沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 本章小结 解直角三角形复习 教案

课题：锐角的三角比（专题复习一）一、复习目标1.进一步掌握锐角三角比的意义；灵活地解直角三角形.2.经历运用锐角三角比、解直角三角形的知识解决问题的过程，渗透数形结合等数学思想方法．3.通过积极参与数学学习的活动，提高学生分析问题和解决问题的能力，获得运用知识，领悟提高的成就感.二、复习重点、难点1.复习重点：锐角三角比的意义、解直角三角形.2.复习难点：灵活运用锐角三角比、解直角三角形的知识解决问题. 三、复习思路 四、复习进程 （一）题组引入 1.锐角的三角比的定义（1）在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，下列等式中正确的是（ ）A.c a A =cos ；B.b c B =sin ；C.b a B =tan ；D.ab A =cot ． （2）在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则下列结论正确的是（ ） A ．sin A ＝3 ； B ．tan A ＝12 ； C ．cosB ＝3 ； D ．tan B ＝3.（3）在以O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点A （2，4），如果AO 与x 轴正半轴的夹角为，那么= ．小结：锐角的三角比的定义: 如图，在RtΔABC，∠C＝90°， tan A A A ∠=∠的对边的邻边；cot A A A ∠=∠的邻边的对边；sin A A ∠=的对边斜边；cos A A ∠=的邻边斜边.题组引入 及时反馈 例题讲解 课堂小结B C能力提升2.解直角三角形知识梳理：① 直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形. ② 在Rt△ABC 中，如果∠C=90°，那么它的三条边和两个锐角这五个元素之间有以下的关系：三边之间的关系：222a b c +=.锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒. 边角之间的关系：tan A A A ∠=∠的对边的邻边，cot A A A ∠=∠的邻边的对边， sin A A ∠=的对边斜边，cos A A ∠=的邻边斜边（1）RtΔABC，已知∠C＝900，∠B=30°，AB=6，则∠A= °， BC= .（2）在△ABC 中，已知∠C=90°，AC=2，B= °.（3）在等腰三角形ABC 中，已知AB=AC ，∠A=120°，BC=6，那么AB= .（4）在△ABC 中，AC=9，AB=8，∠A=30°，则△ABC 的面积为 .小结:把非直角三角形中的几何计算问题化归为解直角三角形的问题时，常常要构造直角三角形.（二）及时反馈1.选择题：（1）在RtΔABC 中，∠C=900，则cb 是∠A 的（ ） A.正弦； B.余弦； C.正切； D.余切.（2）在直角△ABC 中，90C ∠=︒，1BC =，AC =，下列判断正确的是（ ）A. 30A ∠=︒；B. 45A ∠=︒；C. cot 2A =；D. tan 2A =. （3）已知Rt△ABC 中，90C ∠=︒，CAB α∠=，7AC =，那么BC 为（ ）A. 7sin α；B. 7cos α；C. 7tan α；D. 7cot α.（4）在△ABC 中，若tanA=1，sinB=22，你认为最确切的判断是（ ） A.△ABC 是等腰三角形； B.△ABC 是等腰直角三角形；C.△ABC 是直角三角形；D.△ABC 是一般锐角三角形. 2.填空题：（5）在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，如果6AB =，2cos 3A =，那么AC = . （6）计算：6tan 2 30°－3sin 60°－2sin 45°= .（7）等腰三角形腰与底边之比是10：12，那么底角的正弦值为 .（8）在△ABC 中，∠ACB =135°，AC= 52，则BC 边上的高为 .（9）如图，在RtΔABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，AC=6，AB=10，则∠ACD 的正切值是 .（10）△ABC 中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA= ，则S △ABC =______.（三）例题讲解例题1：∆ABC 中，AB=6，AC=4，∠BAC=120︒，（1）求∆ABC 的面积；（2）求tanB 的值.例题2：如图，矩形ABCD 中，AB=6，BC=12，BE=2EC ，DM⊥AE 于M. 求：∠ADM 的余弦值.（四）能力提升21A CB D已知在△ABC 中，∠C=90o ，AC=3，BC=4．在平面内将△ABC 绕B 点旋转，点A 落到A’，点C 落到C’，若旋转后点C 的对应点C’和点A 、点B 正好在同一直线上，求∠A’AC’的正切值.（五）课堂小结1. 锐角的三角比的定义如图，在RtΔABC，∠C＝90°， tan A A A ∠=∠的对边的邻边；cot A A A ∠=∠的邻边的对边；sin A A ∠=的对边斜边；cos A A ∠=的邻边斜边2. 解直角三角形在Rt△ABC 中，如果∠C=90°，那么它的三条边和两个锐角这五个元素之间有以下的关系：三边之间的关系：222a b c +=.锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒.边角之间的关系：tan A A A ∠=∠的对边的邻边，cot A A A ∠=∠的邻边的对边， sin A A ∠=的对边斜边，cos A A ∠=的邻边斜边 五、课外作业复习点要《锐角的三角比》AB C A B C。

课题： 锐角三角比复习(1)复习目标：1.掌握锐角三角比（正弦、余弦、正切、余切）的概念，掌握特殊锐角的三角比的值；2.掌握解直角三角形的方法. 知识网络图复习过程：一、锐角三角比的概念t =90R ABC C ∆∠︒在中，1、三边之间的关系：222a b c +=2、锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒3、边角之间的关系：sin BC a A AB c ==正弦， cos AC bA AB c ==余弦，tan BC a A AC b ==正切， cot AC bA BC a==余切，4、练习选择题t =90 tan cot sin cos ACR ABC C BC∆∠︒(1)在中，，那么等于（）A.AB.AC.AD.At =90sin 5125121313125R ABC C B ∆∠︒5(2)在中，，如果tanA=,那么等于（）12A. B. C. D. 锐角三角比解直角三角形正弦、余弦、正切和余切30°、45°、60°的三角比值直角三角形中的边角关系概念与基本解法在数学问题中应用在实际问题中应用C BACBABt =90 sin cos tan cotR ABC C A BC m AC m m m m ααααα∆∠︒∠==(3)在中，，，， 那么边的长为（）A. B. C. D. t =908sin 4334 5543R ABC C CD AC AB ACD ∆∠︒==∠(4)在中，，是斜边上的高，如果,10,那么的值为（）A. B. C. D.填空题t =9043tan ________.R ABC C AC BC A ∆∠︒===(1)在中，，，，那么3t =906cos 4________.R ABC C BC B AB ∆∠︒===(2)在中，，，，那么二、特殊锐角的三角比的值：三、例题讲解 1.例题1：计算cos45tan45sin60cot 60 cot 45+2sin 30︒︒-︒︒︒︒练习33cos cot ABC A B ABC ∆==∆(5)在中，，，那么是（）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形2.例题2414sin .51; 2tan .ABC AD BC E AC BC AD B DC EDC ∆===∠已知，如图，在中，是边上的高，是边上的中点，，12，求：（）线段的长（）的值练习D8CBAC BACBAED CBA90315 cos =.51;2sin .Rt ABC ACB D AB BE CD AC A CD DBE ∆∠=︒⊥=∠1.如图，在中，，是边的中点，，垂足为点E ，，（） 求线段的长（）求的值 524 sin =.131;2 6.5.ABC AB AC D BA BC ABC AB AD DCE ==∠=∠2.如图，在等腰三角形中，，点在的延长线上，，（） 求的长（）若，求的余切值四、课堂小结 五、作业EDCADCBA。

25.3解直角三角形（第一课时）【教学目标】1.知道在直角三角形中，除直角外的边与角五个元素之间的关系，理解解一个直角三角形所需要的条件．2.懂得解直角三角形的意义，会选择合理的方法解直角三角形．3.经历自主探究确定直角三角形的条件、解直角三角形的过程，提高探究问题的意识和方法.【教学重点、难点】1．探究解一个直角三角形所需要的条件．2．选择合理的方法解直角三角形．【教学过程】一、复习旧知、梳理关系在Rt△ABC中，∠C=90°，1.直角三角形中三边之间、锐角之间的关系：（1）三边之间的关系：a²+b²=c²．（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°．2.回顾锐角三角比，得到直角三角形中边角之间的关系．边角之间的关系：tanA=∠的对边∠的邻边AA，cotA=∠的邻边∠的对边AA，sinA=∠的对边斜边A，cosA=∠的邻边斜边A．将∠A换成∠B，就是∠B与边的关系式．二、探究新知、得出结论C1.运用直角三角形中各元素的关系可以通过已知元素求得未知的元素．2.探究：在Rt △ABC 中，已知∠C =90°．（1）知道一个元素，能否求出其他四个元素？为什么？（2）知道两个元素，能否求出其他三个元素？比如：①知道三角形中的两个锐角能否求出其他元素？依据？②知道三角形中的一条边和一个角能否求出其他元素？依据？③知道三角形中的两条边能否求出其他元素？依据？3.归纳结论：在直角三角形除直角外的边与角五个元素中，只需知道其中的两个元素（至少有一条边），就可以求得其他三个元素．这个结论的关键是：知道两个元素（至少有一条边），这个直角三角形就确定了，因此我们就能求得其他的边与角了．从直角三角形全等的有关判定定理的条件中也能发现这个结论，它们是一致的．三、课堂实践、学以致用例题1 在Rt △ABC 中，已知∠C =90°，∠B =38°，a =8，求这个三角形的其他边和角．解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∵∠A +∠B =90°，∴∠A =90°-∠B =90°-38°=52°．∵cosB=ac ，∴c =°8=38a cosB cos ．∵tanB=ba ，∴b =atanB =8tan ．（1）变式练习：把问题中的条件a=8改成c=8，你能求出其他的边与角吗？（2）定义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．例题2 在Rt△ABC中，已知∠C=90°，b=4.32，c=6.18，解这个直角三角形．解：在Rt△ABC中，∵∠C=90，∴a²+b²=c²，得∵sinB=4.326.18b=c，∴∠B44°21′．∴∠A90°-∠B90°-44°21′=45°39′．例题3如果在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是这个三角形的角平分线，AC=4.32，AD=5.46，你能解这个直角三角形吗？四、课堂总结、形成体系这节课中，你学到了哪些数学知识？还有什么其他收获？还有哪些疑惑？五、回家作业、巩固新知（必做题）练习册25.3（1）（选做题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是边BC上的中线，若BD=，∠B=30°，解直角△ACD．C C。

沪科版九年级数学上册第23章《解直角三角形》教学设计一. 教材分析《解直角三角形》是沪科版九年级数学上册第23章的内容，主要介绍了解直角三角形的知识和方法。

本章内容在初中数学中占有重要地位，是为后续学习平面几何和高中的三角学做铺垫。

通过本章的学习，学生能够掌握直角三角形的性质，学会使用勾股定理和三角函数解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对图形的性质和运算有一定的了解。

但是，对于解直角三角形的理解和应用，部分学生可能会感到困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和辅导。

三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理和三角函数的定义。

2.学会使用勾股定理和三角函数解决实际问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.勾股定理的理解和应用。

2.三角函数的定义和应用。

3.解决实际问题时的计算和推理。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索和解决问题。

2.使用多媒体辅助教学，直观展示直角三角形的性质和应用。

3.注重实践操作，让学生通过动手操作和实际计算，加深对知识的理解。

4.采用分组合作和讨论的方式，培养学生的团队合作能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.直角三角形的模型或图片。

3.练习题和实际问题案例。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示直角三角形的图片，引导学生回顾已学的平面几何知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）介绍直角三角形的性质，引导学生学习勾股定理和三角函数的定义。

通过示例和讲解，让学生理解并掌握这些知识。

3.操练（15分钟）让学生分组合作，利用直角三角形的模型或图片，进行实际操作，验证勾股定理和三角函数的性质。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。

题目包括简单的基本计算、应用题等。

教师选取部分题目进行讲解和分析，帮助学生巩固所学知识。

沪教版数学九年级上册25.2《解直角三角形》教学设计一. 教材分析《解直角三角形》是沪教版数学九年级上册第25章第2节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数和直角三角形的知识基础上进行学习的。

本节课的主要内容有：了解直角三角形的定义，学会用锐角三角函数解直角三角形，能运用解直角三角形的方法解决实际问题。

本节课的内容在数学知识的体系中起着承上启下的作用，为今后学习更高级的数学知识打下了基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对锐角三角函数和直角三角形有一定的了解。

但是，对于如何灵活运用锐角三角函数解直角三角形，以及如何将所学知识应用于实际问题中，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握解直角三角形的方法，以及培养学生的应用能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解直角三角形的定义，掌握用锐角三角函数解直角三角形的方法，能运用解直角三角形的方法解决实际问题。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 教学重难点1.重点：了解直角三角形的定义，学会用锐角三角函数解直角三角形。

2.难点：如何灵活运用锐角三角函数解直角三角形，以及如何将所学知识应用于实际问题中。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生自主学习。

2.合作交流法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作精神。

3.实践操作法：学生动手操作，实际解直角三角形，提高学生的动手能力。

六. 教学准备1.教具准备：直角三角形模型、多媒体课件。

2.学具准备：学生每人一份直角三角形模型，一份练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问，引导学生回顾已学的锐角三角函数和直角三角形的相关知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，向学生介绍直角三角形的定义，以及用锐角三角函数解直角三角形的方法。

相似三角形复习（2）教学内容：相似三角形复习课第二节（相似三角形判定定理）教学目标： 1、进一步理解和掌握相似三角形的判定定理、灵活应用这些定理去探索问题和解决问题。

2、培养在基本图形中运用知识的能力。

体会在发现中学习，在学习中发现。

发展学生的数学思维能力。

渗透图形运动、类比、分类讨论等数学思想。

3、提倡学生主动学习、积极参与教学，用所学的知识解决问题，提高学数学的热情。

在师生互动过程中，培养团结协作的精神。

教学重点：相似三角形判定定理的应用。

教学难点：能在复杂图形背景下、识别和判定三角形的相似，并正确推理论证，关注数学的严密性。

设计思想：本节课是在学习了相似三角形判定定理后的一节复习课。

一方面，抓住基本图形的特征，将基本图形通过平移、旋转、翻折、分解、组合成各种图形。

鼓励学生联想，培养学生创新意识。

另一方面，让学生进一步形成学习的主体意识、探究意识和合作意识。

教学过程：教师活动 学生活动 教学设计意图 我们已经认识了相似三角形，学习了相似三角形的判定，这节课我们要巩固我们所学的知识，并把所学的有关判定定理应用到实际的例题中，去探索和解决一些问题。

一；相似三角形基本图形以及判定定理的回顾。

问1： 若DE//BC ，则可以判定哪两个个三角形形相似？用哪条判定定理？ 预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边,且这条直线与原三角形的两边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。

这类基本图形我们称为平行线型生：△ADE ∽△ABC ，用预备定理生：△ADC ∽△ACB通过回忆使学生掌握相似三角形的所有的判定方法．1A BCD E 1AECBD三边对应成比例，两三角形相似。

这类网格型的题目还可以用那种判定方法。

通常网格类的相似，还可以用哪个判定定理？ 最后，我们来回顾一下直角三角形相似的判定方法：问5：若BDACBE AB =，∠C=∠D=90°则可 以判定哪两个三角形形相似？用哪条判定定理 直角三角形相似的判定定理： 斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似 上面我们回顾了相似三角形判定定理及重要 的基本图形，下面我们要应用这些定理来 解决一些几何问题。

课题解直角三角形的应用教学目标1、在直角三角形锐角三角比的基础上，探究已知两角一边的斜三角形的解法，并通过抓住“关键边”的图形分析方法，提高分析问题、解决问题的能力；2、通过问题解决，掌握“作垂线把解斜三角形问题转化为解直角三角形问题”这一方法，感悟“转化”数学思想方法在解决数学问题中的重要作用；3、在解决问题的过程中，体验探究的困惑和成功解决问题的愉悦情感，感受做数学的乐趣。

教学重点“关键边”的选取。

教学难点如何作“垂线”。

教学过程一、新课导入1、复习回顾，激活学生已有知识经验。

在Rt⊿ABC中， C=900，则tgA= ____，ctgA=____，sinA=____，cosA=____。

根据三角比的定义，在直角三角形中，我们只要知道一个锐角和一边，就可以求出其它的角和边。

2、新课导入：已知在⊿ABC中，∠B=600，∠C=450，AB=40。

（1）你会求AC的长吗？（2）再求BC的长。

（这就是我们今天要探究的问题，出示课题。

第（1）小题做完后再出示第（2）小题。

）二、问题解决（探究活动一）探究如何解决导入中的问题2，师生共同完成。

（设计说明：1、在已知两角和一边的斜三角形中，要求出AC的长，可以作高AD，体会把解斜三角形问题转化为解直角三角形问题的“转化”数学思想方法，并且让学生归纳得出两个直角三角形的公共边AD是关键边，学会利用“关键边”进行有关计算。

2、求BC长的方法有两种，既可以通过AB、AC的长分别求出BD、CD，也可以通过公共边AD的长分别求出BD、CD。

教师有意识地强调公共边是“百搭”，可以为每个直角三角形服务。

我们要学会充分利用这条公共边。

）（3）如上图中的条件∠B=600，∠C=450，AD⊥BC不变，现设AD = h，请再求BC的长。

反思：问题的类型：已知两角和一边，解三角形。

解决问题的方法：○1过已知边的端点作垂线（使已知角和已知边在同一个直角三角形中），把解斜三角形问题转化为解直角三角形问题；○2选定“关键边”（与其它边能建立联系的边，一般为公共边）；○3设元、建立等量关系求解（一般可设某关键边的长为未知数）。

课题：解直角三角形的应用（复习）教学目标:1．熟练掌握解直角三角形的基本方法,能选择适当的边、角关系合理解直角三角形；2．从解特殊的直角三角形着手，初步探索解一般三角形的方法，感悟数学从特殊到一般的思维过程，再应用到实际情境中；通过列方程解直角三角形，培养学生运用代数方法解几何问题的能力；3．在经历实际问题数学化和探索解决问题的过程中，不断克服困难，从中体验数学来源于生活，应用于生活的意义。

教学重点实际问题和数学问题的相互转化。

教学难点根据实际情景画出图形，将实际问题抽象为几何问题。

教学准备：多媒体制作、学习单教学过程设计一．复习引入：根据所给的条件编题:如图: 在Rt△ABC中，∠C=90°,请从a、b、c、∠A、∠B这五个元素中,选取适当的元素配成条件和结论.[说明]通过互动编题，进一步巩固选择适当的边角关系合理地解直角三角形，为后面解直角三角形的应用打好基础。

3045°ABCD°60图1a αβBCD A30︒45︒40BED A二．探索研究：1．利用三角板复习两个特殊直角三角形的各边关系，并引出例题。

2．实际应用:例1. (1)已知:在⊿ABC 中,AD ⊥BC 于Ｄ,∠C ＝４５０∠B=300,BC=60. 求：AD(2)如果把条件改成:在⊿ABC 中,AD ⊥BC 于Ｄ,∠B=α ，∠C=β，BC=a 求：AD(3) 根据图1编题：一艘船位于小岛A_________方向上的B 处,它沿正西方向继续航行了___海里到达C 处,此时C 处位于小岛A 的_________方向，求：_________________？(4)改变上题条件:一艘船位于小岛A 南偏东600方向的B 处,若船从B 处沿正西方向航行了40海里后,到达距小岛A 东南方向的E 处,这时收到导航台的紧急通知,告知距A 处50海里范围内有暗礁.如果你是船长,你会改变航向吗？(让学生画出图形)例2．如图,有一段防洪大堤，其横截面为梯形ABCD, AD ∥BC,斜坡BA 的坡度i 1=1:1,斜坡CD 的坡度i 2=3:1,大堤顶宽AD=6米,坝高为4米。

沪科版数学九年级上册第23章《解直角三角形》复习教学设计一. 教材分析《解直角三角形》是沪科版数学九年级上册第23章的内容，本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数、直角三角形的性质等知识的基础上进行讲解的。

本节主要让学生了解解直角三角形的方法，以及如何运用解直角三角形解决实际问题。

教材通过生动的实例，引导学生掌握解直角三角形的方法，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了锐角三角函数、直角三角形的性质等知识，具备了一定的数学基础。

但是，对于解直角三角形的实际应用，学生可能还不够熟悉。

因此，在教学过程中，需要注重培养学生的实际应用能力，让学生能够将所学知识运用到实际问题中。

三. 教学目标1.让学生掌握解直角三角形的方法，并能够运用到实际问题中。

2.培养学生的实际应用能力，提高学生解决实际问题的能力。

3.激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.解直角三角形的方法。

2.如何将解直角三角形的方法运用到实际问题中。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探索解直角三角形的方法。

2.利用实例讲解，让学生了解解直角三角形在实际问题中的应用。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.准备相关的实例，用于讲解解直角三角形的方法和应用。

2.准备一些实际问题，用于巩固学生对解直角三角形的掌握。

3.准备教学PPT，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，引导学生思考如何解决。

例如：一个房间的长为10米，宽为8米，求房间的对角线长度。

2.呈现（10分钟）通过PPT呈现解直角三角形的方法，结合实例进行讲解。

讲解内容包括：（1）解直角三角形的定义和性质。

（2）解直角三角形的方法：勾股定理、锐角三角函数等。

（3）解直角三角形在实际问题中的应用。

3.操练（15分钟）让学生分组合作，解决一些实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。