2018北京市首都师大附中高二（上）期末一、选择题．（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出如图频率分布直方图．根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km/h 的概率（ ）．O0.060.050.040.020.0185908075706560车速km/h ()频率组距A ．75，0.25B ．80，0.35C ．77.5，0.25D ．77.5，0.35【答案】D【解析】由图可知众数为75，速度超过80km/h 的概率为(0.050.02)50.35+⨯=． 故选：D ．2．某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为1，则输出的a 值为（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．5i >3i=i-1a=2i-a i=1否是结束输出a 输入a 开始【答案】C【解析】运算过程如下：1a =，1i =→1a =，2i =→3a =，3i =→3a =，4i =．故输出a 值为4． 故选：C ．3．已经点(6,0)F -是椭圆()2222:10,0x y C m n m n +=>>的一个焦点，且椭圆经过点(,2)P s ，那么n =（ ）．A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】B【解析】由已知2236m n -=，将(,2)P s 代入椭圆方程有226441m n +=，解得6n =． 故选：B ． 4．给出下列命题：①若给定命题:p x R ∃∈，使得210x x +-<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x +-≥； ②若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题；③命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠， 其中正确的命题序号是（ ）． A ．① B ．①② C ．①③ D ．②③【答案】A 【解析】①正确．②若p q ∧为假命题，则p 为假命题或q 为假命题，错误． ③该命题的否命题应为若2320x x -+≠，则2x ≠，错误． 故选：A ．5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（ ）． A ．5B ．3C ．352D ．35俯视图侧视图主视图21213【答案】C【解析】由三视图还原三棱锥直视图如下． PBC S △最大，其高为22215+=．135=3522PBC S ⨯⨯=△． 故选：C ．6．已经数列12345:,,,,A a a a a a ，其中1{1,0,1}a ∈-，1,2,3,4i =，则满足123453a a a a a ++++=的不同数列A 一共有PCBA（ ）． A ．15个 B ．25个C ．30个D ．35个【答案】A【解析】由已知：数列可由3个1，2个0构成，不同顺序排列有25=10C 个． 也可由4个1，1个1-构成，不同顺序排列有15=5C 个． ∴共有10+515=个数列． 故选：A ．7．过抛物线2y px =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B ，如果3BF =，BF AF >，2=π3BOF ∠，那么AF 的值为（ ）． A ．1 B ．32C ．3D ．6【答案】A【解析】不妨设直线AB 的方程为332px y =+，B 点在A 点上方． 联立22332y px px y ==+⎧⎪⎨⎪⎩，消x 得222303y y p --=． 解得33A y p =，3B y p =． 3B ABF y AFy ==．∴=1AF ． 故选：A ．8．设P ，Q 为一个正方体表现上的两点，已经此正方体绕着直线PQ 旋转β(02π)β<<角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 的条数（ ）． A ．3 B ．4C ．7D ．13【答案】D【解析】若P ，Q 为对角线顶点，则绕PQ 旋转2π3可与自身重合，这样的线有4条． 若P ，Q 为正方体正对的两个面的中心，绕PQ 旋转π2，π或3π2可与自身重合，6个面可形成3条这样的线． 若P ，Q 为正方体两正对的棱的中点，绕PQ 旋转π可与自身重合，12条棱可形成6条这样的线． ∴共有13条． 故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已经双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线过点(1,2)，则b ＝__________．其离心率为__________．【答案】2b =，5e =【解析】渐近线方程：y bx =，代入(1,2)，2b =． ∴22145c a b =+=+=，离心率5e =． 故答案为：2b =，5e =．10．甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C ︒）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是__________．气温波动较大的城市是__________．098773124722047甲城市乙城市 【答案】乙城市，甲城市【解析】1(91317171822)166x =+++++=甲．【注意有文字】152(12147202427)63x =+++++=乙．【注意有文字】∴x x >乙甲．【注意有文字】由茎叶图中可观察到甲城市数据集中在平均数附近，波动较小，乙城市波动大． 故答案为：乙城市，甲城市． 甲城市乙城市11．设不等式组22042x y x y ⎪-⎪+-⎧⎨⎩≥≤≥表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到直线20y +=的距离大于2的概率是__________． 【答案】925【解析】不等式组表示的平面区域为ADE △．11==105=2522ADE S DE AE ⋅⨯⨯△． A 4,3()B -2,0()C 4,0()D -6,-2()E 4,-2()到20y +=距离大于2的点位于ABC △内．11==63922ABC S BC AC ⋅⨯⨯=△． ∴概率925ABC ADE S S ==△△． 故答案为：925． 12．在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为__________． 【答案】60【解析】2为男生不连续出场，有323472A A =种排法． 女生甲在第一位且2男生不相邻有2223=12A A 种． ∴共有721260-=种排法． 故答案为：60．13．某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示：图1逻辑思维成绩排名总成绩排名乙甲200200O阅读表达成绩排名丙O200200逻辑思维成绩排名图2给出下面四个结论：A ．甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前．B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前．C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前．D ．乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前． 则所有正确结论的序号是__________． 【答案】C【解析】由图可知：甲的逻辑思维成绩靠前，总成绩靠后，故阅读成绩靠后，A 错． 乙的逻辑思维成绩靠中间，总成绩靠前，故乙的阅读成绩更靠前，B 错． 显然C 正确． 故答案为：C ．14．直线1:10l ax y a+-=与x ，y 轴的交点分为A ，B ，直线1与圆22:1O x y +=的交点为C ，D ．给出下面三个结论：①1a ∀≥，12AOB S =△；②1a ∃≥，AB CD <； ③1a ∃≥，12COD S <△． 则所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③【解析】①1a ≥时，1,0A a ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,)B a ，1=OA a ，=OB a ． 111=22AOB S a a ⨯⨯=△．∴①正确．②2222211a AB a a a +=+=，圆心到l 的距离2222111a d a a a==++． 222224=4(1)4111a CD d a a ⎛⎫-=-= ⎪++⎝⎭． 222222222222214(1)4(1)=1(1)(1)a a a a AB CD a a a a a a ++----==+++．∵1a ≥． ∴220AB CD -≥． ∴②错误．③222112=2211COD a S d CD a a =⋅⋅++△ 2111a a a a==++．在1a ≥时，12a a +≥，当且仅当1a a =，即1a =时取等号． ∴1a >时，12COD S <△． ∴③正确． 故答案为：①③．三．解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．O体育成绩各分数段人数9585756555451412108642（1）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全校中“体育良好”的学生人数．（2）为分析学生平时的体育活动情况，现从体积成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)的概率．（3）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a ，b ，c ，且分别在[70,80)，[80,90)，[90,100]三组中，其中a ，b ，c ∈N ，当数据a ，b ，c 的方差2s 最小时，写出a ，b ，c 的值．（结论不要求证明）（注：2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-其中x 为数据1x ，2x ，…，n x 的平均数）【答案】（1）750人．（2）710．（3）70，80，90． 【解析】（1）由折线图可知，成绩在[70,80)间的有14人，在[80,90)间的有3人，在[90,100)间的有13人． 故成绩良好的有30人，频率为303404=． 故高一学生中“体育良好”的学生人数约为310007504⨯=人． （2）成绩在[60,70)与[80,90)间的学生分别有2人与3人，记至少有一人成绩在[60,70)为事件A ． 则232537()=111010C P A C -=-=．（3）当数据a ，b ，c 的方差2s 最小时，a ，b ，c 的值分别为70，80，90．16．如图，在四棱椎P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，且==3PB AB AD =，=1BC ．（1）若点F 为PD 上一点且1=3PF PD ，证明：CF ∥平面PAB ．（2）求直线BD 与平面PAD 所成角．（3）在线段PD 上是否存在一点M ，使得CM PA ⊥？若存在，求出PM 的长，若不存在，说明理由．PFDCBA【答案】（1）证明见解析．（2）π6．（3）存在，33=2PM ． 【解析】（1）取1=3AE AD ，连接EF ，CE ．∵1=3PF PD ．∴EF PA ∥． ∵EF ⊄平面PAB ． ∴EF ∥平面PAB ． ∵BC AE ∥．∴四边形ABCE 是平行四边形． ∴CE AB ∥． ∵CE ⊄平面PAB ． ∴CE ∥平面PAB ． ∴平面CEF ∥平面PAB ． ∴CF ∥平面PAB ．（2）∵PB ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥．以B 为原点，BC ，BA ，BP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 则(0,0,0)B ，(0,0,3)P ，(0,3,0)A ，(3,3,0)D ． =(3,30)BD ,，(3,3,3)PD =-，(3,0,0)AD =．设平面PAD 的一个法向量(,,)n x y z =． 333030PD n x y z AD n x ⋅=+-=⋅⎧⎪⎪⎩==⎨，令1y =，1z =． ∴(0,1,1)n =，设BD 与平面PAD 所成夹角为θ．则Ez y xABCFP31sin cos ,2322n BD n BD n BDθ⋅=<>===⋅⋅． ∴π6θ=． （3）假设存在M ，(3,3,3)PM PD λλλλ==-，[0,1]λ∈． 则(3,3,33)M λλλ-，又∵(0,3,0)A ，(1,0,0)C ．∴(31,3,33)CM λλλ=--，(0,3,3)PA =-，9990CM PA λλ⋅=-+=． ∴12λ=． ∴2221133==33(3)222PM PD ++-=． 17．已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>的离心率32，其左顶点A 在圆22:16O x y +=上．（1）求椭圆W 的方程；（2）若点P 为椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点Q ，是否存在点P ，使得=3PQ AP．若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由．BOAyx【答案】（1）221164x y +=．（2）不存在，理由见解析．【解析】（1）椭圆左顶点A 在圆2216x y +=上，可知A 点坐标为(4,0)-． ∴4a =． ∵32c e a ==． ∴23c =． ∴2224b a c =-=．∴椭圆方程为221164x y +=． （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ． 设AP 直线方程为(4)y k x =+．与椭圆联立消y 221164(4)x y y k x +==+⎧⎪⎨⎪⎩化简得：2222(14)3264160k x k x k +++-=．4-为方程一个根．∴2126416414k x k --=+，21241614k x k -=+．∴2281=14k AD k++．∵圆心直线AD 的距离241k d k =+．∴228=161AQ d k -=+．∵1PQ AQ AP AQ APAPAP-==-．∴222222228143311*********PQk k k AP k k k k k ++=-=-==--++++．显然23331k -≠+． ∴不存在点P 使=3PQ AP．18．正文体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P ，Q ，R 分别是棱1A A ，11A B ，11A D 的中点． （1）求二面角1P RQ C --的余弦值．（2）以PQR △为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面三个顶点也都在该正方体的表面上，求这个正三棱柱的高．R QPD 1C 1B 1A 1DCBA【答案】（1）33-．（2）32．【解析】（1）以DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系．11 F Ezy x AB CDA 1B 1C 1D 1P QR则110,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1,0,12R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,12Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 110,,22PQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,,022RQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 设平面PQR 的一个法向量(,,)n x y z =． 1102211+022n PQ y z n PQ x y ⎧⎪⎪⎨⋅=+=⋅=⎪⎪=⎩，可取(1,1,1)n =-． 平面1RQC 的一个法向量可取1(0,0,1)PD =-． 11113cos ,33D D n D D n D D n ⋅-<>===-⋅．由图，二面角为钝角．∴其余弦值为33-． （2）连接1A C ，AC ，1B C ，1D C ，分别取AC ，1B C ，1D C 中点E ，F ，G ． 连接EF ，FG ，EG ，PE ，QF ，RG ．∴112PE AC ∥，112QF AC ∥，112RG AC ∥． ∴PQ QF RG ∥∥． 又∵1A C ⊥平面PQR ．∴三棱柱PQR EFG -是正三棱柱． 其高11322h PE AC ===．。
