PB就是侦察员应选择的最短路线．证明：设河岸上还有异于P 点的另一点 P′，连接 P′A，P′B， P ′ A′．∵P′A+P′B＝P′A′+P′B＞ A′B=PA′ +PB=PA+PB，而这里不等式 P ′ A′＋ P′ B＞ A′ B 成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以 PA+PB是最短路线．此例利用对称性把折线 APB化成了易求的另一条最短路线即直线段 A′ B，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等．看下面例题．例2 如图一只壁虎要从一面墙壁α上 A 点，爬到邻近的另一面墙壁β上的 B 点捕蛾，它解：我们假想把含B 点的墙β顺时针旋转90°（如下页右图），使它和含A 点的墙α处在同一平面上，此时β转过来的位置记为β′，B 点的位置记为B′，则A、B′之间最短路线应该是线段 AB′，设这条线段与墙棱线交于一点 P，那么，折线 4PB就是从 A 点沿着两扇墙面走到 B 点的最短路线．证明：在墙棱上任取异于 P 点的 P′点，若沿折线 AP′ B走，也就是沿在墙转 90°后的路线 AP′ B′走都比直线段 APB′长，所以折线 APB是壁虎捕蛾的最短路线．由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线．例3 长方体 ABCD— A′B′C′D′中， AB=4，A′ A=2′，AD=1，有一只小虫从顶点D′出发，沿长方体表面爬到 B 点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（ 1））解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D′、 B 两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上 D ′ B 间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从 D′点出发，到 B 点共有六条路线供选择．①从 D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达 B 点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图（ 2）），这时在这个平面上 D′、 B 间的最短路线距离就是连接 D′、 B 两点的直线段，它是直角三角形 ABD′的斜边，根据勾股定理，D′ B2 =D′A2+AB2=（ 1+2）2＋42 =25，∴ D′ B=5．②容易知道，从D′出发经过后侧面再进入下底面到达 B 点的最短距离也是5．③从 D′点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达 B 点．将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上 D′、 B 两点间的最短路线（上页图（ 3）），有：D′ B2＝22+（1+4）2 =29．④容易知道，从 D′出发经过后侧面再进入右侧面到达 B 点的最短距离的平方也是29．⑤从 D′点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达 B 点，将这两个平面摊开在同一平D′ B2 =（ 2+4）2+12=37．⑥容易知道，从 D′出发经过上侧面再进入右侧面到达 B 点的最短距离的平方也是37．比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达 B 点（上页图（ 2）），或者经过后侧面然后进入下底面到达 B 点的路线是最短路线，它的长度是 5 个单位长度．利用例 2、例 3 中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上 A 和 B 两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把 A、 B 两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接 A、B 成线段 AP1P2B，P1、P2 是线段 AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是 AB间的最短路线．圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线．因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用．如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题．例4 景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在 A 点，绕一周之后终点为 B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？解：将上左图中圆柱面沿母线 AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时， A′、 B′分别与 A、B 重合），连接 AB′，再将上页右图还原成上页左图的形状，则 AB′在圆柱面上形成的曲线就是连接 AB且绕一周的最短线路．圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线．请看下面例题．例5 有一圆锥如下图， A、 B 在同一母线上， B 为 AO的中点，试求以 A 为起点，以 B 为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线．解：将圆锥面沿母线AO剪开，展开如上右图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时， A′、 B′分别与 A、 B 重合），在扇形中连 AB′，则将扇形还原成圆锥之后， AB′所成的曲线为所求．例6 如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的 A 点爬到桶内的 B 点去寻找食物，已知A 点沿母线到桶口C 点的距离是12 厘米，B 点沿母线到桶口D 点的距离是8 厘米，而 C、D两点之间的（桶口）弧长是 15 厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？分析我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于 B 点在里面，不便于作图，设想将 BD延长到 F，使 DF＝BD，即以直线 CD为对称轴，作出点 B 的对称点 F，用 F 代替 B，即可找出最短路线了．解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长 BD到 F，使 DF=BD，即作点 B 关于直线 CD 的对称点 F，连结 AF，交桶口沿线 CD于 O．因为桶口沿线 CD是 B 、F 的对称轴，所以 OB＝OF，而 A、F 之间的最短线路是直线段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B 之间的最短距离就是AO＋OB，故蚂蚁应该在桶外爬到O 点后，转向桶内 B 点爬去．延长 AC到 E，使 CE=DF，易知△ AEF是直角三角形， AF 是斜边， EF=CD，根据勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2＝（ 12＋8）2＋ 152＝ 625=252，解得 AF=25．即蚂蚁爬行的最短路程是25 厘米．例7 A 、B 两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸．请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使 A、 B 两个村子之间路程最短．分析因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线．由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值．因此，从 A 点作河岸的垂线，并在垂线上取 AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找出 B、C 两点之间的最短路线，问题就可以解决．解：如上图，过 A 点作河岸的垂线，在垂线上截取 AC的长为河宽，连结 BC交河岸于 D 点，作 DE垂直于河岸，交对岸于 E 点， D、E 两点就是使两村行程最短的架桥地点．即两村的最短路程是 AE＋ED＋ DB．例8 在河中有 A、 B 两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从 A 岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到 B 岛，最后回到 A 岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？解：如上图，分别作 A、B 关于甲岸线、乙岸线的对称点 A′和 B′，连结 A′、B′分别交甲岸线、乙岸线于 E、F 两点，则 A→ E→ F→ B→ A 是最短路线，即最短路程为： AE＋EF＋FB＋BA．证明：由对称性可知路线 A→ E→F→B 的长度恰等于线段 A′ B′的长度．而从 A 岛到甲岸，又到乙岸，再到 B 岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接 A′、B′之间的折线，它们的长度都大于线段 A ′B′，例如上图中用“·—·—·”表示的路线A→E′→ F′→ B 的长度等于折线 AE′F′ B 的长度，它大于 A′B′的长度，所以 A→E → F→ B→ A 是最短路线．●对称问题教学目的：进一步理解从实际问题转化为数学问题的方法，对于轴对称问题、中心对称问题有一个比较深入的认识，可以通过对称的性质及三角形两边之和与第三边的关系找到证明的方法。