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概率论第二章习题答案

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第二章 条件概率与统计独立性1、解：自左往右数，排第i 个字母的事件为A i ，则42)(,52)(121==A A P A P ，21)(,31)(1234123==A A A A P A A A P 1)(12345=A A A A A P 。

所以题中欲求的概率为()()()()12345123412312154321)()(A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P A A A A A P =301121314252=⋅⋅⋅⋅= 2、解：总场合数为23=8。

设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A的有利场合数为7，AB 的有利场合为6，所以题中欲求的概率P （B|A ）为()768/78/6)()(===A P AB P A B P .3、解：（1）M 件产品中有m 件废品，m M -件正品。

设A={两件有一件是废品}，B={两件都是废品}，显然B A ⊃，则 ()2211/)(m m m M m C C C C A P +=- 22/)(Mm C C B P =， 题中欲求的概率为)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==121/)(/221122---=+=-m M m C C C C C C Mm m M m M m . （2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然A B ⊂，则 (),/)(2112M m M m m M C C C C A P --+= 211/)(M m M m C C C B P -=.题中欲求的概率为)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==12/)(/2112211-+=+=---m M m C C C C C C C Mm M m m M Mm M m . （3）P{取出的两件中至少有一件废品}=())1()12(/2211---=+-M M m M m C C C C M m m M m4、解：A={甲取出一球为白球}，B={甲取出一球后，乙取出一球为白球}，C={甲，乙各取出一球后，丙取出一球为白球}。

则 )()(b a aA P += 甲取出的球可为白球或黑球，利用全概率公式得)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=ba b b a b b a a b a b b a b +=-+⋅++-+-⋅+=111 甲，乙取球的情况共有四种，由全概率公式得)|()()|()()|()()|()()(B A C P B A P B A C P B A P B A C P B A P AB C P AB P C P +++=21)1)((22)1)(()1(-+-⋅-+++-+-⋅-++-=b a b b a b a ab b a b b a b a b b 2)1)(()1(21)1)((-+⋅-++-+-+-⋅-+++b a bb a b a a a b a b b a b a ab ba bb a b a b a b a b a b +=-+-++-+-+=)2)(1)(()2)(1(. 5、解：设B={两数之和大于10}，A i ={第一个数取到i}，9,,1,0 =i 。

则101)(=i A P ， 5,3,2,9/)1()|(,0)|()|(10 =-===i i A B P A B P A B P i ;,9/)2()|(-=j A B P j9,8,7,6=j 。

由全概率公式得欲求的概率为∑====9356.04516)|()()(i i i A B P A P B P . 6、解：设A 1={从甲袋中取出2只白球}，A 2={从甲袋中取出一只白球一只黑球}，A 3={从甲袋中取出2只黑球}，B={从乙袋中取出2只白球}。

则由全概率公式得)()|()()|()()|()(332211A P A B P A P A B P A P A B P B P ++=222222222111222222+++++++++++++=βαβααβαC C C c C C C C c c c C C b a ab b a b a B A a a . 7、解：A 1={从第一袋中取出一球是黑球}，……，A i ={从第一袋中取一球放入第二袋中，…，再从第1-i 袋中取一球放入第i 袋中，最后从第i 袋中取一球是黑球}，N i ,,1 =。

则)()(,)(11b a bA P b a a A P +=+=. 一般设)()(b a a A P k +=，则)()(b a bA P k +=，得)()()|()()|()(111b a aA P A A P A P A A P A P k k k k k k k +=+=+++.由数学归纳法得 )()(b a aA P N +=.8、解：设A 1={飞机第一部分中两弹}，A 2={飞机第二部分中两弹}，A 3={飞机第一部分中一弹}，A 4={其它情况}，则.),(4321Ω=+++≠=A A A A j i A A j i φ.04.02.02.0)(,01.01.01.0)(21=⨯==⨯=A P A PA 3={第一弹中第一部分且第二弹中第二部分，或第一弹中第一部分且第二弹中第三部分，或第一弹中第二部分且第二弹中第一部分，或第一弹中第三部分且第二弹中第一部分}，18.01.07.01.02.07.01.02.01.0)(3=⨯+⨯+⨯+⨯=A P ，.77.0)]()()([1)(3214=++-=A P A P A P A P设B={飞机被击落}，则 .0)|(),3,2,1(1)|(4===A B P I A B P i由全概率公式得∑==41)()|()(i iiA P AB P B P .23.018.004.001.0=++=9、解：设A i ={第i 回出正面}，记)(i i A P p =，则由题意利用全概率公式得)()|()()|()(111i i i i i i i A P A A P A P A A P A P ++++=)1()12()1)(1(111p p p p p pp -+-=--+=。

已知c p i =，依次令1,,2,1 --=n n i 可得递推关系式),1()12(1p p p P n n -+-=- ,),1()12(21 p p p P n n -+-=-- ).1()12()1()12(12p c p p p p P -+-=-+-=解得,)12(])12()12()12(1)[1(122---+-++-+-+-=n n n p c p p p p P当1≠p 时利用等比数列求和公式得11)12()12(1)12(1)1(---+-----=n n n p c p p p p .)12()12(212111---+--=n n p c p （*）（1）若1=p ，则C p C p n n n =≡∞→lim ,；（2）若0=p ，则当12-=k n 时，c p n =；当k n 2=时，c p n -=1。

若21=c ，则21lim ,21=≡∞→n n n p p 若121≠c ，则n n p c c ∞→-≠lim ,1不存在。

（3）若10<<p ，则由（*）式可得.21)12()12(2121lim lim 11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=--∞→∞→n n n n n p c p p10、解：令i i i C B A ,,分别表示第i 次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的事件，则由全概率公式得)|()()|()()|()()(11111n n n n n n n n n n n C A P C P B A P B P A A P A P A P p +++++++==n n n n q r q p 410410=⋅++⋅=，)|()()|()()|()()(11111n n n n n n n n n n n C B P C P B B P B P A B P A P B P q +++++++==,211211n n n n n n r q p r q p ++=⋅++⋅=，)|()()|()()|()()(11111n n n n n n n n n n n C C P C P B C P B P A C P A P C P r +++++++==n n n n q r q p 410410=⋅++⋅=.这里有11++=n n r p ，又1111=+++++n n n r q p ，所以1121++-=n n p q ，同理有n n p q 21-=，再由n n q p 411=+得)21(411n n p p -=+。

所以可得递推关系式为⎪⎩⎪⎨⎧-=-==++++111121)21(41n n n n n p q p p r ， 初始条件是甲袋一白一黑，乙袋一白一黑，即1,0000===q r p ，由递推关系式得n n n n p p p r 2141)21(4111-=-==++ =+-=--=--11418141)2141(2141n n p p⎪⎭⎫⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+-++-=+++++211211412)1(2)1(212111012232n n n n n p2112131)1(6121)1(161+++⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=n n n n ， 11112131)1(3221++++⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅-+=-=n n n n p q ..32lim ,61lim lim ===∞→∞→∞→n n n n n n q r p11、解：设A n ={家庭中有n 个孩子}，n=0,1,2,…，B={家庭中有k 个男孩}。

注意到生男孩与生女孩是等可能的，由二项分布)21(=p 得 .212121)|(nk nkn kk nn C C A B P ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-由全概率公式得∑∑∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛==k n nk nn k n n n C ap A B P A P B P 21)|()()(∑∞=++⎪⎭⎫ ⎝⎛=01112i k k p C a （其中k n i -=）∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=011122i k k p Cp a .)2(22121`1+---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=k kk kp ap p p a 12、解：（1）设A={至少有一男孩}，B={至少有2个男孩}。

B AB B A =⊃,，由1)2(0<-<p p得,)1)(2()2(1)2(22)2(2)(11p p ap p p p pp a p ap A P k k k--=---⋅-=-=∑∞=+2222221)1()2()2(1)2(22)2(2)(p p ap p p p p p a p ap B P k k k --=---⋅-=-=∑∞=+, ppA PB P A P AB P A B P -===2)()()()()|(.（2）C={家中无女孩}={家中无小孩，或家中有n 个小孩且都是男孩，n 是任意正整数}，则∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+--=12111)(a nn ap p ap C P)2)(1(32211212112p p p ap p p ap p ap p app ap --+--=-+--=-+--= A 1={家中正好有一个男孩}={家中只有一个小孩且是男孩}，则ap ap A P 2121)(1=⋅=，且C A ⊂1， 所以在家中没有女孩的条件下，正好有一个男孩的条件概率为)()()()()|(111C P A P C P C A P C A P ==)32(2)2)(1()2)(1(322122p ap p p p ap p p p ap p ap +----=--+--=.13、解：设A={产品确为合格品}，B={检查后判为合格品}。

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概率论第二章习题答案

概率论第二章习题答案

概率论第二章习题答案习题1：离散型随机变量及其分布律设随机变量X表示掷一枚公正的六面骰子得到的点数。

求X的分布律。

解答：随机变量X的可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6。

由于骰子是公正的，每个面出现的概率都是1/6。

因此，X的分布律为：\[ P(X=k) = \frac{1}{6}, \quad k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 \]习题2：连续型随机变量及其概率密度函数设随机变量Y表示从标准正态分布中抽取的数值。

求Y的概率密度函数。

解答：标准正态分布的概率密度函数为高斯函数，其形式为：\[ f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}, \quad -\infty < y < \infty \]习题3：随机变量的期望值已知随机变量X的分布律为：\[ P(X=k) = p_k, \quad k = 1, 2, ..., n \]求X的期望值E(X)。

解答：随机变量X的期望值定义为：\[ E(X) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot p_k \]习题4：随机变量的方差继续使用习题3中的随机变量X，求X的方差Var(X)。

解答：随机变量X的方差定义为期望值的平方与每个值乘以其概率之和的差：\[ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]其中，\( E(X^2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot p_k \)习题5：二项分布设随机变量X表示n次独立伯努利试验中成功的次数，每次试验成功的概率为p。

求X的分布律和期望值。

解答：X服从参数为n和p的二项分布。

其分布律为：\[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, ..., n \]X的期望值为：\[ E(X) = np \]结束语：以上是概率论第二章的一些典型习题及其解答。

《概率论与数理统计》第二章习题解答 2

《概率论与数理统计》第二章习题解答 2

第二章 随机变量及其分布1、解:设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为;投保一年内因意外死亡：2０万，概率为0．0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010投保一年内没有死亡:0，概率为1－0.00０2-0．００10=0.998８ 所以X2、,以X 表示取出的三只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3,4,5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X : ３， 4，５Ｐ:106,103,101 3、设在１５只同类型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取一只,作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数,(１)求X 的分布律,（2)画出分布律的图形。

解:任取三只,其中新含次品个数X 可能为0,1,2个。

3522)0(315313===C C X P3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X : 0， 1， 2P ： 351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ,失败的概率为q ＝1-p (0<p ＜1) (１）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数,求X 的分布律。

(此时称X 服从以ｐ为参数的几何分布。

)（2)将实验进行到出现r 次成功为止,以Y 表示所需的试验次数,求Ｙ的分布律。

(此时称Y 服从以ｒ， p 为参数的巴斯卡分布。

)(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%，以Ｘ表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出Ｘ的分布律，并计算X 取偶数的概率。

解：（1）P (Ｘ=k )=q ｋ-1p ﻩｋ＝１，２,……（２）Y ＝ｒ＋ｎ={最后一次实验前r+ｎ－1次有n 次失败,且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ,或记ｒ＋n=k ，则 P ｛Y=ｋ}= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3)P (X=k ) = (0.５5）k -10.4５ ﻩｋ=1,２…P (X 取偶数)＝311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。

概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)

概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)

第二章练习题（答案）一、单项选择题1．已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为 （ A ）（A ）0,1==b k π （B ）π1,0b k = （C ）0,21==b k π （D ）π21,0==b k ． 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）A. f （x ）={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a ＞0); B. f （x ）={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f （x ）={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f （x ）={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ） A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ，密度函数为)(x f ，则有（ C ） A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ，()25,~μN Y ，记()41-<=μX P p ，()52+>=μY P p ，则正确的是 （ A ）.（A ）对任意μ，均有21p p = （B ）对任意μ，均有21p p < （C ）对任意μ，均有21p p > （D ）只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ，则随着的增加{10}P X （ C ）A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a ， 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （B ）f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度； （C ）F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数； (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。

《概率论与数理统计》习题及答案 第二章

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《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1．假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =，所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =，因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+， 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3．袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’，B =‘全是白色’，C =‘全是黑色’，则 A B C =+， 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4．从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’，i B =‘5张中恰有i 张黑桃’，3,4,5i =， 则345A B B B =++， 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5．设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6．甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。