争鸣探索２０２４年５月上半月㊀㊀㊀倡导 三要 ,回避 三忌基于高三数学二轮复习◉山东省胶州市第一中学㊀耿㊀萍㊀㊀二轮复习是基于一轮复习后的一个重要阶段,关键在于学生的能力提升与素养养成,进一步构建并完善数学学科的知识体系结构与网络,以及更加全面的解题技巧与方法等．因而,为了更加有效地进行高考数学二轮复习,必须做到合理侧重点㊁横联纵拓面㊁聚集能力点等,在复习过程中要倡导 三要 ,回避 三忌 ．１倡导 凸显主体 ,忌讳 面面俱到在实际复习备考过程中,高考数学二轮复习有时也不是单独存在的一个完整区间段,复习的时间较短,是一轮复习的合理延续,经常与三轮复习进行交叉融合,这就要求二轮复习应该明辨复习主体,全面凸显主体,合理地有所侧重,不要面面倶到．一种比较成熟的认知,就是二轮复习时,可以通过高中数学学科的六大主干知识模块(函数与导数㊁数列㊁三角函数与解三角形㊁立体几何㊁解析几何以及统计与概率等)来合理展开,予以更加高频的关注与侧重对待．以 函数㊁方程与不等式的联系与转化 为例,借助函数这一高中数学基本核心内容,合理构建函数与方程㊁函数与不等式㊁方程与不等式等之间的联系,并在此基础上构建函数与导数的应用㊁函数的性质与图象的联系,以及函数和方程思想与其他相关数学思想方法的联系与应用,有效构建主干知识网络与分支知识网络的联系,使得知识的理解与掌握更加精细,更加完善．例１㊀(２０２３年浙江省高中数学竞赛夏令营试题 １２)已知x为实数,且满足５２x＋１＋３１２５＝５５x－x,则x的最小值和最大值之和为．解析:依题将原方程等价转化为５２x＋１＋５５５５x－x＝１,即５x－３x＋１＋５x－５x＋５＝１,配方可得５x－３２()２－５４＋５x－５２()２－５４＝１．构造函数f(x)＝５x－３２()２－５４＋５x－５２()２－５４,则有f(２－x)＝f(２＋x),即函数y＝f(x)的图象关于直线x＝２对称,而f(０)＝３１３０＞１,f(２)＝２５＜１,显然方程f(x)＝１有解,所以x的最小值和最大值之和为４．点评:本题充分体现了化归与转化的解题策略,在解题过程中对超越方程加以合理变形与转化,通过函数的构造加以合理化归,从而借助函数的对称性为解决相应的超越方程提供条件,使得 看似无法解决的问题得以合理转化与巧妙解决,把 陌生 问题 熟悉 化,充分开发学生的潜能,对学生 四基 的巩固与数学能力的提升与应用都有很好的效果．２倡导 注重联拓 ,忌讳 就题讲题基于一轮复习,此时大部分学生对数学学科基础知识与基本方法的整体复习还只是处于简单阶段,没有形成系统与网络,还是比较单一的知识点．作为其链接与延续,二轮复习应该选择更加恰当的典型实例,注意数学知识点与思想方法间的 横联纵拓 ,借助透彻的分析,有效的类比,帮助学生在此过程中逐渐完善与升华,将纷繁零碎的数学基础知识点㊁数学能力点等系统化㊁网络化㊁条理化和简明化,不能只是停留在 就题讲题 的一轮复习层面．特别不能直接依托于问题,就题讲题,否则只能保证该问题的效益,不能形成不同知识点之间的联系,形不成知识网络,只是一个个单一的㊁零碎的问题,没有发挥到典型问题的多重效益．例２㊀(２０２３年南京大学强基计划数学试卷 ４)已知s i n４αs i n２β＋c o s４αc o s２β＝１,则s i n４βs i n２α＋c o s４βc o s２α＝．分析:将所给的复杂分式进行整式化处理,是解题过程中比较常见的一种切入方式．在此基础上利用三角函数中的平方关系进行合理的拆分㊁合并㊁化简,构建更为简捷的三角关系式,为进一步求三角函数式的值提供条件．解法１:三角恒等变换思维法．由已知s i n４αs i n２β＋c o s４αc o s２β＝１,可得s i n４αc o s２β＋c o s４αs i n２β＝s i n２βc o s２β,于是可以得到s i n４αc o s２β＋(１－s i n２α)２s i n２β－s i n２βc o s２β＝０,即s i n４αc o s２β＋(１－２s i n２α＋s i n４α)s i n２β－s i n２βc o s２β＝０,可得s i n４α(s i n２β＋c o s２β)＋s i n２β(１－c o s２β)－２s i n２αs i n２β＝０,则s i n４α＋s i n４β－２s i n２αs i n２β＝０,即(s i n２α－s i n２β)２＝０,可２２１２０２４年５月上半月㊀争鸣探索㊀㊀㊀㊀得s i n ２α＝s i n ２β,再由１－c o s ２α＝１－c o s ２β,可得c o s ２α＝c o s ２β,所以s i n ４βs i n ２α＋c o s ４βc o s ２α＝s i n ４βs i n ２β＋c o s ４βc o s ２β＝s i n ２β＋c o s ２β＝１．点评:利用同角三角函数的平方关系进行三角转化处理时,化简比较复杂,次幂较高,要注意降幂方法的应用,需要足够的耐心与认真细致的态度．解法２:换元思维法．设c o s ２α＝a ,c o s ２β＝b ,利用平方关系可得s i n ２α＝１－a ,s i n ２β＝１－b ．由已知s i n ４αs i n ２β＋c o s ４αc o s ２β＝１,可得(１－a )２１－b ＋a ２b＝１,整理可得b (１－a )２＋a ２(１－b )＝b (１－b ),化简得(a －b )２＝０,即a ＝b ,所以s i n ４βs i n ２α＋c o s ４βc o s ２α＝(１－b )２１－a ＋b ２a ＝(１－a )２１－a ＋a ２a ＝１－a ＋a ＝１．当然,在以上拓展数学思想方式的基础上,合理加以深入与应用,并结合问题的结构特征,利用选择题中具备结论对某一 对象类型 内均成立的前提条件,可以采用更加巧妙的方式与方法来处理,即可采用 特例排除法 来达到目的．同时也对 特值(例)排除法 的认识㊁理解与掌握等给出一个更高㊁更全面的应用．解法３:特殊思维法．依题s i n ４αs i n ２β＋c o s ４αc o s ２β＝１是一个不定方程,显然当α＝βʂk π２,k ɪZ 时,条件中的方程s i n ４αs i n ２β＋c o s ４αc o s ２β＝s i n ４βs i n ２β＋c o s ４βc o s ２β＝s i n ２β＋c o s ２β＝１成立,所以将α＝βʂk π２(k ɪZ )代入,可得s i n ４βs i n ２α＋c o s ４βc o s ２α＝s i n ４βs i n ２β＋c o s ４βc o s ２β＝s i n ２β＋c o s ２β＝１．当然,以上问题还可以进行更加丰富多彩的 横联纵拓 ,这里就不多加展开．可以肯定的是,借助典型实例的 横联纵拓 ,从基础知识与基本能力等方面都会使得学生 会一题㊁懂一类㊁通一片 等教学效果成为现实,这也是二轮复习教学所追求的最高目的．３倡导能力立意 ,忌讳 唯知识论 经过一轮复习, 知识论 的基础就已经构建,合理渗透数学思想方法㊁数学能力等的 显性运用 ,是二轮复习中必须关注的重要方面．更加 自觉 合理 地选择对应的数学思想方法来分析与解决问题,还是要通过高考数学二轮复习加以有效训练与不断强化,这样才能真正融合知识㊁能力㊁方法等于一体,吻合能力立意 的高考数学命题理念,从而更加科学有效地应对高考．例３㊀ ２０２３年香港中文大学(深圳)综合评价测试数学规组第２题 数列{a n }满足a n ＋１＝a na n ＋１＋a n ＋１,且a １＝１＋２－３,求数列{a n }前２０２４项的积．解析:依题意,显然a n ʂ０,a n ʂ１,由a n ＋１＝a n a n ＋１＋a n ＋１变形整理,可得a n ＋１＝１＋a n１－a n．令a n ＝t a n x n ,则有t a n x n ＋１＝a n ＋１＝１＋a n１－a n＝t a nπ４＋t a n x n １－t a n π４t a n x n＝t a n (π４＋x n ),于是可得a n ＋２＝t a n x n ＋２＝t a n (π４＋x n ＋１)＝t a n (π２＋x n ),a n ＋３＝t a n(３π４＋x n ),a n ＋４＝t a n (π＋x n )＝t a n x n ＝a n ,所以数列{a n }是以４为周期的周期数列．又a ３＝t a n(π２＋x １)＝－１t a n x １＝－１a１,a ４＝t a n(π２＋x ２)＝－１t a n x２＝－１a ２,可得a １a ３＝－１,a ２a ４＝－１,从而可得a １a ２a ３a ４＝－１ˑ(－１)＝１,所以数列{a n }前２０２４项的积a １a ２a ３ a ２０２４＝(a １a ２a ３a ４)５０６＝１５０６＝１．点评:合理的联想与知识的链接巧妙地将数列与三角函数这两个不同的知识点联系起来,完成合作与应用,这才是问题的能力立意所在．通过数列的递推关系式与三角函数的正切公式的联系,借助两角和正切公式的变形,为确定周期数列的周期提供一个全新的思维,得以求解与应用．能力立意 的高考数学命题理念在具体问题中的体现,往往需要阅读㊁观察㊁理解㊁分析㊁归纳㊁演算㊁验证等探究过程,借助多层面㊁多视角来分析与探究．在具体求解问题的过程中,往往需要通过逻辑推理中的归纳法(不完全归纳或完全归纳)㊁类比法等,以及构造思维中的构造法等来达到目的．这些思想方法都是不可以事先预设的,只有在分析与探究的过程中,随着数学思维的深入㊁问题分析的显现等,才会逐步被观察与联想到．二轮复习要立足根基,基于一轮复习的知识基础,适度地求新求异,合理地综合训练,认真审视复习过程,及时修正复习过程中存在的偏差,在一轮复习的基础上更加全面地 查缺补漏 ,同时合理倡导 三要 ,回避 三忌 ,这样,二轮复习的有效性方能得到更加有效㊁更加全面地实现,学生的数学知识㊁数学能力以及数学核心素养等才能真正得以有效提升．Z３２１。
