21.4.1用因式分解法解一元二次方程

一元二次方程——公式法及因式分解法

知识点1：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，式子x=242bbaca就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式．

知识点2：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况

① b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；

② b2-4ac=0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；

③ b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；

知识点3：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

应用公式法解一元二次方程的步骤: 1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.

2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号．．．．．．．．．．．。 3)计算b2-4ac，若0ac4b2，方程无解； 4）若0ac4b2，代入求根公式，算出结果。

【经典例题】

例1.不解方程，判断下列方程的根的情况。

（1）04x3x22 （2）y249y162 （3）0x7)1x(52

例2．用公式法解下列方程．

（1）2x2-4x+2=0 (2)2x2-3x+2=0 （3）-3x2+2=5x

（4）02yy2 （5）1622xx （6）xx4322

例3．已知方程0kx4x22。

（1）当k 时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当k 时，方程有两个相等的实数根；

（3）当k 时，方程没有实数根。

例4. 已知关于x的一元二次方程)0a(01bxax2有两个相等的实数根，求4b)2a(ab222的值。

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典型例题一

例 用因式分解法解下列方程：

(1)y2＋7y＋6＝0； (2)t(2t－1)＝3(2t－1)； (3)(2x－1)(x－1)＝1．

解：（1）方程可变形为(y＋1)(y＋6)＝0

y＋1＝0或y＋6＝0

∴y1＝－1，y2＝－6

(2)方程可变形为t(2t－1)－3(2t－1)＝0

(2t－1)(t－3)＝0，2t－1＝0或t－3＝0

∴t1＝21，t2＝3．

(3)方程可变形为2x2－3x＝0

x(2x－3)＝0，x＝0或2x－3＝0

∴x1＝0，x2＝23

说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．

(2)应用因式分解法解形如(x－a)(x－b)＝c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x－e)(x－f)＝0的形式，这时才有x1＝e，x2＝f，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：

原方程变形为：2x－1＝1或x－1＝1．∴x1＝1，x2＝2．

(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t－1)，请同学们思考

典型例题二

例 用因式分解法解下列方程

6223362xxx

解：把方程左边因式分解为：

0)23)(32(xx

∴032x或023x

∴ 32,2321xx

说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。

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典型例题三

例 用因式分解法解下列方程。

1522yy

解: 移项得：01522yy

把方程左边因式分解

得：0)3)(52(yy

∴052y或03y

一元二次方程的五种解法

一元二次方程是数学中常见的方程类型，解一元二次方程有多种方法。下面将介绍五种解一元二次方程的方法。

一、因式分解法

通过因式分解的方法，将一元二次方程化简为两个一次方程，进而求解方程的解。例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以通过因式分解得到(x + 2)(x + 3) = 0，进而得到x = -2或x = -3。

二、配方法

通过配方法，将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，然后求解方程的解。例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以通过配方法将其转化为(x + 3)^2 = 0，进而得到x = -3。

三、求根公式法

一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别为方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。通过代入系数，计算出方程的解。例如，对于方程x^2 + 2x - 3 = 0，我们可以代入a = 1，b = 2，c = -3，然后利用求根公式计算出x的值。

四、完成平方法

通过将一元二次方程的两边进行平方，化简为一个完全平方的形式，然后求解方程的解。例如，对于方程x^2 + 4x + 4 = 0，我们可以通过将其两边进行平方得到(x + 2)^2 = 0，进而得到x = -2。

五、图像法

通过绘制一元二次方程的图像，观察图像与x轴的交点来求解方程的解。例如，对于方程x^2 - 4 = 0，我们可以绘制出抛物线的图像，观察到抛物线与x轴的交点为x = 2和x = -2，因此方程的解为x = 2和x = -2。

解一元二次方程有多种方法，包括因式分解法、配方法、求根公式法、完成平方法和图像法。不同的方法适用于不同的方程，选择合适的解法可以更快地求解一元二次方程的解。在实际应用中，根据方程的形式和已知条件，选择合适的解法可以简化计算，提高效率。

人教版讲义九年级第二十一章一元二次方程解一元二次方程因式分解法

探求点1 用因式分解法解一元二次方程

情形激疑

直接开平方法解方程比拟复杂,配方法、公式法十分费事，运算量较大，有没有复杂的解一元二次方程的方法呢?

知识解说

(1)因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是应用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法。

因式分解法就是先把方程的左边化为0,再把左边经过因式分解化为两个一次因式的积的方式,那么这两个因式的值就都有能够为0,这就能失掉两个一元一次方程,这两个一元一次程的解,都是原一元二次方程的解,这样也就把原方程停止了次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的效果了(数学转化思想)。

(2)因式分解法解一元二次方程的普通步骤：

①移项,使方程的左边为零;

②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;

③令每个因式区分为零,失掉两个一元一次方程;

④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解。

留意 运用因式分解法解一元二次方程时,方程的左边化为两个一次因式的乘积的方式,左边一定要化为0,否那么求得的解是错误的。

如:把方程化为(x+3)(x-2)=5,那么x+3=0,或x-2=0得原方程的解为2,321xx是错误的。 典例剖析

例1 用因式分解法解方程:

(1)4x2=11x；

(2)(x-2)2=2x-4.

解析 (1)移项提取公因式x；(2)等号右侧移项到左侧得-2x+4,提取因式-2,即—2(x-2),再提取公因式x-2,便可到达分解因式的目的,一边为两个一次式的乘积,另一边为0的方式。

答案 (1)移项,得4x2-11x=0.

因式分解,得x(4x-11)=0

于是,得x=0,或4x-11=0,

(2)移项,得(x-2)2-2x+4=0,

(x-2)2-2(x-2)=0

因式分解,得(x-2)(x-2-2)=0.

整理,得(x-2)(x-4)=0