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第3节 等比数列及其前n项和
最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.
知 识 梳 理
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：anan－1＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±ab.
2. 等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1； 最新人教版初中数学精品资料设计
最新人教版初中数学精品资料设计 2 当q≠1时，Sn＝a1（1－qn） 1－q ＝a1－anq1－q.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，
ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
[常用结论与微点提醒]
1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a2n}，1an也是等比数列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
第03讲 等比数列及其前n项和
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：等比数列基本量的运算
题型二：等比数列的判断与证明
题型三：等比数列的性质及其综合应用
角度1：等比数列的性质
角度2：等比数列与等差数列的综合问题
第四部分：高考真题感悟
1.等比数列的概念
(1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(0q)表示．数学语言表达：1(2)nnaqna，q为常数，0q.
(2)等比中项
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔2Gab.
2.等比数列的有关公式
(1)若等比数列{}na的首项为1a，公比是q，则其通项公式为11nnaaq；可推广为第一部分：知 识 点 精 准 记 忆 nmnmaaq.
(2)等比数列的前n项和公式：当1q时，1nSna；当1q时，11(1)11nnnaaqaqSqq.
3.等比数列的性质
设数列{}na是等比数列，nS是其前n项和．
(1)若mnpq，则mnpqaaaa，其中,,,mnpqN.特别地，若2mnp，则2mnpaaa，其中,,mnpN.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ka，kma，2kma，…仍是等比数列，公比为mq(,kmN)．
(3)若数列{}na，{}nb是两个项数相同的等比数列，则数列{}nba，{}nnpaqb和{}nnpaqb(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列．
1．（2022·宁夏·平罗中学高一期中（理））已知2、x、8成等比数列，则x的值为（ ）
A．4 B．4 C．4 D．5
【答案】C
高考数学（理科）一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案
学案30 等比数列及其前n项和
导学目标： 1理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3了解等比数列与指数函数的关系4能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝______________
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝a•________ (n，∈N*)． (2)若{an}为等比数列，且＋l＝＋n (，l，，n∈N*)，则__________________________．
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan} (λ≠0)，1an，{a2n}，{an•bn}，anbn仍是等比数列．
(4)单调性：a1>0，q>1或a1<00<q<1⇔{an}是________数列；a1>0，0<q<1或a1<0q>1⇔{an}是________数列；q＝1⇔{an}是____数列；q<0⇔{an}是________数列．
．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q (q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1qn－1q－1＝a1qnq－1－a1q－1
第3讲 等比数列及其前n项和
一、知识梳理
1．等比数列的有关概念
(1)定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示．
(2)等比中项
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．
“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝na1，q＝1，a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q，q≠1.
3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N+
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a2r．
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
常用结论
1．正确理解等比数列的单调性
当q>1，a1>0或0
当q>1，a1<0或00时 ，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列；
当q＝－1时，{an}是摆动数列．
2．记住等比数列的几个常用结论
(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．
(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(3)一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．
(4){an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，T2nTn，T3nT2n，…成等比数列．
(5)当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝a11－q.
