2015春新人教版九年级数学下册 28.2.2.2方向角在解直角三角形中的应用

∠A＋∠B＝________ 90° ；
③边角之间的关系：
a b a sinA＝________ ，cosA＝________ ，tanA＝________. c c b
2．仰角和俯角的定义
视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做 俯角 ，如图 28-2-2. 仰角 ；视线在水平线下方的角叫做________ ________
【跟踪训练】 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，a＝6
2，b＝6
6，解直
角三角形．
解：∵a＝6 ∴c＝ 6
2，b＝6 22＋6
6， 2.
62＝12
6 2 1 ∴sinA＝ ＝ .∴∠A＝30° . 12 2 2 ∴∠B＝90° －∠A＝60° .
2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝60°，c＝6，解直角
28.2 解直角三角形及其应用
1．解直角三角形 (1)由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫做 解直角三角形 ． ________________ (2)在解直角三角形中，一般用到下面的关系：如图 28-2-1.
图 28-2-1
①三边之间的关系：
a2＋b2＝________ c2 ；
②两锐角之间的关系．
5.
a 2 15 由 tanA＝b＝ ＝ 3，得∠A＝60° . 2 5 ∴∠B＝90° －∠A＝30° .
图 D69
图 D70
(2)如图 D70，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，b＝12，∠A＝30°.
12 b b 由 cosA＝c ，得 c＝cosA＝cos30° ＝8 3.
已知条件 两直角边(a，b)
图 D71
＝80×cos25° ≈80×0.91＝72.8(海里) 在 Rt△BPC 中，∠B＝34° ， PC ∵sinB＝PB， 72.8 72.8 PC ∴PB＝sinB＝sin34° ＝0.559≈130.23(海里)．

_水__平__距__离__之比，常用i表示
，也就是坡角的正切值.
(2)坡角越大，坡度越大，坡 面越陡.
图例
解题 策略
(1)利用解直角三角形解方位角的问题时 ，注意同方向的方位线是互相平行的； (2)运用坡角解决问题时，要注意坡角是 水平线与斜边的夹角，不要误认为是铅垂 线与斜边的夹角.
(教材 P77 练习 T1 变式)如图，一艘海轮位于灯 塔 P 的北偏东 30°方向，距离灯塔 80 海里的 A 处．海 轮沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的 南偏东 64°方向上的 B 处．求海轮所在的 B 处与灯 塔 P 的距离(结果精确到 0.1 海里，参考数据： sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)．
3 2 ＝2
6(千米)．
2
答：B，C 两地的距离是 2 6千米．
5．(教材 P77 练习 T2 变式) 如图，某公园内有座桥，桥 的高度是 5 米，CB⊥DB，坡 面 AC 的倾斜角为 45°.为方便老人过桥，市政部门 决定降低坡度，使新坡面 DC 的坡度为 i＝ 3∶3. 若新坡角外需留下 2 米宽的人行道，问离原坡角(A 点 处 )6 米 的 一 棵 树 是 否 需 要 移 栽 ( 参 考 数 据 ：
解：如图，过 B 作 BD⊥AC 于点 D， 则∠BDC＝90°， ∠CBD＝90°－45°＝45°. 在 Rt△ABD 中，∠BAD＝60°， AB＝4 千米， ∴BD＝AB·sin∠BAD＝4×23＝2 3(千米)．
在 Rt△BCD 中，∠CBD＝45°， BD＝2 3千米，
∴BC＝cos∠BDCBD＝2

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梳理、作业布置 这六个环节展开复习教学， 具体步骤是：如下.
（一）情景引入
问题.为解决江北学校学生上学 过河难的问题，乡政府决定修建 一座桥．建桥过程中需测量河的
宽度(即两平行河岸AB与MN之
间的距离)．
在测量时，选定河对岸MN上的 点C处为桥的一端，在河岸点A 处，测得∠CAB＝30°，沿河岸 AB前行30米后到达B 处，在B 处测得∠CBA＝60°.
二、教学目标
1、知识目标：
进一步理解并掌握直角三角形中各元素之间的内在联系， 会利用解直角三角形的知识解决仰角、俯角及方位角等有关 的综合性实际问题.
2、能力目标
在将实际问题抽象为数学问题，画出示意图，转化为解直 角三角形问题的过程中，体会“数学建模”和“数形结合” 的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．
3.评价：本堂课以学生为主体，教师为主导，注重学生知识的自 我建构，注重课堂实效，改变了传统的以教师讲授为主的方 法，通过小组合作学习，层层递进，减少教师的讲授时间最 大限度地调动了学生的积极性，提高了教育教学质量，更好 地培养学生的创造能力。
七、补充说明
说明：本课属于实在课型，应多注重考虑学生学习掌握的情况。 本课应设第一课时的延续----坡度、坡角问题(即第二课 时)；并根据学生情况，进行知识的总结和深化。
C
中考链接
问题. 为解决江北学校学生上学 过河难的问题，乡政府决定修建 一座桥．建桥过程中需测量河的
宽度(即两平行河岸AB与MN之
间的距离)．
在测量时，选定河对岸MN上的 点C处为桥的一端，在河岸点A 处，测得∠CAB＝30°，沿河岸 AB前行30米后到达B 处，在B 处测得∠CBA＝60°.
六、设计思路
1.过程：本节课通过创设问题情景，引出了本课主题，说明了解 直角三角形应用的广泛性和重要性，从而体现了学习解直角 三角形应用知识的必要性。在教学中注重引导学生运用探究 学习、学生讲评的方法进行学习，确保了学生学习的有效性， 激发了学生学习的欲望，使学生真正成为课堂的主人。

28....2....2 应用举例第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形1．知道测量中方位角、坡角、坡度的概念，掌握坡度与坡角的关系；(重点)2．能够应用解直角三角形的知识解决与方位角、坡度有关的问题．(难点)一、情境导入在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h )和水平长度(l )的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝h l ....坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6....坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝h l＝tan α....显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．我们这节课就解决这方面的问题．二、合作探究探究点一：利用方位角解直角三角形【类型一】 利用方位角求垂直距离如图所示，A 、B 两城市相距200km....现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB )，经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，100km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考數据：3≈1....732，2≈1....414)．解析：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．AC 与BC 都可以根据三角函數用PC 表示出来．根据AB 的长得到一个关于PC 的方程，求出PC 的长．从而可判断出这条高速公路会不会穿越保护区．解：过点P 作PC ⊥AB ，C 是垂足．则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AC ＝PC ·tan30°，BC ＝PC ·tan45°....∵AC ＋BC ＝AB ，∴PC ·tan30°＋PC ·tan45°＝200，即33PC ＋PC ＝200，解得PC ≈126....8km ＞100km....答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．方法总结：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题【类型二】 利用方位角求水平距离“村村通”公路工程拉近了城乡距离，加速了我区农村经济建设步伐．如图所示，C 村村民欲修建一条水泥公路，将C 村与区级公路相连．在公路A 处测得C 村在北偏东60°方向，沿区级公路前进500m ，在B 处测得C 村在北偏东30°方向．为节约资源，要求所修公路长度最短．画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度．(结果保留整數)解析：作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，求得AD ....在Rt △CBD 中，据题意有∠CBD ＝60°，求得BD ....又由AD －BD ＝500，从而解得CD ....解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，垂足落在AB 的延长线上，CD 即为所修公路，CD 的长度即为公路长度．在Rt △ACD 中，据题意有∠CAD ＝30°，∵tan ∠CAD ＝CD AD ，∴AD ＝CD tan30°＝3CD ....在Rt △CBD 中，据题意有∠CBD ＝60°，∵tan ∠CBD ＝CD BD ，∴BD ＝CD tan60°＝33CD ....又∵AD －BD ＝500，∴3CD －33CD ＝500，解得CD ≈433(m)． 答：所修公路长度约为433m....方法总结：在解决有关方位角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方位角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题探究点二：利用坡角、坡度解直角三角形【类型一】 利用坡角、坡度解决梯形问题如图，某水库大坝的横截面为梯形ABCD ，坝顶宽BC ＝3米，坝高为2米，背水坡AB 的坡度i ＝1∶1，迎水坡CD 的坡角∠ADC 为30°....求坝底AD 的长度．解析：首先过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，可得四边形BEFC是矩形，又由背水坡AB 的坡度i＝1∶1，迎水坡CD的坡角∠ADC为30°，根据坡度的定义，即可求解．解：分别过B、C作BE⊥AD、CF⊥AD，垂足为E、F，可得BE∥CF，又∵BC∥AD，∴BC＝EF，BE＝CF....由题意，得EF＝BC＝3，BE＝CE＝2....∵背水坡AB的坡度i＝1∶1，∴∠BAE＝45°，∴AE＝BEtan45°＝2，DF＝CFtan30°＝23，∴AD＝AE＋EF＋DF＝2＋3＋23＝5＋23(m)．答：坝底AD的长度为(5＋23)m....方法总结：解决此类问题一般要构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】利用坡角、坡度解决三角形问题如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1∶2，斜坡AB的长为65 m，斜坡的高度为AH(AH⊥BC)，为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°(图中的∠ACB＝14°)．(1)求车库的高度AH；(2)求点B与点C之间的距离(结果精确到1m，参考數据：sin14°≈0....24，cos14°≈0....97，tan14°≈0....25)．解析：(1)利用坡度为i＝1∶2，得出AH∶BH＝1∶2，进而利用勾股定理求出AH的长；(2)利用tan14°＝6BC＋12，求出BC的长即可．解：(1)由题意可得AH∶BH＝1∶2，设AH＝x，则BH＝2x，故x2＋(2x)2＝(65)2，解得x＝6，故车库的高度AH为6m；(2)∵AH＝6m，∴BH＝2AH＝12m，∴CH＝BC＋BH＝BC＋12m....在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，故tan∠ACB＝AHCH，又∵∠ACB＝14°，∴tan14°＝6BC＋12，即0....25＝6BC＋12，解得BC＝12m....答：点B与点C之间的距离是12m....方法总结：本题考查了解直角三角形的应用中坡度、坡角问题，明确坡度等于坡角的正切值是解题的关键．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计1．方位角的意义；2．坡度、坡比的意义；3．应用方位角、坡度、坡比解决实际问题．将解直角三角形应用到实际生活中，有利于培养学生的空间想象能力，即要求学生通过对实物的观察或根据文字语言中的某些条件，画出适合他们的图形．这一方面在教学过程应由学生展开，并留给学生思考的时间，给学生充分的自主思考空间和时间，让学生积极主动地学习....。