第八篇二次函数的图像及性质
【考纲传真】
1. 理解二次函数的有关概念．
2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．
3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能掌握二次函数图象的平移．
4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．
5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
【复习建议】
二次函数是中考的重点内容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查．
【考点梳理】
考点一二次函数的概念
一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
注意：(1)二次项系数a≠0；(2)ax2＋bx＋c必须是整式；(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；(4)自变量x的取值范围是全体实数．
考点二二次函数的图象及性质
考点三二次函数图象的特征与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系
考点四二次函数图象的平移
抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，
则图象的形状和大小都相同，只是位置的不同．它们之间的平移关系如下表：
考点五 二次函数的应用
设一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式
y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a ，b ，c 的值．
考点六 二次函数与方程不等式之间的关系
1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，当y ＝0时，就变成了ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)． 2．ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的解是抛物线与x 轴交点的横坐标．
3．当Δ＝b2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个不同的交点；当Δ＝b 2－4ac ＝0时，
抛物线与x 轴有一个交点；当Δ＝b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
【典例探究】
考点一 二次函数的概念
【例1】下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）
A ．xy+x 2=2
B ．x 2-2y+2=0
C ．y=21
x D ．y 2-x=0
【变式1】若y=（m+1）5
62
--m m
x 是二次函数，则m 的值为 ．
考点二 根据实际问题列二次函数关系式
【例2】图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A ．22x y -= B ．22x y =
C ．221x y -=
D ．22
1
x y -=
【变式2】如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别是边BC 和CD 上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E 、F 怎样动，始终保持AE ⊥EF ．设BE=x ，DF=y ，则y 是x 的函数，函数关系式是（ ）
A ．1+=x y
B ．1-=x y
C ．12+-=x x y
D ．12--=x x y
考点三 二次函数对称轴、顶点、与坐标轴的交点
【例3】已知抛物线y=ax 2+bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【变式3】抛物线y=-x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是 ．
考点四 二次函数图象的平移
【例4】二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋1的图象怎样平移得到y ＝－2x 2的图象( )． A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
【变式4】已知二次函数y=-2
3
212+--=x x y ．
（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围；
（3）若将此图象沿x 轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．
考点五 二次函数的应用
【例5】九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x（天）1≤x＜50 50≤x≤90
售价（元/件）x+40 90
每天销量（件）200-2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．
【变式5】如图，已知抛物线y=x2-x-6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．
（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；
（2）求sin∠OCB的值；
（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．
考点六二次函数与方程及不等式之间的关系
【例6】如图，二次函数的图象与x 轴交于A （-3，0）和B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．
（1）请直接写出D 点的坐标． （2）求二次函数的解析式．
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．
【变式6】如图，直线y=x+m 和抛物线y=x 2+bx+c 都经过点A （1，0），B （3，2）．
（1）求m 的值和抛物线的解析式； （2）求不等式x 2+bx+c ＞x+m 的解集．（直接写出答案）
【课堂小结】
1．将抛物线解析式写成y ＝a(x －h)2＋k 的形式，则顶点坐标为(h ，k)，对称轴为直线 x ＝
h ，也可应用对称轴公式a
b
x 2-=，顶点坐标（a b ac a b 44,22--）来求顶点坐标及
对称轴．
2．比较两个二次函数值大小的方法： (1)直接代入自变量求值法；
(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；
(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．
