高中数学竞赛题之平面几何

第一讲注意添加平行线证题在同一平面内 , 不相交的两条直线叫平行线. 平行线是初中平面几何最基本的, 也是非常重要的图形 . 在证明某些平面几何问题时 , 若能依据证题的需要 , 添加恰当的平行线, 则能使证明顺畅、简洁 .添加平行线证题 , 一般有如下四种情况.1为了改变角的位置大家知道 , 两条平行直线被第三条直线所截, 同位角相等 , 内错角相等 , 同旁内角互补 . 利用这些性质 , 常可通过添加平行线 , 将某些角的位置改变 , 以满足求解的需要 .例 1设 P 、 Q 为线段 BC 上两点 , 且 BP ＝CQ, A 为 BC 外一动点 ( 如图 1). 当点 A 运动到使∠BAP ＝∠ CAQ 时, △ ABC 是什么三角形？试证明你的结论 .答： 当点 A 运动到使∠ BAP ＝∠ CAQ 时, △ ABC 为等腰三角形 .证明：如图 1, 分别过点 P 、B 作 AC 、AQ 的平行线得交点D. 连结 DA .在△ DBP ＝∠ AQC 中, 显然 ∠ DBP ＝∠ AQC, ∠ DPB ＝∠ C.由 BP ＝CQ, 可知△ DBP ≌△ AQC.有 DP ＝ AC, ∠ BDP ＝∠QAC.于是 , DA ∥ BP, ∠ BAP ＝∠ BDP .则 A 、 D 、 B 、 P 四点共圆 , 且四边形 ADBP 为等腰梯形 . 故 AB ＝ DP. 所以 AB ＝ AC.这里 , 通过作平行线 , 将∠ QAC “平推”到∠ BDP 的位置 . 由于 A 、 D 、 B 、 P 四点共圆 , 使证明很顺畅 .例 2 如图 2, 四边形 ABCD 为平行四边形 , ∠ BAF ＝∠ BCE. 求证：∠ EBA ＝∠ ADE . 证明： 如图 2, 分别过点 A 、 B 作 ED 、 EC 的平行线 , 得交点 P, 连 PE.由 ABCD, 易知△ PBA ≌△ ECD. 有 PA ＝ ED, PB ＝ EC.显然 , 四边形 PBCE 、 PADE 均为平行四边形 . 有 ∠BCE ＝∠ BPE, ∠ APE ＝∠ ADE .由∠ BAF ＝∠ BCE, 可知 ∠BAF ＝∠ BPE.有 P 、 B 、 A 、 E 四点共圆 .于是 , ∠ EBA ＝∠ APE .所以 , ∠ EBA ＝∠ ADE .这里 , 通过添加平行线 , 使已知与未知中的四个角通过 P 、 B 、 A 、E 四点共圆 , 紧密联系起来 . ∠ APE 成为∠ EBA 与∠ ADE 相等的媒介 , 证法很巧妙 . 2欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条, 常可通过添加平行线 , 将某些线段“送”到恰当位置, 以证题 .例 3 在△ ABC 中 , BD 、CE 为角平分线 , P 为 ED 上任意一点 . 过 P 分别作 AC 、 AB 、BC 的垂线 ,M 、 N 、 Q 为垂足 . 求证： PM ＋ PN ＝ PQ. 证明： 如图 3, 过点 P 作 AB 的平行线交 BD 于 F, 过点 F 作 BC 的平行线分别交PQ 、 AC于 K 、G, 连 PG .由 BD 平行∠ ABC, 可知点 F 到 AB 、 BC 两边距离相等 . 有 KQ ＝ PN. 显然 ,EP＝EF＝CG, 可知 PG ∥EC.PDFD GD由 CE 平分∠ BCA, 知 GP 平分∠ FGA. 有 PK ＝ PM. 于是 ,PM ＋ PN ＝ PK ＋KQ ＝ PQ.这里 , 通过添加平行线 , 将 PQ “掐开”成两段 , 证得 PM ＝PK , 就有 PM ＋PN ＝ PQ. 证法非常简捷 . 3为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边, 所得对应线段成比例” , 在一些问题中 , 可以通过添加平行线 , 实现某些线段比的良性转化. 这在平面几何证题中是会经常遇到的.例 4 设 M 1、M 2 是△ ABC 的 BC 边上的点 ,且 BM 1＝CM 2. 任作一直线分别交 AB 、AC 、AM 1、 AM 2 于 P 、 Q 、N 1、 N 2. 试证：AB＋AC＝AM 1 ＋AM 2.AP AQ AN 1 AN 2证明：如图 4, 若 PQ ∥ BC, 易证结论成立 . 若 PQ 与 BC 不平行 , 设 PQ 交直线 BC 于 D. 过点 A 作PQ 的平行线交直线 BC 于 E.由 BM 1＝ CM 2, 可知 BE ＋ CE ＝ M 1E ＋M 2E, 易知AB ＝ BE , AC ＝ CE , AP DE AQ DEAM 1 ＝ M 1E , AM 2 ＝ M 2 E . 则 AB ＋ AC ＝ BE CE ＝ M 1 E M 2 E ＝AN 1 DE AN 2 DE APAQ DEDE AM 1 ＋AM2 . AN 1 AN 2所以 ,AB＋ AC ＝AM1 ＋AM2 .APAQAN 1AN 2这里 , 仅仅添加了一条平行线, 将求证式中的四个线段比“通分” , 使公分母为DE , 于是问题迎刃而解 .例 5 AD 是△ ABC 的高线 , K 为 AD 上一点 , BK 交 AC 于 E, CK 交 AB 于 F . 求证：∠ FDA ＝∠EDA .证明： 如图 5, 过点 A 作 BC 的平行线 , 分别交直线DE 、DF 、 BE 、CF 于 Q 、 P 、 N 、 M.显然 , BD ＝ KD ＝ DC .ANKAAM有 BD · AM ＝ DC · AN. (1)由 AP ＝ AF ＝ AMBDFBBC由 AQ ＝ AE ＝ AN DC EC BC, 有AP ＝BD ·AM.(2)BC, 有AQ ＝DC·AN.(3)BC对比 (1) 、 (2) 、 (3) 有 AP ＝ AQ.显然 AD 为 PQ 的中垂线 , 故 AD 平分∠ PDQ .所以 , ∠ FDA ＝∠ EDA .这里 , 原题并未涉及线段比 , 添加 BC 的平行线 , 就有大量的比例式产生 , 恰当地运用这些比例式 , 就使 AP 与 AQ 的相等关系显现出来 .4为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时, 应注意到平行线等分线段定理 , 用平行线将线段相等的关系传递开去 .例 6 在△ ABC 中 , AD 是 BC 边上的中线 , 点 M 在 AB 边上 , 点 N 在 AC 边上 , 并且∠ MDN ＝2222212290°. 如果 BM ＋ CN ＝ DM ＋ DN , 求证： AD ＝( AB ＋ AC ).证明： 如图 6, 过点 B 作 AC 的平行线交ND 延长线于 E. 连 ME.由 BD ＝ DC, 可知 ED ＝DN . 有△ BED≌△ CND .于是 , BE ＝ NC.显然 , MD 为 EN 的中垂线 . 有EM＝ MN .由BM 2＋ BE2＝BM2＋ NC2＝ MD2＋DN2＝MN2＝ EM2, 可知△ BEM 为直角三角形 , ∠ MBE＝90°.有∠ ABC ＋∠ ACB＝∠ ABC＋∠ EBC＝90°.于是,∠ BAC＝90°.所以 , AD 2＝12122BC＝( AB ＋ AC ).24这里 , 添加 AC 的平行线 , 将 BC 的以 D 为中点的性质传递给EN, 使解题找到出路 .例7如图 7, AB 为半圆直径 , D 为 AB 上一点 , 分别在半圆上取点E、F, 使 EA＝ DA , FB ＝ DB. 过 D 作 AB 的垂线 , 交半圆于 C. 求证： CD 平分 EF .证明：如图 7, 分别过点E、 F 作 AB 的垂线 , G、 H 为垂足 , 连 FA 、EB .易知DB 2＝ FB2＝ AB· HB ,AD2＝ AE2＝ AG· AB.二式相减 , 得DB 2－ AD2＝AB· ( HB － AG), 或 (DB－ AD ) · AB＝AB· ( HB － AG).于是 , DB－ AD ＝HB － AG, 或DB －HB＝ AD－ AG.就是DH＝GD .显然 , EG ∥CD ∥ FH .故CD平分EF .这里 , 为证明 CD 平分 EF , 想到可先证 CD 平分 GH. 为此添加 CD 的两条平行线 EG、FH , 从而得到 G、 H 两点 . 证明很精彩 .经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等, 在该直线的平行直线上截得的线段也相等.如图 8, 三直线 AB、 AN、AC 构成一组直线束, DE 是与 BC 平行的直线 . 于是 , 有DM ＝ AM＝ME,即DM ＝ ME 或 DM ＝ BN .BN AN NC BN NC ME NC此式表明 , DM ＝ ME 的充要条件是BN＝ NC.利用平行线的这一性质, 解决某些线段相等的问题会很漂亮.例 8如图 9, ABCD 为四边形 , 两组对边延长后得交点E、 F, 对角线 BD ∥ EF, AC 的延长线交 EF 于 G. 求证： EG＝ GF.证明：如图 9, 过 C 作 EF 的平行线分别交AE、 AF 于 M 、N. 由 BD ∥ EF, 可知 MN∥ BD . 易知S△BEF＝ S△DEF .△△ⅡKG －*5ⅡDFC .有 S BEC ＝S可得 MC ＝ CN.所以 , EG ＝GF .例9 如图 10, ⊙ O 是△ ABC 的边 BC 外的旁切圆 , D、 E、 F 分别为⊙ O 与 BC、 CA、 AB 的切点 . 若 OD 与 EF 相交于 K, 求证： AK 平分 BC.证明：如图 10, 过点 K 作 BC 的行平线分别交直线AB、AC 于 Q、P 两点 , 连 OP、 OQ 、OE、OF.由 OD ⊥BC, 可知 OK ⊥PQ.由 OF ⊥ AB, 可知 O、K 、 F、 Q 四点共圆 , 有∠ FOQ＝∠ FKQ .由 OE⊥ AC, 可知 O、 K 、P、 E 四点共圆 . 有∠ EOP＝∠ EKP .显然 , ∠ FKQ ＝∠ EKP , 可知∠ FOQ＝∠ EOP.由 OF ＝ OE, 可知 Rt △ OFQ ≌Rt △ OEP .则 OQ ＝ OP.于是 , OK 为 PQ 的中垂线 , 故QK ＝ KP.所以 , AK 平分 BC.综上 , 我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用. 同学们在实践中应注意适时添加平行线 , 让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.练 习 题1. 四边形 ABCD 中, AB ＝ CD , M 、 N 分别为 AD 、BC 的中点 , 延长 BA 交直线 NM 于 E, 延长 CD交直线 NM 于 F . 求证：∠ BEN ＝∠ CFN.( 提示：设 P 为 AC 的中点 , 易证 PM ＝ PN.)2. 设 P 为△ ABC 边 BC 上一点 , 且 PC ＝ 2PB. 已知∠ ABC ＝45°, ∠ APC ＝60°. 求∠ ACB. ( 提示：过点 C 作 PA 的平行线交 BA 延长线于点 D . 易证△ ACD ∽△ PBA. 答： 75°)3. 六边开ABCDEF 的各角相等 , FA ＝ AB ＝ BC, ∠ EBD ＝60°,S △ EBD ＝ 60cm 2. 求六边形ABCDEF 的面积 .( 提示：设 EF 、DC 分别交直线 AB 于 P 、Q, 过点 E 作 DC 的平行线交 AB 于点 M. 所求面积与EMQD 面积相等 . 答： 120cm 2)4. AD 为 Rt △ ABC 的斜边 BC 上的高 , P 是 AD 的中点 , 连 BP 并延长交 AC 于 E. 已知 AC : AB＝k. 求 AE: EC.( 提示：过点 A 作 BC 的平行线交 BE 延长线于点 F . 设 BC ＝ 1, 有 AD ＝ k, DC ＝ k 2. 答：1)1 k25. AB 为半圆直径 , C 为半圆上一点 , CD ⊥AB 于 D, E 为 DB 上一点 , 过 D 作 CE 的垂线交 CB于 F. 求证：AD＝CF.DEFB( 提示：过点 F 作 AB 的平行线交 CE 于点 H. H 为△ CDF 的垂心 .)6. 在△ ABC 中, ∠ A: ∠ B: ∠C ＝4:2:1, ∠ A 、∠B 、∠ C 的对边分别为 a 、b 、c. 求证： 1 ＋ 1a b＝ 1.c( 提示：在 BC 上取一点 D, 使 AD ＝ AB. 分别过点 B 、C 作 AD 的平行线交直线 CA 、BA 于点E 、 F .)7. 分别以△ ABC 的边 AC 和 BC 为一边在△ ABC 外作正方形 ACDE 和 CBFG , 点 P 是 EF 的 中点 . 求证： P 点到边 AB 的距离是 AB 的一半 .8. △ ABC 的内切圆分别切 BC 、 CA 、 AB 于点 D 、 E 、F, 过点 F 作 BC 的平行线分别交直线 DA 、DE 于点 H 、 G. 求证： FH ＝ HG . ( 提示：过点 A 作 BC 的平行线分别交直线 DE 、 DF 于点 M 、N.)9. AD 为⊙ O 的直径 , PD 为⊙ O 的切线 , PCB 为⊙ O 的割线 , PO 分别交 AB 、 AC 于点 M 、N. 求证： OM ＝ON .( 提示：过点 C 作 PM 的平行线分别交 AB 、AD 于点 E 、F. 过 O 作 BP 的垂线 , G 为垂足 . AB∥GF .)第二讲 巧添辅助 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中, 巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系, 通过圆的有关性质找到解题途径. 下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着 “点共圆” , 此时若能把握问题提供的信息 , 恰当补出辅助圆 , 并合理挖掘图形隐含的性质 , 就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1作出三角形的外接圆例 1 如图 1, 在△ ABC 中 , AB ＝ AC, D 是底边 BC 上一点 , E 是线段 AD 上一点且∠BED ＝2∠ CED ＝∠ A. 求证： BD ＝ 2CD.分析：关键是寻求∠ BED ＝ 2∠CED 与结论的联系 . 容易想到作∠ BED 的平分线 , 但因 BE ≠ ED , 故不能直接证出 BD ＝ 2CD . 若延长 AD 交△ ABC 的外接圆于 F, 则可得 EB ＝ EF, 从而获取 .证明： 如图 1, 延长 AD 与△ ABC 的外接圆相交于点 F, 连结 CF 与 BF, 则∠ BFA ＝∠ BCA ＝ ∠ABC ＝∠ AFC, 即∠ BFD ＝∠ CFD . 故 BF: CF ＝ BD : DC .又∠ BEF ＝∠ BAC, ∠BFE ＝∠ BCA, 从而∠ FBE ＝∠ ABC ＝∠ ACB ＝∠ BFE. 故 EB ＝ EF.作∠ BEF 的平分线交 BF 于 G, 则 BG ＝ GF.因∠ GEF ＝ 1∠ BEF ＝∠ CEF , ∠GFE ＝∠ CFE, 故△ FEG ≌△ FEC . 从而 GF ＝ FC .2于是 , BF ＝ 2CF . 故 BD ＝ 2CD .1.2 利用四点共圆例 2 凸四边形 ABCD 中 , ∠ ABC ＝ 60° , ∠ BAD ＝∠ BCD ＝ 90° , AB ＝ 2, CD ＝1,对角线 AC 、 BD 交于点 O, 如图 2. 则 sin ∠ AOB ＝ ____. 分析：由∠ BAD ＝∠ BCD ＝ 90°可知 A 、 B 、 C 、 D四点共圆 , 欲求 sin ∠ AOB, 联想到托勒密定理 , 只须求出 BC 、 AD 即可 .解： 因∠ BAD ＝∠ BCD ＝ 90° , 故 A 、 B 、C 、D 四点共圆 . 延长 BA 、 CD 交于 P, 则∠ ADP ＝∠ABC ＝ 60°.设 AD ＝ x, 有 AP ＝ 3 x, DP ＝ 2x. 由割线定理得 (2 ＋ 3 x) 3 x ＝ 2x(1 ＋ 2x).解得 AD ＝x ＝ 23 － 2, BC ＝ 1BP ＝4－ 3 .2由托勒密定理有 BD · CA ＝ (4 －3 )(2 3 －2) ＋ 2× 1＝10 3 － 12.又 S ABCD ＝ S △ ABD ＋ S △ BCD ＝3 3.故 sin ∠AOB ＝15 6 3.226例 3 已知：如图 3, AB ＝ BC ＝ CA ＝AD , AH ⊥ CD 于 H , CP ⊥ BC, CP 交 AH 于 P. 求证：△ABC 的面积 S ＝34AP · BD .分析：因 S △ ABC ＝ 3 BC 2＝ 3 AC ·BC, 只4 4须证 AC · BC ＝ AP · BD, 转化为证△ APC ∽△ BCD . 这由 A 、 B 、 C 、 Q 四点共圆易证 ( Q 为BD 与 AH 交点 ).证明： 记 BD 与 AH 交于点 Q, 则由 AC ＝ AD, AH ⊥ CD 得∠ ACQ ＝∠ ADQ.又 AB ＝ AD, 故∠ ADQ ＝∠ ABQ.从而 , ∠ ABQ ＝∠ ACQ. 可知 A 、 B 、 C 、 Q 四点共圆 . ∵∠ APC ＝ 90°＋∠ PCH ＝∠ BCD , ∠CBQ ＝∠ CAQ, ∴△ APC ∽△ BCD . ∴ AC · BC ＝ AP · BD.于是 , S ＝3 3 AC · BC ＝AP · BD .442 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关 , 但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆 , 将原问题转化为与圆有关的问题加以解决 .2.1 联想圆的定义构造辅助圆例 4 如图 4, 四边形 ABCD 中, AB ∥ CD , AD ＝DC ＝ DB ＝ p, BC ＝ q. 求对角线 AC 的长 .分析：由“ AD ＝ DC ＝ DB ＝p ”可知 A 、 B 、C 在半径为 p 的⊙ D 上 . 利用圆的性质即可找到 AC 与 p 、 q 的关系 .解： 延长 CD 交半径为 p 的⊙ D 于 E 点 , 连结 AE. 显然 A 、B 、 C 在⊙ D 上 .∵ AB ∥ CD , ∴BC ＝AE.从而 , BC ＝AE ＝q.在 △ ACE 中 , ∠ CAE ＝ 90 ° , CE ＝ 2p, AE ＝ q, 故AC ＝ CE2AE2＝4 p2q 2.2.2 联想直径的性质构造辅助圆例 5 已知抛物线 y ＝－ x 2＋2x ＋ 8 与 x 轴交于 B 、 C 两点，点 D 平分 BC. 若在 x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点 , 且∠ BAC 为锐角 , 则 AD 的取值范围是 ____. 分析：由“∠ BAC 为锐角”可知点 A 在以定线段 BC 为直径的圆外 , 又点 A 在 x 轴上 侧, 从而可确定动点 A 的范围 , 进而确定 AD 的取值范围 .解： 如图 5, 所给抛物线的顶点为A 0(1,9), 对称轴为 x ＝ 1, 与 x 轴交于两点 B( －2,0) 、C(4,0). 分别以 BC 、DA 为直径作⊙ D 、⊙ E, 则两圆与抛物线均交于两点P(1 － 2 2 ,1) 、Q(1 ＋ 2 2 ,1).可知 , 点 A 在不含端点的抛物线 PA 0Q 内时 , ∠BAC ＜ 90° . 且有 3＝ DP ＝ DQ ＜ AD ≤DA 0＝ 9,即 AD 的取值范围是 3＜ AD ≤ 9.2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例 6 AD 是 Rt △ABC 斜边 BC 上的高 , ∠ B 的平行线交 AD 于 M, 交 AC 于 N. 求证： AB 2－AN 2＝ BM · BN.分析：因 AB 2－AN 2＝( AB ＋ AN)( AB － AN) ＝ BM · BN, 而由题设易知 AM ＝ AN, 联想割线定理, 构造辅助圆即可证得结论 . 证明： 如图 6,∵∠ 2＋∠ 3＝∠ 4＋∠ 5＝ 90°, 又∠ 3＝∠ 4, ∠ 1＝∠ 5,∴∠ 1＝∠ 2. 从而 , AM ＝ AN.以 AM 长为半径作⊙ A, 交 AB 于 F, 交 BA 的延长线于E. 则 AE ＝AF ＝AN.由割线定理有BM · BN ＝ BF · BE ＝( AB ＋AE)( AB －AF) ＝ ( AB ＋ AN)( AB － AN) ＝ AB 2－ AN 2,即 AB 2－AN 2＝ BM · BN.例 7 如图 7, ABCD 是⊙ O 的内接四边形 , 延长 AB 和 DC 相交于 E, 延长 AB 和 DC 相交于 E, 延长 AD 和 BC 相交于 F, EP 和 FQ 分别切⊙ O 于 P 、 Q. 求证： EP 2＋ FQ 2＝ EF 2. 分析：因 EP 和 FQ 是⊙ O 的切线 , 由结论联想到切割线定理 , 构造辅助圆使 EP 、 FQ 向 EF转化 .证明： 如图 7, 作△ BCE 的外接圆交 EF 于 G, 连结 CG.因∠ FDC ＝∠ ABC ＝∠ CGE , 故 F 、 D 、 C 、 G 四点共圆 . 由切割线定理 , 有EF 2＝ ( EG ＋GF ) · EF ＝ EG · EF ＋ GF · EF ＝ EC ·ED ＋FC · FB ＝EC ·ED ＋ FC · FB ＝ EP 2＋ FQ 2,即 EP 2＋FQ 2＝ EF 2. 2.4 联想托勒密定理构造辅助圆 例 8如图 8, △ ABC 与△ A ＇B ＇ C ＇的三边分别为 a 、 b 、 c 与 a ＇、b ＇、c ＇ , 且∠ B ＝∠ B ＇ , ∠ A ＋∠ A ＝ 180° . 试证： aa ＇＝ bb ＇＋ cc ＇ . 分析：因∠ B ＝∠ B ＇ , ∠ A ＋∠ A ＇＝ 180° , 由结论联想到托勒密定理 , 构造圆内接四边形加以证明 .证明： 作△ ABC 的外接圆 , 过 C 作 CD ∥ AB 交圆于 D, 连结 AD 和 BD, 如图 9 所示 .∵∠ A ＋∠ A ＇＝ 180°＝∠ A ＋∠ D ,∠ BCD ＝∠ B ＝∠ B ＇ ,∴∠ A ＇＝∠ D , ∠ B ＇＝∠ BCD . ∴△ A ＇ B ＇ C ＇∽△ DCB .有 A' B' ＝ B' C ' ＝ A'C ' ,DCCBDB即c'＝a'＝b'.故 DC ＝ac', DB ＝ab ' .DC a DB a'a'又 AB ∥ DC, 可知 BD ＝ AC ＝ b, BC ＝AD ＝ a.从而 , 由托勒密定理 , 得AD · BC ＝ AB · DC ＋ AC · BD,即a 2＝ c ·ac'＋ b ·ab'.故 aa ＇＝ bb ＇＋ cc ＇ .a'a'练 习 题1. 作一个辅助圆证明：△ ABC 中 , 若 AD 平分∠ A, 则AB＝BD.AC DC( 提示：不妨设 AB ≥ AC, 作△ ADC 的外接圆交 AB 于 E, 证△ ABC ∽△ DBE , 从而 AB＝BDAC DE＝ BD.)DC2. 已知凸五边形 ABCDE 中 , ∠ BAE ＝ 3a, BC ＝ CD ＝ DE , ∠ BCD ＝∠ CDE ＝ 180°－ 2a. 求证：∠ BAC ＝∠ CAD ＝∠ DAE .( 提示：由已知证明∠ BCE ＝∠ BDE ＝ 180°－ 3a, 从而 A 、 B 、 C 、 D 、E 共圆 , 得∠ BAC ＝∠CAD ＝∠ DAE.)3. 在△ ABC 中 AB ＝ BC, ∠ ABC ＝ 20°, 在 AB 边上取一点M , 使 BM ＝ AC. 求∠ AMC 的度数 .( 提示：以 BC 为边在△ ABC 外作正△ KBC, 连结 KM , 证 B 、 M 、C 共圆 , 从而∠ BCM ＝ 1∠2BKM ＝ 10° , 得∠ AMC ＝ 30° .) 4．如图 10, AC 是ABCD 较长的对角线 , 过 C 作 CF ⊥AF, CE ⊥ AE.求证： AB · AE ＋ AD · AF ＝ AC 2. ( 提示：分别以 BC 和 CD 为直径作圆交 AC 于点G 、 H. 则 CG ＝AH, 由割线定理可证得结论.)5. 如图 11. 已知⊙ O 1 和⊙ O 2 相交于 A 、 B, 直线 CD 过 A 交⊙ O 1 和⊙ O 2 于 C 、 D,且 AC ＝ AD , EC 、 ED 分别切两圆于 C 、 D. 求证： AC 2＝ AB ·AE .( 提示：作△ BCD 的外接圆⊙ O 3, 延长 BA 交⊙ O 3 于 F, 证 E 在⊙ O 3 上 , 得△ ACE ≌△ ADF , 从而 AE ＝AF, 由相交弦定理即得结论 .) 6．已知 E 是△ ABC 的外接圆之劣弧 BC 的中点 .求证： AB · AC ＝ AE 2－ BE 2.( 提示：以 BE 为半径作辅助圆⊙ E, 交 AE 及其延长线于 N 、M, 由△ ANC ∽△ ABM 证 AB ·AC ＝AN ·AM .)7. 若正五边形 ABCDE 的边长为 a, 对角线长为 b, 试证： b － a＝ 1. a b( 提示：证 b 2 ＝a 2＋ab, 联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)第三讲 点共线、线共点在本小节中包括点共线、 线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、 塞瓦定理的应用。