下载文档原格式
欧拉法(euler)求解常微分方程的matlab程序及案例欧拉方法是最初用于求解常微分方程的数值方法之一，它是一种显式的一步法，具有易于实施的优点，特别适合初学者使用。
本文将介绍欧拉法的原理和使用MATLAB求解常微分方程的具体方法，同时给出一个简单的实例进行说明。
一、欧拉法原理考虑一个一阶常微分方程y'=f(t,y)，欧拉法的基本思想是将时间步长Δt均分成n个小步长，从y(t0)开始依次计算每个时刻的值，得到一列估计值y1, y2, …, yn。
欧拉法的计算公式为：（1）y1=y(t0+Δt)=y(t0)+Δtf(t0, y0)（2）y2=y(t0+2Δt)=y(t0+Δt)+Δtf(t0+Δt, y1)（3）yn=y(t0+nΔt)=y(t0+(n-1)Δt)+Δtf(t0+(n-1)Δt, yn-1)可以看出，欧拉法的核心在于利用已知的t和y计算f(t,y)，从而获得y的逼近值。
但是需要注意的是，步长Δt越小，计算所需的时间和内存就越多，而精度却并不一定提高。
因此在实际应用中需要结合具体问题选择合适的步长。
二、MATLAB求解常微分方程的具体方法（1）定义常微分方程我们以一个简单的例子开始，考虑求解y'=1-y，y(0)=0.5在[0,1]区间内的积分。
首先定义匿名函数dydt，将其传到ode45中求解：dydt=@(t,y)1-y;[t,y]=ode45(dydt,[0 1],0.5);plot(t,y,'-o')运行以上代码可以得到结果，其中plot函数用于绘制图像。
但是，由于求解过程中计算机执行到ode45函数时可能需要很长时间，因此需要更快捷的方法。
（2）利用欧拉法求解方程欧拉法求解方程首先需要定义步长Δt，这里设Δt为0.1。
定义起始值y=[0.5]、时间向量t=0:Δt:1，然后计算列向量y的估计值：t=0:0.1:1;y=zeros(size(t));y(1)=0.5;for n=1:length(t)-1y(n+1)=y(n)+0.1*(1-y(n));endplot(t,y,'-o')以上代码的执行结果与前面的ode45方法相同，但是速度更快。
欧拉型常微分方程
欧拉型常微分方程是一类特殊的微分方程，其中未知函数可以表示为单项式的形式。
这种方程在物理学、工程学、经济学等领域中有广泛的应用。
欧拉型常微分方程的一般形式为：
ax^n y^(n) + bx^(n-1) y^(n-1) + ... + kxy' + py = 0 其中 a, b, ..., k, p 是常数，y^(n) 表示 y 对 x 的 n 阶导数。
欧拉型常微分方程可以通过变量代换进行求解，常见的变量代换有 x = e^t 或 x = t^m。
此外，欧拉型常微分方程还可以通过特殊解法求解，如欧拉-柯西方程法。
欧拉型常微分方程不仅有理论价值，还有广泛的应用价值。
例如，欧拉型常微分方程可以用于描述物理学中的一些现象，如弹性碰撞、旋转运动等。
在工程学领域中，欧拉型常微分方程可以用于建模控制系统、电路等。
在经济学领域中，欧拉型常微分方程可以用于分析经济现象的演变规律。
总之，欧拉型常微分方程是微积分学中的一个重要分支，具有重要的理论和应用价值。
- 1 -。
［例1］用欧拉方法与改进的欧拉方法求初值问题h 的数值解。
在区间[0,1]上取0.1［解］欧拉方法的计算公式为x0=0;y0=1;x(1)=0.1;y(1)=y0+0.1*2*x0/(3*y0^2);for n=1:9x(n+1)=0.1*(n+1);y(n+1)=y(n)+0.1*2*x(n)/(3*y(n)^2);end;xy结果为x =Columns 1 through 80.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 Columns 9 through 100.9000 1.0000y =Columns 1 through 81.0000 1.0067 1.0198 1.0391 1.0638 1.0932 1.1267 1.1634 Columns 9 through 101.2028 1.2443改进的欧拉方法其计算公式为本题的精确解为()y x=x0=0;y0=1;ya(1)=y0+0.1*2*x0/(3*y0^2);y(1)=y0+0.05*(2*x0/(3*y0^2)+2*x0/(3*ya^2));for n=1:9x(n+1)=0.1*(n+1);ya(n+1)=ya(n)+0.1*2*x(n)/(3*ya(n)^2);y(n+1)=y(n)+0.05*(2*x(n)/(3*y(n)^2)+2*x(n+1)/(3*ya(n+1)^2));end;xy结果为x =Columns 1 through 80.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 Columns 9 through 100.9000 1.0000y =Columns 1 through 81.0000 1.0099 1.0261 1.0479 1.0748 1.1059 1.1407 1.1783 Columns 9 through 101.2183 1.2600［例2］用泰勒方法解x＝0.1, 0.2, …, 1.0处的数值解，并与精确解进行比较。
欧拉微分方程(Euler Differential Equation)是描述物理现象的一种微分方程。
它的形式为：$x^ny^{(n)}+a_1x^{n-1}y^{(n-1)}+...+a_{n-1}xy'+a_ny=f(x)$，其中$x$和$y$都是变量，$a_1,a_2,...,a_n$是常数，$f(x)$是一个已知的函数。
在物理学中，许多自然现象可以归结为。
例如，一个物体在空气中下落的速度会随时间的推移而改变。
该速度的微积分方程就是。
具有一些特殊性质，这些性质使得它成为非常有用和重要的工具。
其中之一是它是一个常系数线性微分方程。
这意味着它的系数是常数，而且它是线性的，这使得它比一般的微分方程更容易解决。
另一个非常重要的性质是的通解可以表示成一个幂级数。
这使得可以用于工程学、物理学和其他领域中的众多应用。
例如，在控制系统中，可以用于描述电路的行为或机器人运动的方式。
一个被广泛使用的是欧拉泊松方程(Euler-Poisson Equation)。
欧拉泊松方程用于描述自由粒子在一束电磁场中的运动。
它的形式为：$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}+2\frac{\partial^2u}{\partialx\partial t}+\frac{\partial^2u}{\partial x^2} = 0$欧拉泊松方程常用于研究高能物理学、粒子物理学和电路研究等领域。
另一个有趣的是欧拉-拉格朗日方程(Euler-Lagrange Equation)。
欧拉-拉格朗日方程是经典力学中的一种变分原理，可以用于推导质点系统的运动方程。
它的形式为：$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0$其中，$L$是系统的拉格朗日量，$q_i$和$\dot{q}_i$分别是广义坐标和广义速度。
euler算法欧拉算法（Euler's method），也称为数值积分算法或者欧拉积分，是一种常用的数值积分算法，用于近似解常微分方程（ODE）的初值问题。
它是一种一阶显式数值积分算法，通过使用l-step近似直线来逼近解析解。
本文将介绍欧拉算法的基本原理、算法步骤以及其应用。
欧拉算法的基本原理是将微分方程转化为差分方程，通过逐步逼近解析解。
对于给定的初值问题y'(t) = f(t, y(t))，y(t0) = y0，其中f是一元函数，y是未知函数。
我们想要求解在区间[t0, tn]上的近似解y(ti)，其中ti = t0 + i*h，h是步长。
具体的欧拉算法步骤如下：1. 将初始条件t0和y0代入未知函数f(t, y)中，计算f(t0, y0)得到f0。
2. 使用近似直线来逼近解析解，y(ti+1) ≈ y(ti) + h*f(ti, yi)，其中h是步长。
3. 重复步骤2，直到得到近似解y(tn)。
欧拉算法的实现相对简单，但是由于使用了线性逼近，所以误差较大。
对于某些情况下误差不能太大的问题，欧拉算法可能不够准确，这时需要使用更高阶的数值积分算法。
欧拉算法的应用广泛，包括但不限于以下方面：1. 物理学：在物理学中，许多问题可以用ODE建模，比如牛顿第二定律、电路等。
欧拉算法可以用于求解这些物理问题的近似解。
2. 经济学：经济学中的许多问题也可以用ODE描述，如宏观经济模型、供需分析等。
欧拉算法可以用于求解这些经济问题的近似解。
3. 生物学：生物学研究中，很多问题需要建立数学模型，如生物种群的增长和竞争、药物代谢和毒性等。
欧拉算法可以用于求解这些生物问题的近似解。
4. 计算机图形学：计算机图形学中，欧拉算法可以用于模拟物体的运动，如粒子系统的模拟、刚体的模拟等。
5. 控制工程：控制工程中的系统动力学可以用ODE建模，欧拉算法可以用于分析系统的稳定性和响应特性。
总结来说，欧拉算法是一种常用的数值积分算法，用于近似解常微分方程的初值问题。
常微分方程欧拉算法Document serial number [NL89WT.NY98YT.NC8CB A NNUUT.NUT108]
常微分方程欧拉算法
摘要：本文主要论述了常微分方程的欧拉算法的算法原理，误差分析，实例，程
序，以及算法比较等内容。
尖键词：常微分方程显式欧拉法隐式欧拉法
引言：微分方程初值问题模型是常见的一类数学模型。
对于一些简单而典型的微分方程模型，譬如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等是可以设法求出其解析解的，并有理论上的结果可资利用。
但在数学建模中碰到的常微分方程初值问题模型，通常很难，其至根本无法求出其解析解，而只能求其近似解。
因此，研究其数值方法，以便快速求得数值鲍有其重大意义。
一、欧拉算法原理
对于微分方程初值问题
的解在小平面上是一条曲线，称为该微分方程的积分曲线。
积分曲线上一点
（x,y）的切线斜率等于函数/在点（x,y）的值，从初始点人（勺，儿）出发,向该点的切线方向推进到下一个点人（召，必），然后依次做下去，得到后面的未知点。
一般地，若知道出（£，儿）依上述方法推进到点佈（兀+2,田），则两点的坐标尖系为：
即
这种方法就是欧拉（Euler）方法（也叫显式欧拉法或向前欧拉法）。
当初值
儿已知，则儿可以逐步算出
对微分方程结才（x, y）从心到积分，那么有
dx
现在用左矩形公式代替儿代替心”），畑代替y （xQ就得到了欧拉方法。
如果用右矩形公式妙（和,y （疋+J）去代替右端积分，则得到另外一个公式，该方法就称为隐式欧拉法（或后退欧拉法），其公式为
欧拉公式与隐式欧拉公式的区别在于欧拉公式是尖于儿的一个直接计算公
式，然而隐式欧拉公式右端含有儿+1,所以它实际上是尖于儿+』勺一个函数方程。
二、实例
例取hr用Euler方法解
解
如果2,)=' —九=1 °用Euler法，代入得
MATLAB绘制图像如下：
三、误差分析
初值问题的单步法可以写成如下统一形式
其中0和f有矢，若Q中不含儿+1 ,则方法是显式的，否则是隐式的，所以一般显示单步法表不为：
例如在Euler•方法中，有O(x,y/) =/(x,y),对于不同的方法中，计算值儿利与准确值
y(兀)的误差各不相同。
所以有必要讨论方法的截断误差，我们称TYkJ•戶为某一方法在£点的整体截断误差。
显然，耳不但与斗这步的计算有尖，所以误差被称为整体的。
分析和估计整体截断误差才是复杂的，为此，我们假设斗处的儿+1没有误差，即T=y(兀)，考虑从兀到这一步的误差，这就是如下的局部误差的概念。
人+i = >* (兀+J・ > (兀)•力0( %，兀+i，(兀)，y (兀+J,力)为单步法的局部截断误差。
四、算法程序
现用mat 1 db编程，程序如下
f. m
function f 二f(x, y)
f 二・y+x+l;
»[x, y]=myeuler F , 0, 1, 1); %利用程序求解方程
» yl 二x+exp (-x); %方程f 二・y+x+l 的精确解
»plot (x, y； -b\ x, yl； -r1) %在同一图窗将欧拉法解和精确解的图画出
» legend C欧拉法—精确解*)
五、算法比较
由表可以看出：当AWO. 1时，欧拉法稳定，欧拉预测校正法也稳定。
当
h二0. 2时，欧拉法和欧拉预测校正法都不稳定，计算结果严重偏离精确法。
要想
讣算结果充分接近于解析解还需取较小的h值，可以看出，h越小，计算结果越
好。
对于梯形法，理论上讲对于任何五值都稳定，但明显看出，要保证有较高的精
度，也必须取较小的办值。
另外，山表可见，两个二阶方法精度也较咼。
结论：将数值解和解析解进行比较，很容易对欧拉法的三种不同算法的精度进行比较，其中改进欧拉法在这三种近似数值法的精度是最高的o欧拉法的数值求解不仅减小了数值讣算的工作强度，而且提高了它的运算速度。
这种方法对常微分方程初值问题的近似值求解和理论分析均具有一定的参考价值。
参考文献・
［1］徐萃徽。
孙绳武，计算方法引论（第二版）北京：高等教育出版社，2002. 1［2］冯康•数值计算方法口订］杭州：浙江大学出版社，2003
［3］胡健伟汤怀民•微分方程数值解法（第二版）•北京；科学出版社.2007
［4］蔡大用擞值分析与实验呻】•北京：清华大学出版社，2001
［习李立康，於祟华，朱政华•微分方程数值解法［M】•上海：复旦大学出版社，1999
⑹C. wl吉尔常微分方程初值问题的数值解法【M】•费景高译•北京；科学出版社，
1978。
