最新北师大版九年级上相似三角形(知识点+练习例题+答案)
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学生编号 学生姓名 授课教师
辅导学科 九年级数学 教材版本 上教
课题名称 相似三角形 课时进度 总第（ ）课时 授课时间 7月28日
教学目标 掌握相似三角形的概念、性质及判定方法，能够灵活应用相似三角形的性质和判定方法方法解决实际问题。
重点难点 重点：相似三角形的概念、判定定理和相似三角形的性质
难点：如何根据问题的结论，在较复杂的图形中找到所要证明的相似三角形．
同步教学内容及授课步骤
知识点归纳：
1、三角形相似的判定方法
（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角
形与原三角形相似。
（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。
（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相
似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
（6）判定直角三角形相似的方法：
①以上各种判定均适用。
②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，
那么这两个直角三角形相似。
③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，
则有射影定理如下：
（1）（AD）2=BD·DC，
（2）（AB）2=BD·BC ，
- 2 - （3）（AC）2=CD·BC 。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。即 （AB）2+（AC）2=（BC）2。
典型例题：
例1 如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG‖AB，BG分别交AD，AC于E、 F，求证：BE2＝EF·EG
证明：如图，连结EC，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠ACB，AD垂直平分BC
∴BE＝EC，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2，
即∠3＝∠4，又CG∥AB，∴∠G＝∠3，∴∠4＝∠G
又∵∠CEG＝∠CEF，∴△CEF∽△GEC，∴EGCE=CEEF
∴EC2＝EG· EF，故EB2=EF·EG
【解题技巧点拨】
本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC，把原来处在同一条直线上的三条线段BE，EF，EC转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。
例2 已知：如图，AD是Rt△ABC斜BC上的高，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于F，求证：BAFB=ACFD
证法一：如图，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝Rt∠，AD⊥BC，
- 3 - ∴∠3＝∠C，又E是Rt△ADC的斜边AC上的中点，
∴ED=21AC＝EC，∴∠2＝∠C，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，
∴∠DFB＝∠AFD，∴△DFB∽△AFD，∴FDFB＝ADBD （1）
又AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，∴Rt△ABD∽Rt△CAD，∴ADBD=ACBA （2）
由（1）（2）两式得FDFB=ACBA，故BAFB=ACFD
证法二：过点A作AG∥EF交CB延长线于点G，则BAFB=AGFD （1）
∵E是AC的中点，ED∥AC，∴D是GC的中点，又AD⊥GC，∴AD是线段GC的垂直平分线，∴AG＝AC （2）
由（1）（2）两式得：BAFB=ACFD，证毕。
【解题技巧点拨】
本题证法中，通过连续两次证明三角形相似，得到相应的比例式，然后通过中间比“ADBD”过渡，使问题得证，证法二中是运用平行线分线段成比例定理的推论，三角形的中位线的判定，线段的垂直平分线的判定与性质使问题得证．
一、如何证明三角形相似
例1、如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽ ∽ 。
例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD
例3：已知，如图，D为△ABC内一点连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD
求证：△DBE∽△ABC
ABCDEFG1234ABCDABCDEF
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例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。
二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
例5、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延长线上截取BE，使AD=BE，求证：DF•AC=BC•FE
例6：已知：如图，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中点，DM⊥BC于点E，交BA的延长线于点D。
求证：（1）MA2=MD•ME；（2）MDMEADAE22
例7：如图△ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E，交AB于F，求证：AE：ED=2AF：FB。
三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
例8：已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且31ADAFABEB。求证：∠AEF=∠FBD
ABCDEFGABCDEM12ABCDEFKABCDSPRQOABCDEFABCDEFO123ABCDFGE
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例9、在平行四边形ABCD内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线， 求证：SQ∥AB，RP∥BC
例10、已知A、C、E和B、F、D分别是∠O的两边上的点，且AB∥ED，BC∥FE，求证：AF∥CD
例11、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，FG∥AC交AB于G，求证：FC=FG
例12、Rt△ABC锐角C的平分线交AB于E，交斜边上的高AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF
课后作业
学生姓名 所属年级 九年级 辅导学科 数学
任课教师 作业时限 90分钟 布置时间 月 日
一、填空题
1.已知：在△ABC中，P是AB上一点，连结 CP，当满足条件∠ACP= 或∠APC= 或
AC2= 时，△ACP∽△ABC．
2.两个相似三角形周长之比为4∶9，面积之和为291，则面积分别是 。
3.如图，DEFG是Rt△ABC的内接正方形，若CF＝8，DG＝42，则BE＝ 。
4．如图，直角梯形 ABCD中，AD‖BC，AD⊥CD，AC⊥AB，已知AD＝4，BC＝9，则 AC＝
。
5．△ABC中，AB＝15，AC＝9，点D是AC上的点，且AD=3，E在AB上，△ADE与△ABC相似，则AE的长等于 。
- 6 - 6.如图，在正方形网格上画有梯形ABCD，则∠BDC的度数为 。
7.△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BC＝1，BD平分∠ABC交于D，则BD＝ ，AD＝ ，设AB＝x,则关于x的方程是 .
8．如图，已知D是等边△ABC的BC边上一点，把△ABC向下折叠，折痕为MN，使点A落在点D处，若BD∶DC＝2∶3，则AM∶MN= 。
二、选择题
9.如图，在正△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且ACAD=31，AE=BE，则有（）
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
10．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A，BC=6，AC＝3，则CD的长为（ ）
A.1 B.23 C.2 D.25
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11．如图，□ABCD中，G是 BC延长线上一点，AG与 BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
12． P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）
A．1条 B.2条 C．3条 D．4条
13．如图，在直角梯形 ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC=3，若在 AB上取一点P，使以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，这样的P点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、解答下列各题
14.如图，长方形ABCD中，AB=5，BC＝10，点P从A点出发，沿AB作匀速运动，1分钟可以到达B点，点Q从B点出发，沿BC作匀速直线运动，1分钟可到C点，现在点P点Q同时分别从A点、B点出发，经过多少时间，线段PQ恰与线段BD垂直？
15．已知：如图，正方形DEFG内接于Rt△ABC，EF在斜边BC上，EH⊥AB于H．求证：（1）△ADG≌△HED；（2）EF2＝BE·FC
