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2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=()A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}2.设复数z满足(1-i)z=2i,则z=( )A.-1+IB.-1-iC.1+iD.1-i3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A.13B.-13C.19D.-194.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l5.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( )A.-4B.-3C.-2D.-16.执行下面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的S=( )A.1+12+13+…+110 B.1+12!+13!+…+110! C.1+12+13+…+111D.1+12!+13!+…+111!7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )8.设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则( ) A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c9.已知a>0,x,y 满足约束条件{x ≥1,x +y ≤3,y ≥a (x -3).若z=2x+y 的最小值为1,则a=( )A.14B.12C.1D.210.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,下列结论中错误的是( ) A.∃x 0∈R, f(x 0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x 0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x 0)单调递减D.若x 0是f(x)的极值点,则f '(x 0)=011.设抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( ) A.y 2=4x 或y 2=8x B.y 2=2x 或y 2=8x C.y 2=4x 或y 2=16xD.y 2=2x 或y 2=16x12.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是( ) A.(0,1)B.(1-√22,12)C.(1-√22,13]D.[13,12)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . 14.从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n= .15.设θ为第二象限角,若tan (θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 16.等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (Ⅰ)求B;(Ⅱ)若b=2,求△ABC 面积的最大值.18.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点,AA 1=AC=CB=√22AB. (Ⅰ)证明:BC 1∥平面A 1CD; (Ⅱ)求二面角D-A 1C-E 的正弦值.19.(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(Ⅰ)将T表示为X的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.20.(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-√3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为12.(Ⅰ)求M的方程;(Ⅱ)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=e x-ln(x+m).(Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0.请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,不选、多选均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D,E,F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C 四点共圆. (Ⅰ)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径;(Ⅱ)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.23.(本小题满分10分)选修4— 4:坐标系与参数方程已知动点P,Q 都在曲线C:{x =2cost ,y =2sint (t 为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点. (Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 设a,b,c 均为正数,且a+b+c=1,证明: (Ⅰ)ab+bc+ca≤13; (Ⅱ)a 2b +b 2c +c 2a ≥1.2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.A 化简得M={x|-1<x<3},所以M ∩N={0,1,2},故选A.2.A 由题意得z=2i 1-i =2i ·(1+i)2=-1+i,故选A.3.C 由已知条件及S 3=a 1+a 2+a 3得a 3=9a 1,设数列{a n }的公比为q,则q 2=9. 所以a 5=9=a 1·q 4=81a 1,得a 1=19,故选C.4.D 若α∥β,则m ∥n,这与m 、n 为异面直线矛盾,所以A 不正确.将已知条件转化到正方体中,易知α与β不一定垂直,但α与β的交线一定平行于l,从而排除B 、C.故选D.评析 本题考查了线面的位置关系,考查了空间想象能力,本题利用排除法求解效果比较好.5.D 由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为T r+1=C 5r ·x r ,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为C 52,当r=1时,x 2的系数为C 51·a,所以C 52+C 51·a=5,a=-1,故选D.6.B 由框图知循环情况如下:T=1,S=1,k=2; T=12,S=1+12,k=3;T=12×3,S=1+12+12×3,k=4; T=14!,S=1+12!+13!+14!,k=5;…;T=110!,S=1+12!+13!+…+110!,k=11>10,输出S,故选B. 7.A 设O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),将以O 、A 、B 、C 为顶点的四面体补成一正方体后,由于OA ⊥BC,所以该几何体以zOx 平面为投影面的正视图为A.8.D 由对数运算法则得a=log 36=1+log 32,b=1+log 52,c=1+log 72,由对数函数图象得log 32>log 52>log 72,所以a>b>c,故选D.9.B 由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC),由{x =1,y =a(x -3)得A(1,-2a), 当直线2x+y-z=0过点A 时,z=2x+y 取得最小值,所以1=2×1-2a,解得a=12,故选B.10.C 由三次函数值域为R 知f(x)=0有解,所以A 项正确;因为y=x 3的图象为中心对称图形,而f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的图象可以由y=x 3的图象平移得到,故B 项正确;若f(x)有极小值点,则f '(x)=0有两个不等实根x 1,x 2(x 1<x 2), f '(x)=3x 2+2ax+b=3(x-x 1)(x-x 2),则f(x)在(-∞,x 1)上为增函数,在(x 1,x 2)上为减函数,在(x 2,+∞)上为增函数,故C 项错误;D 项正确.故选C.评析 本题考查了三次函数的图象和性质,考查了利用导数研究函数极值与单调性. 11.C ∵以MF 为直径的圆过点(0,2),∴点M 在第一象限.由|MF|=x M +p2=5得M (5-p 2,√2p (5-p 2)).从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为(52,12√2p (5-p2)),∵点N 的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y 轴切于点(0,2),从而2=12√2p (5-p2),即p 2-10p+16=0,解得p=2或p=8,∴抛物线方程为y 2=4x 或y 2=16x.故选C.评析 本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了综合解题能力.建立关于p 的方程是求解的关键.12.B (1)当直线y=ax+b 与AB 、BC 相交时(如图1),由{y =ax +b,x +y =1得y E =a+ba+1,又易知x D =-ba,∴|BD|=1+ba,由S △DBE =12×a+b a×a+b a+1=12得b=√1+1a+1∈(0,12).图1(2)当直线y=ax+b 与AC 、BC 相交时(如图2),由S △FCG =12(x G -x F )·|CM|=12得b=1-√22√1-a 2∈(1-√22,1)(∵0<a<1),图2∵对于任意的a>0恒成立, ∴b∈(0,12)∩(1-√22,1),即b ∈(1-√22,12).故选B.二、填空题 13.答案 2解析 解法一:AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=22-12×22=2. 解法二:以A 为原点建立平面直角坐标系(如图).则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2.14.答案 8解析 因为5=1+4=2+3,所以2C n2=114,即n(n-1)=56,解得n=8或n=-7(舍).15.答案 -√105解析 tan θ=tan [(θ+π4)-π4]=12-11+12=-13,∴sin θ=-13cos θ,将其代入sin 2θ+cos 2θ=1得109cos 2θ=1,∴cos 2θ=910,易知cos θ<0, ∴cos θ=-310√10,sin θ=√1010,故sin θ+cos θ=-√105. 16.答案 -49 解析 由S n =na 1+n(n -1)2d 得{10a 1+45d =0,15a 1+105d =25,解得a 1=-3,d=23,则S n =-3n+n(n -1)2·23=13(n 2-10n),所以nS n =13(n 3-10n 2),令f(x)=13(x 3-10x 2),则 f '(x)=x 2-203x=x (x -203),当x ∈(1,203)时, f(x)递减, 当x ∈(203,+∞)时, f(x)递增,又6<203<7, f(6)=-48, f(7)=-49,所以nS n 的最小值为-49.评析 本题考查了数列与函数的应用,考查了数列的基本运算,利用导数求最值.本题易忽略n 的取值范围. 三、解答题17.解析 (Ⅰ)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin C ·sin B.① 又A=π-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和C ∈(0,π)得sin B=cos B. 又B ∈(0,π),所以B=π4.(Ⅱ)△ABC 的面积S=12acsin B=√24ac. 由已知及余弦定理得4=a 2+c 2-2accos π4.又a 2+c 2≥2ac,故ac ≤2-√2,当且仅当a=c 时,等号成立.因此△ABC 面积的最大值为√2+1.18.解析 (Ⅰ)连结AC 1交A 1C 于点F,则F 为AC 1中点. 又D 是AB 中点,连结DF,则BC 1∥DF.因为DF ⊂平面A 1CD,BC 1⊄平面A 1CD,所以BC 1∥平面A 1CD. (Ⅱ)由AC=CB=√22AB 得,AC ⊥BC.以C 为坐标原点,CA⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设CA=2,则D(1,1,0),E(0,2,1),A 1(2,0,2),CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=(2,0,2). 设n =(x 1,y 1,z 1)是平面A 1CD 的法向量,则{n ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=0,即{x 1+y 1=0,2x 1+2z 1=0. 可取n =(1,-1,-1).同理,设m 是平面A 1CE 的法向量,则{m ·CE ⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=0. 可取m =(2,1,-2).从而cos<n,m >=n ·m |n||m|=√33,故sin<n,m >=√63.即二面角D-A 1C-E 的正弦值为√63.评析 本题考查了线面平行的判定和性质,考查二面角的计算.考查了空间想象能力.正确求出平面的法向量是解题的关键.19.解析 (Ⅰ)当X ∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000,当X ∈[130,150]时,T=500×130=65 000.所以T={800X -39 000,100≤x <130,65 000,130≤X ≤150.(Ⅱ)由(Ⅰ)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(Ⅲ)依题意可得T 的分布列为T45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4所以ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400.20.解析 (Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,y 2-y 1x 2-x 1=-1,由此可得b 2(x 2+x 1)a 2(y 2+y 1)=-y 2-y1x 2-x 1=1. 因为x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,y 0x 0=12, 所以a 2=2b 2.又由题意知,M 的右焦点为(√3,0),故a 2-b 2=3.因此a 2=6,b 2=3.所以M 的方程为x 26+y 23=1. (Ⅱ)由{x +y -√3=0,x 26+y 23=1解得{x =4√33,y =-√33,或{x =0,y =√3. 因此|AB|=4√63. 由题意可设直线CD 的方程为y=x+n (-5√33<n <√3),设C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).由{y =x +n,x 26+y 23=1得3x 2+4nx+2n 2-6=0. 于是x 3,4=-2n±√2(9-n 2)3.因为直线CD 的斜率为1,所以|CD|=√2|x 4-x 3|=43√9-n 2.由已知,四边形ACBD 的面积S=12|CD|·|AB|=8√69√9-n 2. 当n=0时,S 取得最大值,最大值为8√63. 所以四边形ACBD 面积的最大值为8√63.评析 本题考查了直线和椭圆的位置关系,考查了解析几何中的中点问题和最值问题,计算量大,综合性较强.应充分重视方程思想和函数思想在解题中的作用.21.解析 (Ⅰ)f '(x) =e x -1x+m .由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0,所以m=1.于是f(x)=e x -ln(x+1),定义域为(-1,+∞), f '(x)=e x -1x+1.函数f '(x)=e x -1x+1在(-1,+∞)单调递增,且f '(0)=0,因此当x ∈(-1,0)时, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(Ⅱ)当m ≤2,x ∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时, f(x)>0.当m=2时,函数f '(x)=e x -1x+2在(-2,+∞)单调递增.又f '(-1)<0, f '(0)>0,故f '(x)=0在(-2,+∞)有唯一实根x 0,且x 0∈(-1,0).当x ∈(-2,x 0)时, f '(x)<0;当x ∈(x 0,+∞)时, f '(x)>0,从而当x=x 0时, f(x)取得最小值. 由f '(x 0)=0得e x 0=1x0+2,ln(x 0+2)=-x 0, 故f(x)≥f(x 0)=1x 0+2+x 0=(x 0+1)2x 0+2>0. 综上,当m ≤2时, f(x)>0.评析 本题考查了函数的极值、单调性,考查了构造函数证明不等式;考查了函数与方程思想,转化与化归的思想,对运算能力要求很高.22.解析 (Ⅰ)因为CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知BC FA =DCEA ,故△CDB ∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.所以∠CBA=90°,因此CA 是△ABC 外接圆的直径.(Ⅱ)连结CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C 四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC 2=DB ·BA=2DB 2,所以CA 2=4DB 2+BC 2=6DB 2.而DC 2=DB ·DA=3DB 2,故过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.23.解析 (Ⅰ)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).M 的轨迹的参数方程为{x =cosα+cos2α,y =sinα+sin2α(α为参数,0<α<2π). (Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d=√x 2+y 2=√2+2cosα (0<α<2π).当α=π时,d=0,故M 的轨迹过坐标原点.24.解析 (Ⅰ)由a 2+b 2≥2ab,b 2+c 2≥2bc,c 2+a 2≥2ca 得a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca ≤13.(Ⅱ)因为a 2b +b ≥2a,b 2c +c ≥2b,c 2a +a ≥2c,故a 2b +b 2c +c 2a +(a+b+c)≥2(a+b+c),即a 2b +b 2c +c 2a ≥a+b+c.所以a 2b +b 2c +c 2a ≥1.。
绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、 选择题：本大题共12小题。
每小题5分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x ∈R ｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N =( ） （A ）｛0，1，2｝ （B ）｛-1，0，1，2｝（C ）{-1，0，2，3} （D ）{0，1，2，3}（2）设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z = （ ）（A ）-1+i （B ）-1-i （C ）1+i （D ）1-i（3）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=（ ）（A ）13 （B ）13- （C ）19 （D ）19-（4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。
直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ⊄⊄，则（ ）（A ）α∥β且l ∥α（B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx ）(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ=（ ） （A ）-4 （B ）-3 （C ）-2 （D ）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（A ）11112310++++L （B ）11112!3!10!++++L（C ）11112311++++L （D ）11112!3!11!++++L（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分 别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四 面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设a=log 36，b=log 510，c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A) 14 (B) 12(C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是 （A ）∃x α∈R,f(x α)=0 （B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形 （C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则()0'0f x =（11）设抛物线y 2=3px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（A ）y 2=4x 或y 2=8x （B ）y 2=2x 或y 2=8x （C ）y 2=4x 或y 2=16x （D ）y 2=2x 或y 2=16x （12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1）(B)211,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭( C) 211,23⎛⎤- ⎥ ⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。
2015学年杭州市第二次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷（理科）选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.1.设集合{}{}2220,2,A x x x B y y x x x A =-≤==-∈，则A B =（ ）A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．(,2]-∞D ．[0,)+∞2.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“20a >且10a >”是“数列{}n S 单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件4.设(0,)x π∈，若11sin cos x x +=，则sin(2)3x π+=（ ）A ．12 B ．2 C ．12- D ．2-5.在梯形ABCD 中，//AB DC ，AB AD ⊥，1AD DC ==，2AB =，若1566AP AD AB =+，则()BC tPB t R +∈的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．D ．[1,)+∞ 6.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的顶点为12,A A ，P 为双曲线上一点，直线1PA 交双曲线C 的一条渐近线于M 点，直线2A M 和2A P 的斜率分别为12,k k ，若21A M PA ⊥且1240k k +=，则双曲线C 离心率为（ ）A ．2BCD ．47.设函数()f x 与()g x 的定义域为R ，且()f x 单调递增，()()()F x f x g x =+，()()()G x f x g x =-，若对任意12,x x R ∈12()x x ≠，不等式221212[()()][()()]f x f x g x g x ->-恒成立，则（ ）A ．(),()F x G x 都是增函数B ．(),()F x G x 都是减函数C ．()F x 是增函数，()G x 是减函数D ．()F x 是减函数，()G x 是增函数8.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，若PA AD AB kBC ===(01)k <<，则（ ） A ．当12k =时，平面BPC ⊥平面PCD B ．当12k =时，平面APD ⊥平面PCD C ．当(0,1)k ∀∈，直线PA 与底面ABCD 都不垂直 D ．(0,1)k ∃∈，使直线PD 与直线AC垂直非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题分题6分，单空题每题4分，满分36分.9.设函数()2sin()6f x x πω=+(0,)x R ω>∈，最小正周期T π=，则实数ω=__________，函数()f x 的图象的对称中心为__________，单调递增区间是__________.10.已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________，表面积为__________.11. 设直线212:260,(1)10l ax y l x a y a ++==+-+-=，若12l l ⊥，则a =__________.12.若实数,x y 满足0120x y x x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，则x y +的取值范围是__________.13.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点,A B 在抛物线上，且0120AFB ∠=，弦AB中点M 在准线l 上的射影为1M ，则1MM AB的最大值为__________.14.定义{},(),,()x x y M x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，设22,42a x xy x b y xy y =++=++(,)x y R ∈，则{},M a b 的最小值为__________，当M 取到最小值是，x =__________，y =__________.15.在边长为1的正方体，''''ABCD A B C D -中，,,E F G 分别在',,BB BC BA 上，并且满足'34BE BB =，12BF BC =，12BG BA =，若平面'AB F ，平面ACE ，平面'B CG 交于一点O ，BO xBG yBF zBE =++，则x y z ++=__________，OD =__________.三、解答题 :本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin sin sin m A B C =+ ()m R ∈（1）当3m =时，求cos A 的最小值； （2）当3A π=时，求m 的取值范围.17. （本题满分15分）在底面为正三角形的三棱柱111ABC A B C -，2AB =，1AA ⊥平面ABC ，,,E F G 分别为1,,BB AB AC 的中点.（1）求证：//BG 平面1A EC ；（2）若1AA -，求二面角1A EC F --的大小.18.（本题满分15分）设数列{}n a 满足11a =，11n n na a a +=+*()n N ∈. （1）求证：22123n n a a +≤-≤；（2）求证：13123221n n a n nn a n +-≤≤--.19.（本题满分15分）设直线l 与抛物线22x y =交于,A B 两点，与椭圆22143x y +=交于C ，D 两点，直线,,,OA OB OC OD （O 为坐标原点）的斜率分别为1234,,,k k k k ，若OA OB ⊥. （1）是否存在实数t ，满足1234()k k t k k +=+，并说明理由； （2）求OCD ∆面积的最大值.20.（本题满分15分）设函数1()(1,)f x x c b c R x b=++<-∈-，函数()()g x f x =在区间[]1,1-上的最大值为M . （1）若2b =-，求M 的值；（2）若M k ≥对任意的,b c 恒成立，求k 的最大值.2015学年杭州市第二次高考科目教学质量检测理科数学试题参考答案一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.1.A2.C3. C4.A5.A6.B7.A8.A二、填空题：本大题共7小题，多空题分题6分，单空题每题4分，满分36分.9. 2 ,0212k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ ，,,36k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ 10. 83 63+11.23 12. [0,2] 13. 14. 16-，13-，16- 15. 43三、解答题 :本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本题满分14分）所以cos A 的最小值为79，当且仅当b c =时等号成立.（2）当3A π=时，sin sin )26m B C B π=+=+， 所以2sin()6m B π=+.又因为2(0,)3B π∈，所以5(,)666B πππ+∈， 所以1sin (,1]62B π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以(1,2]m ∈. 17.（本题满分15分）解：（1）取1A C 中点H ，连接,HG EH , 所以1//HG A A ，112HG A A =, 又E 为1BB 的中点， 所以//,BE HG BE HG =， 所以四边形EHGB 为平行四边形， 故//BG EH ,又EH ⊂平面1A EC ，BG ⊄平面1A EC ， 所以//BG 平面1A EC .（2）以F 为坐标原点建立空间直角坐标系，设1AA a =，则1(0,0,0),(1,0,),(1,0,),2a F A a E C -，所以11(1,0,),(0,3,0),(2,0,),(1,3,)22a a FE FC A E AC a ===-=-， 设平面ECF 法向量为(,,)m m x y z ==，则由0FE m ∙=及0FC m ∙=，得020a x z ⎧+=⎪=， 不妨取(,0,2)m a =-；类似的，可取平面1A EC 法向量为(,4)n a =， 设二面角1AEC F --的平面角为θ， 则2cos cos,m n θ==当a =cos 0θ=，即090θ=.18.（本题满分15分）解：（1）因为11a =及11(1)n n na a n a +=+≥， 所以1n a ≥，所以2101na <≤. 因为2221211()2n n n n na a a a a +=+=++， 所以221212(2,3]n n na a a +-=+∈，即22123n n a a +≤-≤. （2）由（1）得221123n n a a n +<-≤ 所以212131n n a n ++<≤+，即22132(2)n n a n n -<≤-≥，当1n =时，也满足， 所以22132n n a n -<≤-.所以1213121[,]3221n n n a n na a n n ++=+∈-- 19.（本题满分14分）解：设直线l 方程为y kx b =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y . 联立y kx b =+和22x y =， 得2220x kx b --=，则122x x k +=，122x x b =，2480k b ∆=+>.由OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，得2b =. 联立2y kx =+和223412x y +=，得22(34)1640k x kx +++=，所以3421634k x x k +=-+，342434x x k=-+. 由22192480k ∆=->，得214k >.（1）因为121212y y k k k x x +=+=，3434346y yk k k x x +=+=-所以123416k k k k +=-+.（2）根据弦长公式34CD x =-，得：CD =，根据点O 到直线CD的距离公式，得d =所以12OCDS CD d ∆=∙=，0t =>，则24OCD S t ∆=≤+ 所以当2t =，即k =OCD S ∆. 20.（本题满分15分）解：（1）当2b =-时，1()2f x x c x =+++在区间[]1,1-上是增函数， 所以4(1),(1)3g c g c =+-=， 所以{}2,()3max (1),(1)42,()33c c M g g c c ⎧≤-⎪⎪=-=⎨⎪+≥-⎪⎩.（2）①当2b ≤-时，因为1(1)11M g c b ≥=+++，1(1)11M g c b≥-=+--， 所以112(1)(1)1111M g g c c b b≥+-=+-++++- 21124221113b b b ≥++=+≥+--，所以23M ≥.②当2b -<≤(1)(1)(1)f b f f +<-<，则1max{(1),(1)}max{1,2}1M g g b c b c b=+=++++- 12(1)(1)121M g b g c b c b≥++=+++++-， 1121b b≥++≥-，所以1M ≥.③当1b <≤-时，有(1)(1)(1)f b f f +<<-， 则1max{(1),(1)}max{1,2}1M g g b c b c b=-+=-++++--， 所以12(1)(1)121M g b g c b c b≥++-=-+++++-- 1321b b ≥++≥+，所以1M ≥.综上可知，对任意的,b c 都有1M ≥.。
杭州市 2013 第二次高考科目教学质量检测数学（文）试题考生须知：1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟2．答题前，在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题上无效 4．考试结束，只需上交答题卷 参考公式：球的表面积公式棱柱的体积公式S = 4p R2V=Sh球的体积公式其中 S 表示棱锥的底面积， h 表示棱柱的高V = 4p R3台体的体积公式3其中 R 表示球的半径 V = 1h( S 1 + S 1S 2 + S 2 )3锥体的体积公式其中 S 1， S 2 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 V = 1Sh如果事件 A 、 B 互斥，那么3其中 S 表示棱锥的底面积， h 表示棱柱的高 P(A+B)=P(A)+P(B)一、选择题（本大题共 10小题，每小题 5 分，共 50 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集 U=R ，集合 A = { x | x ? 2}, B{ x |- 1< x ? 3}, 则 (痧U A) ? ( UB)A ． { x | - 1< x ? 2}B ． { x | x ? 1或x > 2}C ． { x | 2 < x < 3}D ． { x | x > 3}2．已知 i 是虚数单位，则1+ i +i = （ ）i1+ iA ． - 1 + 3iB ． 1 - 3iC ． 3 + 1iD ． 3 - 1i22 2 222 22第 1 页 共 5 页3”直线 l : 2x - y + m = 0 与圆 C : (x - 1) + ( y- 2) = 5 恰好有一个公共 ．设 m ? R ，则“ m = 5 2 2点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在一盆子中号为 1，2 的红色球个，编号为 1，2 的白色球 2 个，现从盒子中摸出两个球，每个球被摸到的概率相同，则摸出的两个球中既含有2 种不同颜色又含有 2 个不同编号的概率是 1 111A ．B ．C ．D ．64325．设 m ，n 是两条不同的直线，a ,b 是两个不同的半面A ．若 m ∥ a ， n ∥ b ， m ∥ n ，则 a ∥ bB ．若 m ∥ a ， n ∥ b ， a ∥ b 则 m ∥nC ．若 m ⊥ a ， n ⊥ b ， m ⊥ n 则 a ⊥ bD ．若 m ⊥ a ， n ⊥ b ， a ⊥ b 则 m ⊥ nì?x- y ? 0??6．已知实数 x ， y 满足不等式组 íx- 3y + 2 ? 0, 则 2x -y + 3的最小值是???x + y - 6 ? 0?A ． 3B ．4C ． 6D ． 97．设 P 为函数 f ( x) = sin(p x) 的图象上的一个最高点，Q 为函数 g ( x) = cos(p x) 的图象上的一个最低点，则 |PQ|最小值是（）p2B ．2C ．17 D ． 2 2A ．+ 4248．在边长为 1 的菱形 ABCD 中， BAD=60 ，E 是 BC 的中点，则 AC · AE =A ． 3+ 3B ．9C ．3D ．9324229．已知双曲线y 2 +x 2 = 1(a > 0, b > 0) ，A ，B 是双曲线的两个顶点．P 是双曲线上的一点，且与ab点 B 在双曲线的同一支上． P 关于 y 轴的对称点是Q 若直线 AP ， BQ 的斜率分别是k 1， k 2，且 k 1· k 2= -4，则双曲线的离心率是（）5第 2 页 共 5 页A ．3 5B．9C．3D．9 542510．若函数f (x) =( x + 1).e x，则下列命题正确的是（）A ．对任意m < -1，都存在 x ? R ,使得 f ( x) < me2B．对任意m > -1，都存在 x ? R ，使得 f ( x) < m 2e1C．对任意x ? R ，都存在 m < - e2，使得 f ( x) < mD．对任意x ? R，都存在m > -1e2，使得f ( x) < m二、填空题（本大题共7 小题，每小题 4 分，共28 分）11．函数 f ( x)1n x 2 的定义域是x1。
2013 浙江省高考压轴卷 数学理试题本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p k k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 24S R π=()1213V h S S =球的体积公式 343V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高选择题部分一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数22()i i+= A ．-3 -4iB ．-3+4iC ．3-4iD ．3+4i2．设集合{sin ,}3n M x x n Z π==∈，则满足条件P M = 的集合P 的个数是 A ． 1B ．3C ．4D ．83．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．8B ．203C ．173D ．1434.等比数列{a n }中，“公比q >1”是“数列{a n }单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数21()x xe f x e+=的图象 ( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称6．设变量x 、y 满足1,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩则目标函数z=2x+y 的最小值为A ．6B ．4C ．2D ．327. 若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ）A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种 8. 已知直线l m 、,平面βα、,且βα⊂⊥l m ,,给出下列命题: ①若α∥β，则m ⊥l ； ②若α⊥β，则m ∥l ; ③若m ⊥l ，则α∥β； ④若m ∥l ，则α⊥β 其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：m n m n S S S +=+，且11=a ，那么=10a ( )A ． 1B ． 9C ．10D ．5510. 已知直线1sin cos :=+θθy x l ，且l OP ⊥于P ，O 为坐标原点，则点P 的轨迹方程为( )A ．122=+y xB ．122=-y xC ．1=+y xD ．1=-y x非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
杭州市 2013 第二次高考科目教学质量检测数学（文）试题考生须知：1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟2．答题前，在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题上无效 4．考试结束，只需上交答题卷 参考公式：球的表面积公式棱柱的体积公式S = 4p R 2V=Sh球的体积公式其中 S 表示棱锥的底面积， h 表示棱柱的高V = 4p R 3台体的体积公式3其中 R 表示球的半径V = 1h( S 1 + S 1S 2 + S 2 )3锥体的体积公式其中 S 1， S 2 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 V = 1Sh如果事件 A 、 B 互斥，那么3其中 S 表示棱锥的底面积， h 表示棱柱的高 P(A+B)=P(A)+P(B)一、选择题（本大题共 10小题，每小题 5 分，共 50 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集 U=R ，集合 A = { x | x ? 2}, B{ x |- 1< x ? 3}, 则 (痧U A) ? ( UB)A ． { x | - 1< x ? 2}B ． { x | x ? 1或x > 2}C ． { x | 2 < x < 3}D ． { x | x > 3}2．已知 i 是虚数单位，则1+ i +i = （ ）i1+ iA ． - 1 + 3iB ． 1 - 3iC ． 3 + 1iD ． 3 - 1i22 2 222 223”直线 l : 2x - y + m = 0 与圆 C : (x - 1) + ( y- 2) = 5 恰好有一个公共 ．设 m ? R ，则“ m = 5 2 2点”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在一盆子中号为 1，2 的红色球个，编号为 1，2 的白色球 2 个，现从盒子中摸出两个球，每个球被摸到的概率相同，则摸出的两个球中既含有2 种不同颜色又含有 2 个不同编号的概率是 1 111A ．B ．C ．D ．64325．设 m ，n 是两条不同的直线，a ,b 是两个不同的半面A ．若 m ∥ a ， n ∥ b ， m ∥ n ，则 a ∥ bB ．若 m ∥ a ， n ∥ b ， a ∥ b 则 m ∥nC ．若 m ⊥ a ， n ⊥ b ， m ⊥ n 则 a ⊥ bD ．若 m ⊥ a ， n ⊥ b ， a ⊥ b 则 m ⊥ nì?x- y ? 0??6．已知实数 x ， y 满足不等式组 íx- 3y + 2 ? 0, 则 2x -y + 3的最小值是???x + y - 6 ? 0?A ． 3B ．4C ． 6D ． 97．设 P 为函数 f ( x) = sin(p x) 的图象上的一个最高点，Q 为函数 g ( x) = cos(p x) 的图象上的一个最低点，则 |PQ|最小值是（）p 2B ．2C ．17 D ． 2 2A ．+ 4248．在边长为 1 的菱形 ABCD 中， BAD=60 ，E 是 BC 的中点，则 AC · AE =A ． 3+ 3B ．9C ．3D ．9324229．已知双曲线y2 +x 2 = 1(a > 0, b > 0) ，A ，B 是双曲线的两个顶点．P 是双曲线上的一点，且与ab点 B 在双曲线的同一支上．P 关于 y 轴的对称点是Q 若直线 AP ， BQ 的斜率分别是k 1， k 2，且 k 1· k 2= -4，则双曲线的离心率是（）5A ．3 5B．9C．3D．9 542510．若函数f (x) =( x + 1).e x，则下列命题正确的是（）A ．对任意m < -1，都存在 x ? R ,使得 f ( x) < me2B．对任意m > -1，都存在 x ? R ，使得 f ( x) < m 2e1C．对任意x ? R ，都存在 m < - e2，使得 f ( x) < mD．对任意x ? R，都存在m > -1e2，使得f ( x) < m二、填空题（本大题共7 小题，每小题 4 分，共28 分）11．函数 f ( x)1n x 2 的定义域是x1。
2013年浙江省某校高考数学模拟试卷（二）（理科）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 集合A ={x|−1≤x ≤2}，B ={x|x <1}，则A ∩(∁R B)=( ) A {x|x >1} B {x|x ≥1} C {x|1<x ≤2} D {x|1≤x ≤2}2. 函数y =cosxcos(x −π4)的最小正周期是（ ）A π2 B π C 2π D 4π3. “a =18”是“对任意的正数x ，2x +ax ≥1”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4. 执行如图的程序框图，输出k 的值是（ ）A 3B 4C 5D 65. 某空间几何体的三视图及尺寸如图，则该几何体的体积是（ ）A 2B 1C 23 D 136. 已知(x −3y)n 展开式中，第5项的二项式系数与第12项的二项式系数相等，则展开式共有（ ）A 15项B 16项C 17项D 18项7. △ABC 中，∠BAC ＝120∘，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上的一点（包括端点），则AD →⋅BC →的取值范围是（ ）A [1, 2]B [0, 1]C [0, 2]D [−5, 2]8. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左焦点F(−c, 0)(c >0)作圆 x 2+y 2=a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →=12(OF →+OP →)，则双曲线的离心率为( )A √10 B√105 C √102D √2 9. 已知函数y =sinax +b(a >0)的图象如图所示，则函数y =log a (x −b)的图象可能是（ ）A B C D10. 定义：若将数列A:a 1，a 2，a 3(a i ∈N, i =1, 2, 3)，变换成数列B:b 1，b 2，b 3，其中b i =|a i −a i+1|(i =1, 2)，且b 3=|a 3−a 1|．则称为数列A 的“1次变换”；继续对数列B 进行这样的“1次变换”，得到数列C:c 1，c 2，c 3，则称为数列A 的“2次变换”；依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．设数列A:1002，1004，2，若数列A 的“k 次变换”得到的数列各项之和最小，则k 的最小值是（ ） A 83 B 498 C 501 D 502二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分．11. 已知i 为虚数单位，复数z 满足z ⋅(1+i)＝2i ，则z ＝________． 12. 在△ABC 中，若AB =1，AC =√3，|AB →+AC →|=|BC →|，则BA →⋅BC →|BC →|=________．13. 已知数列{a n }为等比数列，且a 4⋅a 6=2a 5，设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 5=2a 5，则S 9=________．14. 防疫站有A 、B 、C 、D 四名内科医生和E 、F 两名儿科医生，现将他们分成两个3人小组分别派往甲、乙两地指导疾病防控．两地都需要既有内科医生又有儿科医生，而且A 只能去乙地．则不同的选派方案共有________种．15. 已知实数x ，y 满足约束条件{x ≥0y ≥2x +1x +y +k ≤0（k 为常数），若目标函数z =2x +y 的最大值是113，则实数k 的值是________．16. 抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且∠AFB =120∘，过弦AB 中点M 作准线l 的垂线，垂足为M 1，则|MM 1||AB|的最大值为________．17. 四棱锥O −ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，各侧棱长均为√3，则以O 为球心，1为半径的球与该四棱锥重叠部分的体积是________．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知acosC −csinC =b ．（1）若C=π6，求∠B．（2）求sin(2C−A)+sinB的取值范围．19. 甲、乙、丙三名优秀的大学毕业生参加一所重点中学的招聘面试，面试合格者可以签约．甲表示只要面试合格就签约，乙与丙则约定，两个面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每个人面试合格的概率都是P，且面试是否合格互不影响．已知至少有1人面试合格概率为78．（1）求P．（2）求签约人数ξ的分布列和数学期望值．20. 如图，四棱锥P−ABCD的底面是正方形，侧面PAB⊥平面ABCD，AP=AB=1，∠PAB=2π3，点M，N，E分别在线段PD，AC，BC上，且满足DM=CN，EN // AB．（1）求证：平面EMN // 平面PAB；（2）设DMDP =λ，若二面角A−MN−E的大小为2π3，求λ的值．21. 如图，过点D(−2, 0)作圆O:x2+y2=r2(0<r<√3)的切线交椭圆C:x26+y23=1于A，点A与E(−3, 0)的连线段EA与椭圆C相交于另一点B．（1）若△OAD的面积为1，求r的值；（2）求证：直线BD与圆O相切．22. 设函数f(x)=x2−(a−2)x−alnx．(I)求函数f(x)的单调区间；(II)已知方程f(x)=c（c为常数）有两个不相等的实数根x1，x2．(I)若c=0，求满足条件的最小正整数a的值；(II)求证：f′(x1+x22)>0．2013年浙江省某校高考数学模拟试卷（二）（理科）答案1. D2. B3. A4. A5. A6. B7. D8. C9. A 10. C 11. 1+i 12. 1213. 36 14. 6 15. −3 16. √33 17. 29π18. 解：（1）在△ABC 中，∵ acosC −csinC =b ，∴ sinAcosC −sin 2C =sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC ， ∵ sinC ≠0，C =π6，∴ cosA =−sinC =−12，A ∈(0, π)，∴ A =2π3，∴ B =π6；（2）sin(2C −A)+sinB =sin2CcosA −cos2CsinA +sin(A +C) =sin2CcosA −cos2CsinA +sinAcosC +cosAsinC =sin2C(−sinC)−cos2cosC +cos 2C −sin 2C=−2sin 2CcosC −(1−2cos 2C)cosC +cos 2C −sin 2C =−cosC +2cos 2C −1=2(cosC −14)2−98；∵{ 0<C <π2C =A −π2B =(π−A −C)∈(0,π2)，∴ C ∈(0, π4)，∴ cosC ∈(√22, 1)，∴ sin(2C −A)+sinB ∈(−√22, 0)． 19. 解：（1）至少1人面试合格概率为78（包括1人合格 2人合格和3人都合格），这样都不合格的概率为1−78=18． 所以(1−P)3=18，即P =12．（2）签约人数ξ取值为0、1、2、3签约人数为0的概率：都不合格(1−12)3=18，甲不合格，乙丙至少一人不合格12×(1−12×12)−(1−12)3=14，签约人数为0的概率：18+14=38；签约人数为1的概率：甲合格，乙丙至少一人不合格：12×(1−12×12)=38；签约人数为2的概率：甲不合格，乙丙全部合格：12×12×(1−12)=18； 签约人数为3的概率：甲乙丙均合格：(12)3=18．分布表：数学期望：Eξ=0×38+1×38+2×18+3×18=1．20. （1）证明：∵ 侧面PAB ⊥平面ABCD ，侧面PAB ∩平面ABCD =AB ， 由ABCD 为正方形，得AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴ AD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴ AD ⊥PA ，又PA =AB =1，∴ PD =AC =√2，DM =CN ，过M 作MR // AD ，交AP 于R ，过N 作NQ // AD 交AB 于Q ， ∴ RM = // QN ，∴ RMNQ 为平行四边形，∴ MN // RQ ，又RQ ⊂平面PAB ，MN 不包含于平面PAB ， ∴ MN // 平面PAB ，又EN // AD ，AD ⊂平面PAB ，∴ EN // 平面PAB ， ∵ MN ，EN ⊂平面EMN ， ∴ 平面EMN // 平面PAB ．（2）以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， B(0, 0, 0)，C(1, 0, 0)，D(1, 1, 0)， H(0, 32, 0)，H 为P 在平面ABCD 内的射影，P(0, 32, √32)，令DM →=λDP →，0≤λ≤1， 则CM →=λCA →，CE →=λCB →，∵ 平面MNE // 平面PAB ，AD ⊥平面PAB ， ∴ α→=(1,0,0)为平面法向量， 设p →=(x, y, z)为平面AMN 的法向量， AM →=(1−λ,12λ,√32λ)，AN →=(1−λ, −1+λ, 0)，{p →⋅AN →=(1−λ)x +(λ−1)y =0˙， 取x =1，得p →=(1,√3λ)，∵ 二面角A −MN −E 的大小为2π3， ∴ |cos <α→，p →>|=√1+1+(λ−2√3λ)=|cos2π3|=12，∴ (√3λ)2=2，∵ λ∈[0, 1]，√3λ=√2，解得λ=2(√6−1)5． 21.（1）解：∵ △OAD 的面积为1，设y A >0，∴ 12×2⋅y A =1，即y A =1，A(2, 1)， ∴ 直线AD:y =14(x +2)， ∴ 由直线AD 与圆相切，得到d =r =√17=2√1717．（2）证明：设直线AE:y =k(x +3)，联立椭圆方程C:x 26+y 23=1，消去y ，得(1+2k 2)x 2+12k 2x +(18k 2−6)=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1=k(x 1+3)，y 2=k(x 2+3)， 则x 1+x 2=−12k 21+2k 2，x 1x 2=18k 2−61+2k 2，设A 关于x 轴的对称点为A ′(x 1, −y 1)， 则k BD =y 2x 2+2，k A ′D =−y 1x 1+2， 则k BD −k A ′D =y 2x 2+2−−y 1x 1+2=k(x 2+3)x 2+1+k(x 1+3)x 1+2=k(2+1x 1+2+1x 2+2)=k(2+x 1+x 2+4x 1x 2+4+2x 1+2x 2)=k(2+−12k 2+4+8k 24+8k 2+18k 2−6−24k 2)=k(2−2)=0．∴ k BD =k A ′D ，即B ，D ，A ′共线，故由AD 和圆相切，得直线BD 和圆也相切． 22. 解：(1)f′(x)=(2x−a)(x+1)x(x >0)当a ≤0时，f ′(x)>0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增， ∴ 函数f(x)的单调增区间为(0, +∞)当a >0时，由f ′(x)>0得x >a2；由f ′(x)<0得0<x <a2，∴ 函数f(x)的单调增区间为(a 2，+∞)，单调减区间为(0,a2) (2)由(1)可得，若函数f(x)有两个不相等的实数根x 1，x 2． 则a >0，且f(x)的最小值f(a2)<0， 即−a 2+4a −4aln a2<0． ∵ a >0，∴ a +4ln a 2−4>0．令ℎ(a)=a +4ln a2−4，可知ℎ(a)在(0, +∞)上为增函数，且ℎ(2)=−2，ℎ(3)=4ln 32−1=ln8116−1>lne −1=0，所以存在零点ℎ(a 0)=0，a 0∈(2, 3)，当a >a 0时，ℎ(a)>0；当0<a <a 0时，ℎ(a)<0． 所以满足条件的最小正整数a =3．又当a =3时，f(3)=3(2−ln3)>0，f(1)=0，∴ a =3时，f(x)由两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3．(3)∵ x 1，x 2是方程f(x)=c 的两个不等实根，不妨设0<x 1<x 2则x 12−(a −2)x 1−alnx 1=c ，x 22−(a −2)x 2−alnx 2=c两式相减得x 12−(a −2)x 1−alnx 1−(x 22−(a −2)x 2−alnx 2)=0，即a =x 12+2x 1−x 22−2x 2x 1+lnx 1−x 2−lnx 2，又∵ f′(a2)=0，当x >a2时f ′(x)>0； 当 0<x <a2时f ′(x)<0故只要证明x 1+x 22>a2即可，即证x 1+x 2>x 12+2x 1−x 22−2x 2x 1+lnx 1−x 2−lnx 2即证明：ln x1x 2<2x 1−2x 2x 1+x 2，设t =x 1x 2(0<t <1)，令g(t)=lnt −2t−2t+1，则g′(t)=(t−1)2t(t+1)2≥0，则g(t)=lnt −2t−2t+1在(0, +∞)为增函数，又∵ g(1)=0，∴ t ∈(0, 1)时，g(t)<0总成立，得证．。
杭州市2013第二次高考科目教学质量检测数学（文）试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟2．答题前，在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题上无效 4．考试结束，只需上交答题卷 参考公式：球的表面积公式 棱柱的体积公式24S R p = V=Sh球的体积公式其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱柱的高343V R p =台体的体积公式其中R 表示球的半径 121()3V h S S =+锥体的体积公式 其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高13V Sh =如果事件A 、B 互斥，那么 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱柱的高 P(A+B)=P(A)+P(B)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集U=R ，集合{|2},{|13},A x x B x x =?-<?则()()U U A B ?痧A ．{|12}x x -<?B ．{|12}x x x ?>或C ．{|23}x x <<D ．{|3}x x >2．已知i 是虚数单位，则11i ii i++=+（ ）A ．1322i -+ B ．1322i - C ．3122i + D ．3122i - 3．设m R Î，则“5m =”直线:20l x y m -+=与圆22:(1)(2)5C x y -+-=恰好有一个公共点”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．在一盆子中号为1，2的红色球个，编号为1，2的白色球2个，现从盒子中摸出两个球，每个球被摸到的概率相同，则摸出的两个球中既含有2种不同颜色又含有2个不同编号的概率是A ．16B ．14C ．13D ．125．设m ，n 是两条不同的直线，,a b 是两个不同的半面 A ．若m ∥a ，n ∥b ，m ∥n ，则a ∥b B ．若m ∥a ，n ∥b ，a ∥b 则m ∥nC ．若m ⊥a ，n ⊥b ，m ⊥n 则a ⊥bD ．若m ⊥a ，n ⊥b ，a ⊥b 则m ⊥n6．已知实数x ，y 满足不等式组0320,60x y x y x y ì-?ïïï-+?íïï+-?ïïî则23x y -+的最小值是A ．3B ．4C ．6D ．97．设P 为函数()sin()f x x p =的图象上的一个最高点，Q 为函数()cos()g x x p =的图象上的一个最低点，则|PQ|最小值是（ ）AB ．2 C．2D ．8．在边长为1的菱形ABCD 中，BAD=60，E 是BC 的中点，则AC ·AE =AB ．92CD ．949．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b+=>>，A ，B 是双曲线的两个顶点．P 是双曲线上的一点，且与点B 在双曲线的同一支上．P 关于y 轴的对称点是Q 若直线AP ，BQ 的斜率分别是k 1，k 2， 且k 1·k 2=45-，则双曲线的离心率是（ ） AB ．94C ．32D ．9510．若函数()(1).xf x x e =+，则下列命题正确的是（ ）A ．对任意21m e<-，都存在x R Î,使得()f x m < B ．对任意21m e >-，都存在x R Î，使得()f x m < C ．对任意x R Î，都存在21m e <-，使得()f x m <D ．对任意x R Î，都存在21m e >-，使得()f x m < 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．函数2()11x f x nx -=+的定义域是 。
