双缝干涉条纹间距公式的推导——两种方法

双缝干涉公式
光的双缝干涉中公式Δx=Lλ/d
其中，Δx表示干涉条纹宽度，L指屏到狭缝的水平距离，λ表示波长，d表示双缝间距。

双缝干涉的干涉条纹中间的明纹亮度较大，边上的明纹亮度逐渐减小。

双缝的宽度为毫米量级，干涉条纹的宽度也不过几厘米。

双缝与条纹上不同位置的距离相差极小、几乎相等，而干涉条纹里中间明纹和边上明纹的亮度差别明显，所以明纹亮度的差别不是因与双缝的距离不同而引起的。

双缝干涉实验：
双缝干涉实验中，缝的宽度越小，干涉条纹的亮度就越小，所以理想的、或接近于理想的双缝干涉无法在实验中完成。

理想的双缝干涉的理论结果无法用实验直接验证，但是计算机模拟实验可以在一定程度上验证理论结果的正确性，还可以使我们一睹理想双缝的干涉条纹的真容。

真实的、缝有一定宽度的双缝干涉应该叫作双缝衍射，而双缝干涉就应该是指缝宽度为0的理想双缝干涉。

遗憾的是，双缝衍射的称呼经常只出现于物理系高年级的量子力学课程之中。

高中双缝干涉实验公式
双缝干涉实验是光学中的重要实验之一，它展示了光的干涉现象。

在高中物理双缝干涉实验中，光线从光源经过双缝后照射到屏幕上，会出现一系列的干涉条纹。

干涉条纹的出现是由于光的波粒二象性和波动性共同作用的结果。

根据波动性的原理，当光线经过两个狭缝时，会形成干涉条纹。

干涉条纹的间距取决于两个因素：一是光程差，即光线从两个狭缝中穿出时，光程不同而形成的干涉条纹间距;二是波长，波长相同时，
干涉条纹间距最小。

根据波动性的原理，当光线经过两个狭缝时，会形成干涉条纹。

干涉条纹的间距取决于两个因素：一是光程差，即光线从两个狭缝中穿出时，光程不同而形成的干涉条纹间距;二是波长，波长相同时，
干涉条纹间距最小。

具体地，双缝干涉条纹间距公式可以表示为:
dx = 2d sin(θ/2) / λ
其中，dx 是相邻两条干涉条纹之间的距离，d 是双缝之间的距离，θ是双缝之间的夹角，λ是光的波长。

这个公式可以用来计算任何干涉条纹之间的距离，无论干涉条纹是亮还是暗。

双缝干涉实验是光学中的重要实验之一，它展示了光的干涉现象。

在高中物理双缝干涉实验中，学生会观察到一系列的干涉条纹，而干涉条纹的出现是由于光的波粒二象性和波动性共同作用的结果。

双缝干涉明暗条纹公式
双缝干涉是物理学，光学和计算机科学的关键技术。

它可以用来
生成清晰的两种成像模式，即明暗条纹和点阵模式。

双缝干涉明暗条纹不仅能显示干涉图，还可以用来测量物体的位置，形状，大小和厚度。

明暗条纹公式是用来计算双缝干涉中"信号"所用的公式之一。

它以一个展开的式子形式表示，它可以用来表示双缝干涉中明暗条纹的位置：u（y1）=k1*d*sin（2π/λ*y1）-m*λ/ d。

在此式中，d表示光束干涉的距离，y1表示看到的明暗条纹的第一个坐标轴的坐标，
λ表示光的波长，m表示条纹的序号，而k1表示一个偏移量。

明暗
条纹公式可以用来测量介质在双缝间隙中镜像的量（又称为黑白间距）。

明暗条纹公式可以用来精确地描述双缝干涉中的细节，比如双缝介质中的位移，对应不同波长的明暗条纹。

测量双缝介质中的位移可以帮助我们提高成像的质量，精确测量位移也有助于诊断影像中的异常。

双缝干涉明暗条纹公式的确可以让我们更好的理解双缝干涉的行
为和它的潜在效应，并使用这种公式来准确测量双缝间隙中的位移，从而提高影像的质量。

因此，在光学和计算机科学领域，双缝干涉明暗条纹公式显得十分重要。

4实验：用双缝干涉测量光的波长[学习目标] 1.掌握双缝干涉条纹间距的计算公式及推导过程.2.掌握用双缝干涉测波长的原理、操作、器材及注意事项，3.会利用双缝干涉实验测量单色光的波长，加深对双缝干涉的理解．一、双缝干涉条纹间距的计算[导学探究]如图1所示，两缝间的距离为d，两缝连线中点为O，两缝连线的中垂线与屏的交点为P0，双缝到屏的距离OP0＝l，屏上有一点P到两缝的距离为r1和r2，用波长为λ的激光照射双缝．若屏上P点是中央亮条纹上侧第k条亮纹，P点到P0点的距离满足什么条件？请阅读课本相关内容，参照下图，写出推导过程．图1答案 x ＝kl d λ.推导过程：Δr ＝r 2－r 1＝kλ≈d sin θ，x ＝l tan θ≈l sin θ，可得x ＝kld λ.[知识梳理] 双缝干涉条纹间距的决定因素及关系式 1．决定双缝干涉条纹间距的关系式推导如图1所示，Δr ＝r 2－r 1＝d sin θ，x ＝l tan θ≈l sin θ，消去sin θ可得r 2－r 1＝d xl .又因为满足条件r 2－r 1＝±kλ是亮条纹，故得x ＝±k ld λ，相邻两亮条纹或暗条纹的中心间距为：Δx ＝l dλ.2．若双缝到屏的距离用l 表示，双缝间的距离用d 表示，相邻两条亮条纹间的距离用Δx 表示，则入射光的波长为λ＝d Δxl .[即学即用] 判断下列说法的正误．(1)使用同一双缝实验装置做实验，亮条纹间距与光波波长成正比．(×)(2)根据λ＝d Δxl ，用同一种色光做双缝干涉实验，光波波长随双缝间距的增大而增大．(×)(3)单色光的双缝干涉条纹是等间距明暗相间的条纹．(√)二、实验：用双缝干涉测量光的波长1．实验器材双缝干涉仪，即光具座、光源、滤光片、单缝、双缝、遮光筒、毛玻璃屏、测量头．另外还要有学生电源和导线等． 2．实验步骤(1)按如图2所示安装仪器．图2(2)将光源中心、单缝中心、双缝中心都调节在遮光筒的中心轴线上．(3)使光源发光，在光源和单缝之间加红(绿)色滤光片，让过滤后的条形光斑恰好落在双缝上，通过调节遮光筒上测量头的目镜，观察单色光的干涉条纹；撤去滤光片，观察白光的干涉条纹(彩色条纹)．(4)再次加装滤光片，通过目镜观察单色光的干涉条纹，同时调节手轮，使分划板的中心刻线对齐某一亮(暗)条纹的中心，记下此时手轮的读数，然后继续转动手轮使分划板移动，直到分划板的中心刻线对齐另一亮(暗)条纹中心，再次记下此时手轮读数和移过分划板中心刻线的条纹数n .(5)将两次手轮的读数相减，求出n 个亮(暗)条纹间的距离a ，利用公式Δx ＝an －1算出条纹间距，然后利用公式λ＝dl Δx ，求出此单色光的波长λ(d 、l 仪器中都已给出)．(6)换用不同颜色的滤光片，重复步骤(3)、(4)，并求出相应的波长． 3．注意事项(1)单缝、双缝应相互平行，其中心大致位于遮光筒的中心轴线上，双缝到单缝的距离应相等． (2)测双缝到屏的距离l 时用毫米刻度尺多次测量取平均值．(3)测条纹间距Δx 时，用测量头测出n 条亮(暗)条纹间的距离a ，求出相邻两条亮(暗)条纹间的距离Δx ＝a n －1.一、双缝干涉条纹间距问题例1在用红光做双缝干涉实验时，已知双缝间的距离为0.5 mm ，测得双缝到光屏的距离为1.0 m ，在光屏上第一条暗条纹到第六条暗条纹间的距离为7.5 mm.则：(1)此红光的频率为多少？它在真空中的波长为多少？(2)假如把整个装置放入折射率为43的水中，这时屏上相邻亮条纹的间距为多少？答案 (1)4.0×1014 Hz 7.5×10－7 m (2)1.125×10－3 m解析 (1)相邻两条暗条纹间的距离：Δx ＝7.5×10－35 m ＝1.5 ×10－3 m.根据λ＝dl Δx 得：λ＝0.5×10－31.0×1.5×10－3 m ＝7.5×10－7 m ，由f ＝c λ得此光的频率：f ＝cλ＝ 3.0×1080.75×10－6Hz ＝4.0×1014 Hz.(2)在水中红光的波长λ′＝λn ＝34×7.5×10－7 m ＝5.625×10－7 m ，相邻两条亮条纹间的距离为：Δx ＝l d λ′＝ 1.00.5×10－3×5.625×10－7 m ＝1.125×10－3 m二、实验：用双缝干涉测量光的波长例2在“用双缝干涉测量光的波长”的实验中，装置如图3所示．双缝间的距离d＝3 mm.图3(1)若测量红光的波长，应选用________色的滤光片．实验时需要测定的物理量有________和________．(2)若测得双缝与屏之间的距离为0.70 m，通过测量头(与螺旋测微器原理相似，手轮转动一周，分划板前进或后退0.500 mm)观察第1条亮条纹的位置如图4甲所示，观察第5条亮条纹的位置如图乙所示．则可求出红光的波长λ＝________m.图4答案 见解析解析 (1)要测量红光的波长，应用红色滤光片．由Δx ＝ld λ可知要想测λ必须测定双缝到屏的距离l 和条纹间距Δx .(2)由测量头的数据可知a 1＝0，a 2＝0.640 mm ， 所以Δx ＝a 2－a 1n －1＝0.6404 mm ＝1.60×10－4 m ，λ＝d Δx l ＝3×10－3×1.60×10－40.70m ≈6.86×10－7 m.1．如图所示，A 、B 、C 、D 代表双缝产生的四种干涉图样，回答下面问题：(1)如果A图样是红光通过双缝产生的，那么换用紫光得到的图样用________图样表示最合适．(2)如果将B图样的双缝距离变小，那么得到的图样用________图样表示最合适．(3)如果将A图样的双缝到屏的距离变小，那么得到的图样用________图样表示最合适．(4)如果将A图样的装置从空气移入水中，那么得到的干涉图样用________图样表示最合适．答案(1)C(2)D(3)C(4)C解析利用Δx＝ldλ公式，光源由红光换成紫光时，λ变小，相应Δx也变小，(1)中应选C；双缝距离d减小时，Δx变大，(2)中应选D；双缝到屏的距离l变小，得到的图样的Δx变小，(3)中应选C；将装置从空气移入水中时，波长λ减小，Δx也减小，(4)中应选C.2．如图5所示，在“用双缝干涉测量光的波长”的实验中，光具座上放置的光学元件有光源、遮光筒和其他元件，其中a、b、c、d各装置的名称依次是下列选项中的()图5A．a单缝、b滤光片、c双缝、d光屏B．a单缝、b双缝、c滤光片、d光屏C．a滤光片、b单缝、c双缝、d光屏D．a滤光片、b双缝、c单缝、d光屏对于某种单色光，为增加相邻亮纹(或暗纹)之间的距离，可采用的方法是(任写一种方法)________．答案C增加双缝到屏的距离或减小双缝间距解析a、b、c、d各装置的名称分别为滤光片、单缝、双缝、光屏，故C正确；由Δx＝ldλ可知，要增加相邻亮纹(或暗纹)的距离，可以增加双缝到屏的距离，也可以减小双缝间距．3．在双缝干涉实验中，分别用红色和绿色的激光照射同一双缝，在双缝后的屏幕上，红光的干涉条纹间距Δx1与绿光的干涉条纹间距Δx2相比，Δx1________(填“＞”“＜”或“＝”)Δx2.若实验中红光的波长为630 nm，双缝与屏幕的距离为1.00 m，测得第一条到第6条亮条纹中心间的距离为10.5 mm，则双缝之间的距离为________mm.答案＞0.300解析根据Δx＝ldλ，因为红光的波长比绿光的长，所以红光的干涉条纹间距Δx1比绿光的干涉条纹间距Δx2大；由题意得相邻亮条纹的间距为Δx＝a5＝10.55mm＝2.1×10－3 m，再由Δx＝ldλ可以解得d＝0.300 mm.一、选择题1．做双缝干涉实验时，要增大屏上相邻亮条纹之间的距离，可以采取的措施是()A. 减小双缝到屏的距离B. 增大光的频率C. 增大双缝之间的距离D. 增大光的波长答案 D解析由双缝干涉中条纹间距的表达式Δx＝ldλ可知，增大条纹间距Δx，可以增大双缝到屏的距离l、减小双缝之间的距离d，或者增大光的波长λ，故A、C错，D对；增大光的频率，则减小了光的波长，条纹间距减小，故B错．2．某同学用单色光进行双缝干涉实验，在屏上观察到如图1 (甲)所示的条纹，仅改变一个实验条件后，观察到的条纹如(乙) 图所示．他改变的实验条件可能是()图1A. 减小光源到单缝的距离B. 减小双缝之间的距离C. 减小双缝到光屏之间的距离D. 换用频率更高的单色光源答案 B解析改变条件后亮条纹之间的间距变大，由公式Δx＝ldλ可知，要使Δx增大，可增大双缝到光屏之间的距离l，C错误；减小双缝之间的距离d，B对；换用波长更长，即频率更低的单色光，D错；改变光源到单缝的距离不会改变Δx，A错．3．(多选)利用图2中装置研究双缝干涉现象时，下面几种说法正确的是()图2A．将屏移近双缝，干涉条纹间距变窄B．将滤光片由蓝色的换成红色的，干涉条纹间距变宽C．将单缝向双缝移动一小段距离后，干涉条纹间距变宽D．换一个双缝之间距离较大的双缝，干涉条纹间距变窄答案ABD解析由条纹间距公式Δx＝ldλ(d指双缝间距离，l是双缝到屏的距离)，可知：A项中l减小，Δx变小；B项中λ变大，Δx变大；D项中d变大，Δx变小．故A、B、D正确．4．(多选)某同学按双缝干涉实验装置安装好仪器后，观察光的干涉现象，获得成功．若他在此基础上对仪器的安装做如下改动，仍能使实验成功的是()A. 将遮光筒内的光屏向靠近双缝的方向移动少许，其他不动B. 将滤光片移至单缝和双缝之间，其他不动C. 将单缝向双缝移动少许，其他不动D. 将单缝与双缝的位置互换，其他不动答案ABC解析由Δx＝ldλ知，改变双缝到光屏的距离l仍能得到清晰条纹，只不过条纹间距变化，故A正确．单缝与双缝间的距离对干涉无影响，故C正确．滤光片的作用是得到相干单色光，装在单缝前还是在单、双缝之间不影响干涉，故B正确．5. (多选)关于“双缝干涉测光波的波长”实验，正确的说法是()A．实验时应调节各器件共轴，并且单缝和双缝的缝应相互平行B．观察到的白光和干涉图样是：在视野中可以看到彩色的干涉条纹，中央为一条白亮的零级干涉条纹；彩色条纹的排列，以零级亮条纹为中心左右对称，在第一级亮条纹中紫色在最外侧C．看到白光的干涉条纹后，在单缝前面放上红色或绿色滤光片，即可看到红黑相间或绿黑相间的干涉条纹，且红条纹的间距比绿条纹的间距大D．测量时应使测量头的分划板的中心刻线对齐条纹的中心再读数答案ACD6．在“用双缝干涉测量单色光的波长”实验中()A．光源与屏之间应依次放置双缝、滤光片、单缝B．光源与屏之间应依次放置滤光片、双缝、单缝C．实验中，若仅将绿色滤光片改为红色滤光片，则屏上的干涉条纹间距将变宽D．实验中，若仅将绿色滤光片改为红色滤光片，则屏上的干涉条纹间距将变窄答案 C解析本实验先由滤光片得到单色光，再经单缝必须形成线光源，最后经过双缝，得到频率相同的光，进行干涉，故光源与屏之间应依次放置：滤光片、单缝、双缝，故A、B错误；根据双缝干涉条纹的间距公式Δx＝ldλ知，增大双缝到屏间的距离，或减小双缝间距，或换波长较长的光照射，可以增大条纹的间距，从而便于测量．单缝与双缝的间距不影响条纹间距．故C正确，D错误．7．(多选)双缝干涉实验装置如图3所示，绿光通过单缝S后，投射到具有双缝的挡板上，双缝S1和S2与单缝的距离相等，光通过双缝后在与双缝平行的屏上形成干涉条纹．屏上O点距双缝S1和S2的距离相等，P点是距O点最近的第一条亮条纹．如果将入射的绿光换成红光或蓝光，下列讨论屏上O点及其上方的干涉条纹的情况．其中正确的是()图3A．O点是红光的亮条纹B．红光的第一条亮条纹在P点的上方C．O点不是蓝光的亮条纹D．蓝光的第一条亮条纹在P点的上方答案AB解析O点到两缝的距离相等，故不论换用红光还是蓝光，O点均为亮条纹，所以A正确，C错误；由Δx＝ldλ可知，红光的波长比绿光的大，条纹间距也比绿光大，因此，红光的第一条亮条纹在P点的上方，B正确；同理，蓝光的波长比绿光的小，蓝光的第一条亮条纹在P点的下方，D错误．8．如图4所示双缝干涉实验中产生的条纹图样，甲图为用绿光进行实验的图样，a为中央亮条纹．乙图为换用另一种单色光进行实验的图样，a′为中央亮条纹，两次实验中双缝间距和双缝到屏的距离相等，则以下说法中正确的是()图4A．乙图可能是用红光实验产生的条纹，表明红光波长较长B．乙图可能是用紫光实验产生的条纹，表明紫光波长较长C．乙图可能是用紫光实验产生的条纹，表明紫光波长较短D．乙图可能是用红光实验产生的条纹，表明红光波长较短答案 A解析因为条纹间距与波长成正比，乙图中条纹间距大于甲图，故乙图中照射光的波长较长，可能为红光，故A正确．二、非选择题9. 在“用双缝干涉测量光的波长”的实验中，若已知双缝间的距离d.(1)若测定绿光的波长，应选用________色的滤光片．实验时需要测定的物理量有________和________．(2)已知双缝到光屏之间的距离l＝500 mm，双缝之间的距离d＝0.50 mm，单缝到双缝之间的距离s＝100 mm，某同学在用测量头测量时，调整手轮，在测量头目镜中先看到分划板中心刻线对准A条亮纹的中心，然后他继续转动，使分划板中心刻线对准B条亮纹的中心，前后两次游标卡尺的读数如图5所示．则入射光的波长λ＝________m(结果保留两位有效数字)．(3)实验中发现条纹太密，难以测量，可以采用的改善办法有________．A．改用波长较长的光(如红光)作为入射光B．增大双缝到屏的距离C．增大双缝到单缝的距离D．增大双缝间距图5 答案(1)绿双缝到屏的距离相邻条纹间距(2)6.4×10－7(3)AB解析(1)由于测量绿光的波长，因此应用绿色滤光片．由Δx＝ldλ可知要想测λ必须测定双缝到屏的距离l和条纹间距Δx.(2)游标卡尺读数精确度为0.1 mm，A位置主尺读数为11 mm，游标尺读数为1，读数为x1＝11 mm＋1×0.1 mm＝11.1 mm，同理B位置读数为x2＝15.6 mm，则条纹间距Δx＝x2－x17≈0.64mm.则λ＝dlΔx＝6.4×10－7 m.10．现有毛玻璃屏A、双缝B、白光光源C、单缝D和透红光的滤光片E等光学元件，要把它们放在如图6所示的光具座上组装成双缝干涉装置，用以测量红光的波长．图6(1)将白光光源C放在光具座最左端，依次放置其他光学元件，由左至右，表示各光学元件的字母排列顺序应为C、________、________、________、A.(2)本实验的步骤有：①取下遮光筒左侧的元件，调节光源高度，使光束能直接沿遮光筒轴线把屏照亮；②按合理顺序在光具座上放置各光学元件，并使各元件的中心位于遮光筒的轴线上；③用刻度尺测量双缝到屏的距离；④用测量头(其读数方法同螺旋测微器)测量数条亮条纹间的距离.在操作步骤②时还应注意：____________.(3)将测量头的分划板中心刻线与某亮条纹中心对齐，将该亮条纹定为第1条亮条纹，此时手轮上的示数如图7甲所示．然后同方向转动测量头，使分划板中心刻线与第6条亮条纹中心对齐，记下此时图乙中手轮上的示数______ mm，求得相邻亮条纹的间距Δx为______ mm.图7(4)已知双缝间距d 为2.0×10－4 m ，测得双缝到屏的距离l 为0.700 m ，由计算式λ＝________，求得所测红光的波长为________ nm.答案 (1)E D B (2)见解析 (3)13.870 2.310(4)d Δx l6.6×102 解析 (1)滤光片E 是用来从白光中选出单色红光的，单缝屏是用来获得线光源的，双缝屏是用来获得相干光源的，最后成像在毛玻璃屏上．所以排列顺序为：C 、E 、D 、B 、A .(2)在操作步骤②时应注意的事项有：放置单缝、双缝时，必须使缝平行；要保证光源、滤光片、单缝、双缝和毛玻璃屏的中心在同一轴线上．(3)测量头的读数应先读整数刻度，然后看半刻度是否露出，最后看可动刻度，图乙读数为13.870 mm ，图甲读数为2.320 mm ，所以相邻亮条纹间距Δx ＝13.870－2.3205mm ＝2.310 mm. (4)由条纹间距公式Δx ＝l d λ得：λ＝d Δx l代入数据得：λ＝6.6×10－7 m ＝6.6×102 nm.11．在“用双缝干涉测光的波长”实验中，调节分划板的位置，使分划板的中心刻线对齐中央亮条纹的中心，此时螺旋测微器的读数如图8甲所示，转动手轮，使分划板向一侧移动，使分划板的中心刻线对齐第3条亮条纹的中心，此时螺旋测微器的读数如图乙所示．已知双缝间距d ＝1.5 mm ，双缝到屏的距离l ＝1.00 m ，则被测光的波长为多少？图8答案 3.15×10－7 m解析 图甲读数为1.130 mm ，图乙读数为1.760 mm. 相邻两条亮条纹的间距Δx ＝1.760－1.1303mm ＝0.210 mm. 由Δx ＝l d λ得λ＝d Δx l ＝1.5×10－3×0.210×10－31.00 m ＝3.15×10－7 m.。